KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HẢ I PHÒNG - BẢNG A Năm học 2010 - 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (2 điểm) 1. Rút gọn biểu thức sau 2. Tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn là số chính phương. Bài 2. (1 điểm) Giải phương trình Bài 3. (2 điểm) 1. Cho là hai nghiệm của phương trình Hãy tính giá trị của biểu thức 2. Hãy tìm một đa thức bậc bảy với hệ số nguyên nhận làm nghiệm. Bài 4. (1,5 điểm) Cho tam giác cân tại có trên cạnh lấy điểm sao cho trên cạnh lấy điểm sao cho Gọi là giao điểm của và Chứng minh rằng tam giác cân tại Bài 5. (2,5 điểm) Cho tứ giác với là giao điểm hai đường chéo. Gọi và lần lượt là trực tâm các tam giác và Chứng minh 1. 2. vuông góc với đoạn thẳng nối trực tâm hai tam giác và Bài 6. (1 điểm) Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng Bài 1: 1. Rút gọn biểu thức: 2. Tìm min: Bài 2: 1.Cho (P): ( là tham số) giao nhau tại 2 điểm và . Tìm k 2. Giải phương trình: Bài 3: 1. có . là tiếp điểm trên cạnh . . Chứng minh rằng a. b. 2. Bài 4:Giải hệ phương trình: Bài 5: Cho và . Chứng minh rằng câu 1: a) rút gọn biểu thức : với b) cho biểu thức với n là số nguyên dương. Chứng minh . Áp dụng không sử dụng máy tính . hãy tính và Câu 2: a) không sử dụng máy tính giải phương trình : b) giải hệ phương trình Câu 3: a) cho phương trình ( ẩn x ): có hai nghiệm . Tìm m sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất b) Biết hai phương trình và chỉ có một nghiệm chung. Chứng minh hai nghiệm còn lại là nghiệm của phương trình Câu 4: Cho tam giác ABC, dựng hai đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại D. Một đường thẳng qua D cắt đường tròn đường kính AB tại E và cắt đường tròn đường kính AC tại F sao cho D nằm giữa E và F ( E và F khác A,B,C) . Gọi M, N là các trung điểm tương ứng của BC và EF. Chứng minh rằng AN vuông góc với NM. Câu 5: Gọi AB là đường thẳng cho trước. Tìm tất cả các điểm C trong mặt phẳng chứa AB sao cho: trong tam giác ABC đường cao kẻ từ A và các đường trung tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau Câu 6: a) cho 2 số dương a và b . Chứng minh b) cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2010 - 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (2 điểm): Rút gọn biểu thức: Bài 2 (5 điểm): 1. Giải phương trình: 2. Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn Tìm y khi x lần lượt đạt được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài 3 (5 điểm): 1. Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng. 2. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC. 1. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường tròn (I), (K) lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C). Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CNA bằng 3 lần diện tích tam giác AMB. 2. Cho AB < AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = AB. Gọi điểm E là hình chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng DE. So sánh và với cosAEB. Bài 5 (2 điểm): Hai người chơi trò chơi như sau: Trong hộp có 311 viên bi, lần lượt từng người lấy k viên bi, với . Người thắng là người lấy được viên bi cuối cùng trong hộp bi đó. 1. Hỏi người thứ nhất hay người thứ hai thắng và chiến thuật chơi thế nào để thắng? 2. Cũng hỏi như câu trên, khi đề bài thay 311 viên bi bằng n viên bi, với n là số nguyên dương? Đề thi hsg tỉnh Bình Thuận 2010-2011 Bài 1(4 điểm) 1/ Hiệu các bình phương của hai số nguyên dương là 169. Tìm hai số đó. 2/ Cho một số gồm ba chữ số mà chữ số cuối lớn hơn chữ số đầu. Nếu viết chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta được một số mới lớn hơn số đã cho là 765. Tìm số đã cho. Bài 2(4 điểm ) 1/ Không sử dụng máy tính cầm tay hãy tính : 2/ giải hệ phương trình Bài 3(4 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 4.(6 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy M, vẽ đường tròn (O) đường kính MC. Đường tròn (O) cắt đường thẳng BM và cạnh BC lần lượt tại D và F, đường thẳng AD cắt (O) tại E. Chứng minh: 1/ Ba đường thẳng BA, FM và CD đồng quy 2/ M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF. 3/ CA là tia phân giác góc ECB Bài 5(2 điểm) Cho hình vuông ABCD, đường tròn đường kính BC và đường tròn tâm D bán kính CD cắt nhau tại điểm thứ hai là M, CM cắt AB tại E. Tính số đo góc AEC. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Tiền Giang 2011 Câu 1: (5,0 đ) 1/. Cho biểu thức: A = a. tìm a để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức A. b. Tìm các giá trị a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên 2/. Giải hệ phương trình: Câu 2: (5,0 đ) 1. Cho phương trình: (1) (m là tham số). Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. 2. Cho phương trình: a. Tìm m để phương trình có hai nghiệm không âm (Giả sử ) b. Khi đó, tìm m để nghiệm dương đạt giá trị lớn nhất Câu 3: (2,0 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: Câu 4 : (2,0 đ) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R và có hai đường chéo vuông góc với nhau. Tính theo R Câu 5 : (6,0 đ) Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, người ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho (k là số dương cho trước) 1. Cho diện tích tam giác ABC bằng S. Tính diện tích tam giác MNP theo k và s. 2. Tam giác ABC cố định. Hãy chọn số k sao cho tam giác MNP có diện tích nhỏ nhất. Đề thi hsg tỉnh Quảng Ninh năm 2010-2011 Bài 1: Rút gọn biểu thức Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm , chứng minh rằng tam giác là tam giác vuông. Bài 3: Với n là một số tự nhiên tùy ý đặt chứng minh M chia hết cho 6 Bài 4: Giải phương trình Bài 5: Cho đường tròn tâm (0;R) với hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, dây AE cắt CD tại M, dây DE cắt AB tại N 1: tam giác CEM là tam giác gì , vì sao ? 2: chứng minh rằng tứ giác BNMC nội tiếp một đường tròn Bài 6: Cho phương trình có nghiệm ( ẩn x), chứng minh rằng phương trình cũng có nghiệm ( ẩn x) Hết Đề thi tuyển sinh vào lớp 10; THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh; năm học 2010-2011 Bài 1. Cho biểu thức với . với a)Rút gọn M b)Tính M khi Bài 2. a)Giải hệ phương trình b) cho phương trình 1. chứng minh x=-1 là 1 nghiệm của pt (1) 2. tìm m để (1) có 3 nghiệm phân biệt Bài 3: cho nhọn nội tiếp . Kẻ AH vuông góc với BC và BE vuông góc với đường kính AD a) chứng minh b) qua trung điểm K của AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. chứng minh cân Bài 4. cho thỏa mãn . Chứng minh Bài 5. cho hình chữ nhật ABCD có AB=5 cm , BC=2cm. Trên cạnh AB lấy I bất kì . Kẻ IM vuông góc với AC và IN vuông góc với DC . Tìm vị trị I để AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Đề thi thử vào khối THPT chuyên, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội vòng 2 đợt 1 (20/03/2011) Đề vòng 2 Câu I: 1. Giải phương trình: 2. Giải hệ : Câu II: 1. Chứng minh rằng không tồn tại nguyên dương thoả mãn: 2. Giải phương trình: Câu III: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O), độ dài đường cao là . M thuộc cung nhỏ BC. Gọi là hình chiếu của M trên BC, CA, AB. 1. Chứng minh rằng có giá trị không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC 2. Chứng minh: Câu IV Giả sử A là tập hợp gồm 9 số nguyên dương mà tích của chúng có không quá 3 ước nguyên tố. Chứng minh rằng trong A tồn tại 2 số có tích là bình phương đúng. Shyran's: Ta có thể tổng quát bài IV như sau (cm không khác bài toán riêng là mấy: Dirichlet): Với là số nguyên lớn hơn 1 xét số nguyên dương mà tích của chúng có không quá ước nguyên tố. Khi đó trong các số đã cho tồn tại số có tích là luỹ thừa bậc của một số nguyên Khi n lẻ ta có thể thay điều kiện các số đã cho nguyên dương bằng điều kiện các số đã cho là các số nguyên. Bài IV ứng với Ðề: Đề thi hsg Bình Phước năm 08-09 Bài 1: Cho Phương trình với m là tham số. Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm dương Bài 2: cho a;b;c là các số dương, chứng minh rằng: Bài 3: giải phương trình Bài 4: Viết các số tự nhiên từ 1 đến 10 thành 2 hàng ngang theo thứ tự tùy ý, tiếp đó cộng mỗi số đã viết với số thứ tự chỉ vị trị mà nó đứng. Chứng minh rằng tồn tại hai tổng mà chữ số tận cùng của các tổng đó là như nhau. Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường tròn (O) đường kính AB cắt đường tròn (O') đường kính AC tại D; M là điểm chính giữa của cung nhỏ DC ; AM cắt (O) tại N, cắt BC tại E 1. Chứng minh O,N,O' thẳng hàng 2. Gọi I là trung điểm MN, chứng minh góc OIO' vuông Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 08-09 Bài 1: chứng minh rằng là bình phương của số nguyên bài 2: a) giải phương trình b) xác định các số nguyên a;b biết rằng đường thằng y=ax+b ( a khác 0) đi qua điểm A(4;3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là 1 số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là số nguyên dương bài 3: cho pt ẩn x: (m là tham số ) a) chứng minh pt (1) luôn có nghiệm với mọi m b) trong trường hợp pt (1) có 2 nghiệm phân biệt tìm m để bài 4 : cho và . hãy tìm min của bt Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 08-09 [...]... điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu Đỏ, Xanh, Vàng Chứng minh rằng tồn tại hai điểm được tô bởi cùng một màu mà độ dài Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thi n Huế lớp 9 năm học 2010-2011 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TINH LỚP 9 THCS-NĂM 2010-2011 (TINH THỪA THI N HÚÊ) Bài 1:Cho phương trình a) Xác định m để phương trình trên có 4nghiệm phân biệt b) KHi phương trình trên có 4 nghiệm phân... rằng một tứ giác lồi có tổng hai cạnh đối và một đường chéo không lớn hơn Tính độ dài đường chéo còn lại theo S Đề thi học sinh giỏi lớp 9 tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2010-2011 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian chép đề Câu I Giải phương trình Câu II Tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình Câu III Cho tam giác nhọn... tổng các bán kính đường tròn ( I ) và ( J ) không đổi và đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định Bài 5: (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: biết Đề thi vào lớp Toán- Tin Ams 199 6 Câu 1Viết các số liên tiếp ta được số: CMR A chia hết cho 199 8 Câu 2 Giải PT: Câu 3 Cho các số dương a,b,c có tổng =2, CMR: Câu 4 Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn tâm O Phân giác góc A cắt đường tròn (O) ở D Một... thẳng // với các cạnh thành 12 hình vuông đơn vị 1 CMR với 7 điểm bất kì nằm trong hcn ta có thể chọn ra 2 điểm khoảng cách ko vượt quá CM kêt luận vẫn đúng khi số điểm là 6 và ko còn đúng khi số điểm là 5 NĂM HỌC 199 5- 199 6 Bài 1.(2đ).Với giá trị nào của a thì hệ sau đây vô nghiệm? ax+y=2 x+ay=a+1 Bài 2.(2đ).Cho đa thức a,b là hai số nguyên khác nhau c/m:Đa thức không thể phân tích thành hai đa thức bậc... nguyên dương bài 3: cho pt ẩn x: (m là tham số ) a) chứng minh pt (1) luôn có nghiệm với mọi m b) trong trường hợp pt (1) có 2 nghiệm phân biệt tìm m để bài 4 : cho và hãy tìm min của bt Đề thi chọn HSG tỉnh Hà Tĩnh (lớp 9 ) năm 2006-2007 Bài 1: Cho phương trình : a) TÌm a để có ngiệm b) Giải phương trình với giá trị của a tìm dc ở trên Bài 2: Cho 3 số a,b,c khác 0 t/m : Chứng minh rằng 3 số có ít nhất... minh là đường phân giác của góc d/ Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với Câu 6: Cho tam giác tiếp thỏa hệ thức : có tại luôn luôn đi qua một điểm cố định và có Hãy định dạng tam giác Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán- Tin Ams 2006-2007 Bài 1: là bán kính đường tròn ngoại Cho PT ẩn x: 1 Giải PT với 2 Tìm a để (*) có nhiều hơn 2 nghiệm dương phân biệt Bài 2: Cho dãy các số tự nhiên được xác định... trên tiếp tuyến của tại b)Giả sử ,hãy tính thể tích hình nón do quay tam giác vuông vòng quanh cạnh góc vuông Bài 5:Tính tổng: Bài 6 (1d):Cho tam giác có 3 góc đều nhọn.CMR: một Đề thi vào lớp 10 trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TP.HCM Năm học 2004-2005 Ngày thứ I: Bài 1: Cho phương trình : a) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt b) Định m sao cho tích của 4 nghiệm trên đạt giá trị lớn nhật... f(1) = 10 ; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính : Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn : T“m max và min của biểu thức : Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn : và Chứng minh rằng : Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên Bắc Giang Năm học :2006-2007 Thời gian:150 phút -Bài 1 : (2,0 điểm) Cho phương trình : a) Tìm để phương trình đã cho có nghiệm b) Tìm để phương trình đã cho có... trong dãy và các số âm thỏa mãn điều kiện rằng tổng của chúng với một số số liền sau chúng là một số dương Cmr nếu trong dãy có một số dương thì tổng của tất cả các số bị đánh dấu là một số dương Đề thi tuyển sinh lớp 10 SPHN 2010 Vòng 2 Câu 1: 1) Giả sử và là 2 số dương khác nhau và thỏa mãn 2) Cmr: là một số nguyên dương Cmr: Câu 2: Giả sử bốn số thực đôi một khác nhau và thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện... thuộc (I) ) Dựng hình bình hành AMDN a, CM tứ jác BMDN nội tiếp b, CM 3 điểm A,B,C thẳng hàng c, So sánh độ dài BD & R+r Đề thi vào lớp 10 trường THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG-Nam Định 2003-2004 Câu 1:Cho phương trình : ( có ẩn số là x) a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm b/ Gọi là hai nghiệm của phương trình Tìm m để có Câu 2: a/ cho và Chứng minh : b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HẢ I PHÒNG - BẢNG A Năm học 2010 - 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. (2 điểm) 1. Rút gọn. giá trị lớn nhất của biểu thức : KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI Năm học 2010 - 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1 (2 điểm): Rút gọn biểu thức: Bài. O,N,O' thẳng hàng 2. Gọi I là trung điểm MN, chứng minh góc OIO' vuông Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh 08- 09 Bài 1: chứng minh rằng là bình phương của số nguyên bài 2: a) giải phương