Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN (SKKN được xếp loại C cấp tỉnh năm học 2009-2010) Tác giả: Trần Tuấn Ngọc Giáo viên trường THPT Nguyễn Quán Nho ĐẶT VẤN ĐỀ Năm học 2009-2010 là năm học tiếp tục thực hiện cuộc vận động “Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, “Hai không_bốn nội dung”, “Mỗi thầy cô là một tấm gương đạo đức, tự học và tự sáng tạo”, với chủ đề “Năm học đổi mới quản lí và nâng cao chất lượng giáo dục” cùng với phong trào xây dựng “trường học thân thiện, học sinh tích cực” Nghị quyết TW2 khoá VIII đã khẳng định “ Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy truyền thụ một chiều, rèn luyện nều tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, hiện đại vào quá trình dạy học”. Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số”, không để ý đến các tính chất hình học. Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính vì vậydẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình đường thẳng trong không gian. Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ sở đó để sáng tạo. Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là : “Phân dạng và định hướng cách giải cho bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian”. CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình của đường thẳng:Phương trình tham số và phương trình chính tắc. Như vậy để xác định được phương trình đường thẳng ở hai dạng trên, người học phải xác định được: +) Điểm mà đường thẳng đi qua. +) Véctơ chỉ phương của đường thẳng. Năm học 2009_2010 1 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Nhưng không phải trong mọi trường hợp, ta đều có thể tìm được một cách dễ dàng hai đại lượng nói trên, và cũng như nhiều vấn đề khác của toán học. Bài toán viết phương trình đường thẳng cũng chủ yếu có hai dạng: tường minh và không tường minh Dạng tường minh: - Các đại lượng để giải quyết bài toán thì đề bài cho sẵn, dạng toán này chủ yếu để người học củng cố công thức. - Với bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, dạng tường minh theo tôi đó là: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua. 2) Một điểm mà đường thẳng đi qua và véctơ chỉ phương. Dạng không tường minh: - Các đại lượng để giải quyết bài toán được ẩn dưới một số điều kiện nhất định nào đó, dạng toán này đòi hỏi người học phải biết kết hợp kiến thức, có tư duy logíc toán học, vận dụng linh hoạt các điều kiện có trong đề bài. Trong đề tài này tôi xin được bàn về các dạng toán không tường minh, đây cũng là dạng toán chủ yếu xuất hiện trong các kì thi, và học sinh cũng thường găph phải khó khăn trong dạng toán này, trước hết tôi xin được chia nhỏ thành hai bài toán: Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua Ở bài toán này đề bài chỉ cho biết một điểm đi qua,không cho trực tiếp phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định phương của đường thẳng dựa vào các điều kiện khác của bài toán Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước Ở bài toán này đề bài không cho trực tiếp điểm đi qua và phương của đường thẳng, buộc học sinh phải xác định các đại lượng đó dựa vào các điều kiện của bài toán. Ngoài việc phân dạng toán, chúng ta cũng cần phải hướng dẫn cho học sinh định hướng cách giai khi đứng trước một bài toán. Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền hai điều kiện xác định đường thẳng sau: +) Biết hai điểm đi qua. +) Biết hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm Và đó cũng là hướng giải quyết chủ yếu cho bài toán mà tôi đưa ra: Định hướng thứ nhất: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua. Khi xác định được hai điểm đi qua thì hiển nhiên ta có hai đại lượng cần thiết để hình thành phương trình dạng tham số hoặc dạng chính tắc. Định hướng thứ hai: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm Một vấn đề đặt ra ở đây là: phương trình dạng tổng quát của đường thẳng không được trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng tổng quát thì có được chấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm thế nào? Các khắc phục không có gì khó khăn, các bạn có thể hướng dẫn học sinh chuển về dạng tham số thông qua ví dụ sau: Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ: 2 5 0 2 1 0 x y z x y z − + − =   + + − =  Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số Năm học 2009_2010 2 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Đặt: 3 2 0 3 3 3 0 1 1 2 0 2 0 2 x y t x t x t z t x y t x y t y t − − + = − + = = −    = + ⇒ ⇒ ⇒    + + = + + = = − +    Vậy ta có phương trình dạng tham số của ∆. ( ) 1 2 1 x t y t t R z t = −   = − + ∈   = +  Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng ∆ là tập hợp các điểm có tọa độ thoả mãn hệ: ( ) ( ) ( ) 2 5 0 2 1 0 x y z I x y z α β  − + − =   + + − =   +) Điểm đi qua: Với 1z = thay vào hệ (I) ta có: ( ) 3 1 2 0 2 x y x I x y y − = =   ⇔   + = = −   Suy ra ∆ đi qua ( ) 1; 2;1M − . +) Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ phương là tích có hướng của hai mặt phẳng. ( ) , 3;3;3u n n α β ∆   = = −   uur uur uur Vậy ∆ có phương trình dạng tham số: ( ) 1 3 2 3 1 3 x t y t t R z t = −   = − + ∈   = +  Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài toán cũng cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới. CƠ SỞ THỰC TIỄN Sau khi nghiên cứu và áp dụng vào các tiết dạy cho học sinh, tôi thấy học sinh không còn lúng túng trước bài toán hình học dạng này nữa, mà chỉ sau một số bài tập nhất định, các em đã nắm chắc nguyên tắc cơ bản để giải bài toán là “ Xác địn điểm đi qua và véctơ chỉ phương”. Đa số các em học sinh từ trung bình trở lên đều có thể tự tin làm được hết các bài tập SGK và bài tập sách bài tập hình học nâng cao 12. Các em tự đặt câu hỏi: Còn cách giải khác cho bài toán không? Từ đó kích thích sự tò mò tìm cách giải mới cho mỗi bài toán cụ thể và cũng có nhiều em đã tìm được một số lời giải khá độc đáo khác cho bài toán. Biết kết hợp các kiến thức đã học để giải các bài toán hình học khó hơn. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI Trên cơ sở các kiến thức cơ bản về hình học giải tích đã được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 12. Kiến thức cơ bản về đường thẳng trong không gian lớp 11.Tôi xin được trình bày nội dung đề tài dưới một số Bài toán cơ bản mà phương pháp giải các bài toán đó được rút ra từ hai định hướng cớ bản nêu trên. Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng trong không gian biết một điểm đi qua +) Điểm đi qua đã cho trong đề bài. +) Phương của đường thẳng xác định thông qua các đại lượng, các mối quan hệ trong bài toán. Ví dụ 1 Năm học 2009_2010 3 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 1;2;3M và vuông góc với mặt phẳng ( ) : 2 3 2 0x y z α − + − = Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : ( ) 1;2;3M . +) Mặt phẳng (α) ⇔ có tọa độ các điểm thuộc mặt phẳng và véctơ pháp tuyến: ( ) 2; 3;1n α − uur +) Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Các cách giải: Cách 1: Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên song song hoặc trùng với giá của véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).Vậy ∆ nhận ( ) 2; 3;1n α − uur làm véctơ chỉ phương nên có phương trình dạng tham số: ( ) 1 2 2 3 3 1 x t y t t R z = +   = − ∈   = +  Cách 2: Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên ∆ là tập hợp các điểm ( ) ; ;N x y z sao cho: ( ) ( ) 1 2 1 2 2 3 2 3 3 3 x t x t MN tn y t y t t R I t R z t z t α − = = +    =    ⇔ − = − ⇔ = − ∈    ∈     − = = +   uuuur uur Hệ (I) là phương trình dạng tham số của đường thẳng ∆. (Cách giải thứ 2 được đề xuất từ học sinh) Ví dụ 2 Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ qua ( ) 1;2;5M − và song song với hai mặt phẳng: ( ) :3 5 8 0P x y z+ − + = và ( ) :2 1 0Q x y z− + − = . Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : ( ) 1;2;5M − . +) Hai mặt phẳng : (P) ⇔ có véctơ pháp tuyến: ( ) 3;1; 5 P n − uur . (Q) ⇔ có véctơ pháp tuyến: ( ) 2; 1;1 Q n − uur . +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ song song với cả hai mặt phẳng, suy ra nó có phương vuông góc với hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Cách giải: Từ mối qua hệ giữa đường thẳng ∆ với hai mặt phẳng (P) và (Q) dẫn đến đường thẳng ∆ có một chỉ phương ( ) ; 4; 13; 5 P Q u n n   = = − − −   r uur uur Đường thẳng cần tìm có phương trình dạng chính tắc: Năm học 2009_2010 4 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc 1 2 5 : 4 13 5 x y z+ − − ∆ = = − − − Ví dụ 3 Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) 2;1;3A − , cắt cả hai đường thẳng 1 1 2 1 : 1 1 1 x y z− − + ∆ = = − và 2 2 3 1 : 1 2 1 x y z+ − + ∆ = = − Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : ( ) 2;1;3A − . +) Đường thẳng 1 ∆ đi qua điểm ( ) 1;2; 1M − và có véctơ chỉ phương ( ) 1 1; 1;1u − ur . +) Đường thẳng 2 ∆ đi qua điểm ( ) 2;3; 1N − − và có véctơ chỉ phương ( ) 2 1;2;1u − uur . +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ . 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau: Định hướng 1: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng 1 ∆ nên xác định một mặt phẳng ( ) α . +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng 2 ∆ nên xác định một mặt phẳng ( ) β . Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β . Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng 1 ∆ tại P. +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng 2 ∆ tại Q. Vậy đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PQ. Từ đó dẫn đến các cách giải Cách giải: Cách 1: • Gọi ( ) α là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và 1 ∆ . Vậy ( ) α có hai chỉ phương là ( ) 3;1; 4AM − uuuur và ( ) 1 1; 1;1u − ur , suy ra pháp tuyến của ( ) α : ( ) 1 ; 3; 7; 4n AM u α   = = − − −   uur uuuur ur • Gọi ( ) β là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau ∆ và 2 ∆ . Vậy ( ) β có hai chỉ phương là ( ) 0;2; 4AN − uuur và ( ) 2 1;2;1u − uur , suy ra pháp tuyến của ( ) α : ( ) 2 ; 10;4;2n AN u β   = =   uur uuur uur Suy ra đường thẳng cần tìm có chỉ phương: ( ) ; 2; 34;58u n n α β   = = −   r uur uur Hay ∆ có phương trình: 2 : 1 17 3 29 x t y t z t = − +   ∆ = −   = +  Cách 2: Gọi P là giao điểm của ∆ và 1 ∆ . ( ) 1 1 ;2 ; 1P P t t t∈∆ ⇒ + − − + Năm học 2009_2010 5 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Gọi Q là giao điểm của ∆ và 2 ∆ . ( ) 2 2 ';3 2 '; 1 'Q Q t t t∈∆ ⇒ − − + − + Mặt khác ba điểm P, A, Q cùng thuộc đường thẳng ∆ nên thẳng hàng hay: ( ) '; 2 2 ';4 'QA t t t− − − uuur , ( ) 3 ; 1 ;4PA t t t− − − + − uuur . 2 ' 15 ' 3 ' 3 0 8 2 2 ' 2 ' 2 15 4 ' 4 ' 4 4 26 15 t t k tk t k tk QA k PA t k tk t k tk k t k tk t k tk tk  =  = − − + + =       = ⇔ − − = − + ⇔ − + = − ⇔ =       − = − + − =    = −   uuur uuur Với 2 ' 15 t = ta có : 2 34 58 ; ; 15 15 15 QA   −  ÷   uuur Hay đường thẳng ∆ có chỉ phương: ( ) 1; 17;29u − r và đi qua A nên có phương trình: 2 1 3 : 1 17 29 x y z+ − − ∆ = = − Cách 3: Ta có: ( ) 1 ; 3; 7; 4AM u   = − − −   uuuur ur , ( ) 2 ; 10;4;2AN u   =   uuur uur Gọi ( ) ( ) 2 2 2 ; ; 0u a b c a b c+ + ≠ r là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm. +) Ba vectơ 1 , ,AM u u uuuur ur r đồng phẳng ( ) 1 , . 0 3 7 4 0 1AM u u a b c   ⇔ = ⇔ + + =   uuuur ur r +) Ba vectơ 2 , ,AN u u uuur uur r đồng phẳng ( ) 2 , . 0 10 4 2 0 2AN u u a b c   ⇔ = ⇔ + + =   uuur uur r Từ (1) và (2): 3 7 4 0 3 7 20 8 0 17 5 2 0 5 2 29 a b c a b a b b a a b c c a b c a + + = + − − = = −    ⇔ ⇔    + + = = − − =    Vì 2 2 2 0 0a b c a+ + ≠ ⇒ ≠ véctơ ( ) ; 17 ;29u a a a− r hay đường thẳng cần tìm có chỉ phương ( ) 1; 17;29u − r và đi qua A nên có phương trình: 2 1 3 : 1 17 29 x y z+ − − ∆ = = − Ví dụ 4 Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ) 1;2;3A đồng thời vuông góc với d 1 và cắt d 2 :biết 1 6 2 : 1 4 4 x t d y t z t = −   = +   = −  , 2 1 2 3 : 2 1 1 x y z d − + − = = − . Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +)Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : ( ) 1;2;3A . +)Đường thẳng 1 d đi qua điểm ( ) 6;1;4M và có véctơ chỉ phương ( ) 1 2;4; 1u − − ur . Năm học 2009_2010 6 A P Q 1 ∆ 2 ∆ • Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc +) Đường thẳng 2 d đi qua điểm ( ) 1; 2;3N − và có véctơ chỉ phương ( ) 2 2;1; 1u − uur . +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt 2 d . Đường thẳng ∆ vuông góc với 1 d (có thể cắt hoặc không cắt). 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Từ mối quan hệ ta có thể có hai hướng giải quyết sau: Không thể dựa vào điều kiện ∆ cắt 1 d vì mối qua hệ này không chắc chắn xảy ra. Định hướng 1: (Xác định điểm đi qua) +)Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng 2 d tại P. +)Đường thẳng ∆ vuông góc với 1 d nên 1 1 . 0AP u AP u⊥ ⇔ = uuur ur uuur ur . Suy ra đường thẳng ∆ cũng là đường thẳng PA. Định hướng 2: +) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng 2 d nên xác định một mặt phẳng ( ) α . +) Đường thẳng ∆ vuông góc với 1 d nên xác định một mặt phẳng ( ) β qua A và vuông góc với 1 d . Vậy đường thẳng ∆ là giao của hai mặt phẳng ( ) α và ( ) β . Từ đó dẫn đến các cách giải Cách giải: Cách 1: Gọi giao của đường thẳng ∆ với 2 d là P, suy ra 2 P d∈ hay ( ) 1 2 ; 2 ;3P t t t+ − + − Véctơ ( ) 2 ; 4;AP t t t− − uuur Mặt khác ∆ vuông góc với 1 d nên: 1 1 . 0 4 4 16 0 16AP u AP u t t t t⊥ ⇔ = ⇔ − + − + = ⇔ = uuur ur uuur ur . Suy ra ( ) 32;12; 16AP − uuur , hay 1 2 3 : 8 3 4 x y z− − − ∆ = = − . Cách 2: Gọi ( ) α là mặt phẳng xác định bởi ∆ và 2 d . ( ) 2 , 4;0; 8n NA u α   = = − −   uur uuur uur Mặt khác ( ) α chứa ∆ nên đi qua A. ( ) : 2 7 0x z α + − = Gọi ( ) β là mặt phẳng qua A và vuông góc với 1 d , nên nhận ( ) 1 2;4; 1u − − ur là véctơ pháp tuyến. ( ) : 2 4 3 0x y z β − + + = Ví ∆ là giao của ( ) α và ( ) β nên có chỉ phương ( ) , 8;3; 4u n n α β   = = −   r uur uur . Phương trình của đường thẳng ( ) 1 8 : 2 3 3 4 x t y t t R z t = +   ∆ = + ∈   = −  . Ngoài hai cách giải trên, ta còn có thể tìm trực tiếp véctơ chỉ phương Cách 3: Gọi ( ) ; ;u a b c r là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm 2 2 2 0a b c+ + ≠ . Vì ∆ cắt 2 d nên ba véctơ 2 ;NA u uuur uur và u r đồng phẳng: Năm học 2009_2010 7 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc ( ) 2 , . 0 4 8 0 2 1NA u u a c a c   = ⇔ + = ⇔ = −   uuur uur r Mặt khác ∆ ⊥ 1 d ⇔ ( ) 1 . 0 2 4 0 2u u a b c= ⇔ − + − = r ur Từ (1) và (2) ta có: 3 4 0 3 4c b c b+ = ⇔ = − Chọn 3 4 8 b c a =  = − ⇒  =  Vậy ∆ có phương trình: ( ) 1 8 : 2 3 3 4 x t y t t R z t = +   ∆ = + ∈   = −  . Cách 4: Gọi ( ) ; ;K x y z . K thuộc đường thẳng cần tìm khi và chỉ khi 2 1 ; ;AK NA u AK u    ⊥   uuur uuur uur uuur ur ( ) 2 1 , 0 . 0 AK NA u I AK u    =    ⇔   =  uuur uuur uur uuur ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 8 3 0 2 7 0 2 4 3 0 2 1 4 2 3 0 x z x z x y z x y z  − − − − = + − =   ⇔ ⇔   − + + = − − + − − − =    Đặt z = t: 7 2 7 2 17 3 14 4 4 3 0 4 4 x t x t t y t y t = −  = −   ⇔   − − + + = = −    Vậy, đường thẳng cần tìm có phương trình ( ) 7 2 17 3 : 4 4 x t y t t R z t = −    ∆ = − ∈   =   . Ví dụ 5 Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ( ) 3; 2; 1A − − , vuông góc và cắt đường thẳng 3 : 4 5 1 2 x t d y t z t = +   = −   = − +  Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : ( ) 3; 2; 1A − − . +) Đường thẳng d đi qua điểm ( ) 3;4; 1M − và có véctơ chỉ phương ( ) 1; 5;2u − r . +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ cắt d . Đường thẳng ∆ vuông góc với d . 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4. Cách giải: ( ) 0;6;0AM uuuur Gọi ( ) α là mặt phẳng qua A và chứa d. ( ) , 12;0; 6n AM u α   = = −   uur uuuur r Năm học 2009_2010 8 đồng phẳng Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc Gọi ( ) β là mặt phẳng qua A và vuông góc với d. ( ) 1; 5;2n u β = − uur r Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương: ( ) 1 ; 30; 30; 60u n n α β   = = − − −   ur uur uur Phương trình của đường thẳng 3 2 1 : 1 1 2 x y z− + + ∆ = = . Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một cách giải mà đối với mỗi bài toán, trong từng trường hợp, học sinh có thể định hướng cho mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của từng bài toán. Có những cách giải thì rất hiệu quả đối với bài toán này nhưng sẽ gặp khó khăn đối với bài toán khác. Như ví dụ sau: Ví dụ 6 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2 2 17 0x y z α − + + = và mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 : 1 3 2 9S x y z− + − + + = . Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với mặt cầu (S) biết tiếp tuyến đó đi qua ( ) 1;8;2M và song song với mặt phẳng (α). Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : ( ) 1;8;2M . +) Mặt phẳng ( ) α có véctơ pháp tuyến ( ) 2; 1;2n α − uur . +) Mặt cầu ( ) S có tâm và bán kính ( ) 1;3; 2 , 3I R− = +) Quan hệ: Đường thẳng ( ) / / α ∆ Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇔ khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ∆ bằng R. 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Từ định hướng trên, học sinh có thể giải quyết Ví dụ5 với đầy đủ các cách như Ví dụ4. Cách giải: Gọi ( ) ; ;u a b c r là chỉ phương của đường thẳng ∆ cần tìm 2 2 2 0a b c+ + ≠ . Vì ( ) / / α ∆ nên ta có: ( ) . 0 2 2 0 2 2 1u n a b c b a c α = ⇔ − + = ⇔ = + r uur +) ( ) 0;5;4IM uuur , ( ) ; ;u a b c r , ( ) , 5 4 ;4 ; 5IM u c b a a   = − −   uuur r Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , 5 4 4 5 , 3 IM u c b a a d I R R u a b c   − + + −   ∆ = ⇔ = ⇔ = + + uuur r r ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 4 4 5 3 2c b a a a b c⇔ − + + − = + + Từ (1) và (2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8 3 4 5 3 2 2a c a a a a c c⇔ + + + − = + + + 2 2 2 2 105 48 9 45 72 45a ac c a ac c⇔ + + = + + Năm học 2009_2010 9 Trường THPT Nguyễn Quán Nho Gv:Trần Tuấn Ngọc 2 2 5 2 3 0a ac c⇔ − − = 1 3 5 3 5 a a c c a a c c  =  =  ⇔ ⇔   = −   = −   Vì 2 2 2 0a b c+ + ≠ suy ra 0a ≠ . Nếu a c= chọn 4 1 1 b a c =  = ⇒  =  . Tiếp tuyến cần tìm: 1 1 8 2 : 1 4 1 x y z− − − ∆ = = Nếu 5 3a c = − chọn 4 3 5 b a c =  = − ⇒  =  . Tiếp tuyến cần tìm: 2 1 8 2 : 3 4 5 x y z− − − ∆ = = − Vậy qua M có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài 1 1 8 2 : 1 4 1 x y z− − − ∆ = = và 2 1 8 2 : 3 4 5 x y z− − − ∆ = = − . Như vậy bài toán được giải quyết không mấy khó khăn!nhưng nếu sử dụng cách khácthì vẫn giải được, tuy nhiên khá phức tạp. Ví như ta dùng các xác định hai điểm đi qua: Đề bài đã cho một điểm nên ta chi cần xác định thêm một điểm. Điểm có thể tìm được đó là tiếp điểm. Cách khác: Gọi ( ) ; ;K x y z là tọa độ tiếp điểm thì ta vẫn có thể tìm được K nhờ các điều kiện sau: +) ( ) K S∈ , +) . 0MK n α = uuuur uur , +) . 0IK MK = uur uuuur . Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước Cả điểm đi qua và phương của đường thẳng được xác định thông qua các đại lượng cho trước và các mối quan hệ hình học. Ví dụ 7 Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình của đường thẳng ∆ biết nó vuông góc với mặt phẳng (P) : 4 0x y z+ − − = và cắt cả hai đường thẳng chéo nhau: 1 2 : 3 1 2 x t y t z t = −   ∆ = +   = −  và 2 2 3 ' : 1 ' ' x t y t z t = +   ∆ = −   =  Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến ( ) 1;1; 1 P n − uur . +) Đường thẳng 1 ∆ đi qua ( ) 1 1;1; 2M − − có chỉ phương ( ) 1 2;3;1u ur . +) Đường thẳng 2 ∆ đi qua ( ) 2 2;1;0M có chỉ phương ( ) 1 3; 1;1u − ur . +) Quan hệ: Đường thẳng ( ) P∆ ⊥ Đường thẳng ∆ cắt cả 1 ∆ và 2 ∆ . 2) Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆. Cách giải: Cách 1: (Xác địng hai điểm đi qua) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng ∆ với hai đường thẳng 1 ∆ , 2 ∆ . Năm học 2009_2010 10 [...]... véctơ pháp tuyến nP ( 1;1; −1) u r + )Đường thẳng ∆1 đi qua M 1 ( −1;1; −2 ) có chỉ phương u1 ( 2;3;1) u r + )Đường thẳng ∆ 2 đi qua M 2 ( 2;1;0 ) có chỉ phương u1 ( 3; −1;1) +)Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊥ ( P ) Đường thẳng ∆ cắt cả ∆1 và ∆ 2 2)Cần xác định điểm đi qua và véctơ chỉ phương của đường thẳng ∆ Cách giải: Ví dụ 14 Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : ( P ) : 2x + y − z − 5 = 0... Suy ra đường thẳng có phương trình: Với t ' = 4  4 4 4 1 7 3 x+ y− z+ 4= 4= 4 1 1 −1 Ví dụ 8 Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: x − 6 y − 1 z − 10 x+4 y −3 z −4 ∆1 : = = = = và ∆ 2 : 1 2 −1 −7 2 3 Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: u r + )Đường thẳng ∆1 đi qua M 1 ( 6;1;10 ) có chỉ phương. .. của đường thẳng d và mặt phẳng (P) 2 .Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng (P) Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: u r + )Đường thẳng d đi qua M 1 ( −2;0; −3) có chỉ phương u1 ( 1; −2; 2 ) r +)Mặt phẳng ( P ) có pháp tuyến n ( 2;1; −1) +)Quan hệ: Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng ( P ) Đường thẳng. .. y = −89 + 6 z Đặt z = t , ta có phương trình tham số của đường thẳng:  x = 181 − 13t  ⇔  y = −89 + 6t ( t ∈ R) z = t  d d’ P (Trong cách 2, đường thẳng ∆ chính là giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (P), trong đó (α) chứa d và vông góc với (P) ) Ví dụ 10 Trong không gian tọa độ Oxyz Viết phương trình đường phân giác của hai đường thẳng:  x = 1 + 4t x − 2 y +1 z − 3  ∆1 : = = và ∆ 2 :... 3 15  Hai đường thẳng cắt nhau có hai phân giác d1 và d 2 u u r u r +) Phân giác d1 có chỉ phương cùng phương với v1 + v2 có tọa độ: ( 17;10; −1) nên có phương x −1 y + 3 z − 5 = = trình: 17 10 −1 u u r u r +) Phân giác d 2 có chỉ phương cùng phương với v1 − v2 có tọa độ: ( −7; 2; −19 ) nên có phương trình: x −1 y + 3 z − 5 = = −7 10 −19 Ví dụ 11 Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng x =... đường thẳng x = 1 + t  d : y = 1 trên mặt phẳng z = 1 + t  Ví dụ 13 Trong không gian tọa độ Oxyz Cho đường thẳng ∆ : (α) : x + y + z −3 = 0 x −1 y +1 z +1 = = và mặt phẳng 2 3 −1 1 .Viết phương trình hình chiếu vuông góc d của ∆ trên mặt phẳng (α) x + 2 y z +1 = = 2 .Viết phương trình hình chiếu song song theo phương l : của đường thẳng ∆ trên −1 1 2 mặt phẳng (α) Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho... 2t nằm trong mặt phẳng P : − x + y + 2z + 5 = 0 z = −3 + t  ( ) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) và cách d một khoảng là 14 Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: ur u +) Mặt phẳng (P): véctơ pháp tuyến nP ( −1;1; 2 ) r +) Đường thẳng d đi qua M ( 2;3; −3) có chỉ phương u ( 4; 2;1) +) Quan hệ: Đường thẳng ∆ ⊂ ( P ) Đường thẳng. .. A ( 1;6; −5 )  z = −5  0 x −1 y − 6 z + 5 = = Đường thẳng cần tìm có phương trình: 4 2 1 x0 = 3   Với t = 6 ⇒  y0 = 0 , ⇒ A ( 3;0; −1)  z = −1  0 x − 3 y z +1 = = Đường thẳng cần tìm có phương trình: 4 2 1 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn có phương trình: x −1 y − 6 z + 5 x − 3 y z +1 = = = = và 4 2 1 4 2 1 Cách 2: (Giao của hai mặt phẳng) Đường thẳng cần tìm là giao của mặt phẳng (P) với mặt... 1  z = −2 + t  Viết phương trình các đường thẳng d1 , d 2 lần lượt đối xứng với ∆1 , ∆ 2 qua ∆ Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 1) Đề cho: r +) Đường thẳng ∆ đi qua M ( 1;0; −2 ) có chỉ phương u ( 2;1;1) u r +) Đường thẳng ∆1 đi qua M 1 ( −3;1; −1) có chỉ phương u1 ( 2;1;1) u u r +) Đường thẳng ∆ 2 đi qua M 1 ( 2; −1;1) có chỉ phương u2 ( 2; −1;1)... 4t thay vào hệ ta có:  5 x + 34 y = 44t + 49  y = 1+ t Vậy đương vuông góc chung cần tìm có phương trình: x − 3 y −1 z −1 = = 2 1 4 Ví dụ 9 Trong không gian tọa độ Oxyz x − 2 y −1 z − 7 = = Cho mặt phẳng (P) : x + 3 y − 5 z + 6 = 0 và đường thẳng d : Viết phương trình 1 2 1 tham số của đường thẳng ∆ nằm trong (P), cắt và vuông góc với d Định hướng giải quyết: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần . phương trình đường thẳng trong không gian . CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình Sách giáo khoa có đề cập đến hai dạng phương trình của đường thẳng :Phương trình tham số và phương trình chính tắc. . đứng trước một bài toán. Trong bài toán Viết phương trình đường thẳng trong không gian, người học cần chú ý đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian, tôi đặc biệt chú ý đền. đường thẳng trong không gian, dạng tường minh theo tôi đó là: Viết phương trình tham số (hoặc chính tắc)của đường thẳng biết: 1) Hai điểm mà đường thẳng đi qua. 2) Một điểm mà đường thẳng