ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ QUANG CHẤN DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ QUANG CHẤN DAO ĐỘNG PHI TUYẾN CỦA VỎ THOẢI FGM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành : Cơ học vật rắn Mã số : 604421 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Vũ Đỗ Long Hà Nội - 2013 Lời cảm ơn Lời đầu tiên trong bản luận văn này, cho phép em được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Vũ Đỗ Long, người đã tận tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Sau Đại học, Khoa Toán – Cơ – Tin học, các thầy giáo, cô giáo đã dạy dỗ em trong những năm học vừa qua, đặc biệt là các thầy cô trong bộ môn Cơ học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Xin trân trọng cảm ơn các Thầy giáo, cô giáo trong Hội đồng chấm luận văn đã có những ý kiến đóng góp quý báu để Luận văn của em hoàn thiện hơn. Và trong quá trình công tác tới đây, những ý kiến đóng góp thiết thực đó sẽ giúp em thực hiện tốt nhiệm vụ được giao. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm tới gia đình, người thân, bạn bè và đồng nghiệp, những người luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự chỉ dẫn, góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các bạn. Tác giả luận văn Đỗ Quang Chấn Mục lục Mở đầu Error! Bookmark not defined. Chương 1: Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) 4 1.1. Vật liệu Composite cơ tính biến thiên (FGM) 4 1.2. Các hệ thức và phương trình bản của vỏ thoải có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật 5 1.3. Phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM trên nề đàn hồi 13 Chương 2: Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi Error! Bookmark not defined. 2.1. Dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi Error! Bookmark not defined. 2.1.1. Dao động tự do tuyến tính 24 2.1.2. Quan hệ giữa tần số và biên độ dao động tự do phi tuyến 2Error! Bookmark not defined. 2.1.3. Dao động cưỡng bức phi tuyến 2Error! Bookmark not defined. 2.2. Bài toán tĩnh Error! Bookmark not defined. Chương 3: Khảo sát số Error! Bookmark not defined.33 3.1. Tần số dao động riêng 33 3.2. Khảo sát dao động phi tuyến 34 3.2.1. So sánh dao động trên nền đàn hồi và không đàn hồi 34 3.2.2. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k Error! Bookmark not defined. 3.2.3. Ảnh hưởng của kích thước hình học 39 3.2.4. Ảnh hưởng của biên độ lực ngoài 41 3.2.5. Ảnh hưởng của tần số lực ngoài 43 3.2.6. Ảnh hưởng của hệ số nền 45 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Phụ lục 1 Mở đầu Vỏ là một trong những cấu trúc cơ bản nhất được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực của cuộc sống. Do vậy, việc tính toán ổn định, dao động, độ bền của vỏ ngày càng thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học nhằm đảm bảo an toàn cho các thiết kế và xây dựng các kết cấu có dạng vỏ. Vật liệu cơ tính biến thiên có tên quốc tế là Functionally Graded Material, thường được viết tắt là FGM, được pha trộn giữa hai vật liệu khác nhau, tính chất cơ học biến thiên theo độ dày của kết cấu làm cho vật liệu FGM chịu được nhiệt độ cao và áp suất lớn. Những nghiên cứu đầu tiên về vật liệu này được đề xuất và công bố bởi một nhóm các nhà khoa học vật liệu ở Viện Sendai của Nhật Bản vào năm 1984 trong [1]. Hiện nay, với việc ứng dụng ngày càng nhiều và đa dạng loại vật liệu này đặc biệt là trong các môi trường chịu nhiệt độ cao như lò phản ứng hạt nhân, công nghiệp vũ trụ, nên các vấn đề khác nhau về ứng xử tĩnh và động của các kết cấu tấm và vỏ FGM ngày càng được quan tâm một cách sâu sắc. Về động lực học, ngoài những kết quả đối với tấm, đã có những nghiên cứu về các đặc trưng dao động và ứng xử vồng động của vỏ FGM, tuy nhiên những nghiên cứu về động lực học của vỏ thoải FGM vẫn còn khá ít và cần được tiếp tục nghiên cứu. Gần đây, các tác giả Dao Huy Bich và Vu Do Long [2] đã nghiên cứu vấn đề động lực phi tuyến của vỏ thoải không hoàn hảo FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật với bốn cạnh tựa bản lề. Đã thiết lập các phương trình chuyển động, phương trình ổn định và phương trình tương thích của vỏ FGM khi tính đến yếu tố phi tuyến hình học. Giải các phương trình phi tuyến đó bằng phương pháp tích phân số Newmark. Đã nhận được đáp ứng phi tuyến tức thời của panel trụ và panel cầu dưới tác dụng của lực 2 kích động ngoài. Tiếp đó, các tác giả Đào Văn Dũng và Vũ Hoài Nam [3] đã nghiên cứu, khảo sát các tính chất động lực phi tuyến của vỏ thoải không hoàn hảo FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trong trường hợp hai cạnh không đặt tải là ngàm, hai cạnh chịu tải nén phẳng tựa bản lề. Đã tìm nghiệm giải tích gần đúng và sử dụng phương pháp Bubnov-Galerkin xây dựng phương trình vi phân cấp hai phi tuyến của độ võng và giải phương trình bằng phương pháp Runge-Kutta. Đã nhận được đáp ứng phi tuyến tức thời, tần số dao động riêng của panel trụ và panel cầu. Các tác giả Dao Huy Bich, Le Kha Hoa [4] đã nghiên cứu vấn đề dao động phi tuyến của vỏ cầu thoải bằng vật liệu cơ tính biên thiên. Đã thiết lập các phương trình xác định có tính đến yếu tố phi tuyến hình học trong tất cả các hệ thức biến dạng – chuyển vị. Từ các phương trình chuyển động và phương trình tương thích biến dạng nhận được hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến đối với hàm ứng suất và độ võng của vỏ. Nhờ vào phương pháp Galerkin và phương pháp Runge – Kutta, đã nhận được biểu thức hiển của tần số riêng cơ bản và đáp ứng động lực phi tuyến của vỏ. Tuy nhiên, tính toán về động lực phi tuyến của vỏ thoải FGM cần được nghiên cứu phát triển. Trong luận văn trình bày bài toán dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trên nền đàn hồi. Mục đích là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán động lực vỏ thoải FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trên nền đàn hồi theo mô hình Winkler. Từ hệ phương trình cân bằng đã sử dụng hàm ứng suất và phương pháp Bubnov- Galerkin xây dựng phương trình dao động phi tuyến của vỏ. Lời giải số tìm được bằng tích phân số Runge – Kutta, đã xem xét quan hệ tần số - biên độ dao động và ảnh hưởng của kích thước vỏ, độ cứng của nền, biên độ ngoại lực đến độ võng và tần số dao động tự do của vỏ. Các kết quả được so sánh với các kết quả đã biết. 3 Luận văn gồm có ba phần chính: Chương 1. Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu cơ tính biến thiên (FGM). Chương 2. Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi. Chương 3. Khảo sát số Trong suốt thời gian thực hiện luận văn tác giả luôn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Vũ Đỗ Long, người đã luôn động viên, đưa ra những nhận xét, góp ý quý giá cũng như tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn này. 4 Chương 1 Hệ các phương trình cơ bản của vỏ thoải bằng vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) 1.1. Vật liệu composite cơ tính biến thiên (FGM) Vật liệu composite là vật liệu tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu khác nhau tạo nên vật liệu mới có tính năng hơn hẳn các vật liệu ban đầu khi những vật liệu này làm việc riêng rẽ như khối lượng nhẹ, độ bền cao, khả năng chống nhiệt, chống ăn mòn hóa học tốt,… Gần đây, một số vật liệu composite có chức năng thông minh đã ra đời nhằm đáp ứng nhu cầu thực tiễn trong việc chế tạo các cấu kiện hiện đại và thỏa mãn các điều kiện làm việc khắc nghiệt như các vật liệu gia cường sợi, vật liệu cơ tính biến thiên,… Vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) được tạo thành từ hai vật liệu thành phần là gốm (Ceramic) và kim loại (Metal) trong đó tỷ lệ thể tích của các thành phần biến đổi trơn và liên tục từ mặt này sang mặt kia của kết cấu. Vật liệu FGM khắc phục được những nhược điểm của các vật liệu truyền thống và composite thông thường về khả năng chống chịu các tác dụng cơ, lý, hóa. Do có modul đàn hồi E cao và các hệ số truyền nhiệt K, hệ số dãn nở nhiệt α thấp của gốm làm cho vật liệu FGM có độ cứng cao và khả năng kháng nhiệt tốt. Hơn nữa, thành phần kim loại làm cho vật liệu FGM trở nên mềm dẻo hơn và khắc phục được sự rạn nứt do tính giòn của vật liệu gốm khi chịu nhiệt độ cao. Xem bảng 1.1 Bảng 1.1. Tính chất của một số vật liệu thành phần của vật liệu FGM Vật liệu Các tính chất E(N/m 2 ) ν α ( 0 C -1 ) K(W/mK) ρ(kg/m 3 ) Kim loại: Nhôm (Al) 70.0x10 9 0.30 23.0x10 -6 204 2707 Ti-6Al-4V 105.7x10 9 0.298 6.9x10 -6 18.1 4429 Gốm : Zirconia (ZnO 2 ) 151x10 9 0.30 10.0x10 -6 2.09 3000 Nhôm oxit 320x10 9 0.26 7.2x10 -6 10.4 3750 5 Cơ tính của vật liệu biến thiên theo chiều dày của vỏ theo quy luật phân bố lũy thừa phụ thuộc vào thể tích thành phần của các vật liệu tham gia tạo thành vật liệu vỏ.     =     +     =   +        2+  2   ρ    = ρ    + ρ    = ρ  +  ρ  ρ   2+  2   (1.1)     = =  trong đó:   ,   lần lượt là phân tố thể tích của gốm và kim loại được chọn; k là chỉ số đặc trưng tỷ phần thể tích, k là đại lượng không âm; h là độ dày của vỏ. Do sự liên tục về đặc trưng vật liệu mà FGM làm giảm ứng suất tập trung, ứng suất nhiệt, ứng suất dư và sự bong tách giữa các lớp thường có trong vật liệu composite truyền thống. 1.2. Các hệ thức và phương trình cơ bản của vỏ thoải có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật Xét vỏ thoải có độ dày h và trên mặt phẳng chiếu nằm ngang có dạng hình chữ nhật với các cạnh tương ứng là a và b. Mặt trung bình của vỏ trong trường hợp chung phải được xác định trong hệ tọa độ cong. Tuy nhiên, đối với vỏ thoải có độ nâng mặt giữa của vỏ nhỏ hơn nhiều so với kích thước a, b nên người ta có thể dùng hệ tọa độ Đề các để thay cho hệ tọa độ cong (hình 1). [...]... trình (1.17) và (1.18) là hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến với hàm ứng suất 𝜑 và độ võng 𝑤 cho phép ta giải bài toán động lực phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi Phần tiếp theo ta sẽ giải quyết bài toán cụ thể khi vỏ chịu lực khác nhau và điều kiện biên 16 Chương 2 Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi Giả sử vỏ tựa bản lề, chịu tải phân bố đều 𝑞0 = 𝑞0 𝑡 vuông góc... 𝑚2 𝑛2 𝜆4 + 4 2 9𝑎 𝑚 + 𝑛2 𝜆2 − 𝜋2 𝑕 𝑎2 2 2 𝑓 − 𝑓0 𝑓 2 − 𝑓02 + 2𝑓 𝑓 − 𝑓0 𝑓 𝑓 2 − 𝑓02 𝑚2 𝑟0 + 𝑛2 𝜆2 𝑝0 − 𝐾 𝑓 + 16𝑕 16𝑞0 𝑘1 𝑟0 + 𝑘2 𝑝0 = 2 𝜋 2 𝑚𝑛 𝜋 𝑚𝑛 (2.11) 2.1 Dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi Xem xét phân tích phi tuyến của vỏ thoải không hoàn hảo trong trường hợp chịu tải trọng phân bố đều 𝑞0 𝑡 = 𝑄 sin Ω𝑡 và 𝑟0 = 𝑝0 = 0 thì phương trình (2.11) có dạng: 23 2 𝐸1 𝐸3 − 𝐸2 𝐸1 1 − 𝜈 2 𝑑2... được hệ thức giữa tần số và biên độ dao động tự do phi tuyến như sau: 𝜔= 𝑀1 + 3𝑀3 2 𝐴 4 2.22 1+ 3𝑀3 2 𝐴 4𝑀1 2.23 Kết hợp với (2.16), dẫn tới tỷ số 𝜔 = 𝜔0 2.1.3 Dao động cưỡng bức phi tuyến Phương trình dao động theo (2.14) là 𝑓 𝑡 + 𝑀1 𝑓 − 𝑀2 𝑓 2 + 𝑀3 𝑓 3 = 𝑄 𝑡 (2.24) Đây là phương trình vi phân phi tuyến cấp hai phức tạp, do đó không thể tìm được nghiệm giải tích của phương trình này Ở đây, ta giải... 2.1.1 Dao động tự do tuyến tính Trường hợp này, từ (2.14) ta có phương trình: 𝑓 𝑡 + 𝑀1 𝑓 = 0 24 (2.15) Ta tìm ngiệm của phương trình này dưới dạng 𝑓 𝑡 = 𝑒 𝜆𝑡 Thay vào (2.15) thu được phương trình đặc trưng: 𝜆2 + 𝑀1 = 0 Nên 𝜆 = 𝑖 𝑀1 Do đó nghiệm tổng quát của (2.15) có dạng 𝑓 𝑡 = 𝐶1 cos 𝑀1 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑀1 𝑡 Suy ra, tần số dao động riêng của vỏ là: 𝜔0 = 𝑀1 (2.16) 2.1.2 Quan hệ giữa tần số và biên độ dao động. .. 4𝑘 + 4 𝑕3 1.3 Phương trình chuyển động của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi Phương trình chuyển động theo lý thuyết Love là: 𝜕𝑁1 𝜕𝑁12 𝜕2 𝑢 + = 𝜌1 2 , 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑡 𝜕𝑁12 𝜕𝑁2 𝜕2 𝑣 + = 𝜌1 2 , 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑡 𝜕 2 𝑀1 𝜕 2 𝑀12 𝜕 2 𝑀2 𝜕 +2 + + 2 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕 + 𝜕𝑥2 𝑁12 𝑁1 𝜕𝑤 𝜕𝑤 + 𝑁12 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕2 𝑤 + 𝑁2 + 𝑘1 𝑁1 + 𝑘2 𝑁2 + 𝑞0 – 𝐾𝑤 = 𝜌1 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑡 1.12 trong đó: 𝐾 là hệ số nền 𝑕 2 𝜌1 = 𝜌(𝑧) 𝑧𝑑𝑧 = − 𝜌𝑚 + 𝑕... phi tuyến Phương trình dao động tự do phi tuyến theo (2.14) có dạng 𝑓 𝑡 + 𝑀1 𝑓 − 𝑀2 𝑓 2 + 𝑀3 𝑓 3 = 0 (2.17) Ta tìm ngiệm của phương trình này dưới dạng 𝑓 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 (2.18) Thay biểu thức (2.18) vào phương trình (2.17) với 𝑓 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 𝑓 𝑡 = −𝐴𝜔2 cos 𝜔𝑡 (2.19) 𝑓 2 (𝑡) = A2 cos 2 (𝜔𝑡) 𝑓 3 (𝑡) = A3 cos 3 (𝜔𝑡) ta có −𝐴𝜔2 cos 𝜔𝑡 +𝑀1 𝐴 cos 𝜔𝑡 − 𝑀2 A2 cos2 𝜔𝑡 + 𝑀3 A3 cos3 𝜔𝑡 = 0 (2.20) Nhân hai vế của. .. 𝑞0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 1.16 Nếu tính đến độ không hoàn hảo ban đầu của vỏ (ký hiệu là 𝑤0 = 𝑤0 𝑥1 , 𝑥2 ) và giả thiết 𝑤0 là nhỏ Theo xấp xỉ Volmir, từ (1.15) và (1.16) ta có hệ phương trình cho vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi như sau: 1 𝜕 2 𝑤 − 𝑤0 𝜕 2 𝑤 − 𝑤0 ΔΔ𝜑 = −𝑘1 – 𝑘2 + 2 2 𝐸1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 − 𝜕 2 𝑤0 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 𝜕2 𝑤 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 𝜕2 𝑤 𝜕2 𝑤 + 2 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕 2 𝑤0 𝜕 2 𝑤0 + 2 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 1.17 2 𝜕2 𝑤 𝐸1 𝐸3 − 𝐸2 𝜕2 𝜑 𝜕2 𝑤... 𝑓= ∆ 27 −𝐵 + 2 3 + −𝐵 − ∆ 27 2 = 0,000121491(𝑚) Vậy 𝑤 𝑚𝑎𝑥 = 𝑓 = 0,000121491(𝑚) 29 Theo [7] trường hợp bản chữ nhật khớp bản lề trên chu tuyến, chịu tải trọng phân bố đều 𝑞 = 𝑞0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, vuông góc với mặt bản đặt trên nền đàn hồi theo mô hình Winkler, phương trình cân bằng của bản có dạng: 𝐷∇4 𝑤 + 𝐾𝑤 = 𝑞0 (2.31) sử dụng phương pháp chuỗi lượng giác kép tìm độ võng dưới dạng 𝑚𝜋 𝑥 1 𝑤 = ∑∑𝐴 𝑚𝑛 sin 𝑎 sin...x2 q0 r0 b O x1 p0 a z Hình 1: Vỏ thoải có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật Như vậy, trong trường hợp này sẽ có: Quan hệ phi tuyến chuyển vị biến dạng theo lý thuyết độ võng lớn và biến dạng nhỏ của Von Karman là: 0 𝜀1 𝜕𝑢 1 𝜕𝑤 = − 𝑘1 𝑤 + 𝜕𝑥1 2 𝜕𝑥1 2 , 𝜕2 𝑤 𝜒1 = 2 𝜕𝑥1 0 𝜀2 𝜕𝑣 1 𝜕𝑤 = − 𝑘2 𝑤 + 𝜕𝑥2 2 𝜕𝑥2 2 , (1.2) 𝜕2... , 𝛾12 là các thành phần biến dạng ở mặt trung bình của vỏ Đại lượng 𝑢, 𝑣, 𝑤 là chuyển vị theo phương 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑧 tương ứng 6 Phương trình tương thích biến dạng trong trường hợp này có dạng: 0 0 0 𝜕 2 𝜀1 𝜕 2 𝜀2 𝜕 2 𝛾12 = 2 + 2 − 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 𝜕2 𝑤 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 2 𝜕2 𝑤 𝜕2 𝑤 𝜕2 𝑤 𝜕2 𝑤 + 2 2 − 𝑘1 2 – 𝑘2 2 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑥1 1.3 với 𝑘1 , 𝑘2 là các độ cong của vỏ Biến dạng tại điểm cách mặt trung bình một khoảng . thoải FGM trên nề đàn hồi 13 Chương 2: Phân tích động lực phi tuyến của vỏ thoải trên nền đàn hồi Error! Bookmark not defined. 2.1. Dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM trên nền đàn hồi Error!. trình bày bài toán dao động phi tuyến của vỏ thoải FGM có mặt phẳng chiếu hình chữ nhật trên nền đàn hồi. Mục đích là tìm nghiệm giải tích gần đúng của bài toán động lực vỏ thoải FGM có mặt phẳng. not defined.33 3.1. Tần số dao động riêng 33 3.2. Khảo sát dao động phi tuyến 34 3.2.1. So sánh dao động trên nền đàn hồi và không đàn hồi 34 3.2.2. Ảnh hưởng của chỉ số mũ k Error! Bookmark