Đáp án: Đề thi HSG Toán 12 năm học 2012- 2013 - Trình bày lời giải: Lê Thanh Bình - Câu I: 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của ( ) 2 : 2 x C y x = + sao cho khoảng cách từ điểm ( ) 2; 2I đến tiếp tuyến đó là lớn nhất. Giải: Ta có ( ) 2 4 ' 2 y x = + . Gọi hoành độ tiếp điểm là a ( ) 2a . Phơng trình tiếp tuyến là: ( ) ( ) 2 4 2 2 2 a y x a a a = + + + hay ( ) ( ) 2 4 2 0 2 2 a x a y a a + = + + ( ) Khoảng cách từ ( ) 2;2I đến ( ) là ( ) ( ) ( ) 2 2 8 8 ; 2 2 16 8 2 2 Cauchy d I a a = = + + + . Đẳng thức xảy ra ( ) ( ) 2 2 0 16 2 2 2 4 2 a a a a a = + = + = = + . Vậy khoảng cách từ I đến lớn nhất bằng 2 2 khi 0 4 a a = = . Khi đó phơng trình tiếp tuyến là 8 y x y x = = + . Câu II: 1. Giải phơng trình: 3 3 sin .sin 3 cos .cos3 1 8 tan( ) tan( ) 6 3 x x x x x x + = + (1) Giải: Điều kiện ( ) ( ) sin .cos 0 6 6 sin 2 0 * 3 6 2 sin .cos 0 3 3 x x x x m m x x ữ ữ + ữ + + ữ ữ Â Ta có tan tan cot .tan 1 6 3 3 3 x x x x + = + + = ữ ữ ữ ữ . Suy ra (1) [ ] [ ] 3 3 2 2 1 1 sin sin 3 cos cos3 sin sin sin 3 cos cos cos3 8 8 x x x x x x x x x x + = + = [ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos 2 cos 4 cos cos 2 co s 4 sin cos cos 2 cos sin .cos 4 4 4 x x x x x x x x x x x x + + = + + = [ ] ( ) 3 1 1 1 1 cos 2 cos 2 cos 4 cos 2 1 cos 4 cos 2 cos 2 4 4 8 2 6 x x x x x x x x k k + = + = = = = + Â . Kết hợp điều kiện (*) ta đợc ( ) 6 x k k = + Â . 2. Giải hệ phơng trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 4 .5 1 2 1 ln 3 ln 3 2 4 x y x y x y x y x y + + + = + = + + Giải: Điều kiện , 3x y > (*) 1 ( ) 2 2 2 1 4 1 5 1 2.2 0 5 5 x y x y x y + = ữ ữ (3). Xét hàm số ( ) 1 4 5 1 2.2 5 5 t t t f t = + ữ ữ trên Ă ta có ( ) 1 1 4 4 ' 5 ln .ln 2.2 ln 2 0 5 5 5 5 t t t f t t = + < ữ ữ ữ ữ Ă . Suy ra ( ) f t nghịch biến trên Ă . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2 1 4f x y f x y y x = = = . Thế (4) vào (2) ta đợc 1 3 ln 4 2 2 x x x + = ữ + 3 1 ln 0 2 2 4 x x x + + = ữ + (5) Xét hàm số ( ) 3 1 ln 2 2 4 x x g x x + = + ữ + với 1x > , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 ' 4 3 1 x x g x x x + = + + ( ) ( ) ( ) 5 1; ' 0 1 1; x g x x = + = = + . Ta có bảng biến thiên của ( ) g x trên ( ) 1; + là: Từ bảng biến thiên, suy ra ( ) 0 1g x x= = . Do đó 1y = . Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ) ; 1;1x y = . Câu III: 1. Cho , ,x y z là các số thực dơng thỏa mãn 3x y z+ + = . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 4 4 4 x y z y z x z x y xyz yz zx xy + + + + + (1) Giải: Ta có ( ) ( ) 2 2 9 3yz zx xy x y z yz zx xy+ + + + = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 4 4 4 y z z x x y yz yz zx zx xy xy + + + + + (2) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 2 y z yz yz yz yz yz yz yz yz yz yz + = + + + Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 18 2 4 4 4 2 2 2 6 y z z x x y yz yz zx zx xy xy yz zx xy yz zx xy + + + + + + + + + + + + + 18 2 6 3 = + . Vậy (2) đúng (đpcm). 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm thực: ( ) ( ) 3 1 2 0 1 4 3.2 4 0 2 x x x x x mx + + + Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3.2 .2 4. 2 0 2 2 2 4.2 0 2 4.2 x x x x x x x x x x + ( ) 2 0 2 0 4 3x x x x + . Vì 0x = không thỏa mãn (1) nên ( ) ( ) 3 2 1 4 x m x + với ( ] 0; 4x . 2 Xét hàm số ( ) 3 2x f x x + = với ( ] 0; 4x , ta có ( ) ( ) 3 2 2 1 ' x f x x = , ( ) ' 0 1f x x= = . Bảng biến thiên của ( ) f x là: Từ bảng biến thiên suy ra ( ] ( ) 0;4 min 3 x f x = . Do đó hệ bất phơng trình có nghiệm (4) có nghiệm ( ] 0; 4x ( ] ( ) 0;4 min 3 x m f x m . Câu IV: 1. Cho khai triển ( ) 15 2 14 2 210 0 1 2 210 1 x x x a a x a x a x+ + + + = + + + + . Chứng minh rằng: 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = . Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 210 15 15 15 15 15 2 14 15 0 0 1 1 1 1 k k i k i i k x x x x x C a x + = = = + + + + = Suy ra hệ số của 15 x trong khai triển ( ) 15 15 1 x là ( ) 0 1 2 15 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15 1 k k i i k C a C a C a C a C a + = = + Mặt khác ( ) 15 15 15 225 1 1 15 x x x = + . Suy ra hệ số của 15 x trong khai triển ( ) 15 15 1 x là 15 . Vậy 0 1 2 15 15 15 15 14 15 13 15 0 15C a C a C a C a + = (đpcm). 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;2). Phơng trình đờng tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đờng cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC là ( ) ( ) 2 2 3 2 25x y + + = . Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Gọi D, E, F là trung điểm BC, CA, AB. A là chân đ- ờng cao hạ từ A xuống BC. K là giao điểm của EF và AA. G là trọng tâm tam giác ABC. I, J lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF và ABC. Ta có K là trung điểm của AA và 'EF AA nên A đối xứng với A qua EF. Suy ra 'AEF A EF = ã ã 'EA F EAF = Mặt khác AFDE là hình bình hành nên ã ã EDF EAF= . Suy ra ã ã 'EA F EDF= . Hơn nữa A và D nằm cùng phía đối với EF, suy ra D nằm trên đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Do đó phơng trình đờng tròn đi qua D, E, F là: ( ) ( ) 2 2 3 2 25x y + + = . Đờng tròn này có tâm ( ) 3; 2I , bán kính 5R = . Vì phép vị tự ( ) ; 2G V biến tam giác DEF thành tam giác ABC nên đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là ảnh của đờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF qua ( ) ; 2G V . Từ đó suy ra đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm J thỏa mãn ( ) 2 3;10GJ GI J= uuur uur và bán kính ' 2 10R R= = . Vậy phơng trình đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: ( ) ( ) 2 2 3 10 100x y+ + = . Câu V. 3 K G I D A' J E F A B C 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và ã 0 30ABC = . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.ABC biết khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và CB bằng 2 a . Giải: Gọi M, M lần lợt là trung điểm của AB và AB. H là hình chiếu của M trên CM. Khi đó: Vì tam giác ABC cân tại C nên CM AB , suy ra ' 'A B CM . Vì ABC.ABC là lăng trụ đứng nên ' ' 'MM A B . Vậy ( ) ' ' ' ' 'A B MM C A B MH . Từ đó suy ra ( ) ' 'MH A B C . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ' ; ' ' ; ' ' 2 a d AB CB d AB A B C d M A B C MH = = = = . Ta có BM=a, ã 0 30MBC = nên 3 a MC = . Suy ra 2 3 ABC a S = . Đặt AA=MM=h. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 4 'MM MC MH h a a + = + = h a = . Vậy 3 . ' ' ' 3 ABC A B C a V = . 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(-1;-2;-3) và B(-6;10;-3). Viết phơng trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng 15 và khoảng cách từ B đến (P) bằng 2. Giải: Gọi H, K lần lợt là hình chiếu của A, B trên (P). Ta có ( ) 5;12;0AB = uuur suy ra AB=13. Vì AH=15, BK=2 nên AB+BK=AH. Mặt khác AB BK AK AH+ (*) Do đó (*) phải xảy ra dấu =. Điều này xảy ra khi và chỉ khi A, B, K thẳng hàng (B nằm giữa A và K) và K trùng với H. Suy ra AB vuông góc với (P) tại K và B nằm giữa A và K. Ta có 2 88 154 ; ; 3 13 13 13 BK BK AB AB K AB = = ữ uuur uuur uuur Mặt phẳng (P) đi qua K và nhận AB uuur làm vectơ pháp tuyến nên (P) có pt là: ( ) 88 154 5 12 0 3 0 13 13 x y z + + + + = ữ ữ 5 12 176 0x y + = . Hết 4 30* a h a M' M B A A' C' B' C H P B A H K . Đáp án: Đề thi HSG Toán 12 năm học 2 012- 2013 - Trình bày lời giải: Lê Thanh Bình - Câu I: 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của ( ) 2 : 2 x C. x x x m m x x ữ ữ + ữ + + ữ ữ Â Ta có tan tan cot .tan 1 6 3 3 3 x x x x + = + + = ữ ữ ữ ữ . Suy ra (1) [ ] [ ] 3. tuyến là 8 y x y x = = + . Câu II: 1. Giải phơng trình: 3 3 sin .sin 3 cos .cos3 1 8 tan( ) tan( ) 6 3 x x x x x x + = + (1) Giải: Điều kiện ( ) ( ) sin .cos 0 6 6 sin 2 0 * 3 6 2 sin