ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————– * ————— NGUYỄN HỒNG QN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ————— * —————- NGUYỄN HỒNG QN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN DẠNG TUYẾN TÍNH, TỰA TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Mở đầu phương trình sai phân 1.1 Các khái niệm 1.2 Phương trình sai phân vơ hướng 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số 1.2.2 Một số ví dụ 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính Rk 1.3.1 Nghiệm tổng quát hệ 1.3.2 Nghiệm tổng quát hệ không 1.3.3 Các véc tơ riêng công thức nghiệm 4 8 10 12 14 15 17 19 19 22 22 25 Định tính vài mơ hình dạng sai phân 3.1 Mơ hình Cobweb (về thị trường mặt hàng) 3.2 Tăng trưởng GDP (Gross domestic product) 3.3 Mơ hình quần thể cạnh tranh loài 31 32 35 39 Tính ổn định phương trình sai phân 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân 2.2 Phương pháp bất đẳng thức nghiên cứu định tính 2.2.1 Bất đẳng thức Halanay 2.2.2 Ứng dụng vào việc nghiên cứu tính ổn định Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Mở đầu Chúng ta làm việc nhiều với trình thời gian liên tục Trên loại thời gian có lý thuyết phương trình vi phân Trong luận văn này, kiến thức trình bày nghiên cứu thực loại thang thời gian khác, gọi thang thời gian rời rạc Thực tế cho thấy phần lớn liệu thường lưu giữ xử lý với trình thời gian Tập thời điểm rời rạc đơn giản, phổ biến tiện lợi sử dụng tập thời điểm cách độ dài h > 0, thời điểm t0 I := {t0 + kh : k = 0, ±1, ±2, } Tập thời điểm quy tập số nguyên: Z := {0, ±1, ±2, }, ta gọi đơn giản lưới số nguyên Tương tự khái niệm đạo hàm q trình thời gian liên tục ta có khái niệm sai phân cấp khái niệm phương trình sai phân Mục tiêu luận văn tìm cách giải số lớp phương trình đơn giản, nghiên cứu định tính phương trình sai phân cuối tìm vài ứng dụng thơng qua mơ hình cụ thể thực tiễn Luận văn cấu trúc thành ba chương sau: Chương trình bày kiến thức tổng quan phương trình sai phân vài ứng dụng trực tiếp Chương trình bày tính ổn định phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định Chương Trình bày ứng dụng lý thuyết định tính phương trình sai phân để nghiên cứu định tính vài mơ hình dạng sai phân Luận văn thực khoa Toán - Tin - Cơ học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp tác giả muốn bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng tới PGS hướng dẫn tận tình cho tác giả suốt q trình hồn thành luận văn này, từ việc định hình luận văn, hướng dẫn đọc tài liệu, đầu ví dụ, kiểm tra kiến thức khuyến khích động viên tác giả gặp khó khăn nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Sau Đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn lãnh đạo thầy cô, đồng nghiệp trường MỞ ĐẦU THPT Mai Châu, Huyện Mai Châu, Tỉnh Hịa Bình - nơi tác giả cơng tác gia đình, người thân bạn bè tạo điều kiện, động viên, khuyến khích tác giả q trình học tập hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng luận văn khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Tác giả kính mong rộng lượng tha thứ xin tiếp thu ý kiến góp ý từ Thầy, Cơ Bạn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Nguyễn Hoàng Quân Bảng ký hiệu ρ(A) - tập giải tốn tử tuyến tính A σ (A) - tập phổ tốn tử tuyến tính A Φ(n, m) - ma trận hệ K - lớp hàm Hahn R+ := [0; +∞) Z+ := {0; 1; 2; 3; } Z := {0; ±1; ±2; ±3; } Rd Không gian véc tơ d- chiều Z(n0 ) := {n0 ; n0 + 1; n0 + 2; } Z(m; n) := {m; m + 1; m + 2; : n} ∆k x(n) - sai phân bậc k hàm x(.) n Chương Mở đầu phương trình sai phân 1.1 Các khái niệm Lưới Z sai phân Cho điểm t0 ∈ R khoảng cách h : < h < +∞ Tập I = {t0 + nh : n = 0, ±1, ±2, } gọi lưới thời gian rời rạc cách với bước lưới h > 0, thời điểm t0 ∈ R Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t0 = coi h = đơn vị thời gian tập I trở thành tập số nguyên Z I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, } := Z Trường hợp riêng: với n = 0, 1, 2, ta có tập số nguyên không âm: I = {0, 1, 2, 3, } := Z+ Kí hiệu: R+ = [0, +∞) Z(n0 ) = {n0 , n0 + 1, n0 + 2, , } (n0 ∈ Z) Z(m, n) = {m, m + 1, m + 2, , n − 1, n} (m < n) Chương Mở đầu phương trình sai phân Giả sử f ánh xạ từ Z vào Rk (hoặc vào không gian tổng quát X): f :Z → Rk Z n → f (n) ∈ Rk Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (·) hàm số xác định tập Z, nhận giá trị Rk Khi đó, hiệu sau gọi sai phân cấp hàm f (·) n ∈ Z: ∆ f (n) := f (n + 1) − f (n) (1.1) ∆2 f (n) := ∆(∆ f (n)) = f (n + 2) − f (n + 1) + f (n) (1.2) Sai phân cấp hai Sai phân cấp k k k k−1 ∆ f (n) := ∆(∆ i f (n)) = ∑ Ck (−1)i f (n + k − i) (1.3) i=0 Tính chất thường dùng sai phân cấp: (xem [3,6]): ∆C = (C số)  0 k xm = ∆ đa thức bậc m − k k > m k ≤ m ∆k [αx(n) + β y(n)] = α∆k x(n) + β ∆k y(n) (α, β ∈ R) N ∑ ∆k x(n) = ∆k−1x(N + 1) − ∆k−1x(M) n=M Khái niệm phương trình sai phân Trong luận văn, ký hiệu x(n) xn hiểu Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x(n), n ∈ Z hàm số chưa biết cần tìm từ đẳng thức n, x(n) sai phân cấp đến cấp k x(n), thiết phải có mặt ∆k x(n), đẳng thức gọi phương trình sai phân cấp k Nói cách khác, phương trình sai phân cấp k với hàm cần tìm x(n) đẳng thức có dạng sau: F(n, ∆k x(n), ∆k−1 x(n), , ∆x(n), x(n)) = (1.4) Chương Mở đầu phương trình sai phân Từ Định nghĩa 1.1.1 sai phân cấp, ta thấy phương trình sai phân cấp k đưa dạng tương đương sau (không khuyết x(n) x(n + k)): G(n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = (1.5) Trường hợp riêng sau (1.5) gọi phương trình sai phân cấp k dạng tắc x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)) (1.6) Phương trình sai phân cấp k có dạng sau gọi phương trình tuyến tính cấp k x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(n + 1) + a0 (n)x(n) = f (n) (1.7) Nếu f (n) ≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(n + 1) + a0 (n)x(n) = (1.8) Nếu hệ số (n) khơng phụ thuộc vào n ta có phương trình sai phân tuyến tính hệ số x(n + k) + ak−1 x(n + k − 1) + · · · + a1 x(n + 1) + a0 x(n) = Trong trường hợp phương trình tuyến tính hệ số x ∈ R1 , phương trình nghiệm phức sau gọi phương trình đặc trưng phương trình trên: λ k + ak−1 λ k−1 + · · · + a1 λ + a0 = (λ ∈ C) Một vài tính chất phương trình sai phân tuyến tính Với phương trình sai phân (các cấp) ta có khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm riêng tương tự với phương trình vi phân Nghiệm tổng quát phương trình sai phân cấp k chứa k số tuỳ ý C1 ,C2 , ,Ck : x(n) = φ (n,C1 ,C2 , ,Ck ) 0 Với giá trị cụ thể C1 ,C2 , ,Ck , ta có nghiệm riêng 0 x(n) = φ (n,C1 ,C2 , ,Ck ) 0 Thông thường nghiệm riêng xác định theo điều kiện ban đầu: Cho trước (n0 , x1 , x2 , , xk ), nói nghiệm x(.) phương trình sai phân cấp k nói thỏa mãn điều kiện ban đầu 0 (n0 , x1 , x2 , , xk ) nếu: 0 x(n0 ) = x1 , x(n0 − 1) = x2 , , x(n0 − k + 1) = xk Một vài tính chất tập nghiệm: Chương Mở đầu phương trình sai phân i) Nếu x1 (n) x2 (n) nghiệm riêng (1.8) với số α, β có x(n) = αx1 (n) + β x2 (n) nghiệm riêng (1.8) ii) Nếu x1 (n), x2 (n), , xk (n) nghiệm riêng độc lập tuyến tính (1.8) nghiệm tổng qt (1.8) x(n) = C1 x1 (n) +C2 x2 (n) + · · · +Ck xk (n) với C1 ,C2 , ,Ck số tùy ý ˆ iii) Nếu x(n) nghiệm tổng quát (1.8) x(n) nghiệm riêng (1.7) x(n) = x(n) + x(n) nghiệm tổng quát (1.7) ˆ iv) Nguyên lý chồng chất nghiệm: Giả sử x1 (n), x2 (n) tương ứng nghiệm riêng hai phương trình: x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(k + 1) + a0 (n)x(k) = f1 (n), x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(n + 1) + a0 (n)x(n) = f2 (n), x(n) = x1 (n) + x2 (n) nghiệm riêng phương trình x(n + k) + ak−1 (n)x(n + k − 1) + · · · + a1 (n)x(n + 1) + a0 (n)x(n) = f1 (n) + f2 (n) Phương trình sai phân phi tuyến dạng tắc Một phương trình sai phân tuyến tính cấp k dạng tổng qt khơng đưa dạng tắc dạng tuyến tính nói chung ta chưa có cách giải Mọi phương trình dạng tắc giải cách truy hồi Phương trình sai phân tắc cấp k (1.5) (trong khơng gian X đó) thường viết theo cách sau x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1)) Định lý tồn nghiệm phương trình khơng địi hỏi tính liên tục, tính Lipschitz hàm f Điều đơn giản so với trường hợp phương trình vi 0 phân Với điều kiện ban đầu x(n0 ) = x1 ; x(n0 − 1) = x2 ; ; x(n0 − k + 1) = xk , việc tìm cơng thức nghiệm riêng, thỏa mãn điều kiện ban đầu thực cách truy hồi liên tiếp n0 sau: x(n0 + 1) = f (n0 , x(n0 ), x(n0 − 1), , x(n0 − k + 1)) 0 = f (n0 , x1 , x2 , , xk ) x(n0 + 2) = f (n0 + 1, x(n0 + 1), x(n0 ), , x(n0 − k + 2)) 0 0 = f (n0 + 1, f (n0 , x1 , x2 , , xk ), x2 , , xk−1 ) x(n0 + 3) = f (n0 + 2, x(n0 + 2), x(n0 + 1), , x(n0 − k + 3)) = Chương Tính ổn định phương trình sai phân Chứng minh Ta có, nghiệm {xn } (2.23) viết theo cơng thức: n−1 n xn = x0 (1 − p) + ∑ (1 − p)n−i−1 f (i, xi , xi−h1 , , xi−hr ), n ∈ Z0 i=0 Lấy chuẩn hai vế với lưu ý p < 1: n−1 xn ≤ x0 (1 − p)n + ∑ (1 − p)n−i−1 f (i, xi , xi−h1 , , xi−hr ) , n ∈ Z0 i=0 Sử dụng (2.24), ta được: n−1 r n xn ≤ x0 (1 − p) + ∑ ∑ (1 − p)n−i−1q j xi−h j , n ∈ Z0 i=0 j=0 Với n = −hr , , 0, đặt = xn với n ∈ Z+ , ta đặt n−1 r n = x0 (1 − p) + ∑ ∑ (1 − p)n−i−1q j xi−h j i=0 j=0 Khi đó, ta có xn ≤ , n ∈ Z−hr , đó, r r ∆vn = −pvn + ∑ qi xn−hi ≤ −pvn + ∑ qi vn−hi , n ∈ Z0 i=0 i=0 Vì vậy, sử dụng Định lý 2.2.2, ta được: n n xn ≤ ≤ ( max {vi })λ0 = ( max { xi })λ0 , −hr ≤i≤0 n ∈ Z0 −hr ≤i≤0 Ở λ0 chọn Định lý 2.2.2 Trong Định lý 2.23 2.25, số mũ trạng thái trễ xi hay xhi có mũ "1" Định lý sau kết cho trường hợp số mũ không thiết r Định lý 2.2.6 Giả sử tồn p, αi , βi ∈ R+ , hi ∈ Z+ , i = 1, , r, ∑ αi = i=0 r ∏ βi < p ≤ cho i=0 r f (n, xn , xn−h1 , , xn−hr ) ≤ ∏ βi xn−hi αi , i=0 với (n, xn , xn−h1 , , xn−hr ) ∈ Z0 × Rr+1 Khi đó, tồn λ0 ∈ (0; 1) cho n nghiệm {xn } phương trình (2.23) thỏa mãn xn ≤ ( max { xi })λ0 , ∀n ∈ Z0 −hr ≤i≤0 Số λ0 chọn Định lý 2.2.2 29 Chương Tính ổn định phương trình sai phân Hệ 2.2.2 Nếu giả thiết Định lý 2.2.6 có thêm giả thiết f (n, 0, 0, , 0) = 0, ∀n ∈ Z+ phương trình (2.23) có nghiệm cân tầm thường ổn định tiệm cận Chứng minh Giả thiết bổ sung đảm bảo cho phương trình có nghiệm tầm thường xn ≡ Bất đẳng thức n xn ≤ ( max { xi })λ0 , ∀n ∈ Z0 −hr ≤i≤0 cho thấy nghiệm x = ổn định tiệm cận Sau ta xét ví dụ tham số nhận giá trị cụ thể Ví dụ 2.2.4 Xét phương trình sau R3 (x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 ) I I 3 5 ∆x(n + 1) = − x(n) + x1 (n − 1) sin x2 (n − 2) + x2 (n − 1) sin x3 (n − 2) (2.25) I toán tử đồng R3 Phương trình có nghiệm cân tầm thường x ≡ Ta thấy I I 3 5 (2.25) ⇔ x(n + 1) = x(n) + x1 (n − 1) sin x2 (n − 2) + x2 (n − 1) sin x3 (n − 2) Lấy chuẩn hai vế, ta x(n + 1) = ≤ 1 1 x(n) + |x1 (n − 1)| | sin x2 (n − 2)| + |x2 (n − 1)| | sin x3 (n − 2)| 1 x(n) + x(n − 1) ⇔ ∆ x(n) ≤ − x(n − 2) 1 x(n) + x(n − 1) 3 + x(n − 1) x(n − 2) + x(n − 2) x(n − 1) 5 x(n − 2) Ta có + = 20 < = p Cho nên, theo Định lý 2.2.6 ta có x(n) → n → +∞ Nghiệm cân x ≡ phương trình (2.25) ổn định tiệm cận Tóm tắt chương Chương trình bày khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân số phương pháp nghiên cứu tính ổn định Phần lý thuyết chủ yếu chương nội dung đọc hiểu hai báo [4] [7] Đóng góp tác giả gồm việc tự chứng minh Bổ đề 2.2.1 (các tài liệu sử dụng, không chứng minh) việc cụ thể hóa số kết cho trường hợp phải có dạng tuyến tính qua ví dụ 30 Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân Chương trình bày ứng dụng lý thuyết định tính phương trình sai phân để nghiên cứu tính chất vài đối tượng cụ thể thực tiễn mơ hình Cobweb kinh tế, mơ hình tăng trưởng GDP (tổng sản phẩm quốc nội) mơ hình quần thể cạnh tranh lồi Phần trình bày nhằm minh hoạ cho vai trò quan trọng lý thuyết định tính phương trình sai phân thực tiễn sống Các mơ hình giáo viên hướng dẫn lập mơ hình, tác giả thực việc nghiên cứu định tính theo gợi ý Ngồi tính ổn định, ta đề cập đến tính dao động nghiệm phương trình sai phân Đầu tiên, giới thiệu vắn tắt khái niệm này: Định nghĩa: Nghiệm y = y(n) phương trình vô hướng y(n + 1) = f (n, y(n)) (3.1) gọi dao động quanh điểm cân y0 ≡ phương trình với n0 ∈ Z+ tồn n1 ∈ Z+ n1 > n0 cho y(n0 )y(n1 ) < Ta xét trường hợp riêng, phương trình sai phân có dạng tuyến tính dừng: y(n + k + 1) + Ak y(n + k) + + A1 y(n + 1) + A0 y(n) = f (n) (3.2) Phương trình tương ứng: y(n + k + 1) + Ak y(n + k) + + A1 y(n + 1) + A0 y(n) = 31 (3.3) Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân Phương trình đặc trưng chúng là: λ k+1 + Ak λ k + + A1 λ + A0 = (3.4) Ta có kết sau: Mệnh đề 3.2.1 Giả sử y∗ điểm cân (3.2) Khi đó, nghiệm y = y(k) (3.2) dao động quanh y∗ z = z(k) = y(k)−y∗ nghiệm (3.3) dao động quanh z∗ ≡ Mệnh đề 3.2.2 y(n) → y∗ y(n) → y(n) dao động quanh y∗ y(n) dao động quanh ¯ Mệnh đề 3.2.3 Mọi nghiệm phương trình (3.3) dao động quanh phương trình đặc trưng (3.4) khơng có nghiệm dương Sau ta xem xét phương trình sai phân mơ tả ba mơ hình cụ thể: 3.1 Mơ hình Cobweb (về thị trường mặt hàng) Có mặt hàng lưu hành thị trường Gọi S(n) lượng cung thời kỳ n, n ∈ Z+ D(n) lượng cầu thời kỳ n, n ∈ Z+ P(n) giá hai bên thỏa thuận thời kỳ n S0 = S(0) lượng cung ban đầu D0 = D(0) lượng cầu ban đầu Để phép tốn có nghĩa, ta quy ước đại lượng nói quy thành tiền Mặt khác, ta giả thiết: D0 > S0 (để tránh tượng khủng hoảng thừa) Bên cầu cần mua lượng mD đơn vị hàng hóa (với giá P(n)) Bên cung cần bán lượng mS đơn vị hàng hóa (với giá P(n)) Mua lượng hàng, lượng cầu thời kỳ n (có giảm đi): D(n) = D0 − mD P(n) Bán lượng hàng, lượng cung thời kỳ sau (cần bổ sung thêm): S(n + 1) = S0 + mS P(n) Trạng thái lý tưởng thời kỳ tiếp theo, lượng cung lượng cầu, nghĩa là: D(n + 1) = S(n + 1) ⇔ D0 − mD P(n + 1) = S(n + 1) = S0 + mS P(n) ⇔ P(n + 1) = − mS D0 − S0 P(n) + mD mD 32 Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân mS Ký hiệu lại A = − mD ; B = D0 −S0 mD , đó, phương trình đưa dạng tắc: P(n + 1) = AP(n) + B Giá cân P∗ xác định P∗ = AP∗ + B ⇔ P∗ = B 1−A Ta xét định tính nghiệm cân ba trường hợp: −1 < A < 0, A = −1 A < −1 mS (Vì A = − mD < nên ta không xét trường hợp A ≥ 0) a) Khi −1 < A < , ta có: n−1 n n−i−1 P(n) = A P(0) + B ∑ A i=0 An − B = A P(0) + −→ = p∗ A−1 1−A n Vậy điểm cân P∗ ổn định tiệm cận (Hình H.2) b) Khi A = −1, ta có phương trình P(n + 1) = −P(n) + B Lấy điều kiện ban đầu: P(0) = P0 , ta có: P(1) = −P(0) + B P(2) = −P(1) + B = −(−P0 + B) + B = P0 33 (n −→ ∞) Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân P(3) = −P0 + B P(n) = P0 n = 2k −P0 + B n = 2k + Giá dao động quanh giá trị cân P∗ = B (hình H.3) c) Khi A < −1, ta có P(n) = An P0 + An − B; A−1 P(n) → +∞ Điểm cân P∗ không ổn định (H.4) 34 n → ∞ Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân 3.2 Tăng trưởng GDP (Gross domestic product) Lưu ý ta xét trình với biến thời gian n ∈ Z+ Đơn vị thời gian tính theo năm Ta cần số ký hiệu: Y(n) - tổng thu nhập quốc nội (của quốc gia) năm thứ n G (n) - tổng chi dùng phủ năm thứ n C(n) - tổng chi dùng dân sinh (các hộ gia đình, doanh nghiệp tư nhân) năm thứ n I(n) - tổng đầu tư năm thứ n Trong năm tổng GDP quốc gia lấy tổng ba đại lượng: tổng chi dùng Chính phủ, tổng chi dùng dân sinh tổng đầu tư: Y (n) = C(n) + I(n) + G(n) (3.5) Giả sử hàm chi dùng dân sinh dự kiến sở từ tổng thu nhập năm trước liền kề: C(n) = αY (n − 1), (3.6) đó, α ∈ (0; 1), gọi xu hướng chi dùng cận biên Giả sử lượng đầu tư tỷ lệ với độ tăng lên hàm chi dùng dân sinh: I(n) = β [C(n) −C(n − 1)] (3.7) số β > gọi số quan hệ Giả sử lượng chi dùng Chính phủ γ > 0, khơng thay đổi theo năm G(n) = γ Từ (3.5), (3.6), (3.7) ta có phương trình Y (n + 2) − α(1 + β )Y (n + 1) + αβY (n) = γ (3.8) Phương trình đặc trưng (3.8) là: λ − α(1 + β )λ + αβ = (3.9) Điểm cân (3.8) là: y∗ = γ 1−α Gọi y(n) nghiệm tổng quát phương trình Y (n + 2) − α(1 + β )Y (n + 1) + αβY (n) = 35 (3.10) Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân Do y∗ nghiệm riêng phương trình khơng (3.8) nên nghiệm tổng qt (3.8) là: y(n) = y(n) + y∗ (3.11) Mọi nghiệm phương trình khơng (3.8) dần tới y∗ nghiệm phương trình đặc trưng (3.9) nằm phía hình trịn đơn vị phức, nghĩa max{|λ1 |, |λ2 |} < 1, λi ∈ σ (A) γ Định lý 3.2.1 Điểm cân y∗ = 1−α phương trình (3.8) (hay mơ hình GDP) y(n + 2) − α(1 + β )y(n + 1) + αβ y(n) = γ ổn định tiệm cận   α Chứng minh Điều kiện đủ Xét phương trình: y(n + 2) − α(1 + β )y(n + 1) + αβ y(n) = γ Phương trình nhất: y(n + 2) − α(1 + β )y(n + 1) + αβ y(n) = Phương trình đặc trưng: P(λ ) = λ − α(1 + β )λ + αβ = P( 1+λ 1+λ 1+λ )=( ) − α(1 + β )( ) + αβ = 0, 1−λ 1−λ 1−λ (λ = 1) ⇔ (1 + λ )2 − α(1 + β )(1 − λ ) + αβ (1 − λ )2 = ⇔ (1 + α + 2αβ )λ + 2(1 − αβ )λ + − α = Ở a0 = + α + 2αβ ; a1 = 2(1 − αβ ); a2 = − α Ma trận Hurwitz H= 2(1 − αβ ) 1+α + 2αβ 1−α Điều kiện đủ để nghiệm y∗ = hệ (3.10) ổn định tiệm cận   a0 >  D >0   D2 > hay   − αβ >  hay 1−α >   + α + 2αβ > 36   αβ <  α Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân Điều kiện cần Để hệ số đơn giản, trước tiên ta xét cho phương trình tổng quát, sau thay hệ số cụ thể mơ hình Xét phương trình tổng quát: x(n + 2) + p1 x(n + 1) + p2 x(n) = (3.12) λ + p1 λ + p2 = (3.13) Phương trình đặc trưng : Giả sử nghiệm x∗ ≡ (3.12) ổn định tiệm cận Ta xét hai khả sau: ∆ = p2 − 4p2 ≥ ∆ = p2 − 4p2 < 1 a) Khi ∆ = p2 − 4p2 ≥ 0, phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực λ1,2 = −p1 ± p2 − 4p2 Do hệ ổn định tiệm cận nên ta có: |λ1 | < |λ0 | < Ta thấy, λ1 < ⇔ p1 − < Đầu tiên, ta xét bất đẳng thức bên phải: p2 − 4p2 < p1 + (3.14) p2 − 4p2 < p1 + p1 + > ⇔ p1 − 4p2 < p1 − 4p1 + λ < ⇔ p1 − < − p1 > −2 + p1 + p2 > p2 − 4p2 < p1 + p2 − 4p2 ⇔ 2− p1 > Ta xét bất đẳng thức bên trái (3.16): p1 −2 < − p1 < ⇔ + p1 − 4p1 > p1 − 4p2 (3.15) (3.16) p2 − 4p2 p1 < − p1 + p2 > Do p1 < nên bất đẳng thức bên trái (3.14) hiển nhiên thỏa mãn Từ (3.15), p1 > −2 nên bất đẳng thức bên phải (3.16) hiển nhiên thỏa mãn Kết hợp (3.15)và (3.17), ta được:   −2 < p1 <  + p1 + p2 >   − p1 + p2 > p2 Lại p2 ≥ 4p2 nên p2 ≤ 41 < 1 Tóm lại, hệ (3.12) ổn định tiệm cận ta có: 37 Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân   p2 <  + p1 + p2 >   − p1 + p2 > (3.17) Áp dụng (3.17) cho mơ hình: y(n + 2) − α(1 + β )y(n + 1) + αβ y(n) = 0, ta được: Nghiệm y(n) ≡ ổn định tiệm cận   αβ <  1−α >   + α + 2αβ > Trường hợp a) chứng minh xong b) Khi ∆ = p2 − 4p2 < 0, phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức (thực sự) liên hợp λ1,2 = 4p2 − p2 −p1 ± i Do hệ ổn định tiệm cận nên ta có: |λ1 | = |λ0 | < ⇔ < p2 < (3.18) Từ (3.19) (3.20) ta có hệ phương trình sau: < p2 < ⇔ p2 − 4p2 < < p2 < ⇔ p2 < 4p2 < p2 < √ √ −2 p2 < p1 < p2 Tiếp theo, ta ± p1 + p2 > √ √ Thật vậy, từ < p2 < p1 < p2 ta có −p1 > −2 p2 Do ta có  1 ± p + p > + p − 2√ p , 2 0 < p < √ Xét hàm f (x) = + x − x [0; 1] Ta có:   f (0) = 0,    f (1) = 1,     f (x) = − √ > ∀x ∈ (0; 1) x Vậy f (x) > 0, ∀x ∈ (0; 1) Áp dụng cho x = p2 , ta √ ± p1 + p2 > + p2 − p2 > 0, ∀p2 ∈ (0; 1) 38 (3.19) Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân Tóm lại, từ giả thiết nghiệm tầm thường y∗ = ổn định tiệm cận ta được:  0 < p < 1,    + p1 + p2 > 0,    1 − p + p > (3.20) Điều kiện cần chứng minh tương tự cho trường hợp trước 3.3 Mơ hình quần thể cạnh tranh lồi Giả sử ta có mơi trường khép kín ta quan tâm đến loài Gọi u(k) lượng cá thể lồi thời kỳ k (k ∈ Z ) Xét phương trình u(k + 1) = au(k) , + bu(k) (3.21) Trong đó: a số gọi số tăng trưởng riêng loài (a > 0), b > gọi hệ số cạnh tranh lồi Khi b = phương trình tăng trưởng khơng có cạnh tranh Đó phương trình tăng trưởng Malthus u(k + 1) = au(k) Với b > phương trình (3.21), bu(k) nhỏ (so với 1) mẫu số gần với 1, phương trình tăng trưởng gần với phương trình Mathus (có hình tựa mũ) Khi bu(k) gần so với 1thì thành phần đáng kể, làm cho đà tăng trưởng bị chậm lại (mẫu số lớn 1) Bây ta xét tính chất mơ hình cho phương trình (3.21): ∗) Điểm cân bằng: Gọi u∗ điểm cân (3.21), ta xác định u∗ từ phương trình: u∗ = au∗ ⇔ + bu∗ u∗ = u∗ = a−1 b Khi a = hai điểm cân 0, lồi diệt vong nên ta không xét tiếp trạng thái tầm thường Ta quan tâm đến điểm cân u∗ = a−1 với b a = 1, b > Để điểm cân u∗ = a−1 > 0, ta giả thiết a > chứng minh trường b hợp này, nghiệm u∗ = a−1 > ổn định tiệm cận b 39 Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân ∗) Tiếp theo, cách đổi biến, ta đưa điểm cân u∗ điểm cân 0: Đặt z = u − u∗ , ta đưa phương trình (3.21) phương trình z(k + 1) = z(k) a + bz(k) (3.22) Khi đó, điểm cân u∗ = a−1 tương ứng với z∗ = phương trình (3.22) b ∗) Để xét tính ổn định tiệm cận nghiệm cân z∗ = phương trình (3.22), ta chọn hàm Lyapunov (ở lân cận đủ nhỏ z = 0): V (z) = ln2 (1 + z) Đầu tiên, ta tồn hàm a(.) ∈ K , b(.) ∈ K , cho: a( z ) ≤ V (z) ≤ b( z ), ∀z thuộc lân cận đủ nhỏ z = Ta thấy, z đủ bé cho: < 1+z < e e Khi đó: ln2 (1 + z) ≤ ln(1 + z) ≤ z Để chứng minh trường hợp lại ln(1 + z) < z ta xét hai trường hợp: ∗) Với z > 0, ta đặt f (z) = z − ln(1 + z), ta có: f (0) = 0; f (0) = 0; f (0) = > Vậy z = điểm cực tiểu hàm f (x) Do tồn lân cận đủ nhỏ z = cho ln có f (z) > (trừ điểm z = 0), hay ln(1 + z) < z, ∀z = 0, đủ nhỏ ∗) Với z < (đủ gần 0), đặt t = −z Khi đó, ln(1 + z) < z trở thành ln(1 − t) < t(t > đủ nhỏ) Do −t < đủ gần (sao cho ln(1 − t) < ), bất phương trình trở thành: −ln(1 − t) < t (t > 0) Xét f (t) = t + ln(1 − t), ta có: f (0) = 0; f (0) = 0; f (0) = > Vậy t = điểm cực tiểu địa phương ⇒ f (t) > hay t > ln(1 − t) hay z > ln(1 + z) z < đủ gần 40 Chương Định tính vài mơ hình dạng sai phân Tóm lại, ta có hàm b( z ) = z Tiếp theo, ta tìm hàm a(.) ∈ K cho a( z ) ≤ V (z) Xét lân cận U(0) = {1 − < z < e − 1} Khi đó, z ∈ U(0) ln(1 + z) < 1 Do đó: ln4 (1 + z) < ln2 (1 + z) = V (z) Nếu chọn a( z ) = z = z4 , ta có: a( z ) < V (z) Thật vậy, Xét hàm f (z) = z4 − ln2 (1 + z) Khi ta có : f (0) = 0; f (0) = 0; f (0) = −2 < Nên z = điểm cực đại Vậy tồn lân cận z = cho f (z) < f (0) = hay z4 −V (z) < ⇔ z4 < V (z) Vậy, chọn hàm a( z ) = z , a(.) ∈ K Cuối cùng, ta tồn lân cận z∗ = cho ∆V (z) < (tìm a, b để ∆V (z) < lân cận z∗ = ) Nhắc lại phương trình: z(k) a + bz(k) z z ∆V (z) = ln2 (1 + ) − ln2 (1 + ) a + bz z(k + 1) = Lưu ý ta xét cho a > Khi đó, tồn z đủ nhỏ để a + bz > Vì vâỵ, với z > ta có: z z z z a + bz > ⇒ < + a+bz < + ⇒ ln2 (1 + a+bz ) < ln2 (1 + ) hay ∆V < Còn với z < (đủ gần 0) ta có: z z z z a > ⇒ ∃z|a+bz > ⇒ > 1+ a+bz > 1+ ⇒ ln2 (1+ a+bz ) < ln2 (1+ ) hay ∆V < Vậy V (z) hàm Lyapunov thỏa mãn điều kiện Định lý 2.13 Nghiệm tầm thường z∗ = ổn định tiệm cận Từ đó, đổi biến ngược lại, ta có: u(k) ≡ u∗ = a−1 b ổn định tiệm cận Tóm tắt chương Chương trình bày ứng dụng lý thuyết định tính để khảo sát tính chất vài mơ hình sai phân thực tế Các mơ hình thầy hướng dẫn lập mơ hình tác giả thực việc xét tính ổn định, tính dao động 41 Kết luận Luận văn cho tổng quan ngắn gọn khái niệm phương trình sai phân, cách giải số lớp phương trình đơn giản R1 Rk Tiếp theo, luận văn trình bày vắn tắt kiến thức tính ổn định nghiệm phương trình sai phân sâu vào phương pháp bất đẳng thức nghiên cứu tính ổn định Cuối cùng, luận văn trình bày cách ứng dụng lý thuyết định tính (tính ổn định, tính dao động) vào việc phân tích số mơ hình thực tiễn 42 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục (2000) [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn Lý thuyết điều khiển Tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu Lê Đình Định, Phương trình sai phân số ứng dụng NXB ĐHQG Hà Nội (2001) [4] E Liz and J.B Ferreiro, A Note on the Global Stability of Generalized Difference Equations, Applied Mathematics Letters 15 (2002) 655-659 [5] Eduardo Liz, Stability of non-autonomous difference equations: simple ideas leading to useful results, Journal of Difference Equations and Applications , Vol 17, (2011), 203–220 [6] R.P Agarwal, Diference Equations and Inequalities, Theory Methods and Applications, Marcel Dekker New York (2000) [7] S Udpin and P Niamsup, New discrete type inequalities and global stability of nonlinear difference equations, Appl Math Letters (2009), 22, 856-859 [8] M.I Gil, Diference Equations in Normed Spaces, Stability and Oscilations, North Holland (2006) [9] N S Bay and V N Phat, Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, J Comp and Math with Appl., 45 (2003), 951-960 [10] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Adv in Nonl Var Ineq., Volume 13, 2, (2010), 5969 43 ... tính ổn định phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định Chương Trình bày ứng dụng lý thuyết định tính phương trình sai phân để nghiên cứu định tính vài mơ hình dạng sai phân Luận... Chương trình bày khái niệm sai phân, phương trình sai phân, cơng thức nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính R1 , R p mối liên hệ qua lại chúng 18 Chương Tính ổn định phương trình sai phân. .. đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp Rk hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp k R1 Bây ta xét đến công thức nghiệm phương trình sai phân tuyến tính Rk (hoặc khơng gian tổng quát X) Xét phương