ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THU PHƯƠNG BÀI TOÁN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THU PHƯƠNG BÀI TOÁN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - 2011 Mục lục Mở đầu 3 1 Lý thuyết toán tử khả nghịch phải 5 1.1 Toán tử khả nghịch phải trên không gian tuyến tính . . . . 5 1.2 Toán tử ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Công thức Taylor và Taylor - Gontcharov . . . . . . . . . . 26 2 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải 29 2.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải 29 2.2 Một số bài toán nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Bài toán nội suy Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Bài toán nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.4 Bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Lý thuyết toán tử khả nghịch trái 57 3.1 Toán tử khả nghịch trái trên không gian tuyến tính . . . . . 57 3.2 Toán tử đối ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Công thức Taylor và Taylor - Gontcharov . . . . . . . . . . 66 4 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch trái 68 4.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch trái 68 4.2 Một số bài toán nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.1 Bài toán nội suy Hermit . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.2 Bài toán nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 70 1 4.2.3 Bài toán nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.2.4 Bài toán nội suy Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 2 Mở đầu Các bài toán nội suy và những vấn đề liên quan đến nó là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học. Nó có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic toán khu vực và quốc tế, Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến nội suy rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rất khó. Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lượng và tính giá trị cực trị của các tổng, tích cũng như các bài toán xác định giới hạn của một biểu thức cho trước thường có mối quan hệ ít nhiều đến các bài toán nội suy tương ứng. Các bài toán nội suy là một chuyên đề chọn lọc cần thiết cho giáo viên và học sinh hệ chuyên toán bậc trung học phổ thông, sinh viên năm đầu đại học và cũng là chuyên đề cần nâng cao cho bậc sau đại học. Vì những lí do đó nên tôi quyết định chọn đề tài " Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải và trái và áp dụng". Đây là một đề tài thiết thực, giúp tôi có thể hiểu sâu sắc hơn về lí thuyết nội suy cũng như có ý nghĩa thực tiễn đối với việc giảng dạy của tôi sau này. Luận văn gồm 4 chương Chương 1. Lý thuyết toán tử khả nghịch phải. Chương 2. Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải. Chương 3. Lý thuyết toán tử khả nghịch trái. 3 Chương 4. Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch trái. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu đã tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng vô cùng biết ơn các thầy, cô giáo, đặc biệt là các thầy, cô giáo trong Tổ Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã dạy dỗ, đóng góp về mặt nội dung cũng như cách thức trình bày luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Hoàng Thu Phương 4 Chương 1 Lý thuyết toán tử khả nghịch phải Cho X là không gian vectơ trên trường vô hướng F (F = R hoặc F = C). Kí hiệu L(X) là tập tất cả các toán tử tuyến tính có miền xác định và miền giá trị chứa trong X, tức là L(X) = {A : domA → ImA là toán tử tuyến tính, domA ⊂ X, ImA ⊂ X} và L 0 (X) = {A ∈ L(X) : domA = X} . 1.1 Toán tử khả nghịch phải trên không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1. Toán tử D ∈ L(X) được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại toán tử R ∈ L 0 (X) sao cho RX ⊂ domD và DR = I, trong đó I là toán tử đồng nhất. Khi đó toán tử R được gọi là một nghịch đảo phải cuả D. Kí hiệu R(X) là tập tất cả các toán tử khả nghịch phải thuộc L(X) và R D là tập tất cả các nghịch đảo phải của D. Khi đó, ta có R D = {R ∈ L 0 (X) : DR = I} . Định nghĩa 1.2. Toán tử ∆ ∈ L(X) được gọi là khả nghịch trái nếu tồn tại toán tử L ∈ L(X) sao cho ∆X ⊂ domL và L∆ = I. 5 Kí hiệu Λ(X) là tập các toán tử khả nghịch trái và L ∆ là tập tất cả khả nghịch trái của ∆ ∈ Λ(X). Định nghĩa 1.3. Toán tử ∆ ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu nó vừa khả nghịch phải và vừa khả nghịch trái. Ví dụ 1.1. Cho X = C(a, b) là tập hợp các hàm liên tục trên (a, b) với a, b ∈ R. Rõ ràng X là một không gian tuyến tính. Định nghĩa toán tử D như sau D = d dt , t ∈ (a, b). Rõ ràng domD = C 1 (a, b) ⊂ X. Toán tử D khả nghịch phải nhưng không khả nghịch. Thật vậy, xét toán tử (Rx)(t) = t  t 0 x(s)ds, trong đó t 0 cố định bất kì thuộc (a, b), x ∈ C(a, b). Ta thấy R là một toán tử tuyến tính và (Rx)(t) ∈ C(a, b) với x(t) ∈ C(a, b). Do đó có thể đặt y(t) = (Rx)(t) = t  t 0 x(s)ds, y(t) ∈ C(a, b). Ta có (DRx)(t) = d dt y(t) = x(t), suy ra DR = I, hay D là toán tử khả nghịch phải. Tuy nhiên toán tử D không khả nghịch. Thật vậy, vẫn với toán tử R xác định như trên ta có (RDx)(t) = t  t 0 dx(s) = x(t) − x(t 0 ). 6 Nếu x(t 0 ) = 0 thì (RDx)(t) = x(t), hay RD = I. Như vậy toán tử D khả nghịch phải nhưng không khả nghịch. Ví dụ 1.2. Giả sử X là tập hợp tất cả các dãy vô hạn x = {x n } = {x 0 , x 1 , x 2 , . . . }, với x n ∈ F (trong đó F = R hoặc F = C ). Tập X được trang bị hai phép toán: Phép cộng x + y = {x n + y n }, với x = {x n } ∈ X, y = {y n } ∈ X. Phép nhân vô hướng λx = {λx n }, với x = {x n } ∈ X, λ ∈ F. Tập X được xác định như trên là một không gian tuyến tính. Trên X, định nghĩa toán tử D như sau Dx = {x n+1 − x n } = {x 1 − x 0 , x 2 − x 1 , . . . }, với x = {x n } ∈ X. Ta thấy rằng domD = X. Toán tử D khả nghịch phải nhưng không khả nghịch. Thật vậy, xét toán tử Rx = {0, x 0 , x 0 + x 1 , x 0 + x 1 + x 2 , . . . } = {y n : y 0 = 0, y n = n−1  k=0 x k , n = 1, 2, . . . } = y. Ta thấy R ∈ L 0 (X). Ta có DRx = Dy = {y n+1 − y n } = {x n } = x. 7 hay DR = I. Điều đó có nghĩa là D là toán tử khả nghịch phải và R ∈ R D . Tuy nhiên toán tử D không khả nghịch. Thật vậy, ta có RDx = R{x n+1 − x n } = R{x 1 − x 0 , x 2 − x 1 , . . . } = {0, x 1 − x 0 , x 2 − x 0 , . . . } = x. Do đó RD = I, hay toán tử D không khả nghịch. Tính chất 1.1. Nếu dim ker D = 0 thì D không khả nghịch trái. Chứng minh. Ta có θ ∈ ker D và dim{θ} = 0. Mà dim ker D = 0, suy ra ker D = {θ}. Do đó ∃z ∈ ker D, z = θ mà Dz = θ. Suy ra ∀L ∈ L(X) ta có LDz = Lθ = θ = z. Do đó LD = I, ∀L ∈ L(X). Vậy D không khả nghịch trái. Mệnh đề 1.1. [5] Nếu D ∈ R(X) và R ∈ R D , thì D n R n = I, ∀n ∈ N ∗ . (1.1) Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề trên bằng phương pháp qui nạp toán học. Với n = 1, ta có DR = I, (1.1) đúng. Giả sử (1.1) đúng với n = k, k ∈ N ∗ , tức là D k R k = I, ta sẽ chứng minh (1.1) cũng đúng khi n = k + 1, tức là D k+1 R k+1 = I. 8 [...]... Nếu D ∈ R(X) và F là một toán tử ban đầu của D tương ứng với khả nghịch phải R ∈ RD , thì N −1 N Rk zk : z0 , , zN −1 ∈ ker D} ker D = {z = k=1 28 Chương 2 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải 2.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải Trong phần này chúng ta giả sử dim ker D = 0, tức là D không khả nghịch trái Bài toán 1 Cho N là một số nguyên dương và Ii , i =... toán tử ban đầu không tầm thường chỉ tồn tại đối với các toán tử khả nghịch phải mà không khả nghịch Định nghĩa 1.5 i Cho D ∈ R(X) Toán tử ban đầu F0 của D có tính chất c(R) với R ∈ RD , nếu tồn tại các đại lượng vô hướng ck sao cho F0 R k z = ck z, ∀z ∈ ker D, k ∈ N k! (coi c0 = 1 vì theo hệ quả 1.1 thì F0 z = z ) Khi đó chúng ta viết F0 ∈ c(R) ii Với D ∈ R(X), kí hiệu FD là tập tất cả các toán tử ban... 1.2 Toán tử ban đầu Trong phần này chúng ta giả sử dim ker D = 0, tức là D không khả nghịch trái Định nghĩa 1.4 i Giả sử D ∈ R(X), dim ker D > 0, R ∈ RD F ∈ L0 (X) được gọi là toán tử ban đầu của D tương ứng với một nghịch đảo phải R của D nếu F 2 = F, F X = ker D và ∃R ∈ RD : F R = 0 ii Các phần tử có dạng z0 + Rz1 + · · · + Rm zm , trong đó zk ∈ ker D được gọi là các D−đa thức Từ định nghĩa của toán. .. Taylor - Gontcharov Từ định lí 1.2 chúng ta thấy rằng họ RD = {Rβ }β∈Γ tất cả các nghịch đảo phải của một toán tử D ∈ R(X) xác định duy nhất một họ FD = {Fβ }β∈Γ các toán tử ban đầu của D và Fβ = I − Rβ D trên domD, ∀β ∈ Γ (1.8) Định lý 1.5 (Công thức Taylor - Gontcharov)[5] Giả sử D ∈ R(X) và FD = {Fβ }β∈Γ là họ các toán tử ban đầu của D tương ứng với RD = {Rβ }β∈Γ Giả sử {βn } ⊂ Γ là một dãy bất kì... suy ra F (domD) ⊂ ker D Với z ∈ ker D, ta có F z = (I − RD)z = z − RDz = z Vậy ImF = ker D Ta có F R = (I − RD)R = R − RDR = R − R = 0 Vậy F là một toán tử ban đầu của D tương ứng với R Hệ quả 1.3 Nếu T ∈ L(X) khả nghịch thì không tồn tại toán tử ban đầu khác không Chứng minh Giả sử S ∈ L(X) là nghịch đảo của T Khi đó ta có T S = I và ST = I Theo định lí 1.2 ta có F = I − ST = I − I = 0 Như vậy toán. .. Theo định lí 1.3 thì tập các toán tử ban đầu FD của D có tính chất (c) Tiếp theo ta đi xác định tập các toán tử ban đầu của D Gọi F là toán tử ban đầu của D tương ứng với R Theo định lí 1.2 với x ∈ domD ta có (F x)(t) = (I − RD)x(t) = x(t) − (RDx)(t) t x, (s)ds = x(t) − t0 = x(t) − x(t) + x(t0 ) = x(t0 ) Giả sử Ri ∈ RD , t x(s)ds, ti ∈ (a, b) (Ri x)(t) = ti và Fi là toán tử ban đầu của D tương ứng với... 2, } k=0 Gọi F là toán tử ban đầu của D tương ứng với R Theo định lí 1.2 ta có F x = (I − RD)x = x − RDx = {xn } − R{xn+1 − xn } = {zn , zn = x0 } với x = {xn } ∈ X Giả sử Ri là toán tử bất kì thuộc RD và Fi là toán tử ban đầu của D tương ứng với Ri Theo ví dụ 1.4 ta có n−1 Ri x = {yn : y0 = ci , yn = xk + ci , ci ∈ F, n = 1, 2, } k=0 Theo định lí 1.2 ta có Fi = I − Ri D, suy ra Fi x = (I − Ri... Điều kiện cần Giả sử F là toán tử ban đầu của D tương ứng với R ∈ RD và x là phần tử cố định bất kì thuộc domD Ta có (I − RD)x = x − RDx Mà D(x − RDx) = Dx − D(RDx) = Dx − (DR)Dx = Dx − Dx vì DR = I = 0 Suy ra x − RDx ∈ ker D Theo hệ quả 1.1, ta có x − RDx = F (x − RDx) = F x − F (RDx) = F x − (F R)Dx = F x vì F R = 0 hay F x = (I − RD)x Do x là phần tử bất kì thuộc domD, suy ra F = I − RD trên domD... ≡ 1, ta có (Rx)(t) = ds = t 0 Suy ra (F0 Rx)(t) = F0 (Rx(t)) = F0 (t) = 0 Vậy F0 ∈ FD 2 Đối với toán tử F1 , ta có F1 = F1 Với mọi x(t) ∈ X ta có 1 d1 (DF1 x)(t) = D( (x(1) + x(−1))) = (x(1) + x(−1)) = 0 2 dt 2 Suy ra ImF1 ⊂ ker D 1 Với x(t) = c suy ra (F1 x)(t) = F1 (c) = (c + c) = c = x(t) 2 Suy ra ker D ⊂ ImF1 Do đó ker D = ImF1 Với x(t) = 1 ta có (Rx)(t) = t, suy ra 1 (F1 Rx)(t) = F1 (R(x(t)))... định theo (1.5) ˆ ˆ Chứng minh Điều kiện cần Giả sử det G = 0, suy ra rank G = N Theo bổ đề 2.1 hệ các toán tử vectơ {Fi (kij ) }j=1,2, ,n;j=1,2, ,ri độc lập tuyến tính trên ker D Do đó với mọi chỉ số m cố định (0 ≤ m ≤ N − 1), hệ các toán tử {Fikij Rm }i=1,2, ,m;j=1, ,ri độc lập tuyến tính trên ker D Điều này có nghĩa là hệ các toán tử {Fikij } có dạng (2.9) là độc lập tuyến tính trên N −1 Rm (ker . thuyết toán tử khả nghịch phải. Chương 2. Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải. Chương 3. Lý thuyết toán tử khả nghịch trái. 3 Chương 4. Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch trái. Tôi. Taylor và Taylor - Gontcharov . . . . . . . . . . 26 2 Bài toán nội suy sinh bởi toán tử khả nghịch phải 29 2.1 Bài toán nội suy tổng quát sinh bởi toán tử khả nghịch phải 29 2.2 Một số bài toán nội. GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HOÀNG THU PHƯƠNG BÀI TOÁN NỘI SUY SINH BỞI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ TRÁI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG