LÝ THUYẾT THẾ TRONG ĐỊA VẬT LÝ LỜI GIỚI THIỆU Thế có chất năng, khác dấu trừ gắn liền với số trường lực dẫn suất từ mà ngành Địa vật lý thường gặp điện trường, từ trường, trọng trường Trái đất Dựa vào số liệu đo đạc trường lực mà người ta phân tích, giải đoán cấu trúc địa chất, tìm kiếm khoáng mỏ hữu ích tiềm ẩn đất Muốn giải đoán có hiệu qủa, cần phải nghiên cứu, nắm vững lý thuyết liên quan chặt chẽ tới trường lực đối tượng Đia chất gây trường lực Giáo trình “ Lý thuyết địa vật lý “ hữu kết qủa biên soạn lại, bổ sung, sửa chữa giáo trình trước : “ Lý thuyết trường địa vật lý “ tác giả biên soạn Tập I năm1997 Ban xuất “ Tủ sách Đại học Khoa học Tự nhiên TPHCM “ in thành sách 117 trang, sử dụng giảng dạy liên tục từ đến ( Tập II liên quan đến trường điện từ tác giả Nguyễn Thành Vấn biên soạn, hai người đứng tên bìa sách) Đối tượng sử dụng sinh viên năm thứ Khoa vật lý bắt đầu vào học giai đoạn ( chuyên ngành ), học viên cao học, nghiên cứu sinh Bộ môn Vật lý Trái đất thuộc Khoa vật lý, Trường ĐHKHTN TPHCM trường ĐHKHTN khác, ĐH Bách khoa, ĐH Mỏ địa chất, tài liệu tham khảo cho cán quan nghiên cứu, sản xuất có chuyên ngành liên quan đến Địa vật lý Để sử dụng giáo trình thuận lợi, hiệu quả, người đọc cần nắm kiến thức trước môn học toán cao cấp, phương trình toán lý, phương trình tích phân, học Nội dung, chương trình giảng dạy Nhà trường xếp môn học sở chuyên ngành Đia vật lý với số tiết học lý thuyết tập 45 tiết ( học trình ) Mặc dù tác giả cố gắng hoàn thành giáo trình thời gian ngắn, nhằm hưởng ứng chủ trương phát triển, đa dạng hóa nâng cao chất lượng giáo trình Đại học Quốc gia Tp.HCM cách chuyển đổi sang giáo trình điện tử, giáo trình không tránh khỏi thiếu sót Mong bạn đọc tha thứ góp ý kiến Tác giả CHƯƠNG I THẾ VÀ CÁC TÍNH CHẤT §1 Khái niệm Các dạng chủ yếu Thế hàm vô hướng mà đạo hàm riêng theo trục tọa độ hình chiếu vectơ lực tọa độ Việc đưa khái niệm có nhiều thuận lợi Thay khảo sát thành phần lực theo trục tọa độ, ta cần khảo sát hàm số vô hướng Khi cần biết lực tác dụng theo phương đó, ta việc lấy đạo hàm theo phương Thế tỉ lệ nghịch với khoảng cách quan sát Hãy xét nguồn lực đơn giản nguồn điểm : Trường lực hấp dẫn Newton, trường lực tónh điện Coulomb trường lực tỉ lệ nghịch với khoảng cách kể từ nguồn điểm gây trường lực đến người quan sát Nếu người quan sát điểm P có tọa độ không gian x, y, z nguồn điểm đơn vị khối lượng hay đơn vị điện tích điểm M (ξ,η,ζ), hàm soá : r = ( x − ξ) + ( y − η) + ( z − ζ ) (1.1) tỷ lệ với trường lực gây đơn vị khối lượng đơn vị điện tích Trong : r = ( x − ξ) + ( y − η) + ( z − ζ )2 (1.1a) khoảng cách MP từ nguồn điểm đến điểm quan sát Thế hay hàm hoàn toàn thỏa mãn phương trình Laplace : 1 1 1 ∂2   ∂2   ∂2   r+ r+ r =0 ∂x ∂y ∂z (1.2) Ta kiểm chứng (1.2) cách lấy đạo hàm bậc hàm số 1/r theo x, y, z, ξ,η,ζ xem tham số Lấy ví dụ cho trường hợp lực hấp dẫn Newton : Giả sử nguồn khối lượng m đặt M(ξ,η,ζ), điểm quan sát P(x,y,z) đặt chất điểm khối lượng m0 Theo định luật vạn vật hấp dẫn Newton, lực tác dụng nguồn lên chất điểm là: ur r m.m uu F = − f τ0 r (1.3) ur r m uu F = − f τ0 r (1.4) r uu r r uuur r Trong τ0 = vectơ đơn vị hướng theo MP mà vectơ MP = r , f r số hấp dẫn, chọn m0 = 1, ta có: Hình chiếu (đại số) trục toạ độ x, y, z lực F tác dụng vào chất điểm : m ( x − ξ) r3 m Fy = F cos(F , y) = − f ( y −η ) r m Fz = F cos(F , z) = − f ( z − ζ ) r Fx = F cos( F , x) = − f (1.5) Chúng ta đưa V trường lực, xác định hệ thức sau : F = gradV = ∂V ∂V ∂V i+ j+ k ∂x ∂y ∂z (1.6) Như có nghóa V hàm vô hướng mà đạo hàm riêng theo tọa độ hình chiếu vectơ lực trục tọa độ : Fx = ∂V ∂x Fy = ∂V ∂y Fz = ∂V ∂z (1.7) Suy hàm V trường hợp phải có dạng: V=f m r (1.8) Ta kiểm chứng (1.7) cách lấy đạo hàm riêng V theo x ∂V ∂V ∂r m∂r = =−f ∂x ∂r ∂x r ∂x Tính tiếp đạo hàm ∂r , tương tự , theo y z nữa, ta có : ∂x ∂r x − ξ = = cos(r,x) ; ∂x r ∂r y − η = = cos(r,y) ; ∂y r ∂r z − ζ = = cos(r,z) r ∂z cosin phương vectơ r : Kết quaû : ∂V m.( x − ξ) =−f = Fx ∂x r3 ∂V m.( y − η) =−f = Fy ∂y r3 ∂V m.( z − ζ ) =−f = Fz ∂z r3 (1.9) Như biểu thức (1.9) thỏa mãn (1.7) – định nghóa Trong trường hợp trường lực nhiều nguồn điểm với khối lượng ví dụ m1, m2, m3 tương ứng gây chúng có tính chồng chất Thế tổng hợp tổng chất điểm : n mk k =1 rk V ( x, y , z ) = f ∑ (1.10) Các thành phần lực hấp dẫn trục x, y, z : mk ( x − ξ k ) k =1 rk3 n m ( y −η ) Fy = − f ∑ k k k =1 rk n m (x − ζ ) Fz = − f ∑ k k k =1 rk n Fx = − f ∑ (1.11) Lực thành phần tổng hợp lực theo trục tổng tất thành phần lực trục Chú ý: • Biểu thức (1.8) (1.10) vô nghóa điểm quan sát trùng với điểm gây trường, (1/r) → ∞ • Thế hàm số toạ độ điểm quan sát giới nội liên tục điểm quan sát không trùng với nguồn điểm chất điểm nói • Tính giới nội liên tục thỏa mãn với lực (đạo hàm thế) điểm quan sát không trùng với nguồn điểm Thế khối Trong trường hợp nguồn chất điểm rời rạc, mà vât thể kết cấu vô số chất điểm liên tục, hấp dẫn Newton vật thể đơn vị khối lượng xác định tích phân khối Do tính chất cộng vô hướng thế, ta xác định vật thể có dạng tuỳ ý cách chia nhỏ khối lượng vật thể thành vô số khối lượng nguyên tố dm coi chất diểm Giả sử thể tích nguyên tố là: dτ = dξdηdζ sử dụng mật độ khối đại lượng : dm δ= (1.12) dτ ta có : dm = δdτ Thế chất điểm áp dụng cho khối lượng nguyên tố có dạng : dV ( x, y , z ) = f dm δd τ = f r r (1.13) r : khoảng cách từ khối lượng nguyên tố đến điểm quan sát P Thế vật thể tích τ, quan sát điểm P xác định cách lấy tích phân hai vế (1.13), mật độ δ ≠ const : V ( x, y , z ) = f ∫∫∫ t V ( x, y, z ) = f ∫∫∫ τ dm r (1.13a) δd τ r (1.13b) Biểu thức (1.13b) thỏa định nghóa Ta kiểm chứng cách lấy đạo hàm chứng minh đạo hàm hình chiếu lực trục tọa độ : ∂V ∂ 1 = f ∫∫∫δ  dξdηdζ ∂x ∂x  r  τ neân : ∂ 1 ∂r x −ξ 1 =− = − cos(r , x) = cos( F , x)  =− ∂x  r  r r ∂x r r r (1.14) ∂V δ cos(r, x) cos(F , x) = − f ∫∫∫ dτ = f ∫∫∫ dm = ∫∫∫dFx = Fx ∂x r r2 τ τ τ Do : (1.14a) cos( F , x) dm thành phần lực hấp dẫn khối lượng r2 nguyên tố dm theo trục x Như (1.13b) thỏa mãn định nghóa Tương tự, ta chứng minh : Ở dFx = f ∂V = Fy ∂y ∂V = Fz ∂z , Tích phân (1.13a) (1.13b) lấy biết xác dạng, kích thước vật, mật độ δ phân bố bề mặt vật hàm số ξ,η,ζ Thế lớp đơn: Lớp đơn phân bố khối lượng dàn mỏng mặt σ Tức coi toàn khối lượng nén mỏng vô bề mặt σ ( không thiết mặt phẳng ) Khái niệm lớp đơn sử dụng tónh điện điện tích phân bố mỏng bề mặt vật dẫn Điện lượng xác định đơn vị diện tích gọi mật độ điện bề mặt Khái niệm lớp kép có xuất xứ nghiên cứu từ tính, yếu tố từ chất điểm, mà lưỡng cực, tức đoạn thẳng vô nhỏ có từ lượng âm dương phân bố hai đầu mút đoạn thẳng Trong địa vật lý, lớp đơn lớp kép có ý nghóa quan trọng, khối khối vật chất biểu diễn hai loại ấy, tổ hợp hai loại Cách biểu diễn khối đơn giản hóa nhiều Thay lấy tích phân khối, ta lấy tích phân mặt Trong địa vật lý, thường ta đo trường mặt quan sát gắn liền với mặt đất mà khối lượng phân bố Để rút công thức cho lớp đơn, ta làm sau : Giả sử thể tích τ giới hạn hai mặt sát σ σ’, bên chứa đầy khối lượng với mật độ δ Thế khối khối lượng này, ta biết : V ( x, y, z ) = f ∫∫∫ τ dm δd τ = f ∫∫∫ r r τ Ở tích phân lấy phạm vi thể tích τ, r khoảng cách từ điểm chạy M(ξ,η,ζ) điểm quan sát P(x,y,z), đại lượng biến thiên Nếu h khoảng cách hai mặt σ σ’ theo pháp tuyến (bề dầy) đủ nhỏ đến bậc cao, thể tích nguyên tố biểu diễn sau : dτ = hdσ (1.15) dσ diện tích nguyên tố Còn khối lượng nguyên tố : dm = hδdσ (1.16) Công thức khối lượng hấp dẫn viết lại : V ( x, y , z ) = f ∫∫ σ hδd σ r (1.17) r - khoảng cách từ diện tích nguyên tố dσ đến điểm P Nếu cho mặt σ σ’ tiến sát lại vô cùng, h tiến tới 0, khối lượng dm thể tích nguyên tố dτ không đổi P(x,y,z) z r r′ h σ′ M σ O n M′ x y H.1 Đặt điều kiện cho: (1.18) lim δ h = ε h →0 Hệ thức giới hạn có ý nghóa vật lý đơn giản, từ biểu thức (1.16) (1.18), ta suy ra: dm dσ ε= (1.19) Rõ ràng ε khối lượng đơn vị diện tích Đại lượng ε có tên gọi mật độ mặt hay mật độ lớp đơn Ta quan niệm khối lượng dm thể tích dτ bị nén mỏng diện tích nguyên tố dσ Kết hợp hai đẳng thức (1.16) (1.19), ta có mối liên hệ mật độ khối mật độ mặt Thật : dm = δhdσ = ε dσ Ta suy mối liên hệ hai mật độ : ε = δh (1.20) P r dσ M σ δ dτ σ′ Sự tiến tới giới hạn trình bày (1.18) áp dụng cho toàn khối lượng lớp đơn, kết toàn khối lượng xem bị nén mỏng mặt σ Nhờ (1-20), biểu thức cho lớp đơn (1.17) viết : V ( x, y, z ) = f ∫∫ σ ε dσ r Tích phân tích phân mặt 4.Thế lớp kép: Bây giờ, ta rút công thức cho lớp kép (1.21) Gi s có hai mặt σ σ’ mà kho ng cách h hai mặt tính theo phương pháp tuyến ngoại gần Trên mặt σ’ lớp đơn phân bố với mật độ µ > (thay đổi), mặt σ, lớp đơn phân bố với mật độ -µ, âm Trong đó, mật độ hai lớp đoạn thẳng h pháp tuyến có trị số tuyệt đối Lấy điểm P với toạ độ x, y,z khoảng cách từ đến hai điểm chạy hai mặt σ σ’ r r’ Khi đó, tổng hai lớp đơn mặt σ vaø σ’ laø : V '+V = f ∫∫ σ ε dσ ' r' − f∫ σ εdσ r Do h bé, nên xem dσ = dσ’, :  1 V '+V = f ∫∫ ε  − dσ  r' r  σ Đại lượng 1/r’ khai triển thành chuỗi Taylor : 1 h d   h2 d   = + +  +   + r ' r 1! dn  r  2! dn  r  Bỏ qua đại lượng bé bậc cao, có hiệu : 1 d 1 − =h   r′ r dn  r  Vaäy: V '+V = f ∫∫ ε h σ d 1  dσ dn  r  Hãy tưởng tượng hai mặt σ σ’ tiến tới sát vô Khi đó, đặt điều kiện cho giới hạn tích số εh giới nội lim ε h =ν h →0 ν – mật độ lớp kép Hai lớp đơn tiến tới vị trí giới hạn gọi lớp kép Khối lượng chung lớp kép Giới hạn tổng hai : lim(V + V ' ) = f ∫∫ν h→0 σ lớp kép W(x,y,z) : d 1  dσ dn  r  W ( x, y, z ) = f ∫∫ν σ d 1  dσ dn  r  (1.22) Coâng thức (1.22) viết dạng khác Khoảng cách r phụ thuộc vào tọa độ ξ,η,ζ lẫn tọa độ x,y,z, tích phân, tọa độ điểm chạy biến, đạo hàm theo pháp tuyến d 1   phải lấy theo tọa độ điểm chạy dn  r  ξ,η,ζ Còn tọa độ x, y, z tham số d 1 dr =−  =− dn  r  r dn r Trong : dξ = cos(n, x); dn  ∂r dξ ∂r dη ∂r dζ   ∂ξ dn + ∂η dn + ∂ζ dn    dη = cos(n, y ) ; dn (1.23) dξ = cos(n, x ) dn Và lấy đạo hàm riêng biểu thức r ( 1.1a ) theo ξ, ta coù : ∂r ∂r x−ξ =− =− = − cos(r , x) ∂ξ ∂x r (1.23a) Tiến hành tương tự vậy, toạ độ η ξ Kết (1.23) có dạng : d 1 cos(r, n )   = [cos(r, x ) cos(n , x ) + cos(r, y) cos(n , y) + cos(r, z) cos(n , z)] = dn  r  r r2 (1.24) d   cos(r, n )  = dn  r  r2 Hay : (1.24a) Biểu thức (1.24) cho phép ta nhận công thức khác cho lớp kép : W ( x, y, z ) = f ∫∫ν σ cos(r , n) dσ r2 (1.25) Cuối cùng, lớp kép viết dạng thứ Nhờ (1.24), ta viết : W(x, y, z) = f ∫∫ σ v v v cos(r, x)cos(n, x)dσ+ f ∫∫ cos(r, y)cos(n, y)dσ+ f ∫∫ cos(r, z)cos(n, z)dσ r r r σ σ (1.26) 10 Để xác định A0, lấy tích phân đẳng thức (4.43) theo λ từ đến 2π Vì : 2π 2π ∫ cos mλdλ = ∫ sin mλdλ = 0 nên ta có: 2π ∞ 2π ∞ n =0 n =0 ∫ f (θ , λ )dλ = ∑ A P (cosθ ) ∫ dλ = 2π ∑ A P (cosθ ) n n Nhân tiếp vế với Pn (cosθ )d cosθ lấy tích phân từ -1 đến +1 Nhờ tính chất trực giao ta có : +1 2π +1 ∫ ∫ f (θ , λ ) P (cosθ )d cosθdλ = 2π ∫ A [P (cosθ ] d (cosθ ) n −1 n −1 Ruùt : π 2π 2n + A0 = f (θ , λ ) Pn (cosθ ) sin θdθdλ 4π ∫ ∫ 0 (4.48a) §.7 Công thức cộng hàm cầu Nhân chuỗi (4.43) với Pn (cosψ ) sin θdθdλ lấy tích phân mặt cầu bán kính đơn vị Bên vế phải tích phân chứa tích Ym (θ , λ ) Pn (cosψ ) hết m ≠ n, m = n theo (4.41) ta có : π 2π π 2π ∫∫ f (θ , λ ) Pn (cosψ ) sin θdθdλ = ∫ ∫ Yn (θ , λ ) Pn (cosψ ) sin θdθdλ = 0 0 4πYn (θ ' , λ ' ) 2n + (4.49) Mặt khác Yn (θ ' , λ ' ) = ∑ Anm cos mλ '+ Bnm sin mλ ' ) Pnm (cosθ ' ) theo (4.16) Sử dụng (4.47), (4.48) (4.48a) ta có : π 2π  2n +  Yn (θ ' , λ ' ) =  ∫ ∫ f (θ , λ ) Pn (cosθ ) sin θdθdλ  × Pn (cosθ ' ) 4π  0   (n − m)! 2n + π  ×  ∫ f (θ , λ ) cos mλPnm (cosθ ) sin θdθdλ  cos mλ '  m =1 ( n − m)! 2π   ∞ +∑ 74   π 2π   +  ∫ ∫ f (θ , λ ) sin mλPnm (cosθ ) sin θdθdλ  sin mλ 'Pnm (cosθ ' )  0   (4.49a) Bieán đổi đơn giản dựa vào công thức lượng giác cos(a - b), ta coù : 2π +  Yn (θ ' , λ ' ) =  f (θ , λ ) Pn (cosθ ) Pn (cosθ ' ) sin θdθdλ + 4π ∫ ∫ 0 π 2π π 2π  (n − m)! 2∑ f (θ , λ ) Pnm (cosθ ) × Pnm (cosθ ' ) cos m(λ − λ ' ) sin θdθdλ  ∫∫ m=1 (n + m)! 0  n Th Yn (θ ' , λ ' ) π 2π ∫∫ (4.49) b ng cơng th c cho Yn (θ’,λ) ta coù : π 2π f (θ , λ ) Pn (cosψ ) sin θdθdλ = ∫ 0  ∫ f (θ , λ ) P (cosθ ) P (cosθ ' )  n n 0  (n − m)! Pnm (cosθ ) Pnm (cosθ ' ) cos m(λ − λ ' ) sin θdθdλ m =1 ( n + m)!  n + 2∑ So sánh vế trái với vế phải ta suy công thức cộng hàm cầu : Pn (cosψ ) = Pn (cosθ ) Pn (cosθ ' ) (n − m)! Pnm (cos θ ' ) Pnm (cosθ ) cos m(λ − λ ' ) m =1 ( n + m)! n + 2∑ (4.50) Theo lượng giác cầu : cosψ = cos θ cos θ '+ sin θ sin θ ' cos(λ − λ ' ) (4.50a) Công thức (4.50) (4.50a) giúp biến đổi từ tọa độ cực sang tọa đồ cầu §.8.Chuẩn hóa hàm cầu Phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa Chúng ta tìm hệ số rnm cho hàm cầu : rnm Pnm (cosθ ' ) cos mλ ' vaø rnm Pnm (cosθ ' ) sin mλ ' , ký hiệu chung Fnm (θ ' , λ ' ) thỏa mãn điều kiện mặt cầu đơn vị : ∫∫ [ F σ nm ] (θ ' , λ '] dσ ' = 75 (4.51 ) Dựa vào tính chất (4.25) hàm Pnm (θ ' , λ ' ) rút r2nm từ (4.51 ) ra, ta có hệ số chuẩn hoùa : rnm = 2n + (n − m)! 2π (n + m)! với m = 1, 3, … hàm cầu chuẩn hóa :  2n + (n − m)! Pnm (cosθ ) cos mλ  2π (n + m)!   Fnm (θ , λ ) =   2n + (n − m)! Pnm (cosθ ) sin mλ   2π (n + m)!  (4.52) Trường hợp m = 0, hệ số rn phải rút từ đầu cho Fn(θ) = rnP(cos θ’), ta coù : Fn (θ ' ) = 2n + Pn (cosθ ' ) 4π (4.53) Coâng thức cộng cho hàm cầu chuẩn hóa rút từ (4.50) : Pn (cosψ ) = 4π n ∑ Fnm (θ , λ ) Fnm (θ ' , λ ' ) n + m =0 (4.54) Khi ρ < R ta coù (4.31) : ∞ ρn =∑ Pn (cosψ ) r n =0 R n+1 Nhờ (4.54) ta có : ∞ 4πρ n =∑ r n =0 (2n + 1) R n+1 2n ∑F nm (θ , λ ) Fnm (θ ' , λ ' ) m =0 Nhân vế với Fnm (θ ' , λ ' ) lấy tích phân toàn mặt cầu đơn vị nhờ tính trực giao ta coù : Fnm (θ ' , λ ' ) 4πρ n dσ ' = Fnm (θ , λ ) ∫∫ r (2n + 1) R n+1 76 (4.55) Khi ρ > R tương tự : Fnm (θ ' , λ ' ) 4π Rn dσ ' = Fnm (θ , λ ) ∫∫ r (2n + 1) ρ n+1 (4.56) Khi ρ = R : ∫∫ Fnm (θ ' , λ ' ) 4π Fnm (θ , λ ) dσ ' = r (2n + 1) R (4.57) §.9 Phân loại hàm cầu Giả sử ta có hàm f (θ , λ ) phụ thuộc vào góc cực θ kinh độä λ Một hàm hàm phân bố giá trị dị thường trọng lực từ mặt địa cầu Như ta biết, hàm f (θ , λ ) khai triển thành chuỗi hàm cầu : f (θ , λ ) = A0 P0 (cosθ ) + A10 P10 (cosθ ) + ( A11 cos λ + B11 sin λ ) P11 (cosθ ) + A20 P20 (cosθ ) + ( A21 cos λ + B21 sin λ ) P21 (cosθ ) + ( A22 cos 2λ + B22 sìnλ ) P22 (cosθ ) + + Ak Pk (cosθ ) + ( Ak1 cos λ + Bk1 sin λ ) Pk1 (cosθ ) + (4.58) + ( Akk cos kλ + Bkk sin kλ ) Pkk (cosθ ) Các hệ số khai triển xác định hàm f (θ , λ ) đo thực tế, theo công thức tích phân (4.47), (4.48) (4.48a) Tuy nhiên, mặt thực tiễn, ta không lấy tích phân theo lý thuyết, hàm f (θ , λ ) không cho trước dạng biểu thức giải tích, mà nhận cách rời rạc qua lần quan sát vị trí khác mặt địa cầu Các vị trí quan sát nhiều tốt phải phủ khắp mặt địa cầu Phương pháp xác định thực nghiệm hệ số nói phương pháp tối thiểu bình phương Số phương trình phải nhiều số ẩn số, số hệ số nói ( lý thuyết n = ∞ thực tế có số hữu hạn) Chuỗi (4.58) chồng chất sóng mặt địa cầu với đủ loại tần số khác (theo kinh độ λ θ ) Một sóng bậc n (theo θ ) m ( theo λ ) có dạng chung laø : dm ( Anm cos mλ + Bnm sin mλ ) sin θ Pn (cosθ ) d (cosθ ) m m (4.59) Hàm (4.59) tách làm phần, chứa cos chưa sin nhân với Pnm (cosθ ) thực chất loại 77 a) Hàm cầu đới: Khi m = 0, n bất kỳ, công thức (4.59) cho ta hàm phụ thuộc θ đa thức Legendre : Ano Pno (cosθ ) Để tìm vị trí mà (4.59) 0, ta giải phương trình : (4.60) Pn (cosθ ) = Các giá trị θ đối xứng qua xích đạo địa cầu nghiệm phương trình Có tất n nghiệm Ví dụ với n = 3, ta coù : P3 ( x) = (5 x − x) = (4.61) Giải phương trình ta có nghiệm số : x1 = x2 = x3 = − 5 N Xích đạo S H.19 Góc θ tương ứng là: 900, 39030’, 140030 Ta có vó tuyến mà P3 (cosθ ) = Mặt cầu bị chia thành đới Số đới tổng quát (n+1) đới ( H.19) b) Hàm cầu múi: Khi m = n, (4.59) ta coù : 78 dn Pn cosθ = const d (cosθ ) n (4.62) Sau laáy đạo hàm Pn (cosθ ) n lần, ta số Kết quả, ta có sóng (điều hòa) : Anm sin n θ cos nλ vaø Bnm sin n θ sin nλ = (4.63) sin n θ = với θ = θ = π , tức ứng với cực địa cầu N S Còn sin nλ cos nλ kinh tuyến cách cung π ∆λ = Địa cầu bị chia thành múi theo kinh tuyến Trong n múi, hàm giữ nguyên dấu (+ -) Khi chuyển sang múi kế cận dấu đổi Hai loại hàm cầu (4.63) hàm cầu múi Hình 20 cho thấy phân bổ hàm cầu múi với múi chứa giá trị âm dương hàm xen kẽ Mỗi hàm sin nλ (hoặc cos nλ ) chia địa cầu làm 2n múi S N N S H.20 H.21 c) Hàm cầu ô: Khi m ≠ n ( < m < n ), (4.59), ta coù : dm Pn (cosθ ) (4.64) d (cosθ ) m Đa thức có (n - m) nghiệm thực thảy, ứng với n – m vó tuyến mặt địa cầu mà hàm cầu (4.59) không 79 Kết qủa, địa cầu bị vó tuyến chia làm (n – m + 1) đới Các đới có giá trị âm, dương hàm (4.64) xen kẽ trường hợp a) Hàm sin mλ (hoặc cos mλ ) không 2m giá trị λ chia địa cầu π Trong múi, hàm mang thành 2m múi, múi có bề rộng m dấu đổi dấu chuyển sang múi bên cạnh (như trường hợp b) Sự chồng chất hàm sin mλ (hoặc cos mλ ) với hàm (4.64), kết quả, mặt địa cầu bị chia tựa ô bàn cờ vua, với dấu âm, dương xen kẽ nhau, nên hàm có tên gọi hàm cầu ô Tuy nhiên ô ô vuông mà ô cầu hình thang, hàm sin, cos chia vó tuyến thành cung hàm liên kết Legendre không chia kinh tuyến thành cung Các nghiệm phân bố không dọc theo kinh tuyến, đối xứng qua xích đạo Nếu m chẵn, dấu phân bố đối xứng qua xích đạo ( hình 22 cho trường hợp P42 cosθ ) ) Còn m lẽ không đối xứng dấu, mà ngược dấu qua xích đạo (hình 23 cho trường hợp P41 cosθ ) P41 P42 100 + + 45 45 180 135 90 1800 -1 0 0 900 1350 -5 -2 315o o φN=22 12’ 0o _ + + λ=270o 225o N _ + _ -3 P42cos2λ _ o 40 50’ + _ 0o 0o _ + 0o λ=90o + φS=22o12’ + 45o _ o 40 50’ + _ _ 135o Hình 22 Hình 23 Tóm lại, ứng với giá trị n ta có: Khi m = : hàm cầu Khi m = n : hai hàm cầu (sin cos) Khi m ≠ n : 2(n - 1) hàm cầu Tổng cộng ta có 2n + hàm cầu 80 P41cosλ Ứng với tất giá trị n ( từ 0,1,2,3,… n ), chuỗi, có tổng cộng n(n + 2) + hàm cầu ( điều hòa) Số hệ số hàm cầu Anm Bnm tổng cộng n (n + 2) + hệ số Để xác định hệ số này, tối thiểu cần có : n(n + 2) + phương trình, nghóa phép đo vị trí khác địa cầu Nhưng thường, số phép đo phải nhiều số ẩn số theo phương pháp bình phương tối thiểu để làm giảm ảnh hưởng giá trị chứa sai số ngẫu nhiên 81 MỤC LỤC Lời giới thiệu CHƯƠNG I : Thế tính chất ……………………………………………………………………………………………….3 §.1 Khái niệm Các dạng chủ yếu ….……………………………………………………………… Thế tỷ lệ nghịch với khoảng cách quan sát………….………………………………………………………………… Thế khối …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Thế lớp đơn……………………………………………………………… …………………………………………………………………………7 Thế lớp kép……………………………………………………………… …………………………………………………………………………9 Thế từ lưỡng cực ……………………………………………………………………………………………………………1 Thế từ vật thể bị từ hóa ……………………………………………………………………………………………….1 §.2 Ý nghóa vật lý thế, mặt đẳng thế, đường sức …….…………………………………………………….1 §.3 Thế trường lực số vật có dạng đơn giản ……………………………………………………….1 Thế lớp cầu … ………………………………………………………………………………………………………………………………….20 Thế khối cầu …………………………………………………………………………………………………………………………………….2 Thế logarit ……………………………………………………………………………………………………………………………………….27 Thế từ kkhối cầu ……………………………………………………………………………………………………………………2 §.4 Các tính chất Newton ………….…………………………………………………………………………………….30 Thế khối ………………………………………………………………………………………………………………………………………… 30 Thế lớp đơn ……………………………………………………………………………………………………………………………………35 Thế lớp kép …………………………………………………………………………………………………………………………………….38 §.5 Các tích phân Gauss ……………………………………………….…………………………………………………………………….3 CHƯƠNG II : Các công thức Green …………………………………………………………………………………41 §.1 Hai công thức Green sở ……………………………………………………………………………………………………4 §.2 Công thức Green cho hàm 1/r …………………………………………………………………………………………….46 §.3 Hàm điều hòa tính chất ………………………………………………………………………………………………4 Định lý đẳng trị ……… ………………………………………………………………………………………………………….48 Định lý đơn trị …………………………………………………………………………………………………………………………49 Định lý trung bình …………………………………………………………………………………………………………………49 Định lý cực trị …………………………………………………………………………………………………………………………50 87 §.4 Công thức Green ……………………………………….………………………….……………………………………50 §.5 Công thức Green theo biến đổi theo Molodensky ………………….…….……….……………………51 §.6 Các số Stokes ……….……………………………………………………………………………….………………………52 CHƯƠNG III : Các toán biên …… ……………………………………………………………………………………….55 §.1 Ba toán biên ………………….………………………….……………………………………………………………5 Bài toán biên thứ nhất……………… ………………………………………………………………………………………………55 Bài toán biên thứ hai……………………………………………………………………………………………………………………5 Bài toán biên thứ ba…………………………………………………………………………………………………………………….57 § Bài toán Dirichlet cho qủa cầu …………………………… ………………………………………………………………5 § Bài toán Dirichlet cho mặt phẳng vô hạn ……….………………………………………………………………61 CHƯƠNG IV : Hàm cầu tính chất …….…………………………………………………………………….6 §.1 Giải phương trình Laplace tọa dộ cầu …….……………………………………………………………… §.2 Một số tính chất đa thức Legendre ………………………………………………………………………………66 §.3 Một số tính chất hàm liên kết Legendre …….…………………………………………………………….67 §.4 Khai triển hàm 1/r thành chuỗi đa thức Legendre ………………………………………………………….68 §.5 Các hệ thức tích phân cho hàm cầu ………………………….………………………………………………………….7 §.6 Khai triển hàm f (θ,λ) thành chuỗi hàm cầu …….…………………………………………….……….7 §.7 Công thức cộng hàm cầu ………………………………………………………………………………………………………….75 §.8 Chuẩn hóa hàm cầu Phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa …………….7 §.9 Phân loại hàm cầu ……….……………………………………………………………………………………………….…………….78 Phụ lục ……… ………………………………………………………………………………………………………………………………… 82 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………………………………………………………….86 88 PHỤ LỤC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP LÝ THUYẾT THẾ Chương I Thế tính chất Thế trường lực dẫn xuất từ ? Lực có tính chất đặc biệt so với lực thông thường khác ? Hãy cho ví dụ số lực loại ? Công vật lý khác với công sinh học ( công người, trâu bò ) ? Thế khác giống ? Thứ nguyên ? Thế âm dương ? Cho biết ý nghóa trường hợp âm dương ? Hãy dựa vào định nghóa ( công lực trường ) chứng minh lực hấp dẫn Newton chất điểm gây tỷ lệ nghịch với khoảng cách tới chất điểm hấp dẫn Rút lực tónh điện Coulomb điện tích điểm Q > gây điện tích đơn vị q âm đặt vị trí cách Q khoảng r tỷ lệ nghịch khoảng cách quan sát r Chọn vị trí ∞ Hãy chứng minh lực hấp dẫn Newton Trái đất có dạng M U=-f m, f – số hấp dẫn, M – khối lượng Trái đất, m – khối r lượng vật cách tâm Trái đất r Chọn vị trí ∞ Nếu mức chọn mặt Trái đất có dạng ? Còn gần mặt đất ? Lực ly tâm hay không ? Có tính lực ly tâm cho đơn vị khối lượng chuyển động tròn với vận tốc góc ω quanh tâm O trục quay khoảng cách đến trục ρ Coi vị trí không tâm O ĐS : V = ω2ρ2 Tính lực hấp dẫn lớp cầu dầy có bán kính R r ( R > r ) điểm quan sát bên lớp cầu, cách tâm cầu khoảng ρ ≤ r ĐS : V = 2πfδ( R2- r2) = const 10 Trường hợp quan sát điểm bên qủa cầu đặc đồng chất bán kính Ro lực tác dụng tương đương với lực phần thuộc qủa cầu gây ? Lực biến thiên theo khoảng cách ρ từ tâm theo qui luật, công thức ? 11 Tính lực hấp dẫn đóa tròn, mỏng bán kính R, mật độ mặt ε, số hấp dẫn f Điểm quan sát nằm trục đối xứng qua tâm O đóa, cách tâm đóa độ cao z Xét trường hợp giới hạn : z→0 ( R→∞ ) 82   z  ; Fgh= -2πfε ÑS : V = 2πfε ( z + R − z ) ; F = -2πfε 1 −  2  R +z   12 Áp dụng kết qủa toán trên, tính lực hấp dẫn lớp bình nguyên rộng vô tận, có độ cao H so với mặt biển, mật độ khối đất δ Người quan sát độ cao h so với mặt bình nguyên máy bay trực thăng ĐS : F = -2πfδH, không phụ thuộc h 13 Tính lực vành khuyên mỏng có bán kính R > r , mật độ mặt ε, số hấp dẫn f, điểm quan sát nằm trục đối xứng cách tâm O vành khuyên độ cao z   1  ĐS: V =2πfε ( z + R − z + r ) ; F = -2πfεz  −   R2 + z2   r +z 14 Tính lực hấp dẫn hình trụ đặc tròn bán kinh R, bề dài d, mật độ δ Xét trường hợp điểm quan sát trục đối xứng, cách mặt tròn hình trụ h Chọn trục z hướng xuống ĐS : F = 2πfδ ( R + h − R + (d + h) + d ) 15 Tính lực hấp dẫn ống trụ rỗng, mật độ mặt ε, bán kính R, dài d Điểm quan sát nằm trục đối xứng hình tru đầu oángï     R R ÑS : V = 2πfεRln   ; F = 2πfε 1 −  2 d + R2  d + d + R   2M M vaø H = ± R R 20 Taïi tiến tới điểm C mặt lớp đơn từ điểm quan sát bên A điểm bên B, hai giá trị giới hạn đạo hàm lớp đơn theo phương l ( lực theo phương l ) miền đóa tròn tâm C gây tiến tới giá trị quan sát C ? 21 Tại di chuyển mặt đẳng công trường lực hấp dẫn ? 22 Ý nghóa tích phân Gauss ? Khi âm, dương ? 19 Giải thích ý nghóa dấu ± lực từ trường : Z = ± Chương II Các công thức Green Công thức Green sở thứ cho không gian khác với công thức Green sở thứ cho không gian chỗ ? Những điểm giống khác hai công thức Green sở với công thức Green ? Hãy so sánh công thức Green cho hàm 1/r hàm điều hòa V với công thức Green cho khối V 83 Các tích phân sau ta gặp đâu, suy từ công thức ? ý nghóa ? dV a/ ∫∫ dn dσ = c/ ∫ dn  r dσ   d 1 dV b/ d/ = -4π ∫∫ dn dσ = −4πfM ∫∫V dV dσ ≥ dn Công thức Green cho khối trường hợp điểm quan sát mặt hay chỗ ? Biến đổi công thức Green cho khối theo Molodensky có đặc biệt ? Trong công thức Molodensky, sau dấu tích phân mặt có d 1 biểu thức (V – V )   V ? Xác định miền ? Còn V ? dn  r  Ý nghóa số Stokes ? Công thức Gauss cho phép xác dịnh khối lượng cách ? Công thức Green cho khối khác công Green cho hàm điều hòa chỗ ? Năm công thức Green sau thuộc trường hợp áp dụng ? a/  dV d   −V   dσ =0 dn dn  r   c/ d/ b/ ∫∫  r σ   dV d   −V   dσ =-4πV dn dn  r   ∫∫  r σ   dV d   −V   dσ = 4πV dn dn  r   ∫∫  r σ   dV d   −V   dσ =-2πV dn dn  r   ∫∫  r σ  e/  dV d   −V   dσ =2πV dn dn  r   ∫∫  r σ  Dựng qủa cầu S bán kính r bọc lấy điểm quan sát P, r = MP – khoảng cách điểm quan sát P điểm chạy M tích phân Cho r→0, tích phân khối theo thể tích τ giới nội ≠ ? Chương III Các toán biên Tại toán biên Dirichlet ta phải xây dựng hàm Green G = + U thỏa điều kiện sau : 1) Điều hòa không gian mặt σ r trừ P ( ?) 2/ Chính qui ∞ 3/ Bằng mặt σ ? Trong toán biên Dirichlet cho mặt cầu, hàm Green có dang G = + U = r 1R Hàm Green có thỏa điều kiện G = mặt cầu không ? − r r' ρ 84 Chứng minh bán kính mặt cầu R→∞, tích phân Poisson cho mặt dσ cầu trở thành công thức cho mặt phẳng : V = ∫∫ f (θ '.λ ' ) r 2π Chương IV Hàm cầu tính chất Công thức cộng hàm cầu rút qua bước ? Thế hàm cầu chuẩn hóa ? Hãy rút hệ số chuẩn hóa cho hàm cầu Hãy chứng minh công thức cộng hàm cầu chuẩn hóa Hãy rút phương trình tích phân cho hàm cầu chuẩn hóa Hãy chứng minh tính chất trực giao mặt cầu hàm cầu mặt Yn(θ,λ) Ym(θ,λ) Hãy rút hệ thức tích phân cho hàm cầu mặt Khai triển hàm số f(θ,λ) thành chuỗi hàm cầu 85 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.A SERkEROV Lý thuyết hấp dẫn từ NXB “ Nedra “, Moskva, 1990 304 tr N.P GROUSHINSKY Lý thuyết hìønh thể Trái đất NXB “Nauka “, Moskva, 1976, 512 tr D.V ZAGREBIN Trọng lực lý thuyết nhập môn NXB “ Nauka “ Leningrad, 1976, 292 tr B.P SHIMBIRIEV Lý thuyết hình thể Trái đất NXB “ Nedra “, Moskva, 1975 432 tr V.S MIRINOV Giaùo trình trọng lực thăm dò NXB “ Nedra “, Leningrad, 1972, 512 tr A.N TIKHONOV A.A SAMARSKY Phương trình toán lyù NXB “ Nauka “ Moskva 1966, 724 tr 86 ... quan sát P Song thực ra, có ý nghóa vật lý hoàn toàn xác định 15 Trước tiên ta xác định ý nghóa vật lý số gia vô nhỏ thế, sau đến số gia hữu hạn, sau ý nghóa vật lý thân Hãy xem thay đổi di chuyển... Như từ vật thể đồng chất bị từ hóa đồng đạo → J hàm hấp dẫn theo hướng l hay vectơ từ hóa J , nhân với nhóm hệ số fδ §2 Ý nghóa vật lý thế, mặt đẳng thế, đường sức Định nghóa toán học thế, xác... vectơ từ hóa vật thể Nó hàm vectơ liên tục khắp điểm vật, bề mặt vật vectơ J hướng trùng với µ Nếu vật bị từ hóa đồng ( J = const ), mômen từ vật thể : r r M = Jτ với τ thể tích vật Mômen từ