Đang tải... (xem toàn văn)
VÀI PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHẦN I: TỔNG HỢP KIẾN THỨC Phân phối nhị thức: Phân phối Bernoulli Xét một phép thử, trong phép thử này ta chỉ qua tâm đến 2 biến cố A và A ̅ với P(A)=p. Phép thử như thế này còn gọi là phép thử Bernoulli. Đặt biến ngẫu nhiên: X={█(1,Nếu A xảy ra; P (X = 1) = p0,Nếu A không xảy ra; P (X = 0) = 1 p = q)┤ Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối nhị thức tham số p, ký hiệu X ∼ B(p). Ta có bảng phân phối xác suất của X ∼ B(p) X 0 1 P q p Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ B(p) EX = p. VarX = pq. Ví dụ: Trả lời ngẫu nhiên một câu hỏi trắc nghiệm có 4 đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Gọi biến ngẫu nhiên: X={█(1,Nếu trả lời đúng; P (X = 1) = 140,Nếu trả lời sai; P (X = 0) = 34)┤ X ∼ B(p); EX = 14; VarX = 316. Phân phối Nhị thức Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập và cùng phân phối, X_i={█(1,Lần i A xảy ra; P (X_i = 1) = p 0, Lần i A không xảy ra; P (X_i = 0) = 1 p = q) ,i=1,n┤ Đặt X = X1 + • • • + Xn : gọi là số lần A xảy ra trong n lần thực hiện phép thử. X được gọi là có phân phối Bernoulli tham số n, p; ký hiệu X ∼ B(n; p). Ví dụ 1: Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Gọi các biến ngẫu nhiên: X_i={█(1,Lần i bắn trúng MT; P (X_i = 1) = 0.7 0, Lần i bắn không trúng MT; ) ,i=1,2,3┤ X = X1 +X2 +X3, X ∼ B(3; 0, 7). X là số phát trúng mục tiêu trong 3 phát, giá trị có thế của X là 0, 1, 2. Xác suất có 2 phát trúng mục tiêu: P(X)= + ■(0,7.0,7.0,3=〖(0,7)〗(2 ).0,3 Phát 1,2 trúng MT0,7.0,3.0,7=〖(0,7)〗(2 ).0,3 Phát 1,3trúng MT0,3.0,7.0,7=〖(0,7)〗(2 ).0,3 Phát 2,3trúng MT) =3.〖(0,7)〗(2 ).0,3= C_32.〖(0,7)〗(2 ).0,3 Công thức tính xác suất của X ∼ B(n; p) Xác suất trong n lần thực hiện phép thử Bernoulli có k lần A xảy ra ■( P(X=k)=C_n(k ) )pk q(nk) ,k=0,1,…,n Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ B(n; p) EX = np. VarX = npq. np − q ≤ ModX ≤ np − q + 1 Ví dụ 2: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 chỗ khác nhau. Xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0.3: a. Tìm xác suất người đó bán được hàng trong một ngày. b. Mỗi năm người đó bán hàng trong 300 ngày,tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong một năm. Giải: a.Gọi x là số nơi bán được hàng trong một ngày,X~B(5;0.3) => Xác suất người đó bán được hàng trong một ngày là: b.Gọi Y là số ngày người đó bán được hàng trong một năm: Y~B(300;p) ;p=0.8319; q=0.1681 => Số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất là: Mod Y=y0 với: 300.0,83190,1681 ≤ y0 ≤ 300.0,8319+0,1681 =>y0=250 Phân phối siêu bội: Mô hình siêu bội: từ 1 tập có N phần tử gồm NA phần tử A. N − NA phần tử khác phần tử A. Từ tập N lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử A lẫn trong n phần tử lấy ra, X gọi là có phân phối siêu bội tham số N, NA, n, ký hiệu X ∼ H(N, NA, n): N{█(N_A phần tử ANN_A phần tử A ̅ )┤ □(→┴(lấy ra n PT,được k PT A ) ) {█(k phần tử Ank phần tử A ̅ )┤ Công thức tính xác suất cho X ∼ H (N, NA, n) Xác suất trong n phần tử lấy ra từ tập N có k phần tử A : P(X=k)=(C_(N_A)k.C_(NN_A)(mk))(C_Nm ) ; trong đó {█(n≤k≤0n(NN_(A))≤k〖≤N〗_A )┤ Tính chất. Các đặc trưng của X ∼ H(N, NA, n) EX = np ( p = ( N_A)N ). Var X = npq.(Nn)(N1) Ví dụ: Một nhân viên thuế chọn ngẫu nhiên một số tờ khai thuế từ nhóm những tờ khai thuế đặc thù để kiểm tra . Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ tờ khai không thích hợp là 30%. Nếu chọn 6 tờ khai từ nhóm 100 tờ khai thuế đặc thù mà có hơn một tờ khai không thích hợp thì nhóm sẽ bị kiểm tra toàn bộ . Tính xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ. Số tờ khai tối thiểu không thích hợp là bao nhiêu khi kiểm tra 18 trong nhóm 400 tờ khai thuế đặc thù để xác suất nhóm này bị kiểm tra toàn bộ là 0,31. Gỉải Gọi X là số tờ khai không thích hog7p5 trong 6 tờ khai được kiểm tra : X~H ( 100; NA;6) ; NA = p.N=0,3.100=30 => Xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ P(X>1) = 1P(X=0) P(X=1) = Gọi Y là số tờ khai không thích hợp khi kiểm tra 18 tờ : Y~H(400;NA;18); NA= 0,3.400=120 Gọi x0 là số tờ khai không thích hơp tối thiểu: Vì N=400 khá lớn so với n=18(nY~B(18;0,3) N(5,4 ; 3,78) Ta có : Vậy x0 tối thiểu là 7. Phân phối Poisson: Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson tham số λ (ký hiệu X ∼ P(λ)) nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị k = 0, 1, . . . với: P(X=k)=(λk e(λ))k Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ P(λ) EX = λ. VarX = λ. λ − 1 ≤ ModX ≤ λ. Chú ý: Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng (t1;t2) thỏa 2 điều sau: Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng (t1;t2) không ảnh hưởng đế xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp. Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời gian bất kỳ tỉ lệ với độ dài của khoảng đó. Khi đó biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson Ví dụ: Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận được 4 đơn đặt hàng. Biết rằng số đơn đặt hàng X mà cơ sở nhận được trong một tuần là một BNN có phân phối Poisson. Tính xác suất để cơ sở : Nhận được hơn 5 đơn đặt hàng trong một tuần Nhận được 6 đơn đặt hàng trong hai tuần liên tiếp Giải: X ~ Poisson. Xác suất phải tính: P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5) Gọi Y là BNN chỉ số đơn đặt hàng của cơ sở trong hai tuần liên tiếp thì Y ~ Poisson. Xác suất phải tính: Phân phối liện tục: Phân phối chuẩn Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ và σ2, ký hiệu X ∼ N (µ; σ2), nếu X có hàm mật độ: f(x)=1(σ√2π).e((xμ)2σ2 ) ; x∈R Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: F(x)= Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp. Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn. Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông. Tính chất: Các đặc trưng X~N ( ) EX=
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM TP HỒ CHÍ MINH KHOA QUẢN TRỊ KINH DOANH –DU LỊCH BÀI TIỂU LUẬN MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: VÀI PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: THẦY LÊ VĨNH THUẬN LỚP: 04DHQT1 Năm học: 2014 - 2015 DANH SÁCH NHÓM VÀ PHÂN CÔNG Tìm tại liệu, bài tập, đánh máy, tổng hợp tài liệu Tìm tài liệu, đánh máy Tìm tài liệu, đánh máy Tìm bài tập Tìm tài liệu Tìm tài liệu Tìm tài liệu Tìm tài liệu Tìm tài liệu Nguyễn Thị Tố Nhi Không gửi tài liệu 2 VÀI PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG PHẦN I: TỔNG HỢP KIẾN THỨC 1. Phân phối nhị thức: 1.1. Phân phối Bernoulli Xét một phép thử, trong phép thử này ta chỉ qua tâm đến 2 biến cố A và với P(A)=p. Phép thử như thế này còn gọi là phép thử Bernoulli. Đặt biến ngẫu nhiên: Biến ngẫu nhiên X gọi là có phân phối nhị thức tham số p, ký hiệu X ∼ B(p). Ta có bảng phân phối xác suất của X ∼ B(p) X 0 1 P q p Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ B(p) i. EX = p. ii. VarX = pq. Ví dụ : Trả lời ngẫu nhiên một câu hỏi trắc nghiệm có 4 đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Gọi biến ngẫu nhiên: X ∼ B(p); EX = 1/4; VarX = 3/16. 1.2. Phân phối Nhị thức Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập và cùng phân phối, 3 Đặt X = X1 + · · · + Xn : gọi là số lần A xảy ra trong n lần thực hiện phép thử. X được gọi là có phân phối Bernoulli tham số n, p; ký hiệu X ∼ B(n; p). Ví dụ 1: Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là 0,7. Gọi các biến ngẫu nhiên: X = X1 +X2 +X3, X ∼ B(3; 0, 7). X là số phát trúng mục tiêu trong 3 phát, giá trị có thế của X là 0, 1, 2. Xác suất có 2 phát trúng mục tiêu: Công thức tính xác suất của X ∼ B(n; p) Xác suất trong n lần thực hiện phép thử Bernoulli có k lần A xảy ra Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ B(n; p) i. EX = np. ii. VarX = npq. iii. np − q ≤ ModX ≤ np − q + 1 Ví dụ 2: Một người mỗi ngày đi bán hàng ở 5 chỗ khác nhau. Xác suất bán được hàng ở mỗi nơi là 0.3: a. Tìm xác suất người đó bán được hàng trong một ngày. b. Mỗi năm người đó bán hàng trong 300 ngày,tìm số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất trong một năm. Giải: a.Gọi x là số nơi bán được hàng trong một ngày,X~B(5;0.3) => Xác suất người đó bán được hàng trong một ngày là: 4 %19.838319.0)7.0()3.0(1)0(1)1( 500 5 ==−==−=≥ CXPXP b.Gọi Y là số ngày người đó bán được hàng trong một năm: Y~B(300;p) ;p=0.8319; q=0.1681 => Số ngày bán được hàng nhiều khả năng nhất là: Mod Y=y 0 với: 300.0,8319-0,1681 ≤ y 0 ≤ 300.0,8319+0,1681 =>y 0 =250 2. Phân phối siêu bội: Mô hình siêu bội: từ 1 tập có N phần tử gồm • N A phần tử A. • N − NA phần tử khác phần tử A. Từ tập N lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử A lẫn trong n phần tử lấy ra, X gọi là có phân phối siêu bội tham số N, NA, n, ký hiệu X ∼ H(N, NA, n): Công thức tính xác suất cho X ∼ H (N, N A , n) Xác suất trong n phần tử lấy ra từ tập N có k phần tử A : ; trong đó Tính chất. Các đặc trưng của X ∼ H(N, N A , n) i. EX = np ( p =). ii. Var X = npq. Ví dụ: Một nhân viên thuế chọn ngẫu nhiên một số tờ khai thuế từ nhóm những tờ khai thuế đặc thù để kiểm tra . Kinh nghiệm cho thấy tỉ lệ tờ khai không thích hợp là 30%. 5 a. Nếu chọn 6 tờ khai từ nhóm 100 tờ khai thuế đặc thù mà có hơn một tờ khai không thích hợp thì nhóm sẽ bị kiểm tra toàn bộ . Tính xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ. b. Số tờ khai tối thiểu không thích hợp là bao nhiêu khi kiểm tra 18 trong nhóm 400 tờ khai thuế đặc thù để xác suất nhóm này bị kiểm tra toàn bộ là 0,31. Gỉải a Gọi X là số tờ khai không thích hog7p5 trong 6 tờ khai được kiểm tra : X~H ( 100; N A ;6) ; N A = p.N=0,3.100=30 => Xác suất nhóm bị kiểm tra toàn bộ P(X>1) = 1-P(X=0) - P(X=1) = 5854,01 6 100 5 70 1 .30 6 100 6 70 ≈−− C CC C C b Gọi Y là số tờ khai không thích hợp khi kiểm tra 18 tờ : Y~H(400;N A; 18); N A = 0,3.400=120 Gọi x 0 là số tờ khai không thích hơp tối thiểu: 31,0)18( 0 =≤≤ YxP Vì N=400 khá lớn so với n=18(n<0,05.N) =>Y~B(18;0,3) ≈ N(5,4 ; 3,78) Ta có : P )19()18( 00 <≤=≤≤ YxPYx 6 85,649,0 9442,1 9,5 )49,0(19,0 9442,1 9,5 31,0 9442,1 9,5 5,0 78,3 5,04,5 78,3 5,04,519 0 0 0 0 0 ≈⇔= − ⇔ == − ⇔ = − −⇔ −− − −− ⇔ x x x x x ϕϕ ϕ ϕϕ Vậy x 0 tối thiểu là 7. 3. Phân phối Poisson: Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson tham số λ (ký hiệu X ∼ P(λ)) nếu biến ngẫu nhiên X nhận giá trị k = 0, 1, . . . với: Tính chất: Các đặc trưng của X ∼ P(λ) i. EX = λ. ii. VarX = λ. iii. λ − 1 ≤ ModX ≤ λ. Chú ý: Biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện A tại những thời điểm ngẫu nhiên trong khoảng (t1;t2) thỏa 2 điều sau: • Số lần xuất hiện biến cố A trong khoảng (t1;t2) không ảnh hưởng đế xác suất xuất hiện A trong khoảng thời gian kế tiếp. • Số lần xuất hiện biến cố A trong 1 khoảng thời gian bất kỳ tỉ lệ với độ dài của khoảng đó. Khi đó biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson 7 Ví dụ: Một cơ sở sản xuất, trung bình trong một tuần, nhận được 4 đơn đặt hàng. Biết rằng số đơn đặt hàng X mà cơ sở nhận được trong một tuần là một BNN có phân phối Poisson. Tính xác suất để cơ sở : a. Nhận được hơn 5 đơn đặt hàng trong một tuần b. Nhận được 6 đơn đặt hàng trong hai tuần liên tiếp Giải: a. X ~ Poisson. Xác suất phải tính: P(X > 5) = 1 − P(X ≤ 5) 2149,07851.01 ! 4 1 4 5 0 =−=−= − = ∑ e k k k b. Gọi Y là BNN chỉ số đơn đặt hàng của cơ sở trong hai tuần liên tiếp thì Y ~ Poisson. Xác suất phải tính: 1221.0 !6 8 )6( 8 6 === − eYP 4. Phân phối liện tục: 4.1. Phân phối chuẩn Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tham số µ và σ 2 , ký hiệu X ∼ N (µ; σ 2 ), nếu X có hàm mật độ: Hàm phân phối xác suất : Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: 2 2 ( ) 2 1 2 t x e dt µ σ σ π − − −∞ ∫ 8 Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp. Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn. Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông. Tính chất: Các đặc trưng X~N ( 2 , σµ ) i. EX= µ ii. VarX= 9 iii. 2 σ ModX= µ a. Phân phối chuẩn chuẩn tắc Z~N(0;1) ⇔ P { } bZa << = )()( ab ϕϕ − Ví dụ: cho Z~N(0;1). Tính P ( ) 3.125.0 <<− z ; P ( ) 3,1<z ; P( ( ) 3,1>z Giải: * ( ) )25,0()3,1(3,125,0 −−=<<− ϕϕ zP = ( ) 50191,009871,04032,0)25,0(3,1 =+=+ ϕϕ * ( ) )()3,1(3,1 −∞−=> ϕϕ zP = 0,4032 + 0,5 = 0,9032 *P ( z<1,3) = 0968,04032,05,0)3,1()( =−=−+∞ ϕϕ b. Phân phối chuẩn tổng quát X~N ( ) − − − =<<⇔ σ µ ϕ σ µ ϕσµ ab bXaP )( )(; 2 Ví dụ: Thời gian X( phút) của một khách hàng chờ được phục vụ tại một quầy hàng là biến ngẫu nhiên với X~N(4,5; 1,21): a. Tính tỉ lệ khách mua hàng phải chờ để phục vụ từ 3,5-6 phút ; quá 6 phút b. Thời gian phải chờ tối thiểu là bao nhiêu ? Nếu không để quá 5% khách hàng phải chờ phục vụ vượt quá thời gian đó. Giải : Ta có 5,4= µ ; 1,121,1 2 === σσ 10 [...]... (phút) Phân phối đều Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là: 4.2 Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là: 11 Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất củaphân phối đều... suất củaphân phối đều của phân phối đều Ví dụ: Nếu bạn đến trạm ô tô lúc 10h và biết rằng thời gian ô tô sẽ xuất hiện tại trạm từ 10h đến 10h30 có phân phối đều thì xác suất bạn phải chờ ô tô hơn 10 phút là bao nhiêu? Giải: Gọi X là số phút tính từ 10h đến 10h30 ô tô sẽ đến trạm 30 ⇒ P (10 < X < 30) = 1 ∫ 30dx 10 = 1 30 (30-10) = 2/3 PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Câu 1: Một bao thóc có... 8999 e 9000 + + + + =0 8997! 8998! 8999! 9000! ⇒ P ( A) = 1 − P( A) = 1 − 0 = 1 Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng là 1 Câu 3: Một trường cấp 3 có 900 học sinh Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều các ngày trong năm Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao nhiêu để tỉ... chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – ( e −0,5 0,5 1 1! e −0,5 0,5 0 0! + ) = 0,0902 Câu 2: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng Tính xác suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng Giải: ≤ X ≤ 1000 Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0 ) Gọi A là biến cố số đĩa nhạc không hỏng >10 13 Thì A là biến cố số... tô sẽ đến trạm 30 ⇒ P (10 < X < 30) = 1 ∫ 30dx 10 = 1 30 (30-10) = 2/3 PHẦN II: MỘT SỐ BÀI TẬP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Câu 1: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01% Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt Tính xác suất để: 12 a Có đúng 2 hạt thóc lép b Có ít nhất 2 hạt thóc lép Giải: Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt Ta có: X ~ B(5000; 0,0001) Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ: X ≈ λ P(... trong 30 giây λ X~ P( ) vì trung bình 3 phút có 1 người nên 30 giây tương ứng với x=1/6 1 1 6 e6 2! b 2 P(X=2)= = 0.0118 Gọi Y là số khách hàng đến quầy hàng trong 5 phút 15 Ta có : Y~P(5/3) => Xác suất để khách phải chờ quá 2 phút là : P(X>2) = 1-(P(Y=0) + P(Y=1)+P(Y=2)) = 1- e5/3 (1+5/3 +25/18 ) = 1- 0,766 = 0,234=23,4% 16 . 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn. Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông. Tính. có phân phối đều là: 11 Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất củaphân. (phút) 4.2. Phân phối đều Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là: Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu