SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ TỔ TOÁN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TIỄN CĨ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA Người thực hiện: Ninh Văn Quang Giáo viên trường THPT Lạng Giang số Lạng Giang, tháng năm 2014 MỤC LỤC NỘI DUNG Trang Phần I: Mở đầu……………… ………………………… I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu VI Những đóng góp đề tài Phần II: Nội dung nghiên cứu kết Chương I: Cơ sở lí luận thực tiễn đề tài Chương II: Khai thác toán tổng khoảng cách nhỏ để xây dựng 4 số tốn thực tiễn có dạng câu hỏi thi PISA Chương III: Kết nghiên cứu 18 Phần III: Kết luận đề nghị .……………………… 19 Danh mục tài liệu tham khảo 21 PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Chúng ta biết, Giáo dục Việt Nam tập trung đổi mới, hướng tới giáo dục tiến bộ, đại ngang tầm với nước khu vực toàn giới Mục tiêu giáo dục kỉ 21 học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định Vì vai trị tốn có nội dung thực tiễn dạy học mơn tốn ln ưu tiên hàng đầu Tốn học ngày giữ vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ, sản xuất đời sống xã hội, đặc biệt Toán học lấy thực tiễn làm động lực phát triển mục tiêu phục vụ cuối Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất người ngược lại Tốn học cơng cụ đắc lực giúp người chinh phục khám phá giới tự nhiên Để đáp ứng phát triển kinh tế, khoa học khác, kỹ thuật sản xuất địi hỏi phải có người lao động có hiểu biết có kỹ ý thức vận dụng thành tựu Toán học điều kiện cụ thể để mang lại hiệu lao động thiết thực Chính lẽ đó, nghiệp giáo dục đào tạo thời kì đổi phải góp phần định vào việc bồi dưỡng cho người học tiềm trí tuệ, tư sáng tạo, lực tìm tịi chiếm lĩnh tri thức, lực giải vấn đề, đáp ứng yêu cầu thực tiễn Việt Nam tham gia Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (gọi tắt PISA) Đây chương trình đánh giá có chất lượng đáng tin cậy hiệu hệ thống giáo dục, có lĩnh vực Tốn học, xây dựng điều phối Tổ chức hợp tác phát triển kinh tế OECD Bài thi PISA trọng khả học sinh vận dụng kiến thức kĩ đối mặt với tình thực tiễn, ta gọi tốn thực tiễn Qua giảng dạy tơi thấy em học sinh ln gặp khó khăn tiếp cận tốn cực trị hình học Hơn nữa, việc vận dụng toán cực trị hình học vào giải tốn thực tiễn lại khó khăn Vì lí trên, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề: "Khai thác toán tổng khoảng cách nhỏ để xây dựng số toán thực tiễn có dạng câu hỏi thi PISA" với mong muốn giúp em học sinh làm quen với tốn có nội dung thực tiễn sử dụng kiến thức, kĩ em để giải tốn thực tiễn đó; đồng thời giúp thầy em học sinh tìm hiểu tự xây dựng số tốn có dạng giống câu hỏi thi PISA II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Giúp em học sinh bậc THPT làm quen với tốn có nội dung thực tiễn biết sử dụng kiến thức, kĩ em để giải tốn thực tiễn Giúp thầy em học sinh tìm hiểu để tự xây dựng số tốn có dạng giống câu hỏi thi PISA Quy lạ quen, gắn Toán học với thực tiễn thực tiễn với Toán học Làm rõ câu nói "Học đơi với hành" III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Khai thác số tốn hình học tổng khoảng cách nhỏ Từ xây dựng số tốn có nội dung thực tiễn, đảm bảo mục đích nghiên cứu đề IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Bài tốn dựng hình + Các phép biến phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, + Các tốn cực trị hình học PHẠM VI NGHIÊN CỨU + Chương trình tốn hình học bậc THPT V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu qua sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, - Nghiên cứu qua tiết thực nghiệm lớp VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn, tính hệ thống tính cập nhật, phù hợp với xu phát triển giáo dục giai đoạn sau Bên cạnh giúp học sinh phát huy tính tự lực, khả tư duy, sáng tạo, để nhận biết tự tìm hướng giải tốn, biết gắn tốn với thực tiễn giải tình thực tiễn PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI Việc đưa vào toán tổng khoảng cách nhỏ từ xây dựng nên số tốn thực tiễn khơng nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức quan trọng môn Hình học mà cịn giúp cho học sinh làm quen với phương pháp tư suy luận mới, biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tịi, khám phá, tạo cho học sinh lĩnh đứng trước tình có thật cần giải thực tế Ngồi cịn mang lại nhiều hứng thú việc tìm tịi, nghiên cứu hình học môn khác Theo hướng đổi phương pháp dạy học nay, giáo viên cần tập trung thiết kế hoạt động cho em học sinh tự lực khám phá, chiếm lĩnh tri thức dẫn thầy cô Một đặc điểm hoạt động học hướng vào người học, giúp người học cải biến Nếu người học khơng chủ động tự giác, khơng có phương pháp học tập phù hợp, tích cực nỗ lực người thầy đem lại kết hạn chế II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Tốn học mơn khoa học trừu tượng lại có phạm vi ứng dụng rộng rãi Học tốt mơn tốn đặc biệt tốn hình học sinh vấn đề không đơn gian Học sinh thường gặp khó khăn việc tiếp nhận kiến thức phương pháp khó việc vận dụng kiến thức phương pháp vào việc giải toán thực tiễn Đối với thầy, giáo dạy tốn khó tiềm ẩn khả phân tích, dẫn giải giúp học sinh hiểu cách rõ ràng, nắm cách chắn mà thầy, giáo muốn truyền đạt Người thầy trình truyền đạt tri thức phải người hướng dẫn “mở đường” cho em, cịn em phải tự xây dựng kĩ năng, tích lũy kinh nghiệm giải tốn, từ mà chất lượng học tập học sinh ngày nâng lên Các toán liên quan đến tổng khoảng cách nhỏ tốn khó nên học sinh gặp khó khăn học tập nghiên cứu, việc áp dụng thành thạo tập dạng nhiều học sinh chưa tốt Khi viết chuyên đề quan tâm đến vấn đề dạy cho học sinh dễ hiểu để vận dụng tốt kết toán, giúp học sinh biết gắn toàn với thực tiễn sống Chương II: KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN CÓ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA Bài toán 1: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm hai phía đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho tổng MA + MB nhỏ Hướng dẫn A d A M d B M B Ta có: MA + MB ≥ AB (Bất đẳng thức tam giác) Dấu “=” xảy A, M, B thẳng hàng Vậy MA + MB nhỏ M giao điểm đường thẳng AB đường thẳng d Bài toán 2: (Bài toán gốc) Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm phía đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho tổng MA + MB nhỏ Lời giải B B A A d d M M' M A' * Phân tích: Giả sử ta tìm điểm M thuộc d để có tổng MA + MB nhỏ Lấy A' đối xứng với A qua d Ta có MA = MA', suy MA' + MB nhỏ Mà A' B lại nằm hai phía khác đường thẳng d Theo kết Bài toán 1, M giao điểm đường thẳng A'B đường thẳng d * Cách dựng: - Dựng A’ đối xứng với A qua d - Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d điểm M cần tìm * Chứng minh: Với điểm M dựng điểm M' thuộc d mà M' khơng trùng với M, ta có: M'A + M'B = M'A' + M'B M'A' + M'B > A'B A'B = MA' + MB MA' + MB = MA + MB Suy M'A + M'B > MA + MB Vậy MA + MB nhỏ * Biện luận: Ln tìm điểm M thỏa mãn đề Trực tiếp từ Bài tốn gốc xây dựng nên tốn thực tiễn chọn toán làm câu hỏi kỳ đánh giá lực học sinh phổ thông PISA lĩnh vực Toán học (được gọi câu hỏi thi PISA) Bài toán thực tiễn 1: Bồ câu nhặt thóc Ở hai đầu sân phơi thóc có hai Một chim bồ câu bay từ thứ xuống sân nhặt thóc ăn bay lên thứ hai Hỏi bồ câu phải nhặt thóc vị trí sân để chiều dài đường bay ngắn B A Cây Cây M Sân phơi thóc A' Đây toán thực tiễn đặt khơng gian Tuy nhiên tốn kể toán thực tiễn sau quy xét mặt phẳng Ở toán này, chiều dài đường bay bồ câu tổng khoảng cách từ vị trí nhặt thóc sân đến hai Dễ dàng thấy việc xác định vị trí nhặt thóc bồ câu sân để chiều dài đường bay bồ câu ngắn giống việc xác định điểm M để tổng khoảng cách từ M tới hai điểm A B nhỏ Bài toán gốc Tuy thực tế, việc tìm điểm đối xứng thứ qua mặt sân không khả thi, ta dựa vào tỉ lệ chiều cao hai để suy tỉ số mà vị trí nhặt thóc cần tìm chia đoạn thẳng nối hai gốc Bài toán gương phẳng sau khơng xuất phát từ Bài tốn gốc lại có cách giải tương tự Bài toán thực tiễn 2: Mặt hồ phản chiếu Từ vị trí bờ hồ bên cần chiếu tia sáng tới vị trí mặt hồ phẳng lặng để tia sáng phản xạ hắt vào vị trí bờ hồ bên Vị trí R Vị trí S I Mặt hồ S' Mặt hồ phẳng lặng giống gương phẳng Vị trí cần tìm mặt hồ điểm tới I Tia tới SI, tia phản xạ IR Khi biết S R việc xác định I giống xác định M toán gốc Ban đầu tìm ảnh S' S qua gương phẳng (S' đối xứng với S qua gương), sau xác định giao điểm đường thẳng S'R với mặt gương điểm tới I cần tìm Bài tốn 3: Trong mặt phẳng, cho hai điểm phân biệt A, B nằm phía đường thẳng d Tìm hai điểm M, N thuộc đường thẳng d cho MN = a (a số dương khơng đổi) đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ Lời giải * Phân tích: A a A1 B d a M N A’ - Dựng hình bình hành AMNA1, suy AA1 = MN = a, AM = A1N - Từ đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài độ dài đường gấp khúc AA'NB, bằng: a + A1N + NB Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ tổng A1N + NB nhỏ Đến Bài tốn gốc * Cách dựng: - Dựng hình bình hành AMNA1 - Dựa vào Bài tốn gốc ta tìm vị trí điểm N, từ MN = a tìm vị trí điểm M A a A1 B d a N M A’ Từ Bài tốn liên hệ tới toán thức tiễn sau: Bài tốn thực tiễn 3: Bồ câu nhặt thóc sân Ở hai đầu sân phơi thóc có hai Một chim bồ câu bay từ thứ xuống vị trí sân, vừa nhặt thóc ăn bồ câu vừa nhảy bước, sau bay lên thứ hai Hỏi bồ câu phải đáp xuống vị trí sân để chiều dài đường ngắn A B Cây Cây bước sân phơi thóc M N Có thể thấy tốn xét không gian quy xét mặt phẳng trở thành Bài tốn Đường bồ câu 10 đường gấp khúc AMNB Bài tốn vị trí đáp xuống cần tìm bồ câu vị trí cần tìm điểm M Ta phát triển Bài toán gốc với phép lấy điểm đối xứng qua đường thẳng để toán dùng phép lấy điểm đối xứng qua hai đường thẳng sau Bài toán 4: Cho góc nhọn xOy điểm P góc Tìm điểm M thuộc cạnh Ox điểm N thuộc cạnh Oy cho chu vi tam giác PMN nhỏ x M O P N y Lời giải * Cách dựng: - Lấy điểm A đối xứng với P qua Ox B đối xứng với P qua Oy - Đường thẳng AB cắt cạnh Ox Oy M, N * Chứng minh: Ta có: PM = AM NP = NB Chu vi tam giác PMN PM + MN + NP = AM + MN + NB ≥ AB Dấu "=" xảy A, M, N, B thẳng hàng Khi chu vi tam giác MNP nhỏ 11 Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ M, N giao điểm thẳng AB vói cạnh Ox cạnh Oy góc xOy A x M P O N y B * Biện luận: Bài tốn ln tìm điểm M điểm N thỏa mãn yêu cầu đề Từ Bài tốn ta xây dựng tốn tương tự sau Bài toán 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy điểm P cố định thuộc cạnh BC Tìm cạnh AB, AC điểm M, N cho chu vi tam giác MNP nhỏ Hướng dẫn Tương tự Bài toán 4, ta lấy P1 đối xứng với P qua AB P2 đối xứng với P qua AC Đường thẳng P1P2 cắt AB AC điểm M N cần tìm 12 P1 B M P A N C P2 Bây thay sử dụng phép lấy đối xứng qua hai cạnh góc nhọn ta xét đến phép lấy đối xứng qua hai đường thẳng song song Bài toán 6: Cho hai đường thẳng song song d d' Hai điểm A B nằm khác phía d d' hình vẽ Hãy tìm điểm M thuộc d điểm N thuộc d' cho MN vng góc với d d', đồng thời đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ Lời giải * Phân tích : - Giả sử hai đường thẳng song song d d' cách khoảng a (a > 0) - Vì M thuộc d, N thuộc d', MN vng góc với d d' nên MN = a uuuu r - Tịnh tiến điểm A theo vectơ MN để điểm A' - Dễ thấy độ dài đường gấp khúc AMNB độ dài đường gấp khúc AA'NB bằng: AA' + A'N + NB = a + A'N + NB Do đó, đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ tổng A'N + NB nhỏ Vì A' B nằm khác phía d' nên tổng A'N + NB nhỏ A', N, B thẳng hàng, tức N giao điểm A'B d' 13 A d M d' A’ M' N N' B * Cách dựng uuuu r - Tịnh tiến điểm A theo vectơ MN để điểm A' - Đường thẳng A'B cắt đường thẳng d' điểm N - Qua N dựng đường thẳng vng góc với d, cắt d M * Chứng minh Từ cách dựng suy AA' = MN = a Giả sử M' thuộc d, N' thuộc d' cho M'N' vng góc với d d' Suy AA' = M'N' = a Ta có: AM' + M'N' + N'B = A'N' + M'N' + N'B = A'N' + a + N'B = a + (A'N' + N'B) Mà A'N' + N'B ≥ A'B, A'B = A'N + NB Do AM' + M'N' + N'B ≥ a + (A'N + NB) = MN + (A'N + NB) = MN + (AM + NB) = AM + MN + NB Vậy đường gấp khúc AMNB có độ dài nhỏ * Biện luận: Do A'B cắt d' điểm N nên tìm cặp điểm M, N thỏa mãn yêu cầu đề Từ Bài toán ta xây dựng tốn thực tiễn sau 14 Bài toán thực tiễn 4: Xây cầu đâu? Hai làng A B nằm hai bên bờ sông Cần bắc cầu phục vụ cho việc lại nhân dân hai làng (đi từ làng qua cầu sang làng kia) cho đường ngắn Hãy tìm địa điểm thích hợp bờ sơng để bắc cầu đó, biết hai bờ sơng hai đường thẳng song song cầu phải bắc vng góc với hai bờ sông A d M d' N B Hướng dẫn Gọi hai bờ sơng d d' (d song song với d') Hai làng A B hai điểm A B Cây cầu đoạn MN cần dựng Bài toán Như toán trở thành toán với cách giải tương tự Làng A Bờ sông M A' Bờ sông Sông Cầu N Làng B 15 Bài toán 7: Cho hai đường thẳng song song d d' Hai điểm A B nằm khác phía d d' hình vẽ Hãy tìm điểm M thuộc d điểm N thuộc d' cho MN vng góc với d d', đồng thời AM = BN Hướng dẫn uuuu r - Tịnh tiến điểm A theo vectơ MN để điểm A' - Gọi ∆ trung trực đoạn A'B + Nếu ∆ cắt d' giao điểm ∆ d' điểm N cần tìm, từ dễ dàng tìm M + Nếu ∆ // d' khơng thể tìm điểm M, N thỏa mãn đề + Nếu ∆ d' trùng cặp điểm M, N d d' cho MN vng góc với d d' thỏa mãn yêu cầu đề ∆ d A M A’ d' N B Từ Bài toán ta xây dựng nên tốn thực tiễn sau Bài toán thực tiễn 5: Xây cầu chỗ nào? Hai làng A B nằm hai bên bờ sông Cần bắc cầu phục vụ cho việc lại nhân dân hai làng (đi từ làng qua cầu sang làng kia) cho đường từ làng đến cầu dài Hãy tìm địa điểm thích hợp bờ sơng để bắc cầu đó, biết hai bờ sơng hai đường thẳng song song cầu phải bắc vng góc với hai bờ sơng 16 Hướng dẫn Gọi hai bờ sơng d d' (d song song với d') Hai làng A B hai điểm A B Cây cầu đoạn MN cần dựng Bài toán Như toán trở thành toán với cách giải tương tự ∆ Bờ sông Làng A M A' Cầu Bờ sông Sông N Làng B Bài toán thực tiễn 6: Đi đường gần nhất? Giữa hai làng A B bị chắn hồ nước hình trịn Cần thẳng từ làng A đến vị trí M bờ hồ để lấy nước, sau vịng theo bờ hồ rời bờ hồ từ vị trí N để thẳng đến làng B Hãy tìm vị trí thích hợp M N bờ hồ để đường (AMNB) ngắn Làng A M N Hồ nước Làng B Đây tốn khơng đơn giản, tơi đưa với ý nghĩa giới thiệu toán thực tiễn mong chờ cách giải từ bạn đọc 17 Chương III: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thực trạng Nghiên cứu thực nghiệm sư phạm vào tháng năm 2014 học sinh lớp 10A3 10A4 Trường THPT Lạng Giang số Tiến hành khảo nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm Cùng đưa Bài kiểm tra gồm toán thực tiễn viết (từ Bài toán thức tiễn đến Bài toán thực tiễn 5, thang điểm điểm) 44 học sinh lớp 10A3 44 học sinh lớp 10A4, nhiên giới thiệu Bài toán gốc cho lớp 10A4 mà không giới thiệu cho lớp 10A3 Kết điểm kiểm tra học sinh hai lớp sau: Sĩ Điểm từ Điểm từ 6.5 Điểm từ Điểm từ 3.5 Điểm số trở lên đến đến 6.5 đến 3.5 10A3 44 30 10A4 44 10 25 0 Lớp Kết kiểm tra cho thấy học sinh lớp 10A4 hướng dẫn khai thác toán tổng khoảng cách nhỏ (Bài tốn gốc) có chuyển biến rõ rệt so với lớp 10A3 việc vận dụng vào giải toán thực tiễn nêu Từ chỗ tương đối mơ hồ khơng có định hướng việc giải dạng toán này, sau học tập chuyên đề em chủ động tích cực nhận biết giải tốt tình thực tiễn có liên quan Đề xuất biện pháp Qua thời gian nghiên cứu tiến hành khảo nghiệm thực tế, tơi có vài đề xuất nhân rộng mơ hình giáo viên học sinh làm quen với việc gắn 18 tốn trừu tượng với tình thực tế gần gũi, góp phần nâng cao chất lượng, hiệu dạy học nhà trường PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ I KẾT LUẬN Do điều kiện lực thân tơi cịn hạn chế, tài liệu tham khảo chưa có nhiều nên chắn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong sáng kiến kinh nghiệm nhiều giúp thầy cô em học sinh công tác dạy học đáp ứng yêu cầu giáo dục giai đoạn Bằng kinh nghiệm sau số năm giảng dạy trường phổ thông, học rút dự thăm lớp đồng nghiệp như, với giúp đỡ tận tình ban giám hiệu nhà trường, tổ chun mơn, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm "Khai thác toán tổng khoảng cách nhỏ để xây dựng số tốn thực tiễn có dạng câu hỏi thi PISA" II ĐỀ NGHỊ Tôi xin đề xuất số ý kiến nhỏ sau: - Giáo viên học sinh cần tích cực tham gia thi "Dạy học với chủ đề tích hợp" "Vận dụng kiến thức liên mơn để giải tình thực tiễn - Giáo viên cần tích cực gắn tốn lớp với tốn tình thực tiễn, hướng dẫn học sinh tự xây dựng toán thực tiễn phạm vi kiến thức học - Các tổ chuyên môn nhà trường thường xuyên tổ chức buổi ngoại khóa với hoạt động mang nội dung gắn kiến thức sách học sinh với thức tiễn, giúp em học sinh làm quen với tình thực tiễn 19 sẵn sàng sử dụng kiến thức kĩ để giải tình thực tiễn Trên số kinh nghiệm trình giảng dạy, học tập nghiên cứu Do thời gian nghiên cứu, trình độ kinh nghiệm có hạn nên vấn đề nêu khơng tránh khỏi có thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp để tơi rút kinh nghiệm trình dạy học giúp việc dạy học ngày tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! Lạng Giang, ngày 30 tháng năm 1014 CẤP TRÊN PHÊ DUYỆT Người thực Ninh Văn Quang 20 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Huy Cận Bài tập quỹ tích dựng hình, Nhà xuất giáo dục 1999 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Hình học 11, Nhà xuất giáo dục 2006 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) Hình học 10, Nhà xuất giáo dục 2006 21 ... nghiệm "Khai thác toán tổng khoảng cách nhỏ để xây dựng số tốn thực tiễn có dạng câu hỏi thi PISA" II ĐỀ NGHỊ Tôi xin đề xuất số ý kiến nhỏ sau: - Giáo viên học sinh cần tích cực tham gia thi "Dạy... giải tốn thực tiễn lại khó khăn Vì lí trên, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề: "Khai thác toán tổng khoảng cách nhỏ để xây dựng số tốn thực tiễn có dạng câu hỏi thi PISA" với... với thực tiễn sống Chương II: KHAI THÁC BÀI TOÁN TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT ĐỂ XÂY DỰNG MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TIỄN CĨ DẠNG CÂU HỎI THI CỦA PISA Bài toán 1: Trong mặt phẳng, cho hai điểm A, B nằm hai