Trường em http://truongem.com I/KIẾN THỨC CẦN NHỚ I./CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos2a – sin2a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos2a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = – 2sin2a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tana + tanb 2.tana tan(a + b) = - tana.tanb tan2a = - tan2a tana - tanb tan(a - b) = + tana.tanb + cos 2a 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos2a = - cos2a sin2a = 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH a-b a+b cosa + cosb = 2.cos cos a+b a-b cosa - cosb = -2.sin sin a+b a-b sina + sinb = 2.sin cos a+b a-b sina - sinb = 2.cos sin tan a + tan b = sin(a + b) cosacosb sin(a − b) cosacosb 5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) - cos(a + b)] tan a − tan b = sin acosb= cosasinb= [sin(a + b) + sin(a − b)] [sin(a + b) − sin(a − b)] II/Các đẳng thức lượng giác : • • sin α π ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α π * tan α + = ( với ∀α ≠ + kπ ,k ∈ Z ) cos α sin α + cos2 α = cot α = • * tan α = cos α ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) sin α ( với ∀x ≠ kπ ,k ∈ Z ) cot α + = sin α Trường em • http://truongem.com tan α cot α = ( với ∀α ≠ kπ ,k ∈ Z ) Cung k2π kπ : • sin ( x + k 2π ) = sin x • cos ( x + k 2π ) = cos x cot ( x + kπ ) = cot x tan ( x + kπ ) = tan x Cung đối : • sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x • tan ( − x ) = − tan x cot ( − x ) = − cot x Cung bù : • sin (π − x ) = sin x • cos (π − x ) = − cos x tan (π − x ) = − tan x cot (π − x ) = − cot x Cung phụ : π •  sin  − x  = cos x 2  π  cos  − x  = sin x 2  • π  tan  − x  = cot x 2  π  cot  − x  = tan x 2  Cung π/2 : π  • • π  cos  + x  = − sin x 2  sin  + x  = cos x 2  π  tan  + x  = − cot x 2  π  cot  + x  = − tan x 2  Cung π : • sin (π + x ) = − sin x • cos (π + x ) = − cos x tan (π + x ) = tan x cot (π + x ) = cot x Cơng thức chia đơi : • sin x − cos x =± 2 • tan x − cos x − cos x =± = + cos x sin x cos Công thức nhân ba : • • sin 3x = 3sin x − 4sin x cos3x = 4cos3 x − 3cos x x + cos x =± 2 Trường em http://truongem.com • tan x = tan x − tan x  π   ∀x,3 x ≠ + kπ  − 3tan x   • cot x = cot x − 3cot x ( ∀x,3x ≠ kπ ) 3cot x − Cơng thức hạ bậc : • • • (1 − cos x ) − cos x  π  tan x =  ∀x ≠ + kπ  + cos x   sin x = cos x = 3sin x − sin x Cơng thức theo t = tan • (1 + cos x ) + cos x cot x = ( ∀x ≠ kπ ) − sin x sin x = cos x = 3cos x + cos x x : 1− t2 cos x = 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 tan x = 2t  x π  ∀x, ≠ + kπ   1− t  2  sin π 3π π 4 2π π cos O -1 7π 5π 4 -1 3π 6.BẢNG x sin r a -π π d đ -180o ộ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT 5π π -6 3π π -4 2π π -3 π -2 π -3 π -4 π -6 π π π π 2π π 3π π 5π π π -150o -135o -120o -90o -60o -45o -30o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o -2 - - 2 2 3 2 2 -1 - 2 - -2 Trường em http://truongem.com - -2 2 - 3 || - || 1 - cos -1 tan cot -1 3 -1 - 3 -2 - || - 3 || 2 3 - -1 -1 - -1 - || KIẾN THỨC CƠ BẢN y = sinx Tập xác định Tập giá trị Chu kỳ Tính chẵn lẻ Sự biến thiên y = tanx D=R\{ π + kπ} y = cotx D=R D=R T = [– ; ] T = [– ; ] R R T = 2π T = 2π T=π T=π Leû Chẵn Lẻ Lẻ Đồng biến trên:  π  π  − + k2π ; + k2π    Đồng biến trên: ( −π + k2π ; k2π ) Đồng biến khoảng:  π  π  − + kπ ; + kπ    Nghịch biến khoảng: ( kπ ; π + kπ ) Nghịch biến trên: π  3π + k2π   + k2π ; 2  x Bảng biến thiên y = cosx y = sinx –π − π Nghịch biến trên: ( k2π ; π + k2π ) π π 0 x –π π π +∞ y = tanx –∞ –1 x − D = R \ {kπ} π x y =cosx +∞ π y = cotx –1 –∞ –1 a Đồ thị a y = sinx ……………………………………………………………………………… y = cosx y = tanx …………………………………………………………………………………… y = cotx Trường em http://truongem.com II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1≤ a ≤ 1) ≤  x = arcsina+k2π  x = α +k2π sinx = a ⇔  ; k ∈ Z +sinx = sinα ⇔  ; k ∈ Z ( a = sinα)  x = π − arcsina+k2π  x = π − α +k2π sinx = ⇔ x = kπ; k ∈ Z π sinx = ⇔ x = + k2π; k ∈ Z π sinx = -1 ⇔ x = -2 + k2π; k ∈ Z 2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1) ≤  x = arccosa+k2π  x = α +k2π cosx = a ⇔  ; k ∈ Z +cosx = cosα ⇔  ; k ∈ Z ( a = cosα)  x = −arccosa+k2π  x = −α +k2π π cosx = ⇔ x = + kπ; k ∈ Z cosx = ⇔ x = k2π; k ∈ Z cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z 3.Phương trình tanx=a π  TXĐ: \  + kπ , k ∈  2  + t anx=a ⇔ x=arctana+kπ ,k ∈ tanx=1 ⇔ x= π + tanx=tanα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ + kπ , k ∈ π + kπ , k ∈ t anx=0 ⇔ x=kπ , k ∈ 4.Phương trình cotx=a TXĐ: \ {kπ , k ∈ } tanx=-1 ⇔ x=- + co t x=a ⇔ x=arccota+kπ ,k ∈ + cotx=cotα ⇔ x=α +kπ ,k ∈ Trường em http://truongem.com cotx=1 ⇔ x= π + kπ , k ∈ cotx=-1 ⇔ x=co t x=0 ⇔ x= π π + kπ , k ∈ + kπ , k ∈ III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( a + b ≠ ) ⇔ đặt: a 2 s inx+ a +b a   cosα = a + b2   b sin α =  a + b2  b a +b cosx= phương trình trở thành: s inxcosα + cosx sin α = ⇔ sin( x + α ) = c a + b2 c a2 + b2 c a + b2 *Chú ý 2 +Phương trình có nghiệm c ≤ a + b +Nếu a.b ≠ 0, c = thì: a sin x + b cos x = ⇔ tan x = − b a 2.Phương trình : asin x + b s inxcosx+ccos x = (1) +Nếu a = 0: b s inxcosx+ccos x = cosx=0  ⇔ cosx(bsinx+ccosx)=0 ⇔   bsinx+ccosx=0 +Nếu c = 0: asin x + b s inxcosx=0 sinx=0  ⇔ sinx(asinx+bcosx)=0 ⇔  asinx+bcosx=0 sin x s inxcosx cos x +Nếu a ≠ 0, c ≠ 0, cos x ≠ : (1) ⇔ a +b +c =0 cos x cos x cos x ⇔ a tan x + b t anx+c=0 IV /Các kết thường dùng : • π π   sin x + cos x = sin  x +  = cos  x −  4 4   • π π   sin x − cos x = sin  x −  = − cos  x +  4 4   • π  tan x + cot x = −2cot x  ∀x ≠ k  2  Trường em • http://truongem.com tan x − cot x =  π  ∀x ≠ k  sin x  2 + cos x 4 • sin x + cos x = + cos x 8 π x • + sin x = cos  −   2 • sin x + cos x = • π x − sin x = 2sin  −   2 • + tan x = π  cos  x −  4  cos x − tan x = π  sin  − x  4  cos x V/ Các đẳng thức tam giác : • • • • • • • • • • A B C cos cos 2 A B C cos A + cos B + cos C = + 4sin sin sin 2 tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C cot A cot B + cot B cot C + cot C cot A = cos2 A + cos B + cos C = − 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = + 2cos A cos B cos C sin A + sin B + sin 2C = 4sin A sin B sin C cos A + cos B + cos 2C = −1 − 4cos A cos B cos C A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 sin A + sin B + sin C = 4cos VI/Các phương trình lượng giác thường gặp : Các họ nghiệm : • u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  u = π − v + k 2π • π  v ≠ + lπ tan u = tan v ⇔  ( ∀k , l ∈ u = v + kπ  u = v + k 2π cos u = cos v ⇔  ( ∀k ∈ u = −v + k 2π v ≠ lπ cot u = cot v ⇔  ( ∀k , l ∈ u = v + kπ ) ) ) Trường em http://truongem.com 1/Phương trình bậc theo hàm số lượng giác u : −b (1) a a sin u + b = −b cos u = ( 2) a cos u + b = a Có dạng: ;a ≠ → a tan u + b = −b tan u = ( 3) a a cot u + b = −b cot u = ( 4) a sin u = Đối với phương trình (1) (2) cần có thêm điều kiện −b ;α a −b co s α = ;α a −b ta n α = ;α a −b co t α = ;α a s in α = Chọn α cho −b ≤1 a  −π π  ∈  ;  2  ∈ [0 ; π ] ⇒ đưa họ nghiệm để giải  −π π  ∈  ;  2  ∈ [0 ; π ] Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác u : sin u = t   t ≤1 cos u = t  a cos u + b cos u + c = Có dạng: ; a ≠ Đặt tan u = t a tan u + b tan u + c = cot u = t a cot u + b tan u + c = a sin u + b sin u + c = ⇒ Phương trình bậc hai at2 + bt + c = Giải phương trình tìm t (xét điều kiện có) ⇒ họ nghiệm bản, giải tìm x Các dạng khác : Dạng phương trình Dạng : Phương trình bậc bậc hai f(x),trong f(x) biểu thức lượng giác Phương pháp giải Đặt ẩn phụ t = f(x) Cách : Biến đổi vế trái dạng C sin ( x + α ) với C = a + b ,α số thực cho Dạng : Phương trình bậc sin x cos x cos α = Cách : a a2 + b2 sin α = b a2 + b2 Trường em http://truongem.com • • Tìm nghiệm thỏa cos x =0 x x ≠ đặt t = tan ta 2 1− t2 2t có: sin x = ; cos x = Đưa 1+ t2 1+ t2 Với cos phương trình cho thành phương trình bậc hai theo ẩn t Dạng : Phương trình đối xứng với sin x cos x : • a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = • a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = Đặt π  t = sin x ± cos x = sin  x ±  ∈  − 2;   4    t2 −1  sin x cos x = ±     Cách : • Tìm nghiệm thỏa cos x = • Với cos x ≠ chia hai vế Dạng : Phương trình bậc hai phương trình cho cos x dể đưa sin x cos x : phương trình cho dạng phương 2 a sin x + b sin x cos x + c cos x = trình bậc hai theo ẩn tan x Với a2 + b2 + c2 ≠ Cách : • Tìm nghiệm thỏa sin x = • Với sin x ≠ chia hai vế phương trình cho sin x dể đưa phương trình cho dạng phương trình bậc hai theo ẩn cot x Dạng : Phương trình bậc ba Cách giải tương tự phương trình sin x cos x : bậc hai chia hai vế cho cos3 x a sin x + b cos3 x + c sin x cos x + d sin x cos x + sin x ý áp dụng đẳng thức lượng giác +e sin x + f cos x = Kết hợp công thức nghiệm : Kết hợp công thức nghiệm PTLG giúp cho ta loại nghiệm ngoại lai mà cịn có cơng thức nghiệm đơn giản hơn, từ việc giải tốn trở nên đơn giản (giống toán mà ta vừa xét trên) Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm tương tự việc giải hệ phương trình lượng giác phương pháp Ở ta không đề cặp đến phương pháp mà ta nói đến hai phương pháp chủ yếu sau : a) Đường tròn lượng giác * Các khái niệm : • Đường trịn lượng giác: đường trịn có bán kính đơn vị R = ta chọn chiều dương ( + ) (thông thường chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ) Trường em • http://truongem.com Cung lượng giác: AB (với A, B điểm đường tròn lượng giác) cung vạch điểm M di chuyển đường tròn lượng giác theo chiều định từ A đến B • Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có chiều định *Phương pháp biểu diễn góc cung lượng giác : • Biểu diễn điểm cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ : 2π m Một số cơng thức dùng nhiều phương pháp : cot gx − tgx = cot g 2x Ta đưa số đo dạng α + k cot gx + tgx = sin x − cot gx = − cot g 2x sin x 10 Trường em http://truongem.com VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Tìm phương giao tuyến Từ xác định thiết diện hình chóp tạo mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước IV HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Định nghóa (P) // (Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ Tính chất • Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) • Nếu đường thẳng d song song với mp(P) có mp(Q) chứa d song song với (P) • Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với • Cho điểm A ∉ (P) đường thẳng qua A song song với (P) nằm mp(Q) qua A song song với (P) • Nếu mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng giao tuyến chúng song song với • Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng • Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ • Định lí Thales đảo: Giả sử hai đường thẳng d d′ lấy điểm A, B, C A′, B′, C′ cho: AB BC CA = = A ' B ' B 'C ' C ' A ' Khi đó, ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ nằm ba mặt phẳng song song, tức chúng song với mặt phẳng VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: • Tìm phương giao tuyến cách sử dụng định lí: Nếu mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba giao tuyến song song • Sử dụng định lí để xác định thiết diện hình chóp bị cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước 37 Trường em http://truongem.com CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa phép toán • Định nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng • Lưu ý: uuu uuu uuu r r r + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = uuur uuu AC uuu r r + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta coùr AB + AD = AC r : uuur uuur uuuu uuu + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta coù: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm uu nrthẳng: uuu Iuuu trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý đoạuu Cho uur r r r r Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tam giár : Cho G trọng uuum uuur tam giác ABC, O tuỳ ý Ta có: uuu uuuc uuur r r uuu târ cuûa uuur r GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ r uuu Cho G trọng tâm củauuu diện ABCD, O tuỳ ý Ta có: diệ uuu n:r uuur uuur r uuu tứ uuur uuur r r uuur GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b cù ng phương (a ≠ 0) ⇔ ∃! k ∈ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta có: uuu r uuu r uuur uuur uuuu OA − kOB r MA = k MB; OM = 1− k Sự đồng phẳng ba vectơ • Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a , b , c , a b không r r r r r r phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c = ma + nb r r r r • Cho ba vectơ a , b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x = ma + nb + pc Tích vô hướng hai vectơ • Góc hai vectơ không gian: uuu r uuu r r r r r AB = u , AC = v ⇒ (u , v ) = BAC (0 ≤ BAC ≤ 1800 ) • Tích vô hướng hai vectơ khoâng gian: r r r rr r r r r + Cho u , v ≠ Khi ñoù: u.v = u v cos(u , v ) r r r r rr + Với u = v = Qui ước: u.v = r r rr + u ⊥ v ⇔ u.v = 38 Trường em http://truongem.com II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC r r r Vectơ phương đường thẳng: a ≠ VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: • a′//a, b′//b ⇒ ( a, b ) = ( a ', b ' ) r r r r • Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) = α Khi đó:  ( a, b ) = α  180 − α  neá u 0 ≤ α ≤ 180 neá u 900 < α ≤ 180 • Nếu a//b a ≡ b ( a, b ) = 0 Chú ý: 0 ≤ ( a, b ) ≤ 900 Hai đường thẳng vuông góc: • a ⊥ b ⇔ ( a, b ) = 900 r r rr • Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ⊥ b ⇔ u.v = • Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghóa d ⊥ (P) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ⊂ ( P ), a ∩ b = O ⇒ d ⊥ (P)  d ⊥ a, d ⊥ b Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a ⁄⁄b •  ⇒ (P) ⊥ b ( P ) ⊥ a ( P ) ⁄⁄ (Q) •  ⇒ a ⊥ (Q) a ⊥ (P ) a ⁄⁄ ( P ) •  ⇒b⊥a b ⊥ ( P ) Định lí ba đường vuông góc a ≠ b •  ⇒ a ⁄⁄b a ⊥ (P ), b ⊥ ( P ) ( P ) ≠ (Q) •  ⇒ ( P ) ⁄⁄(Q) ( P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a a ⊄ ( P ) •  ⇒ a ⁄⁄( P ) a ⊥ b,(P ) ⊥ b 39 Trường em http://truongem.com Cho a ⊥ ( P ), b ⊂ ( P ) , a′ hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a ⇔ b ⊥ a′ Góc đường thẳng mặt phẳng ( ) • Nếu d ⊥ (P ) ( d ,( P ) ) = ( d , d ' ) Chú ý: 00 ≤ ( d ,( P ) ) ≤ 900 • Nếu d ⊥ (P) d ,( P ) = 900 với d′ hình chiếu d (P) VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) • Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) • Chứng minh d // a a ⊥ (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ⊥ a, ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a • Sử dụng định lí ba đường vuông góc • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng a ⊥ (P ) •  ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) b ⊥ (Q) ( ) ( ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng  ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) b ⊂ (Q), b ⊥ c Chú ý: ( ) 0 ≤ ( P ),(Q) ≤ 90 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) ( ) (Q), ϕ = (P ),(Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ Hai mặt phẳng vuông góc ( ) • (P) ⊥ (Q) ⇔ ( P ),(Q) = 90 ( P ) ⊃ a • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:  ⇒ ( P ) ⊥ (Q) a ⊥ (Q) Tính chất ( P ) ⊥ (Q)  ( P ) ⊥ (Q),(P ) ∩ (Q) = c •  •  A ∈ (P ) ⇒ a ⊂ (P) ⇒ a ⊥ (Q) a ⊂ ( P ), a ⊥ c a ∋ A, a ⊥ (Q)  40 Trường em http://truongem.com ( P ) ∩ (Q) = a  • ( P ) ⊥ ( R) ⇒ a ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R)  VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: • Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q) Khi đó: ( ( P ),(Q) ) = ( a, b ) ( ) a ⊂ ( P ), a ⊥ c • Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng  ⇒ ( P ),(Q) = ( a, b ) b ⊂ (Q), b ⊥ c VAÁN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ⊥ (Q) ( ) • Chứng minh ( P ),(Q) = 90 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d ⊂ (Q) với (Q) ⊥ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) • Chứng minh d = (Q) ∩ (R) với (Q) ⊥ (P) (R) ⊥ (P) • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S′ diện tích hình chiếu (H′) (H) ( ) (Q), ϕ = (P ),(Q) Khi đó: S′ = S.cosϕ IV KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) = MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,( P )) = MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b • Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b • Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng 41 Trường em http://truongem.com VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a ⊥ b: • Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A • Dựng AB ⊥ b B ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song • Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a • Chọn M ∈ a, dựng MH ⊥ (P) H • Từ H dựng đường thẳng a′ // a, cắt b B • Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a O • Dựng hình chiếu b′ b (P) • Dựng OH ⊥ b′ H • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A ⇒ AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH § VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Dạng XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ VỀ VECTƠ I)CÁC ĐỊNH NGHĨA 1)Vec tơ , giá, độ dài vec tơ •Vec tơ khơng gian đoạn thẳng có hướng •Giá vec tơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vec tơ Hai vec tơ gọi phương giá chúng song song trùng Hai vec tơ phương hướng ngược hướng •Độ dài vec tơ độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối vec tơ 2)Hai vec tơ nhau, vec tơ -không r r r r • a, b chúng có độ dài hướng kí hiệu a = b •Ve tơ- khơng vec tơ có điểm đầu điểm cuối trùng II)PHÉP CỘNG VÀ TRỪ VEC TƠ 1)Định nghĩa r r uuu r uuu r r r •Cho hai vectơ a b Trong không gianrlấy điểm A uuu ý,uuu AB = r , BC = b Vec tơ tùy vẽ r a uuur r uuur r r AC gọi tổng hai vec tơ a b , kí hiệu AC = AB + BC = a + b 42 Trường em http://truongem.com r r r r r r r r •Vec tơ b vec tơ đối a b = a a , b ngược hướng kí hiệu a = - b r r r r • a - b = a + (- b ) 2)Tính chất r r r r r r r r r r •a + b= b+a •( a + b )+ c = a +( b + c ) r r r r r r r r r r r •a + a +0 = 0+ a = a • a + −a = −a + a = ( ) 3)Các quy tắc a)Quy tắc điểm Với ba điểmuuur A,B,C ta có uuu uuu r r AB uuur uuu uuu + BC = AC r r BC = AC − AB B A C b)Quy tắc hình bình hành Với hình bình hành ABCD ta có B C A D uuu uuur uuur r AB + AD = AC c)Quy tắc hình hộp uuuu r uuu uuur uuuu r r AC / = AB + AD + AA/ 43 Trường em http://truongem.com B C A D C' B' A' D' III)TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ 1)Định nghĩa r r r r Cho số k≠0 vec tơ a ≠ Tích vec tơ a với số k vec tơ, kí hiệu k a , r r r hướng với a k > 0, ngược hướng với a k 90 góc (α) (β) 1800 - xOy Cách 2.Nếu (α) (β) chứa hai tam giác ACD, BCD có cạnh đáy CD gọi I trung điểm CD ,ta có AI ⊥ CD, BI ⊥ CD Từ tính góc AIB Cách Diện tích hình chiếu : S/=S cosα II/ HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 1/ Định nghĩa Hai mặt phẳng (α) (β) gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng 2/ Tính chất a/ Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng b/ Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng c/ Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nằm mặt phẳng (α) d/ Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba III/ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng 48 Trường em http://truongem.com IV/ HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Hình chóp hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt tất cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng với Dạng ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc (P) cắt (Q) theo giao tuyến d (α ) ⊥ (β) (α ) ∩ (β) = d  1/ ⇒ a ⊥ (α ) a ⊂ (β)  a ⊥ d  (β ) ∩ (γ ) = a  / (β ) ⊥ (α ) ⇒ a ⊥ (α ) (γ ) ⊥ (α )  § KHOẢNG CÁCH I/ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 1/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng a Trong mặt phẳng (O,a) gọi H hình chiếu O a Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a, kí hiệu d(O,a) 2/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) khoảng cách hai điểm O H, với H hình chiếu vng góc O (α), kí hiệu d(O,(α)) II/ KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1/ Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách điểm thuộc a tới mặt phẳng (α), kí hiệu d(a,(α)) 2/ Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song (α) (β) khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia, kí hiệu d((α),(β)) III/ ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 1/ Định nghĩa a/ Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường 49 Trường em http://truongem.com thẳng gọi đường vng góc chung a b b/ Nếu đường vng góc chung ∆ cắt hai đường thẳng chéo a b M,N độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b 2/ Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Gọi (β) mặt phẳng chứa b song song với a, a/ hình chiếu vng góc a mặt phẳng (β) Vì a// (β) nên a//a/ Do a/ b cắt điểm Gọi điểm N Gọi (α) mặt phẳng chứa a a/ ∆ đường thẳng qua N vng góc với (β) Khi (α) vng góc vơi (β) Vậy ∆ nằm (α) nên cắt đường thẳng b N, đồng thời ∆ vng góc với a b Do ∆ đường vng góc chung củ a b 3/ Nhận xét a/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với chứa đường thẳng b/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Dạng KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P), ta làm sau: - Dựng đoạn OH vng góc với (P) - Tính đoạn OH Dạng KHOẢNG CÁCH GIỮA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 1/ Để tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mp(P) song song với a : - Ta lấy điểm M a - Tính khoảng cách từ điểm M đến (P) 2/ Để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) : - Ta lấy điểm M tùy ý (P) - Tính khoảng cách từ M đến (Q) Dạng KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG NẰM TRONG MỘT MẶT PHẲNG Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a nằm mp(P): - Vẽ OI vng góc với (P) IH vng góc a - Tính OI ,IH suy OH Dạng 4.KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Cách tìm đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách Dùng mặt phẳng song song 50 Trường em http://truongem.com Dựng mp(P) qua b song song với a Lấy điểm M thuộc a, chiếu xuống (P) thành N Từ N dựng đường thẳng b // a , b cắt a I Từ I dựng đường thẳng song song với MN cắt a J IJ đoạn vng góc chung a b Cách Dùng mặt phẳng vuông góc - Dựng mp(P) vng góc với a O - Chiếu b xuống (P) thành b/ - Dựng OH vng góc b/ - Từ H dựng đường thẳng song song với a, cắt b J - Từ J dựng đường thẳng song song với OH, cắt a I IJ đoạn vng góc chung a b Cách 3.Nếu biết a vng góc với b - Dựng mp(P) qua b vng góc với a I - Trong (P) , dựng IJ vng góc với b IJ đoạn vng góc chung Cách 4.Nếu tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối ( AD=BC, AC=BD) đoạn vng góc chung cặp cạnh thứ ba ( AB CD) đoạn thẳng nối trung điểm I, J chúng Cách 5.Nếu có đường thẳng d vng góc với a b d // IJ Dựa vào mp(IJ,d) ta xác định vị trí I J - 51 ... đẳng thức lượng giác +e sin x + f cos x = Kết hợp công thức nghiệm : Kết hợp công thức nghiệm PTLG giúp cho ta loại nghiệm ngoại lai mà cịn có cơng thức nghiệm đơn giản hơn, từ việc giải toán. .. cos x tan (π + x ) = tan x cot (π + x ) = cot x Công thức chia đơi : • sin x − cos x =± 2 • tan x − cos x − cos x =± = + cos x sin x cos Công thức nhân ba : • • sin 3x = 3sin x − 4sin x cos3x... biệt chỉnh hợp tổ hợp: • Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: k k An = k !Cn • Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: thứ tự ⇒ Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp