1 MỞ ĐẦU Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra nhiều nơi nhằm mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc. Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy ñiển),công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lunberg. Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen (2000), Buhlma, H. (1970), Embrechts, P. (1997), Kluppelberg, C. (1998), Grandell, J. (1992), Hipp, C. (2004), Schmidli, H. (2004), Musiela, M. (1997), Nyrhinen, H. (2001), Paulsel, J. (2002), Schmidt, K. D. (1995), … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ. Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J (2002), Cai and Dickson, D. C. M. (2003), Gaier, J. (2004), Kluppelberg, C. and Stadtmuller (1998), Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. (2002), Sundt, B. and Teugels, J. L. (1995, 1997), Tang, Q. (2004, 2005), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003, 2006), … Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng lớn và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H. 2 (1998), Cai, J. (2002), Cai, J. and Dickson, D. C M. (2003, 2004), Gerber, H. U. (1979), Muller, A. and Pfug, G. (2001), Promisslow, S.D. (1991), Valdez, E. A. (2002), Xu, L. and Wang. R. (2006), Yang, H. (1999), Yang, H. and Zhang, L. H. (2003), … Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng (2008), Nguyễn Huy Hoàng (2009) ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc. Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre (2008), Rullière, D. and Loisel, St. (2004), De Vylder, F. E (1997, 1999), De Vylder and Goovaerts, M. J. (1998, 1999), Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. (2001, 2004), Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. (1997). Công trình của Hong, N.T.T. (2013) ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + − ∑ ∑ , với dãy tiền thu bảo hiểm { } 1 i i X ≥ , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 1 i i Y ≥ , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Công trình của tác giả Hong, N.T.T. (2013) ñã mở ra hướng mới có ý nghĩa quan trọng cả về lý thuyết lẫn thực hành ñể tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) của các mô hình bảo hiểm. Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu là của luận án là các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả). Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây: a. Trong mô hình tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất. Sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale luận án ñã thiết lập ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối. b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, luận án mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013), luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập 3 hữu hạn. Các công thức ñược xây dựng cho dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, ñộc lập không cùng phân phối, phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm. Nội dung của luận án gồm 3 chương. Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale. Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy, phương pháp Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong bài toán bảo hiểm Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. (2013) cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất hằng, luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, còn dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại - Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội. - Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014). - Semina của Phòng xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7](xem danh mục các công trình của tác giả luận án). 4 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương 1, chúng tôi ñã giới thiệu một số khái niệm và kết quả ñã có liên quan trực tiếp ñến nội dung, phương pháp chứng minh của luận án như : bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm, một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, bất ñẳng thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và thuần nhất. Đồng thời, chương 1 của luận án cũng giới thiệu các khái niệm và kết quả cơ bản của quá trình Markov, quá trình Martingale. CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV Trong chương này, chúng tôi xây dựng bất ñẳng thức ñể ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Cụ thể, chúng ta xét các mô hình sau ñây: - Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên { } 0 i i I I ≥ = . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau: 1 (1 ) , 1, 2, , t t t t t U U I X Y t − = + + − = (2.1) . o U u = - Mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy { } 0 i i I I ≥ = . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau 1 ( )(1 ) , 1, 2, , t t t t t U U X I Y t − = + + − = (2.2) . o U u = trong ñó u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm, dãy tiền thu bảo hiểm { } 0 i i X X ≥ = , dãy tiền chi trả bảo hiểm { } 0 j j Y Y ≥ = , dãy lãi suất { } 0 k k I I ≥ = và các dãy biến ngẫu nhiên , , X Y I là ñộ c l ậ p v ớ i nhau. Tr ướ c h ế t, ta có mô hình (2.1) và (2.2) l ầ n l ượ t ñượ c vi ế t d ướ i d ạ ng sau ( ) 1 1 1 1 1 t t t t k k k j k k j k U u. ( I ) X Y ( I ), = = = + = + + − + ∑ ∏ ∏ (2.3) [ ] 1 1 1 1 1 1 t t t t k k k k j k k j k U u. ( I ) X ( I ) Y ( I ) = = = + = + + + − + ∑ ∏ ∏ . (2.4) Ở ñ ây, ta quy ướ c 1 b t t a z = = ∏ và 0 b t t a z = = ∑ n ế u a b > . Trong ch ươ ng này chúng ta xét các gi ả thi ế t sau: 5 Giả thiết 2.1. v ố n ban ñầ u 0 o U u = > . Giả thiết 2.2. Dãy ti ề n thu b ả o hi ể m { } 0 n n X X ≥ = là xích Markov thu ầ n nh ấ t nh ậ n giá tr ị không âm trong { } 1 2 , , , X M E x x x = v ớ i o i X X x E = ∈ , 1 , ( ); , ij m j m i i j X p P X x X x m N x x E +   = = = ∈ ∈   th ỏ a mãn 1 0 1; 1. M ij ij j p p = ≤ ≤ = ∑ Giả thiết 2.3. Dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m { } 0 n n Y Y ≥ = là xích Markov thu ầ n nh ấ t nh ậ n giá tr ị không âm trong { } 1 2 , , , Y K E y y y = v ớ i o r Y Y y E = ∈ , 1 ,( ); , rs m s m r r s Y q P Y y Y y m N y y E +   = = = ∈ ∈   th ỏ a mãn 1 0 1, 1 K rs rs s q q = ≤ ≤ = ∑ . Giả thiết 2.4. Dãy lãi su ấ t { } 0 n n I I ≥ = là dãy bi ế n ng ẫ u nhiên liên t ụ c nh ậ n giá tr ị không âm, ñộ c l ậ p, cùng phân ph ố i v ớ i hàm phân ph ố i ( ) ( ) o F t P I t = ≤ . Giả thiết 2.5. , , X Y I là ñộ c l ậ p v ớ i nhau. Khi ñ ó, xác su ấ t thi ệ t h ạ i c ủ a mô hình (2.1) ñế n th ờ i k ỳ t và th ờ i ñ i ể m vô h ạ n v ớ i các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 ñượ c xác ñị nh t ươ ng ứ ng nh ư sau (1) ( , , ) ( ) t i r u u x y P T t ψ = ≤ 1 ( 0) , , t k o o i o r k P U U u X x Y y =   = < = = =     ∪ , (1) (1) ( , , ) ( ) lim ( , , ) i r u t i r t u x y P T u x y ψ ψ →∞ = < +∞ = 1 ( 0) , , k o o i o r k P U U u X x Y y +∞ =   = < = = =     ∪ . Xác su ấ t thi ệ t h ạ i c ủ a mô hình (2.2) ñế n th ờ i k ỳ t và th ờ i ñ i ể m vô h ạ n v ớ i các gi ả thi ế t 2.1-2.5 ñượ c xác ñị nh t ươ ng ứ ng nh ư sau (2) ( , , ) ( ) t i r u u x y P T t ψ = ≤ 1 ( 0) , , t k o o i o r k P U U u X x Y y =   = < = = =     ∪ , (2) (2) ( , , ) ( ) lim ( , , ) i r u t i r t u x y P T u x y ψ ψ →∞ = < +∞ = 1 ( 0) , , k o o i o r k P U U u X x Y y +∞ =   = < = = =     ∪ . Các k ế t qu ả chính c ủ a ch ươ ng 2 g ồ m. 2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp ñệ quy Định lý 2.1. N ế u mô hình (2.1) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 thì v ớ i m ỗ i t = 1, 2, … (1) 1 ( , , ) t i r u x y ψ + = 6 ( ) (1) 1 1 (1 ) , , ( ) . s j M K s j ij rs t j s j s j s y x u u y x u p q F u x x y x y dF x u ψ +∞ = = − −   − −     + + + −           ∑∑ ∫ (2.5) Đặ c bi ệ t (1) 1 1 ( , , ) . M K s j i r ij rs j s y x u u x y p q F u ψ = = − −   =     ∑∑ (2.6) Đồ ng th ờ i (1) ( , , ) i r u x y ψ = ( ) (1) 1 1 (1 ) , , ( ) s j M K s j ij rs j s j s j s y x u u y x u p q F u x x y x y dF x u ψ +∞ = = − −   − −     + + + −           ∑∑ ∫ . (2.7) V ớ i quy ướ c 0 ( ) 0, ( ) 0 z F z dF x = = ∫ và 0 ( ) ( ) ( ) ( ) z g x dF x g x dF x +∞ +∞ = ∫ ∫ n ế u 0. z < Để xây d ự ng ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng xác su ấ t thi ệ t h ạ i, c ầ n s ử d ụ ng b ổ ñề sau Bổ ñề 2.1. Cho mô hình (2.1) v ớ i các gi ả thi ế t 2.1- 2.5. N ế u v ớ i m ỗ i , i X r Y x G y G ∈ ∈ , thì ( ) ( ) 1 1 1 1 ( ) , ( ) 0 , 0 o r o i o i o r E Y Y y E X X x P Y X X x Y y  = < =   − > = = >   (2.8) thì t ồ n t ạ i duy nh ấ t h ằ ng s ố 0 ir R > th ỏ a mãn ph ươ ng trình ( ) 1 1 ( ) , 1. ir R Y X o i o r E e X x Y y − = = = (2.9) Ký hi ệ u: ( ) { } 1 1 ( ) min 0 : , 1;( , ) ir R Y X o ir o i o r i X r Y R R E e X x Y y x G y G − = > = = = ∈ ∈ . (2.10) S ử d ụ ng k ế t qu ả c ủ a b ổ ñề 2.1 và ñị nh lý 2.1, ta thu ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng cho xác su ấ t thi ệ t h ạ i (1) ( , , ) i r u x y ψ c ủ a mô hình (2.1) v ớ i các gi ả thi ế t 2.1 – 2.5 nh ư sau Định lý 2.2. Cho mô hình (2.1) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1-2.5 và các gi ả thi ế t c ủ a b ổ ñề 2.1. V ớ i 0 u > , i X x E ∈ và r Y y E ∈ ta có 1 (1 ) (1) 1 ( , , ) . o R u I i r u x y E e ψ β − +   ≤   , (2.11) trong ñ ó 1 0 1 1 0 0 ( ) inf ,0 1. ( ) o o z R uz R ut z u e e dF t F z β β − − > ≥ = ≤ ≤ ∫ (2.12) 7 Định lý 2.3. N ế u mô hình (2.2) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 thì v ớ i m ỗ i t = 1, 2, … ,ta có (2) 1 ( , , ) t i r u x y ψ + = ( ) (2) 1 1 ( ) ( ) ( )(1 ) , , ( ) s j j M K s j ij rs t j s j s j s y u x j u x y u x p q F u x x y x y dF x u x ψ +∞ = = − + +       − +   + + + −       +         ∑∑ ∫ . (2.13) Đặ c bi ệ t (2) 1 1 1 ( ) ( , , ) M K s j i r ij rs j s j y u x u x y p q F u x ψ = =   − + =     +   ∑∑ . (2.14) Đồ ng th ờ i (2) ( , , ) i r u x y ψ = ( ) (2) 1 1 ( ) ( ) ( )(1 ) , , ( ) s j j M K s j ij rs j s j s j s y u x j u x y u x p q F u x x y x y dF x u x ψ +∞ = = − + +       − +   + + + −       +         ∑∑ ∫ . (2.15) Để thu ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ñ ánh giá ướ c l ượ ng cho xác su ấ t thi ệ t h ạ i (2) ( , , ) i r u x y ψ c ủ a mô hình (2.2), ta xây d ự ng b ổ ñề sau Bổ ñề 2.2. Cho mô hình (2.2) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 và 1 ( ) ( 1,2). k E I k< +∞ = N ế u v ớ i m ỗ i i X x G ∈ , r Y y G ∈ thì ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 (1 ) , 0 (1 ) 0 , 0 o i o r o i o r E Y X I X x Y y P Y X I X x Y y  − + = = <   − + > = = >   , (2.16) thì t ồ n t ạ i duy nh ấ t h ằ ng s ố 0 ir R > th ỏ a mãn ph ươ ng trình [ ] ( ) 1 1 1 (1 ) , 1. ir R Y X I o i o r E e X x Y y − + = = = (2.17) Ký hi ệ u: [ ] ( ) { } 1 1 1 (1 ) min 0 : , 1( , ) ir R Y X I o ir o i o r i X r Y R R E e X x Y y x G y G − + = > = = = ∈ ∈ . (2.18) S ử d ụ ng k ế t qu ả c ủ a b ổ ñề 2.2 và ñị nh lý 2.3, ta thu ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng xác su ấ t thi ệ t h ạ i (2) ( , , ) i r u x y ψ c ủ a mô hình (2.2) v ớ i các gi ả thi ế t 2.1 – 2.5 Định lý 2.4. Cho mô hình (2.2) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1-2.5 và các gi ả thi ế t c ủ a b ổ ñề 2.2. V ớ i 0 u > , i X x E ∈ và r Y y E ∈ ta có 8 1 1 1 ( )(1 )(2) 2 ( , , ) o o R Y R u X I i r o r o i u x y E e Y y E e X x ψ β − + +     ≤ = =     , (2.19) trong ñ ó 1 0 2 2 0 0 ( ) inf ,0 1. ( ) o o z R uz R ut z u e e dF t F z β β − − > ≥ = ≤ ≤ ∫ (2.20) Nhận xét 2.1. Xét mô hình (2.1) và (2.2) khi thay mi ề n giá tr ị , X Y G G là t ậ p h ữ u h ạ n b ở i t ậ p vô h ạ n ñế m ñượ c: { } 1 2 , , , , X m G x x x= , { } 1 2 , , , , . Y n G y y y= Khi ñ ó các ñị nh lý 2.1 ñế n ñị nh lý 2.4 ñượ c t ổ ng quát trong k ế t qu ả [6] (xem danh m ụ c các công trình c ủ a tác gi ả lu ậ n án). Nhận xét 2.2. Xét mô hình (2.1) và (2.2) v ớ i gi ả thi ế t dãy chi tr ả b ả o hi ể m và dãy lãi su ấ t ph ụ thu ộ c Markov còn dãy ti ề n thu b ả o hi ể m là ñộ c l ậ p cùng phân ph ố i, s ử d ụ ng ph ươ ng pháp Martingale chúng ta c ũ ng xây d ự ng ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng xác su ấ t thi ệ t h ạ i cho các mô hình ñ ó. K ế t qu ả ñ ó ñă ng t ả i ở công trình [2] (xem danh m ụ c công trình c ủ a tác gi ả lu ậ n án). Nhận xét 2.3. Xét mô hình (2.1) và (2.2) v ớ i gi ả thi ế t dãy ti ề n thu b ả o hi ể m và dãy lãi su ấ t ph ụ thu ộ c Markov còn dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m là ñộ c l ậ p cùng phân ph ố i, s ử d ụ ng ph ươ ng pháp ñệ quy chúng ta c ũ ng xây d ự ng ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng xác su ấ t thi ệ t h ạ i cho các mô hình ñ ó. K ế t qu ả ñ ó ñă ng t ả i ở công trình [7] (xem danh m ụ c công trình c ủ a tác gi ả lu ậ n án). 2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại bằng phương pháp Martingale Để thi ế t l ậ p b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng cho các xác su ấ t (1) ( , , ) n i r u x y ψ và (1) ( , , ) i r u x y ψ b ằ ng ph ươ ng pháp Martingale, tr ướ c h ế t ta có b ổ ñề sau Bổ ñề 2.3. Gi ả s ử mô hình (2.1) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1 – 2.5. N ế u v ớ i m ỗ i , i X r Y x G y G ∈ ∈ , ( ) ( ) 1 1 o r o i E Y Y y E X X x = < = và ( ) 1 1 1 1 ( )(1 ) 0 , 0 o i o r P Y X I X x Y y − − + > = = > , (2.21) thì t ồ n t ạ i duy nh ấ t h ằ ng s ố d ươ ng ir R th ỏ a mãn ( ) 1 1 1 1 ( )(1 ) , 1. ir R Y X I o i o r E e X x Y y − − + = = = (2.22) Đặ t: ( ) { } 1 1 1 1 ( )(1 ) min 0 : , 1, , . ir R Y X I o ir o i o r i X r Y R R E e X x Y y x G y G − − + = > = = = ∈ ∈ Dùng b ổ ñề 2.3 ta thu ñượ c các b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng cho xác su ấ t (1) ( , , ) i r u x y ψ b ằ ng ph ươ ng pháp Martingale. 9 Định lý 2.5. Cho mô hình (2.1) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1 – 2.5 và các gi ả thi ế t c ủ a b ổ ñề 2.5. N ế u v ớ i m ỗ i 0 u > , , i X r Y x E y E ∈ ∈ , ta có (1) ( , , ) o R u i r u x i e ψ − ≤ . (2.23) Để thi ế t l ậ p b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng cho các xác su ấ t (2) ( , , ) t i r u x y ψ và (2) ( , , ) i r u x y ψ b ằ ng ph ươ ng pháp Martingale, tr ướ c h ế t ta có b ổ ñề sau Bổ ñề 2.4. Gi ả s ử mô hình (2.2) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1 - 2.5. N ế u v ớ i m ỗ i , i X r Y x G y G ∈ ∈ , n ế u 1 1 ( ) o r o i E Y Y y E X X x  = < =   và ( ) 1 1 1 1 (1 ) 0 , 0, o i o r P Y I X X x Y y − + − > = = > (2.24) thì t ồ n t ạ i h ằ ng s ố d ươ ng ir R duy nh ấ t th ỏ a mãn 1 1 1 1 (1 ) , 1. ir R Y I X o i o r E e X x Y y −   + −     = = =     (2.25) Đặ t: ( ) { } 1 1 1 1 ( (1 ) ) min 0 : , 1, , ir R Y I X o ir o i o r i X r Y R R E e X x Y y x G y G − + − = > = = = ∈ ∈ . Dùng k ế t qu ả c ủ a b ổ ñề 2.4 và ph ươ ng pháp ch ứ ng minh t ươ ng t ự ñị nh lý 2.5 ta thu ñượ c b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng cho xác su ấ t (2) ( , , ) i r u x y ψ b ằ ng ph ươ ng pháp Martingale. Định lý 2.6. Cho mô hình (2.2) th ỏ a mãn các gi ả thi ế t 2.1- 2.5 và các gi ả thi ế t c ủ a b ổ ñề 2.5. V ớ i m ọ i 0 u > , , i X r Y x E y E ∈ ∈ , ta có (2) ( , , ) o R u i r u x y e ψ − ≤ . ` (2.26) KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 Ch ươ ng 2 c ủ a lu ậ n án, xét mô hình t ổ ng quát có tác ñộ ng c ủ a lãi su ấ t v ớ i dãy bi ế n ng ẫ u nhiên là xích Markov thu ầ n nh ấ t. Lu ậ n án s ử d ụ ng ph ươ ng pháp ñệ quy và ph ươ ng pháp Martingale ñ ã xây d ự ng ñượ c các b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng xác su ấ t thi ệ t h ạ i d ướ i d ạ ng hàm m ũ cho mô hình b ả o hi ể m t ổ ng quát có tác ñộ ng c ủ a lãi su ấ t trong tr ườ ng h ợ p: dãy ti ề n thu b ả o hi ể m { } 0 i i X X ≥ = và dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m { } 0 j j Y Y ≥ = là các xích Markov thu ầ n nh ấ t còn dãy lãi su ấ t { } 0 k k I I ≥ = là dãy bi ế n ng ẫ u nhiên ñộ c l ậ p cùng phân ph ố i. Các công trình ñ ã công b ố tr ướ c ñ ây ch ỉ d ừ ng l ạ i xét các dãy { } 0 i i X X ≥ = và { } 0 i i Y Y ≥ = là dãy bi ế n ng ẫ u nhiên ñộ c l ậ p ho ặ c ph ụ thu ộ c h ồ i quy. Đ ây là l ầ n ñầ u tiên xây d ự ng ñượ c các b ấ t ñẳ ng th ứ c ướ c l ượ ng Lundberg t ổ ng quát cho mô hình b ả o hi ể m t ổ ng quát có tác ñộ ng c ủ a lãi su ấ t v ớ i gi ả 10 thi ế t dãy ti ề n thu b ả o hi ể m { } 0 i i X X ≥ = và dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m { } 0 i i Y Y ≥ = là các xích Markov thu ầ n nh ấ t còn dãy lãi su ấ t là dãy bi ế n ng ẫ u nhiên ñộ c l ậ p cùng phân ph ố i. Các k ế t qu ả chính c ủ a ch ươ ng 2 là các ñị nh lý 2.1 ñế n ñị nh lý 2.6. K ế t qu ả s ố minh h ọ a cho ướ c l ượ ng ch ặ n trên c ủ a xác su ấ t thi ệ t h ạ i cho mô hình t ổ ng quát v ớ i dãy bi ế n ng ẫ u nhiên là xích Markov thu ầ n nh ấ t c ũ ng ñượ c ñư a ra trong ch ươ ng 2. CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM Trong công trình c ủ a Hong, N.T.T. (2013), tác gi ả ñ ã xây d ự ng ñượ c công th ứ c tính chính xác xác su ấ t thi ệ t h ạ i (không thi ệ t h ạ i) c ủ a mô hình 1 1 t t t i i i i U u X Y = = = + − ∑ ∑ V ớ i gi ả thi ế t: i i u,t,X ,Y nh ậ n giá tr ị nguyên d ươ ng (dãy ti ề n thu b ả o hi ể m { } 1 i i X X ≥ = , dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m { } 1 j j Y Y ≥ = ). Trong ch ươ ng này, chúng tôi m ở r ộ ng k ế t qu ả c ủ a Hong, N.T.T. (2013), lu ậ n án xây d ự ng công th ứ c tính chính xác xác su ấ t thi ệ t h ạ i (không thi ệ t h ạ i) trong mô hình t ổ ng quát có tác ñộ ng c ủ a lãi su ấ t v ớ i gi ả thi ế t dãy ti ề n thu b ả o hi ể m, dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m và dãy lãi su ấ t ñộ c l ậ p cùng phân ph ố i ho ặ c không cùng phân ph ố i ho ặ c ph ụ thu ộ c Markov. C ụ th ể , chúng ta xét các mô hình sau ñ ây -Mô hình b ả o hi ể m t ổ ng quát có tác ñộ ng c ủ a lãi su ấ t (v ớ i lãi su ấ t là h ằ ng s ố ) v ớ i v ố n c ủ a công ty b ả o hi ể m ở th ờ i k ỳ t là: 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) , t t t t i t i t i i i i U u r X r Y r − + − = = = + + + − + ∑ ∑ (3.1) trong ñ ó 0 o U u = > , u là v ố n ban ñầ u c ủ a hãng b ả o hi ể m, 0 r > là lãi g ộ p và là h ằ ng s ố , dãy ti ề n thu b ả o hi ể m { } 1 i i X X ≥ = , dãy ti ề n chi tr ả b ả o hi ể m { } 1 j j Y Y ≥ = và các dãy bi ế n ng ẫ u nhiên , X Y là ñộ c l ậ p v ớ i nhau. -Mô hình b ả o hi ể m t ổ ng quát có tác ñộ ng c ủ a lãi su ấ t, v ố n c ủ a k ỳ tr ướ c ñượ c ñ em ñầ u t ư v ớ i lãi su ấ t là dãy bi ế n ng ẫ u nhiên { } 1 i i I I ≥ = . Khi ñ ó, v ố n ở th ờ i k ỳ t ñượ c xác ñị nh nh ư sau 1 (1 ) ; 1,2, t t t t t U U I X Y t − = + + − = (3.2) [...]... v tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i), th hi n 1) Các mô hình lu n án xét g m mô hình (3.1), (3.2), (3.3) c a lãi su t tái u tư tín d ng u là các mô hình b o hi m có tác ng c a lãi su t như mô hình (3.1), (3.2) u tiên xây d ng công th c tính chính xác xác su t thi t h i (xác su t không thi t h i) cho mô hình b o hi m t ng quát (3.1), (3.2), (3.3) 2) ng ây là tình hu ng thư ng g p trong. .. dương trong t p h u h n Các k t qu s minh h a cho công th c tính chính xác xác su t thi t h i cho các mô hình ó cũng ư c gi i thi u trong chương này 20 K t qu chính c a chương 3 là các nh lý 3.1 và nh lý 3.2, các k t qu này ã xây d ng ư c công th c tính chính xác xác su t không thi t h i (thi t h i) c a mô hình (3.2) và (3.3) v i dãy bi n ng u nhiên ph thu c Markov v i dãy ti n thu b o hi m và dãy... tính xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình (3.46) Tuy nhiên dùng cách t t ng như ch ng minh c a Hong, N.T.T [33] ch xây d ng ư c công th c tính xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình (3.46) mà không th xây d ng ư c công th c tính xác su t thi t h i (ko thi t h i) cho mô hình (3.1), (3.2) và (3.3) 19 K T LU N CHUNG Trong lu n án, chúng tôi ã thu ư c các k t qu m i ch y u sau ây: 1 .Trong. .. bi n ng u u là các mô hình b o hi m có tác ng c a lãi ây là tình hu ng thư ng g p trong th c t Bên c nh ó, các công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a mô hình (3.2), (3.3) ư c m r ng cho dãy bi n ng u nhiên nh n giá tr dương tùy ý trong t p h u h n K t qu này t o cơ s lý thuy t m r ng công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a các mô hình ó cho dãy bi... i xác n g1 , nh trong nh lý 3.1 Chi ti t ch ng minh ư c trình V y dùng phương pháp ch ng minh c a lu n án có th xây d ng và ch ng minh ư c công th c tính xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình t ng quát (3.1), (3.2), (3.3) ng th i cũng suy ra ư c công th c tính xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình (3.46) C th cho r = 0 (trong [4]) ho c In = 0 (trong [1]) thì có ngay công th c tính. .. d ng ư c các công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a mô hình (3.2), (3.3) có tác ng c a lãi su t m r ng cho dãy bi n ng u nhiên nh n giá tr dương tùy ý trong t p h u h n K t qu này t o cơ s lý thuy t m r ng công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) c a các mô hình (3.2) và (3.3) cho dãy bi n ng u nhiên liên t c nh n giá tr dương trong t p h u h n 4) V ch... p trong th c t Các công trình trư c ây ã công b chưa xét t i các mô hình b o hi m có tác và (3.3) ây cũng là l n nh ng i m sau ây: thi t l p ư c công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) cho các mô hình (3.2) và (3.3) c n ph i s d ng k t qu c a B 3.1 và B 14 3.2 3) Các công trình ã công b ch d ng l i vi c xét mô hình không có tác ng c a lãi su t tái u tư tín d ng v i dãy bi n ng... dãy ti n chi tr b o hi m nh n giá tr dương trong t p h u h n, còn dãy lãi su t nh n giá tr không âm trong t p h u h n T các 3.1 và nh lý nh lý 3.2 suy ra các công th c tính chính xác xác su t không thi t h i (thi t h i) c a mô hình (3.2) và (3.3) v i dãy bi n ng u nhiên c l p cùng phân ph i và c l p không cùng phân ph i Các k t qu chính cu lu n án ã ư c công b trong các công trình [1], [2], [3], [4],...  H qu 3.2 Xác su t thi t h i n th i i m t c a mô hình (3.3) v i các gi thi t 3.1-3.5 là: ψt(2) (u) = 1−ϕt(2) (u) =   (rc1rc1c2 rct−1ct ).( pm1 pmm2 pmt−1mt ) ∑ ∑ ∑ qn1qn1n2 qnt−1nt  1 c1,c2 , ,ct =1 m ,m2 , ,mt =1 1 1≤n1≤g1 1≤n2≤g2 1≤nt ≤gt  R =1− ∑ T các M ∑ nh lý 3.1 và (3.11) nh lý 3.2 suy ra các công th c tính chính xác xác su t không thi t h i (thi t h i) c a mô hình (3.2) và (3.3) v i... minh h a cho các ư c lư ng ch n trên cho các xác su t thi t h i c a các mô hình ó cũng ư c gi i thi u trong chương này K t qu chính c a chương này là các nh lý 2.1 n nh lý 2.6 2 .Trong chương 3 c a lu n án, chúng tôi ã m r ng ư c các k t qu c a Hong, N.T.T [33], lu n án l n u tiên xây d ng ư c công th c tính chính xác xác su t thi t h i (không thi t h i) cho mô hình t ng quát có tác ng c a lãi su t b t . tài chính và bảo hiểm, cụ thể là các mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm với dãy. thức ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập và mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất với dãy lãi suất là xích Markov rời rạc và. Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp