Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 1 LƯNG GIÁC 1 – Các công thức lượng giác cơ bản: 1. 1cossin 22 =+ xx 2. x xtg 2 2 cos 1 1 =+ 3. x xg 2 2 sin 1 cot1 =+ 4. tgx.cotgx = 1 2 – Đường tròn lượng giác: 1. Đònh nghóa : Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O bán kính R = 1 2. Khảo sát : 3 – Tứ cung : a. Cung bù : sin( π - α ) = sin α cos( π - α ) = -cosα tg( π - α ) = - tgα cotg( π - α ) = - cotgα Cách nhớ: sin bù 0 2 π π O (I) (II) (III) (IV) + 0cot 0 0cos 0sin )(: 2 0 > > > > ∈≤≤ α α α α α π α g tg I A α cos - cos sin 2 3 π - sin Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 2 b. Cung đối: sin(- α ) = -sin α cos(- α ) = cosα tg(- α ) = - tgα cotg(- α ) = - cotgα Cách nhớ : cos đối c. Cung hơn kém π: sin( π + α ) = - sin α cos( π + α ) = -cosα tg( π + α ) = tgα cotg( π+α ) = cotgα Cách nhớ: hiệu π tg(cotg). d. Cung phụ: αα π αα π αα π αα π tgg gtg = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 cot cot 2 sin 2 cos cos 2 sin Cách nhớ: Phụ chéo 5 – Chu kỳ: a. y = sinx ( y= cosx ) T = 2 π Sin( α + k2π) = sinα cos( α + k2π) = cosα ;k∈Z b. y = tgx ( y= cotgx ) T = π Sin( α + kπ) = sinα cos( α + kπ) = cosα ;k∈Z 6 - Cơng thức cộng: sin( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa cos( a ± b ) = cosacosb m sina sinb tgatgb tgbtga batg − ± =± 1 )( Cách nhớ: Sin tổng bằng tổng sin co Cos tổng bằng hiệu đôi cô đôi chàng Tg tổng tử đã rõ ràng Mẫu 1 trừ với tích tg đôi mình. Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 3 7 – Công thức nhân đôi: sin2x = 2sinx.cosx cos2x = cos 2 x – sin 2 x = 2cos 2 x – 1 = 1 – 2 sin 2 x xtg tgx xtg 2 1 2 2 − = 8 – Công thức nhân ba: sin3x = 3sinx – 4sin 3 x cos3x = 4cos 3 x – 3cosx 9 – Công thức hạ bậc: () () xxx xxx x x x x 3sinsin3 4 1 sin 3coscos3 4 1 cos 2 2cos1 sin 2 2cos1 cos 3 3 2 2 −= += − = + = 10 – Công thức biến đổi tổng thành tích: B A BA tgBtgA BABA BA BABA BA BABA BA BABA BA coscos )sin( 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos + =+ −+ =− −+ =+ −+ =− −+ =+ 11 – Công Thức biến đổi tích thành tổng: [] [] [] [] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 1 cos .sin sin( ) sin( ) 2 A BABAB A BABAB AB AB AB AB AB AB =++− =− + − − =++− =+−− Cách nhớ: Cos cộng cos bằng 2 cos cos Cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin Sin cộng sin bằng 2 sin cos Sin trừ sin bằng 2 cos sin 12 – Công thức đổi biến: Đặt t = tg(x/2) 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin t t x t t x + − = + = Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 4 Vấn đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CƠ BẢN Dạng 1.Phương Trình Lượng Giác cơ bản Đặt u = u(x); v = v(x) 2 sin sin 2 cos cos 2 uvk uv uvk uvuuk tgutgv uuk cotgu cotgv u u k π ππ π π π =+ ⎧ =⇔ ⎨ =−+ ⎩ =⇔=±+ =⇔=+ =⇔=+ Chú ý : cos(-u) = cosu; cos(π-u) = cosu; sin(-u) = -sinu ; sin( π-u) = -sinu tg(-u) = - tgu ; tg( π-u) = - tgu cotg(-u) = -cotgu ; cotg( π-u) = -cotgu Bμi 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c sau: a) sin3x = - 3 2 b) sin(2x - 15 0 ) = 2 2 c) sin( 2 x + 10 0 ) = - 1 2 d) sin4x = 2 3 Bμi 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c sau: a) sin 2 x = 1 4 b) sin(3x + 6 π ) = sin( 5 6 π - x) c) cos(2x + 3 π ) + cos(x - 6 π ) = 0 d) sin( 3 π - x) = cos(2x + 3 π ) Bμi 3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh lùỵng gi¸c sau: a) cos(x + 3) = 1 3 b) cos(3x - 45 0 ) = 3 2 c) cos(3x + 3 π ) = - 1 2 d) (2 + cosx)(3cos2x - 1) = 0 Bμi 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c sau: a) tan(2x + 45 0 ) = - 1 b) cot(x + 3 π ) = 3 c) tan( 24 x π − ) = tan 8 π d) cot( 3 x + 20 0 ) = 3 3 − Bμi 5. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) tan(x - 3 π ) = tan( 5 4 π - x) b) cotx = cot(2x - 3 π ) c) tanx + tan3x = 0 d) tan2x.tan3x = 1 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 5 Bμi 6. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) sin 3 0 cos 3 1 x x = − b) cos 2 .cot( ) 0 4 xx π −= c) tan(2x + 60 0 ).cos(x + 75 0 ) = 0 d) (cotx + 1).sin3x = 0 Bμi 7. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ gi¸ trÞ cđa c¸c hμm sè t−¬ng øng b»ng nhau: a) y = cos(2x - 3 π ) vμ y = cos( 4 π - x) b) y = sin(3x - 4 π ) vμ y = sin(x + 6 π ) c) y = tan(2x + 5 π ) vμ y = tan( 5 π - x) d) y = cot3x vμ y = cot(x + 3 π ) Bμi 8. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau (Sư dơng c«ng thøc biÕn ®ỉi tỉng thμnh tÝch). a) sin3x - cos2x = 0 b) sin(x + 2 3 π ) = cos3x c) sin(3x - 5 6 π ) + cos(3x + 4 π ) = 0 d) cos 2 x = - cos(2x - 30 0 ) e) tanx. tan2x = - 1 f) cot2x.cot3x = 1 Bμi 9. T×m TX§ cđa hμm sè sau: y = 3sin2 cos 2 cos(4 ) cos(3 ) 54 xx xx ππ + ++ − Bμi 10. T×m nghiƯm cđa c¸c ph−¬ng tr×nh sau trªn c¸c kho¶ng ®· cho: a) sin2x = - 1 2 víi 0 < x < π b) cos(x - 5) = 3 2 víi - π < x < π c) tan(2x - 15 0 ) = 1 víi - 180 0 < x < 90 0 d) cot3x = - 1 3 víi - 2 π < x < 0 Bμi 11. BiĨu diƠn nghiƯm cđa mçi ph−¬ng tr×nh sau trªn ®−êng trßn l−ỵng gi¸c: a) cos2x = cosx b) sin( 4 π + x) = sin(2x - 4 π ) Dạng 2. Phương Trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: 1. Loại: acos 2 x + bcosx + c = 0 ( hoặc a.sin 2 x + bsinx + c = 0 ) Đặt u = cosx ( u = sinx ) , điều kiện –1 ≤ u ≤ 1 2. Loại: atg 2 x + btgx + c = 0 ( hoặc a.cotg 2 x + bcotgx + c = 0 ) Đặt u = tgx ( u =cotgx ) , Không cần điều kiện cho u Bμi 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 2cos 2 x + 3cosx + 1 = 0 b) 3sin 2 x - 5sinx - 2 = 0 c) cos2x + sinx - 1 = 0 d) 2 3 23tan 6 0 cos x x −−= Bμi 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 3sin 2 2x + 7cos2x - 3 = 0 b) 6cos 2 x +5sinx - 7 = 0 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 6 c) cos2x - 5sinx - 3 = 0 d) cos2x + cosx + 1 = 0 e) 6sin 2 3x + cos12x = 14 f) 4sin 4 x + 12cos 2 x = 7. Bμi 3. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) 3cot 2 (x + 15 π ) = 1 b) tan 2 (2x - 4 π ) = 3 c) 7tanx - 4cotx = 12 d) cot 2 x + ( 3 - 1)cotx - 3 = 0 Bμi 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau: a) cos4x - 3 2 cos2x + 3 2 - 1 = 0 b) 2 2 cos (2 ) sin(2 ) 0 44 xx ππ −− += c) sin 2 (2x - 4 π ) + 4cos( 3 4 π - 2x) + 3 = 0 d) 2 2 11 sin 4 3(sin ) sin sin xx x x ++= + Bμi 5. Gi¶i vμ biƯn ln ph−¬ng tr×nh sau: sin 2 x - (m + 1)sinx + m = 0 (m lμ tham sè) Bμi 6: Giải phương trình : 22 4sin 2 6sin 9 3cos 2 0 cos xx x x +−− = Bμi 7: Giải phương trình : () 2 cos 2 3 2 2 1 1 1sin2 xsinx cosx x +− − = + Bμi 8: Giải phương trình : 2 523(1).tansinx sinx x−= − Bμi 9: Giải phương trình : 88 2 17 sin 2 16 x cos x cos x+= Bμi 10: Tìm các nghiệm trên khoảng () 0; 2 π của phương trình : cos3 sin 3 53cos2 12sin2 xx sinx x x + ⎛⎞ +=+ ⎜⎟ + ⎝⎠ Bμi 11: Cho phương trình : cos 2 (2 1) cos 1 0 (*)xm xm−+ ++= . a) Giải phương trình khi m = 3/2. b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng 3 ; 22 ππ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ . Bμi 12: Giải phương trình : 2 2cos4 6 s 1 3cos2 0 cos xcox x x +++ = Bμi 13: Giải phương trình : () 1cos 2 1 52sin 1 1cos xcosx x x −+− = − Bμi 14: Giải phương trình : 2 323(1).cotcosx cosx x−=− − Bμi 15: Giải phương trình : 66 2 sin 2 1 x cos x cos x+= − Bμi 16: Tìm các nghiệm trên khoảng () 0; π của phương trình : sin 3 cos3 74cos2 2sin2 1 xx cosx x x − ⎛⎞ −=− ⎜⎟ − ⎝⎠ Bμi 17: Cho phương trình : cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)xm xm++ −−= . a) Giải phương trình khi m = 2. Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 7 b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng () ;2 ππ . Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin và cos của một cung: ) Có dạng: a.sinx + b.cosx = c (1) ) Phương pháp giải: + Tính a 2 + b 2 + Chia 2 vế cho 22 ab+ ⇒ … ⇒ cos(x - α ) = …. + Ta giải phương trình trên dựa vào phương trình LG cơ bản. ) Chú ý: Phương trình (1) có nghiệm khi a 2 + b 2 ≥ c 2 Bài 1: Giải phương trình : 3 3sin3 3cos9 1 4sin 3 x xx−=+ Bài 2: Giải phương trình : 31 8sinx cosx sinx =+ Bài 3: Giải phương trình : sin 2 2 cos 2 1 4 x xsinxcosx+=+− Bài 4 : Giải phương trình : 96cos3sin2cos28sinx x x x+− += Bài 5 : Giải phương trình : 3 2cos2 0cos x x sinx++= Bài 6 : Giải phương trình : 33 sin x cos x sinx cosx+=− Bài 7 : Giải phương trình : 4 44 (sin ) 3 sin 4 2xcosx x++ = Bài 8: Giải phương trình : 3 4s2 3sin6 23s2co x x co x+=+ Bài 9: Giải phương trình : 31 8 sin cosx x cosx =+ Bài 10: Giải phương trình : 2 sin 2 2sin 1 4 2 2sin cos 2 x x sin xcosx cos x x x+−= +− Bài 11: Giải phương trình : 4cos sin2 2cos2 1sinx x x x+−+ = Bài 12: Giải phương trình : 3 2sin cos2 0xxcosx−+= Bài 13: Giải phương trình : 33 sin x cos x sinx cosx−=+ Bài 14: Giải phương trình : 66 8(sin ) 3 3sin 8 2x cos x x+− = Bài 15: Giải các phương trình : a) +=−cos 3sin 1xx b) 2sin3cos =+ xx c) 44 4(sin cos ) 3 sin4 2xx x++ = d) x tgx cos 1 3 =− e) 3 1sincos2 2sincos 2 = −− − x x xx Dạng 4: Phương trình đẳng cấp: ) Có dạng: asin 2 x + bsinx.cosx + c.cos 2 x = d (a,b,c ≠ 0 ) (1) * Cách 1: + TH 1 cosx = 0 ⇔ x = 2 k π π + . Thay vào pt (1) ⇒ KL + TH 2 cosx ≠ 0. Chia 2 vế của pt (1) cho cos 2 x pt (1) ⇒ … ⇒ m.tg 2 x + n.tgx + p = 0 (2) Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 8 Ta giải pt (2) dựa vào pt bậc 2 theo một hàm số LG . *Cách 2: Ta sử dụng công thức hạ bậc 22 1 cos 1 cos sin cos 22 x x x −+ == Ta đưa pt (1) về pt bậc nhất theo sin và cos. Bài 1: Giải phương trình cos 2 x - 3 sin2x = 1 + sin 2 x Bài 2 : Giải phương trình 3cos 4 x – 4sin 2 xcos 2 x + sin 4 x = 0 Bài 3 : Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x Bài 4 : Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0 Bài 5 : Giải phương trình sinx – 4sin 3 x + cosx = 0 Bài 6 : Giải phương trình 4sin 2 x – 3sinxcosx + () 34+ cos 2 x = 4 Bài 7: Giải phương trình: 031coscos.sin)31(sin3 22 =−+−−+ xxxx Bài 8: Giải phương trình : sin 2 x + 2 (1 3 ) sin cos 3 0xx cosx++= Bài 9: Giải phương trình : 2sin 2 x + sinxcosx – 5cos 2 x = 1 Bài 10: Giải phương trình : cos 2 x – 3sin 2 x – 4sinxcosx = 0 Bài 11: Giải phương trình : 10cos 2 x – 5sinxcosx + 3sin 2 x = 4 Bài 12: Giải phương trình : cos 2 x + sinxcosx + 3sin 2 x = 3 E. Phương Trình đối xứng: ) Có dạng: a( cosx ± sinx ) + b.sinx.cosx + c = 0 (1) ) Phương Pháp giải: + Đặt u = cosx ± sinx ( 22u−≤≤ ) Ta đưa pt (1) về pt bậc 2 theo u. Bài 1: Giải phương trình : a) sin2 2 2(sin cos ) 5 0xxx−+−= b) sin2 4(cos sin ) 4 x xx+−= Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 9 Phần II – MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC I. C¬ së lÝ ln Chóng ta ®−a ra mét nguyªn t¾c chung th−êng dïng khi gi¶i ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c. Th«ng th−êng ph¶i thùc hiƯn c¸c viƯc sau: # NÕu ph−¬ng tr×nh chøa nhiỊu hμm l−ỵng gi¸c kh¸c nhau th× biÕn ®ỉi t−¬ng ®−¬ng vỊ ph−¬ng tr×nh chØ chøa mét hμm l−ỵng gi¸c. # NÕu ph−¬ng tr×nh chøa c¸c hμm l−ỵng gi¸c cđa nhiỊu cung kh¸c nhau th× biÕn ®ỉi t−¬ng ®−¬ng vỊ ph−¬ng tr×nh chØ chøa c¸c hμm l−ỵng gi¸c cđa mét cung. Sau khi biÕn ®ỉi nh− trªn nÕu ph−¬ng tr×nh nhËn ®−ỵc kh«ng cã d¹ng quen thc th× cã thĨ ®i theo hai h−íng: ª H−íng thø nhÊt: BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®−a vỊ viƯc gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¬n gi¶n quen thc. C¸c ph−¬ng ph¸p biÕn ®ỉi theo h−íng nμy gåm cã: ) Ph−¬ng ph¸p ®Ỉt Èn phơ ) Ph−¬ng ph¸p h¹ bËc ) Ph−¬ng ph¸p biÕn ®ỉi thμnh ph −¬ng tr×nh tÝch ) Ph−¬ng ph¸p tỉng c¸c sè h¹ng kh«ng ©m ) Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ ) Ph−¬ng ph¸p hμm sè ª H−íng thø hai Dïng lËp ln ®Ĩ kh¼ng ®Þnh ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i v« nghiƯm II. Ví dụ minh họa: a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết Ví dụ : Giải phương trình: 0 2 3 2sincossin 44 =−++ xxx b. Phương pháp 2 : Biến đổi pt đã cho về dạng tích số Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: A=0 .0 B=0 AB ⎡ =⇔ ⎢ ⎣ hoặc A=0 0 B=0 C=0 ABC ⎡ ⎢ =⇔ ⎢ ⎢ ⎣ Ví dụ : Giải các phương trình : a. 22 2 sin sin 2 sin 3 2xxx++= b. 2222 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x xxx−=− c. 3 2sin cos2 cos 0xxx+−= d. 03) 4 sin(2cos222sin =++++ π xxx c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ Một số dấu hiệu nhận biết : * Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 10 Ví dụ : Giải các phương trình : a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx c. 1 2cos2 8cos 7 cos xx x −+= d. 22cossin 24 =+ xx * Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosx x x± Ví dụ : Giải phương trình : a. ++ = 33 3 1sin cos sin2x 2 xx b. 1)cos(sin2cossin 33 −+=+ xxxx II. C¬ së thùc tiƠn VÝ dơ 1 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin(2x - 3 π ) = 5sin(x - 6 π ) + cos3x (1) Gi¶i: §Ỉt t = x - 6 π ⇒ 2x - 3 π = 2t vμ 3x = 3t + 2 π Khi ®ã (1) ⇔ sin2t = 5sint + cos(3t + 2 π ) ⇔ sin2t = 5 sint - sin3t ⇔ sin3t + sin2t = 5sint ⇔ 3sint - 4sin 3 t + 2sint.cost = 5sint ⇔ (3 - 4sin 2 t + 2cost - 5) sint = 0 ⇔ (2sin 2 t - cost + 1)sint = 0 ⇔ (2cos 2 t + cost - 3) sint = 0 ⇔ sin 0 cos 1 3 cos 2 t t t ⎡ ⎢ = ⎢ = ⎢ ⎢ =− ⎢ ⎣ ⇔ sint = 0 ⇔ t = k π ⇔ x - 6 π = k π ⇔ x = 6 π + k π , k ∈  VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiƯm VÝ dơ 2 : Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin( 3 10 2 x π − ) = 13 sin( ) 2102 x π + (2) Gi¶i §Ỉt t = 3 10 2 x π − ⇒ π - 3t = 3 10 2 x π + Khi ®ã (2) ⇔ sint = 1 sin( 3 ) 2 t π − ⇔ 2sint = sin3t ⇔ 2sint = 3sint - 4sin 3 t ⇔ 4sin 3 t - sint = 0 ⇔ (4sin 2 t - 1)sint = 0 ⇔ (1 - 2cos2t)sint = 0 (loại) [...]... = - (4cos3t - 3cost) - (3sint - 4sin3t) ⇔ 4cos3t - cost + 3sint - 4sin3t = 0 (5) Ta xÐt hai tr−êng hỵp: TH1: Víi cost = 0 ⇔ t = π 2 ) - cos(3t - + kπ , k ∈  Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 11 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 3sin( VËy t = π 2 GV: NGUYỄN MINH TRIẾT π 2 + kπ ) - 4sin3( π 2 + kπ ) = 0 (V« lý) + kπ kh«ng lμ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh π + kπ... tan3x = 8 cot3x = 3cos x + cos 3x 3sin x − sin 3x 1 Chó ý: sinx.cosx = sin2x 2 H¹ bËc ®èi xøng: Gi¶ sư cÇn biÕn ®ỉi biĨu thøc cã d¹ng: TH2: Víi cost ≠ 0 ⇔ t ≠ Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 12 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT A = sin3xcos3x + cos3xsin3x Ta cã thĨ lùa chän hai c¸ch sau C¸ch 1: Ta cã A = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = (1 - cos2x).sinx.cos3x... (gi¶ sư b»ng 3) Th«ng th−êng ta kh«ng ®i h¹ bËc tÊt c¶ c¸c nh©n tư ®ã mμ chØ chän ra hai nh©n tư ®Ĩ h¹ bËc Cơ thĨ ta xÐt vÝ dơ sau: VÝ dơ 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 13 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT sin23x - sin22x - sin2x = 0 (3) Gi¶i 1 − cos 6 x 1 − cos 2 x − sin 2 2 x − = 0 ⇔ (cos6x - cos2x) + 2sin22x = 0 2 2 ⇔ -2 sin4x.sin2x +... 2cos2 = 3cos (5) 5 5 Gi¶i 6x 4x 6x 4x Ta cã (5) ⇔ 1 + 1 + cos = 3cos ⇔ 2 + cos = 3cos 5 5 5 5 2x , ph−¬ng tr×nh ®−ỵc biÕn ®ỉi vỊ d¹ng: §Ỉt t = 5 Ta cã (3) ⇔ Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 14 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT 2 + cos3t = 3cos2t ⇔ 2 + 4cos3t - 3cost = 3(2cos2t - 1) ⇔ 4cos3t - 6cos2t - 3cost + 5 = 0 ⇔ (cost - 1)(4cos2t - 2cost - 5) = 0 ⎡ ⎢ cos... sin22x - cos28x = sin( + 10x) d cos4x - cos2x + 2sin6x = 0 2 π 1 sin10 x + cos10 x sin 6 x + cos 6 x 4 4 e cos x + cos (x + ) = f = 4 4sin 2 2 x + cos 2 2 x 4 4 Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 15 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Bμi to¸n 4: BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c thμnh ph−¬ng tr×nh tÝch ViƯc biÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c vỊ ph−¬ng tr×nh tÝch phơ thc... cđa ph−¬ng tr×nh lμ h»ng sè kh¸c kh«ng hc chøa tham sè th× c¸ch 2 lμ sù lùa chän tèi −u VÝ dơ 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 (2) Gi¶i Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 16 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Ta cã (2) ⇔ (cosx + cos3x) + (cos2x + cos4x) = 0 ⇔ 2cos2x.cosx + 2cos3x.cosx = 0 ⇔ 2cosx(cos2x + cos3x) = 0 5x x ⇔ 2.cosx.cos cos = 0... = cos( π − x) ⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎣ ⎣ ⎢ 2 x = − π + x + k 2π ⎢ 2 ⎣ π ⎡ ⎢ x = − 4 + kπ ⎢ 2π π ⇔ ⎢ x= +k ,k ∈ ⎢ 6 3 ⎢ ⎢ x = − π + k 2π ⎢ 2 ⎣ VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 17 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT D¹ng 3: Lùa chän phÐp biÕn ®ỉi cho cos2x VÝ dơ 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2cos3x + cos2x + sinx = 0 (1) Gi¶i Ta cã (1) ⇔ 2cos3x + 2cos2x -... sin x − cos x = 0 (2) Gi¶i (1): Ta ®−ỵc x = - π 4 + kπ , k ∈  π ⎡ ⎢ x = − 2 + k 2π , k ∈  Gi¶i (2): Ta ®−ỵc ⎢ ⎣ x = π + k 2π VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 18 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT B×nh ln: §«i khi viƯc nhãm c¸c to¸n tư trong ®Çu bμi l¹i lμm t¨ng ®é phøc t¹p cđa bμi to¸n Khi ®ã ®Ĩ tiƯn cho viƯc c©n nh¾c lùa chän... (3cos22x - cos2x - 2).sinx = 0 ⎡ cos 2 x = 1 2 2 ⎡ ⎡ ⎢ 2 ⎢cos 2 x = − 3 ⇔ ⎢ 2 x = ± arccos(− 3 ) + k 2π ⇔ ⎢cos 2 x = − ⇔ ⎢ ⎢ 3 ⎢ x = kπ ⎣ sin x = 0 ⎣ ⎢ sin x = 0 ⎣ Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 19 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT 1 2 ⎡ ⎢ x = ± 2 arccos(− 3 ) + kπ , k ∈  ⇔ ⎢ x = kπ ⎣ VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm B×nh ln: Bμi to¸n trªn häc sinh còng cã thĨ gi¶i... 3)(sinx - 1) ≤ 0 ⎧ Δ=0 ⎧sin x − 1 = 0 ⎧ sin x = 1 ⎪ ⎪ Do ®ã ph−¬ng tr×nh trë thμnh: ⎨ b ⇔⎨ 2 x 1 ⇔⎨ ⎩1 − cos x = 1 ⎪t = − 2a ⎪ sin 2 = 2 ⎩ ⎩ Gi¶i (1): Ta ®−ỵc x = Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 20 Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT π + k 2π , k ∈  2 VËy ph−¬ng tr×nh cã mét nghiƯm C¸ch 2: Ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng: x x x x (sin2 - 1)(sinx . Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 1 LƯNG GIÁC 1 – Các công thức lượng giác cơ bản: 1. 1cossin 22 =+. Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 4 Vấn đề : PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CƠ BẢN Dạng 1.Phương Trình Lượng Giác. Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 10 Ví