Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 1 3 2 1 2 3 4 10 35 50 24 dx x x x x x x x x J dx x x x + + + + + + + + = = ∫ ∫ 5 3 1 1 3 7 5 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 70 10 35 50 24 4 100 48 7 3 x x x x x dx x x x x x C − − −     = + + + + = + + + − +     ∫ ( ) 2 7 3 7 41 7 41 dx dx ln 2 5 2 5 2 2 2 5 2 4 x J x x C x x   − = = − = − + +     + +   ∫ ∫ 2 2 3 3 7 5 3 3 dx 3 1 3ln 2 2 2 2 x x J x dx x x x C x x − +   = = − + = − + − +   − −   ∫ ∫ 3 2 2 3 2 4 2 5 7 10 6 2 3 dx 2 3 4 4 6ln 1 1 1 3 2 x x x J x x dx x x x x C x x − + −   = = − + − = − + − − +   − −   ∫ ∫ ( ) 2 2 5 4 9 10 7 13 7 13 dx 2 ln 2 1 2 1 2 2 2 1 2 4 x x J x dx x x x C x x   − + = = − + = − + − +     − −   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 7 8 9 6 10 10 2 1 1 8 2 3 9 2 1 8 dx 1 1 1 1 7 8 9 1 1 x x x x J d x x x x C x x − − − − + − + − + = = − = − − − − − − + − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 7 15 15 2 3 2 4 2 5 3 4 9 dx 2 2 2 x x x x x x J d x x x − + − + − − − + − = = − − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 13 14 1 1 4 5 2 2 2 2 11 4 13 14 x x x x C − − − − = − − − − − − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 8 30 30 2 1 1 15 1 18 2 5 11 4 dx 1 1 1 x x x x x x J d x x x + − + − + + + − + = = + + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 26 27 28 29 1 1 15 18 1 1 1 1 13 27 28 29 x x x x C − − − − = − + + + + + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 100 3 100 3 2 9 3 1 3 3 12 3 42 3 60 3 J x x dx x x x x d x   = + − = + + − + + + + +     ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt ( ) ( ) ( ) ( ) 104 103 102 101 3 3 7 3 60 3 12 104 103 17 101 x x x x C + + + + = − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 15 2 15 10 1 1 5 2 5 2 14 5 2 49 5 2 5 2 125 J x x dx x x x d x   = − + = + − + + + +     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 18 17 16 5 2 14 5 2 49 5 2 1 125 18 17 16 x x x C   + + +   = − + +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 33 2 33 2 11 1 3 5 2 1 2 1 8 2 1 13 2 1 2 1 8 J x x x dx x x x d x   = + − − = − + − − − −     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 36 35 34 2 1 8 2 1 13 2 1 1 8 36 35 34 x x x C   − − −   = + − +     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 5 5 12 2 3 . 1 dx 2 1 4 1 5 . 1 d 1 J x x x x x x = + − = − + − + − − ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 8 3 5 5 5 18 13 8 5 5 5 2 1 4 1 5 1 1 5 1 20 1 25 1 9 13 8 x x x d x x x x C   = − + − + − −       − − − = + + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 7 13 4 7 3 5 1 dx 2 1 8 2 1 12 2 1 2 1 8 2 1 x x J x x x d x x − − + = = + − + + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 3 4 7 7 7 17 10 3 7 7 7 1 2 1 8 2 1 12 2 1 8 7 2 1 7 2 1 7 2 1 136 10 2 x x x dx x x x C −   = + − + + +       + + + = − + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 13 5 4 9 4 4 5 5 5 9 9 14 9 2 3 1 . 2 3 dx 2 3 2 3 10 130 x J x x x d x C + = + = + + = + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 9 9 10 10 10 5 5 15 4 10 5 3 1 dx 2 3 2 3 2 3 10 6 2 3 x J x d x x C x − − = = − − = − + − ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 2 2 2 16 2 dx 1 1 1 x J x x x dx x dx x x dx x x   = = − − = − −     + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 3 3 x dx x d x x x C   = − − − = − − +     ∫ ∫ 3 3 2 4 3 2 17 2 dx 1 1 1 x J x x x dx x dx x x dx x x   = = + − = − −     − − ∫ ∫ ∫ ∫ Với tích phân 3 2 17 1 J x x dx ′ = − ∫ ta ñặt 2 2 2 1 1 t x t x tdt xdx = − ⇒ = − ⇒ = ( ) ( ) ( ) 5 3 2 2 5 3 2 2 2 2 17 1 1 1 1 1 1 1 5 3 5 3 J t t dt t t C x x C ′ ⇒ = + = + + = − + − + ∫ ( ) ( ) 5 3 5 2 2 2 2 17 1 1 1 1 1 5 5 3 J x x x C ⇒ = + − + − + ( )( ) 18 dx 1 1 1 1 2 ln 2 5 7 2 5 7 5 x J dx C x x x x x −   = = − = +   − + − + +   ∫ ∫ ( )( ) 19 2 2 2 2 dx 1 1 1 1 1 1 arctan arctan 4 4 2 2 6 6 2 6 2 6 x x J dx C x x x x     = = − = − +      + +   + + ∫ ∫ ( )( ) 20 2 2 2 2 dx 1 1 1 1 1 2 1 ln arctan 5 5 2 2 2 3 3 2 3 2 3 x x J dx C x x x x x     − = = − = − +       + − +   − +   ∫ ∫ ( )( ) 2 21 2 2 2 2 2 dx 1 1 7 ln 4 8 7 3 3 3 7 x x x x J dx C x x x x x   − = = − = +   − − −   − − ∫ ∫ ( )( ) ( ) 22 2 2 2 2 dx 1 1 1 1 3 arctan arctan 3 2 2 21 21 3 7 3 7 2 3 2 x x J dx C x x x x     = = − = − +   + + + +     ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt ( )( ) ( ) 23 2 2 2 2 dx 1 1 1 1 2 1 2 ln arctan 9 36 2 2 9 10 10 2 5 2 5 3 2 2 x x J dx C x x x x x   −   = = − = − +   + + + − −     ∫ ∫ ln 2 24 1 dx 1 x J e = − ∫ . ðặt ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 x x x t t e t e tdt e dx t dx dx dt t = − ⇒ = − ⇒ = = + ⇒ = + ( ) 1 1 1 24 1 2 2 1 1 2 2 2arctan 2 arctan 1 4 1 1 e e e t J dt dt t e t t t π − − −   ⇒ = = = = − −     + + ∫ ∫ ln 2 2 25 0 dx 1 x x e J e = + ∫ . ðặt 2 1 1 2 x x x t e t e tdt e dx = + ⇒ = + ⇒ = ( ) ( ) 2 3 3 2 25 2 2 2 1 2 2 1 2 3 t t J dt t dt t − ⇒ = = − = ∫ ∫ ln 2 26 0 1dx x J e= + ∫ . ðặt ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 x x x t t e t e tdt e dxt t dx dx dt t = + ⇒ = + ⇒ = = − ⇒ = − ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 2 26 2 2 2 2 2 2 3 1 2 2 1 2 2 ln 2 3 2 ln 1 1 1 2 2 1 t t J dt dt t t t t −    −  ⇒ = = + = + = − +     + − −    − ∫ ∫ ( ) ( ) ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 27 0 0 0 0 0 1 1 2 dx 1 dx dx 2 ln 2 2 ln 1 ln18 1 1 1 x x x x x x x d e e e J e e e e +   − = = − = − = − + = −     + + +   ∫ ∫ ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt ( ) ( ) ( ) 1 1 1 28 0 0 0 2 1 1 1 1 1 29 2 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1 30 28 2 0 0 0 d 1 dx 2 ln 1 ln 1 1 1 1 dx 2 1 2 1 2 arctan 1 2 arctan 2 1 1 1 dx 1 1 1 2 dx 1 ln 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e J e e e e e e de J dx dx e e e e e J dx e J e e e e e π − − − − − − + = = − = − + = + + + +   = = + = + = + = + −     + + +     = = − = − = − −   + +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 1 1 1 3 2 31 3 3 2 2 3 0 0 0 1 1 1 1 1 7 1 1 dx 2 dx 3 3 3 x x x x x x x x e e e J e e e e e e e e e e − − − + +     = = + + = − − − = − + +         ∫ ∫ ( ) ln 2 ln 2 32 3 3 3 0 0 ln 4 ln 4 ln 4 33 2 0 0 0 dx 1 1 2 dx 1 2 ln 0 4 4 4 2 x x x x x x x x J e dx e e e d e e J e e e e − + − = = = − = = = = − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 1 1 3 2 2 34 0 0 0 dx 1 1 ln 1 2 1 1 x x x x x x x x e e J e e dx e x e e e − − − − − − −     − = = − + − = + + − +       + +     ∫ ∫ 2 1 1 1 1 ln 2 2 2 e e e + = + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 35 1 1 1 1 ln 2 2 dx 1 ln 1 ln 1 ln 2 2 1 3 3 e e e x J x d x x x + = = + + = + = − ∫ ∫ 3 5 2 36 0 1 dx J x x= + ∫ . ðặt 2 1 t x = + 36 848 105 J⇒ = ( ) 1 6 5 3 37 0 1 dx J x x= − ∫ . ðặt 3 1 t x = − 37 1 168 J⇒ = 1 3 2 38 0 1 dx J x x= − ∫ . ðặt 2 1 t x = − 38 2 15 J ⇒ = www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt ( ) ( ) ( ) 1 1 1 39 0 0 0 2 1 1 2 2 40 3 3 2 0 0 1 1 2 1 4 3 2 41 0 0 d 4 3 dx 1 1 1 ln 7 ln 4 2 ln 7 3 ln 4 3 3ln 4 3 3ln 4 4 3 4 3 dx 2 dx 1 1 1 2 1 1 2 1 ln arctan ln 2 ln 2 6 3 3 4 2 2 1 1 1 2 1 dx 2 2.2 2 4 x x x x x x x x x x x x J dx dt t t t J t t t J dx − −   + −   = = − = − = −   + +       + + −   = = = = + =   + + + − +   + = = + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 4 3 2 0 2 2.2 2 89 4ln 2 3ln 2 2 ln 2 12 ln 2 x x x   = + + =       ∫ 1 2 42 0 1 dx x x J e e= + ∫ . ðặt 2 1 1 2 x x x t e t e tdt e dx = + ⇒ = + ⇒ = ( ) 1 1 5 3 2 2 42 2 2 2 2 2 1 d 5 3 e e t t J t t t + +   ⇒ = − = − =       ∫ Nguồn: Hocmai.vn www.VNMATH.com . Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM,. x x x x d x   = + − = + + − + + + + +     ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường. 2 3 10 6 2 3 x J x d x x C x − − = = − − = − + − ∫ ∫ www.VNMATH.com Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương Hocmai.vn – Ngôi trường