TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất định : ∫ = Cdx0 ∫ += Cxdx 1 1 1 −≠+ + = ∫ + nC n x dxx n n Cxdx x += ∫ ln 1 ∫ += Cedxe xx ∫ = C a a dxa x x ln ∫ +−= Cxxdx cossin ∫ += Cxxdx sincos ∫ += Cxdx x tan cos 1 2 ∫ +−= Cxdx x cot sin 1 2 ∫ += ′ Cxudx xu xu )(ln )( )( ∫ + + − = − C ax ax a dx ax ln 2 11 22 ∫ +++++=+ Caxx a ax x dxax 222 ln 22 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn [ ] ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ] βα , và có miền giá trị là [ ] ba; thì ta có : [ ] [ ] CxuxFdxxuxuf += ∫ )()()('.)( BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 1 0 2 1 1x xdx I b) ∫ − = 1 0 2 1 x x e dxe I c) ∫ + = e x dxx I 1 3 ln1 Bài làm : a) Đặt 2 21 2 dt xdxxdxdtxt =⇒=⇒+= Đổi cận :    =→= =→= 21 10 tx tx Vậy : 2ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 === + = ∫ ∫ t t dt x xdx I b) Đặt dxedtet xx =⇒−= 1 Đổi cận :    −=→= −=→= 12 11 2 etx etx Vậy : )1ln(ln 1 1 1 1 1 1 0 2 2 2 +=== − = − − − − ∫∫ et t dt e dxe I e e e e x x c) Đặt dx x tdtxt 1 ln1 =⇒+= Đổi cận :    =→= =→= 2 11 tex tx Tích phân lượng giác : Dạng 1 : ∫ = β α nxdxmxI cos.sin Cách làm: biến đổi tích sang tổng . Dạng 2 : ∫ = β α dxxxI nm .cos.sin Cách làm : Nếu nm, chẵn . Đặt xt tan= Nếu m chẵn n lẻ . Đặt xt sin= (trường hợp còn lại thì ngược lại) Dạng 3 : ∫ ++ = β α cxbxa dx I cos.sin. Cách làm : Đặt :        + − = + = ⇒= 2 2 2 1 1 cos 1 2 sin 2 tan t t x t t x x t Dạng 4 : ∫ + + = β α dx xdxc xbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : Đặt : xdxc xdxcB A xdxc xbxa cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. + − += + + Sau đó dùng đồng nhất thức . Dạng 5: ∫ ++ ++ = β α dx nxdxc mxbxa I . cos.sin. cos.sin. Cách làm : Đặt : nxdxc C nxdxc xdxcB A nxdxc mxbxa ++ + ++ − += ++ ++ cos.sin.cos.sin. )sin.cos.( cos.sin. cos.sin. Sau đó dùng đồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : a) ∫ + = 2 0 4 1 )1(sin cos π x xdx I b) ∫ = 2 0 5 2 cos π xdxI c) ∫ = 4 0 6 3 tan π xdxI Bài làm : a) Đặt : xdxdtxt cos1sin =⇒+= Đổi cận :      =→= =→= 2 2 10 tx tx π )122( 3 2 3 2ln1 2 1 2 1 2 3 1 3 −=== + = ∫∫ tdtt x dxx I e Vậy : 24 7 3 1 )1(sin cos 2 1 3 2 1 4 2 0 4 1 =−== + = ∫∫ tt dt x xdx I π b) Đặt : xdxdtxt cossin =⇒= Đổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) ( ) 15 8 3 2 5 211cos 1 0 1 0 3 5 1 0 1 0 24 2 2 2 0 5 2 =         +−= −+=−== ∫ ∫ ∫∫ tt t dtttdttxdxI π c) Đặt : dxxdtxt )1(tantan 2 +=⇒= Đổi cận :      =→= =→= 1 4 00 tx tx π Vậy : 415 13 35 1 1 1 1 tan 4 0 1 0 35 1 0 1 0 2 24 2 6 4 0 6 3 π π π −=−         +−=       + −+−= + == ∫ ∫ ∫∫ dut tt dt t tt t dtt xdxI Tính các tích phân sau : a) ∫ + = 2 0 2222 1 cos.sin. cos.sin π dx xbxa xx I b) ∫ + = 3 0 2 2cos2 cos π dx x x I Bài làm : a) Đặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+= Đổi cận :      =→= =→= 2 2 2 0 btx atx π Nếu ba ≠ Vậy : ( ) ba ab ba t ab t dt ab dx xbxa xx I b a b a + = − − = − = − = + = ∫ ∫ 11 2 1 cos.sin. cos.sin 2222 2 0 22 22 1 2 2 2 2 π Nếu ba = Vậy : a x a xdx a a xdxx dx xbxa xx I 2 1 2cos 4 1 2sin 2 1 cos.sin cos.sin. cos.sin 2 0 2 0 2 0 2 0 2222 1 =−== = + = ∫ ∫∫ π π ππ b) Đặt : xdxdtxt cossin =⇒= Đổi cận :      =→= =→= 2 3 3 00 tx tx π Vậy : ∫∫∫ − = − = + = 2 3 0 2 2 3 0 2 3 0 2 2 32 1 23 2cos2 cos t dt t dt dx x x I π Đặt : ududtut sin 2 3 cos 2 3 −=⇒= Đổi cận :        =→= =→= 42 3 2 0 π π ut ut Vậy : ( ) 242 1 2 1 cos1 2 3 sin 2 3 2 1 2 32 1 2 4 4 4 2 4 2 2 3 0 2 2 π π π π π π π === − = − = ∫ ∫∫ udu u udu t dt I Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 2 0 1 5cos3sin4 1 π dx xx I b) ∫ ++ ++ = 2 0 2 5cos3sin4 6cos7sin π dx xx xx I Bài làm : a) Đặt : 1 2 1 2 tan 2 tan 2 2 + =⇒       +=⇒= t dt dxdx x dt x t Đổi cận :      =→= =→= 1 2 00 tx tx π Vậy : ( ) 6 1 2 1 1 5 1 1 3 1 2 4 1 2 1 0 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 = + −= + = + + − + + + = ∫∫ t t dt dt t t t t t I b)Đặt : 5cos3sin45cos3sin4 sin3cos4 5cos3sin4 6cos7sin ++ + ++ − += ++ ++ xx C xx xx BA xx xx Dùng đồng nhất thức ta được: 1,1,1 === CBA Vậy : ( ) 6 1 8 9 ln 2 5cos3sin4ln 5cos3sin4 1 5cos3sin4 sin3cos4 1 5cos3sin4 6cos7sin 1 2 0 2 0 2 0 2 ++=++++=       ++ + ++ − += ++ ++ = ∫∫ π π ππ Ixxx dx xxxx xx dx xx xx I Bạn đọc tự làm : a) ∫ = 2 6 2 3 1 sin cos π π dx x x I b) ∫ = 2 0 3 2 sin.cos π xdxxI c) ∫ + = 2 0 3 2sin π x dx I c) ∫ + = 2 0 3 3 1cos sin4 π dx x x I d) ∫ ++ = 2 0 5 3cos2sin 1 π dx xx I d) ∫ ++ +− = 2 0 6 3cos2sin 1cossin π dx xx xx I Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ Dạng 1 : ( ) ( ) C ax n ax dx I nn + − − −= − = − ∫ 1 1 . 1 1 với ( ) { }( ) 1,0, −×∈ NCna ta có : Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx ax dx I += − = ∫ ln Dạng 2 : ( ) ∫ ++ + = dx cbxax x I n 2 βα trong đó :    <−=∆ ∈ 04 ,,,, 2 acb Rcba βα * Giai đoạn 1 : 0≠ α ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức cbxax ++ 2 , sai khác một số ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ ++       −+ ++ + = ++ −++ = nnn cbxax dx b a a dx cbxax bax a dx cbxax b a bax a I 222 2 2 2 2 2 2 2 α βαα α β α * Giai đoạn 2 : Tính ( ) ( ) ∫∫ ∆− + = + ∆−       ∆− = ++ = bax t n n n t dt a a dx cbxax dx I 2 22 1 2 . 4 * Giai đoạn 3 : Tính ( ) ∫ + = dt t I n 1 1 2 có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt φ tan=t Dạng 3 : ( ) ( ) ∫ = dx xQ xP I n m Ta có : ( ) ( ) 01 01 bxbxb axaxa xQ xP n n m m n m +++ +++ = Nếu : ( ) ( ) QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xQ xR xA xQ xP n r nm n m += − trong đó phân số ( ) ( ) xQ xR n r có ( ) ( ) QR degdeg < Nếu : ( ) ( ) QP degdeg < ta có các qui tắc sau : *Qt 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n xm ax A ax A ax A ax P − + − ++ − = − − − 1 11 Vdụ 1a : ( ) ( ) ( ) ∑ ∏ = = − = − n i i i i n i i i m ax A ax xP 1 1 Vdụ 1b : ( ) ( ) 2 2 ))()(( cx D cx C bx B ax A cxbxax xP m − + − + − + − = −−− *Qt 2': ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n nn n nn n m cbxax BxA cbxax BxA cbxax BxA cbxax xP ++ + + ++ + ++ ++ + = ++ − −− 2 1 2 11 2 11 2 với 0 <∆ *Qt 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = ++ + + − = ++− m i n k i i i i n m t cbxax BxA x A cbxaxx xP 1 1 2 1 2 α α Vdụ 1 : ( ) ( ) ( ) cbxax CBx x A cbxaxx xP t ++ + + − = ++− 22 )( αα Vdụ 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 11 2 2 cbxax CxB cbxax CxB x A cbxaxx xP t ++ + + ++ + + − = ++− α α BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 1 0 2 1 23xx dx I b) ( ) ∫ ++ = 1 0 2 2 2 23xx dx I Bài làm : a) ( )( ) ∫∫∫       + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 1 0 2 1 2 1 1 1 21 23 dx xxxx dx xx dx I b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dx xx xx dx xx dx I ∫∫       ++ − + + + = ++ = 1 0 22 1 0 2 2 2 21 2 2 1 1 1 23 ( ) OKxx xx =       +−+− + − + −= 1 0 2ln1ln2 2 1 1 1 Tính các tích phân sau : a) ∫ ++ = 1 0 24 1 33xx dx I b) ( ) ( ) ∫ ++ − = 1 0 2 2 21 24 dx xx x I Bài làm : a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được ∫ += + = C a x aax dx I arctan 1 22 0 với 0 > a [ ] 3 4 ln2ln1ln 1 0 =+−+= xx ( )( ) dx xxxx dx xx dx I ∫ ∫∫       + − + = ++ = ++ = 1 0 1 0 2222 1 0 24 1 3 1 1 1 2 1 3133 ( ) 329 2 3 arctan 3 1 arctan 2 1 1 0 −=       −= π x x b) Đặt : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 22 1 2 12 24 2 2 22 ++ +++++ = + + + + = ++ − xx ACCBxBAx x CBx x A xx x Do đó ta có hệ :      = = −= ⇔      =+ =+ =+ 0 2 2 02 42 0 C B A AC CB BA Vậy : ( ) ( ) ∫ ∫       + + + −= ++ − = 1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 21 24 dx x x x dx xx x I [ ] 9 4 ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2 1 0 2 =−++−=+++−= xx Bạn đọc tự làm : a) ( ) ∫ − + = 3 2 2 1 1 1 dx xx x I b) ∫ −+ = 5 2 2 2 32xx dx I c) dx xx x I ∫ − − = 2 1 3 3 3 4 1 d) ∫ +− = 2 3 24 3 23 dx xx x I HD: a) ( ) 1 1 1 22 − ++= − + x C x B x A xx x b) 31 32 1 2 + + − = −+ x B x A xx c) ( )( )         −+ − += − − 1212 4 1 4 1 4 1 3 3 xxx x xx x d) 22 11 23 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng. BÀI TẬP Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ −=− 1 0 1 0 11 dxxxdxxx m n n m Bài làm : Xét ( ) ∫ −= 1 0 1 dxxxI n m Đặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1 Đổi cận :    =→= =→= 01 10 tx tx Vậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−−=−= 0 1 1 0 1 0 111 dtttdtttdxxxI n m n mn m (đpcm) Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ ] aa,− thì : ( ) ∫ − == a a dxxfI 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) 1)( 0 0 ∫ ∫ ∫ − − +== a a a a dxxfdxxfdxxfI Xét ( ) ∫ − 0 a dxxf . Đặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= Đổi cận :    =→= =→−= 00 tx atax V ậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−= − a a a dttfdttfdxxf 0 0 0 Thế vào (1) ta được : 0=I (đpcm) Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên đoạn [ ] aa,− thì ( ) ( ) ∫ ∫ − == a a a dxxfdxxfI 0 2 Cho 0 > a và ( ) xf là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ − = + α α α dxxfdx a xf x 0 1 Bài làm : Xét ( ) dx a xf x ∫ − + 0 1 α . Đặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= Đổi cận :    =→= =→−= 00 tx tx αα Vậy : ( ) ( ) ( ) ∫ ∫∫ + = + − = + − − α α α 0 0 0 111 t t tx a tfa dt a tf dx a xf Thế vào (1) ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫ ∫ ∫ = + + + = + − − αα α α α 0 0 0 111 dxxfdx a xf dx a xfa dx a xf xx x x (đpcm) Cho hàm số ( ) xf liên tục trên [ ] 1,0 . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ = π π π 0 0 sin 2 sin. dxxfdxxfx Bài làm : Xét ( ) ∫ π 0 sin. dxxfx . Đặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−= π Đổi cận :    =→= =→= 0 0 tx tx π π ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − − + + + = + α α α α 0 0 1 111 dx a xf dx a xf dx a xf xxx Vậy : ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ∫∫ −=−−= π ππ πππ 0 00 sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx ( ) ( ) ∫ ∫ −= π π π 0 0 sin.sin dttftdttf ( ) ( ) ( ) ( ) dxxfdxxfx dxxfdxxfx ∫∫ ∫∫ =⇒ =⇒ ππ ππ π π 00 00 sin 2 sin. sinsin.2 Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số ( ) xf liên tục trên [ ] ba, và ( ) ( ) xfxbaf =−+ . Thì ta luôn có : ( ) ( ) ∫ ∫ + = b a dxxf ba dxxfx π 0 2 . Cho hàm số ( ) xf liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 Bài làm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫∫ ∫ +++ ++=+= Ta T T a Ta T Ta a T a dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf 0 0 Vậy ta cần chứng minh ( ) ( ) ∫ ∫ + = a Ta T dxxfdxxf 0 Xét ( ) ∫ a dxxf 0 . Đặt dxdtTxt =⇒+= Đổi cận :    +=→= =→= Tatax Ttx 0 Vậy : ( ) ( ) ∫ ∫ + + =− Ta T Ta T dttfdtTtf Hay : ( ) ( ) ∫ ∫ + = Ta a T dxxfdxxf 0 (đpcm) Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số ( ) xf liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn có : ( ) ( ) ∫ ∫ − = T T T dxxfdxxf 0 2 2 Bạn đọc tự làm : a) ( ) ∫ −= 1 0 6 1 1 dxxxI b) ( ) ∫ − ++= 1 1 22 2 1lncos.sin dxxxxxI c) ∫ + = π 0 2 3 cos49 sin. dx x xx I d) ∫ + = π 0 2 4 cos1 sin. dx x xx I e) ∫ − + = 2 2 2 5 21 sin π π dx xx I x f) ∫ − + + = 1 1 2 2 6 1 sin dx x xx I g) ( ) ∫ ++= ∗ π 2 0 2 7 sin1sinln dxxxI h) dxxI ∫ −= ∗ π 2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ba, , thì ta có : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt xu ln = hay xu a log= . *ưu tiên 2 : Đặt ??=u mà có thể hạ bậc. BÀI TẬP Tính các tích phân sau : a) ∫ = 1 0 1 . dxexI x b) ∫ = 2 0 2 2 cos. π xdxxI c) ∫ = e xdxI 1 3 ln Bài làm : a) Đặt :    =⇒= =⇒= xx evdxedv dxduxu Vậy : ( ) 11 1 0 1 0 1 0 1 0 1 =−−=−=−== ∫∫ eeeedxeexdxexI xxxx b) Đặt :    =⇒= =⇒= xvxdxdv xdxduxu sincos 2 2 Vậy : ( ) 1sin.2 4 sin.2cos 2 0 2 0 2 2 0 1 0 1 ∫∫∫ −=−−== ππ π π xdxxxdxxxxdxexI x Ta đi tính tích phân ∫ 2 0 sin. π xdxx Đặt :    −=⇒= =⇒= xvxdxdv dxduxu cossin Vậy : 1sincos.coscos.sin. 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 =+−=+−= ∫∫ ππ π π π xxxdxxxxdxx Thế vào (1) ta được : 4 8 . 2 1 0 1 − == ∫ π dxexI x [...]... ) dx a 2)Tính thể tích : Nếu diện tích S ( x ) của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là hàm số liên tục trên đoạn [ a, b] thì thể tích vật thể được tính : b V = ∫ f ( x )dx a Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: x = a , x = b   y = f ( x) Ox  Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay Lúc đó thể tích được tính : b... sin x, cos x ) dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx −2 0 3 0 5   d) I 4 = ∫ max( x 2 ,4 x − 3) dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx   −2 1 Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel Dạng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ ) ( 2 a > 0 − ∆   2ax + b   → ax 2 + bx + c = 1+      4a   − ∆... cos x 10 0 π 3 b) d*) Cho 2 hàm số liên tục : 3 sin x 1 . Caxx a ax x dxax 222 ln 22 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn [ ] ba; có nguyên hàm là )(xF . Giả sử )(xu là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ] βα , và có miền giá trị là [ ] ba; . 22 11 23 24 − + + + + + − = +− x D x C x B x A xx x Đẳng thức tích phân : Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận. dxxI ∫ −= ∗ π 2009 0 8 2cos1 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] ba, , thì ta có : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta