Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku PHOØNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP PLEIKU TÊN ĐỀ TÀI KHAI THÁC CÁC CÁCH VẼ TAM GIÁC ĐỀU ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÍNH SỐ ĐO GÓC NĂM HỌC 2009-2010 Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý do: Đứng trước yêu cầu công đổi mới, giáo dục phải trước bước, đòi hỏi ngành Giáo dục nói chung thầy cô giáo nói riêng phải gánh vác trọng trách nặng nề Muốn giáo dục đào tạo tồn xứng đáng với vị trí xã hội nhà giáo dục phải đổi để đề định hướng kịp thời Trong trình giáo dục việc dạy học nhà trường chủ yếu, nhà trường thân giáo viên phấn đấu tìm tòi, đổi phương pháp giảng dạy, nâng cao hiệu suất lên lớp, có làm nâng cao chất lượng đào tạo, tạo uy tín học sinh, củng cố niềm tin với phụ huynh học sinh toàn xã hội Là giáo viên toán THCS thấy Hình học môn Hình học 6, sở lý luận cho em học hình học lớp sau Do việc dạy Hình học lớp có vị trí đặc biệt quan trọng trình dạy toán trường phổ thông Trong năm qua đặt cho câu hỏi, trăn trở để từ tìm hiểu, nghiên cứu rút phương pháp giảng dạy thích hợp Trong môn Hình học 7, môn mẻ học sinh, có tập khó mà em lúng túng tìm hướng giải Qua nhiều năm giảng dạy qua công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, thấy dạng tập đòi hỏi phải vẽ thêm yếu tố phụ thường khó học sinh –Loại thường có đề tường minh, ngắn gọn khó giải có kiện Loại tập đòi hỏi học sinh phải biết tạo kiện cách vẽ thêm yếu tố phụ Nhưng thực tế,việc định hướng để xác định xem vẽ thêm yếu tố phụ cho hợp lý học sinh gặp nhiều khó khăn vấn đề mà giáo viên cần phải hình thành cho học sinh ngày từ lớp để em phát triển tư hình học Vì vậy, trình nghiên cứu, tìm tòi dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi rút chút kinh nghiệm việc hình thành cho học sinh kỹ vẽ thêm yếu tố phụ, cụ thể vẽ tam giác để giải số toán tính độ lớn góc Đó lý chọn đề tài: Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku “ Khai thác cách vẽ tam giác để giải toán tính số đo góc” Mục đích: Tôi nghiên cứu, viết đề tài hy vọng giúp em học sinh lớp (đặc biệt học sinh khá, giỏi) có phương pháp hướng giải Đồng thời qua chuyên đề hy vọng em hình thành, rèn luyện, củng cố kiến thức, kỹ vẽ hình, kỹ trình bày tập hình học Giúp học sinh mở mang tầm hiểu biết thực tiễn mình, giúp giáo dục tư tưởng đạo đức rèn phong cách làm việc người lao động mới: Có kế hoạch, có phân tích tìm hướng giải linh hoạt trước làm việc cụ thể B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ ICƠ SỞ LÝ LUẬN: Vai trò việc hướng dẫn học sinh giải tập hình học: Hướng dẫn học sinh giải tập Hình học phương tiện hiệu lực để thực mục đích dạy học toán trường phổ thông Củng cố, ôn tập khắc sâu, hệ thống hóa kiến thức, rèn kỹ vẽ hình, kỹ trình bày, kỹ tính toán, vận dụng kiến thức vào thực tế học môn khác, rèn tích tích cực, tư lôgic học tập đời sống hàng ngày học sinh Phương pháp, kiến thức hướng dẫn học sinh vẽ yếu tố phụ – tam giác để giải toán tính số đo góc: Đối với tập tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định như: - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam giác vuông cân - Tam giác vuông có cạnh góc vuông nửa cạnh huyền, … Sau hướng dân học sinh nghó đến việc tính số đo góc cần tìm thông qua mối liên hệ với góc hình chứa góc có số đo mà hoàn toàn xác định nêu ( thường xét mối liên hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau) Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Nhưng cho lại hình tam giác đều, tam giác vuông cân, tam giác vuông có cạnh góc vuông nửa cạnh huyền, tam giác cân có góc xác định, sao? Do phải hướng dẫn học sinh xem có tạo hình không? Trong phạm vi chuyên đề có hạn, xin đề cập đến cách tạo tam giác – phương pháp vẽ đường phụ độc giải toán khó “tính số đo góc” II- NỘI DUNG Ví dụ 1: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có góc đáy 800 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD=BC Tính số đo góc ACD?  Hướng giải quyết: Giáo viên gợi ý cho em tìm mối A liên hệ góc tam giác ABC Có thể em phát thấy (hoặc giáo viên ra): tam giác cân ABC cho có góc 800, 800, D 200 Mà 800-200=600 góc tam giác Từ hướng dẫn học sinh thử vẽ thêm tam giác đó, xem có nhận thấy điều ? không? Từ gợi ý trên, đa số học sinh làm theo cách 80 sau: B C Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Caùch 1: Vẽ tam giác BEC nằm tam giác ABC để tạo góc ECA 200, góc A Khi ECA=DAC (c.g.c) vì: EC=DA AC: chung A D  A ECA   1 Do   EAC  BAC (1) ACD  E C B Mà ABE=ACE (c.c.c) vì: AB=AC EB=BC AE: Chung   Do BAE  EAC (2) 1 Từ (1) vaø (2) suy   BAC  100 ACD Cũng có số em làm theo cách: Cách 2: Vẽ tam giác EAD nằm tam giác ABC, tạo góc EAC 80 độ, góc B Khi EAC=CBA (c.g.c) vì: EA=BC A E D   EAC  B 12 B C AC=AB   Suy CE=CA ECA  BAC Do CDA=CDE (c.c.c) vì: DA=DE CD: Chung CA=CE   1 1 -> C1  C2  ECA  BAC  100 2 Sau phân tích, hướng dẫn em làm hai cách trên, hướng dẫn em thêm cách sau: Cách 3: Vẽ tam giác EAC nằm tam giác ABC, tạo góc DAE 80 độ, Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku góc B Khi DAE=CBA (c.g.c) vì: AE=BA A 1 D E AD=BC   Do ED=AC E1  A  200 (vì góc A1 ? B   DAE  B 20 độ) Vậy tam giác DEC cân đỉnh E có góc  đỉnh E2  600 -200=400 C  -> ECD  (1800  400 ) :  700   ACE Do DCA  DCE    700  600  100 Cách 4: Vẽ tam giác AEB (E,C phía với AB) tạo góc CBE 20 độ, góc A Khi Khi CBE=DAC (c.g.c) vì: BC=AD A D   CBE  BAC ? 1 E BE=AC   Do C1  E Vậy để tính B C   C1 ta cần tính E1 Dễ thấy AEC cân A có góc đỉnh:   600  200  400 A  Mà góc đáy   (1800  400 ) :  700 AEC  E2  600 (góc tam giác đều) ->  E1  700  600  100 Vaäy   100 ACD Ở ví dụ đầu cho hai cặp đoạn thẳng là: AB=AC, AD=BC Như giải cách: Vẽ tam giác có cạnh AC; vẽ tam giác có cạnh AB; vẽ tam giác có canh BC; AD Qua ví dụ, bước đầu em định hình phương pháp vẽ tam giác cách triển khai phương hướng Tuy nhiên, để tiếp tục hình thành cho học sinh kỹ vẽ thêm tam giác đều, giáo viên cần hướng dẫn em giải tiếp ví dụ sau: Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân A điểm E nằm tam giác cho   EAC  ECA  150 Tính góc AEB? * Hướng giải quyết: Cũng ví dụ 1, ví dụ B em sớm phát thấy   750 , EAC  150 , mà 750-150=600 góc  BAE tam giác ( có em nhận xét 0   BCA  450 , ECA  150 vaø 45 +15 =60 ) Còn em chưa xác định điều gì, ta gợi ý, hướng dẫn em tính số đo góc tìm mối liên ? E quan góc Từ hướng C A dẫn em cách vẽ tam giác sau: B  Cách 1: Vẽ tam giác AKE nằm tam giác ABE, tạo góc BAK 150, góc EAC Khi BAK=CAE(c.g.c) vì: AB=AC   BAK  EAC K ? 15 A E 15 C AK=AE Dẫn đến tam giác ABK cân K có góc đáy 150  -> K1  1800  2.150  1500  Maø   600  K  3600  (1500  600 )  1500 AKE Vậy AKB=EKB (c.g.c) vì: AK=EK   K1  K BK: Chung   -> BEK  BAK  150 Vaäy   150  600  750 AEB Cách 2: Vẽ tam giác CKE nằm phía tam Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku giác AEC, tạo góc ACK 750, góc BAE Khi KCA=EAB (c.g.c) vì: KC=AE B   BAE ACK  K AC=AB Suy    AEB AKC  Laïi coù E1  1800  2.150  1500 E A C  E2  600 ->   3600  (1500  600 )  150 AEK Do AEC=AEK (c.g.c) EC=EK  AEC AEK AE: Chung  ->     150 Vaäy   150  600  750  AEB  750 AKE ACE AKC Cách 3: Vẽ tam giác AKB (K,C nằm phía   AB) tạo EAK  150 , EAC Khi đó: EAC = EAK (c.g.c) vì: AC=AK B   EAC  EAK K E A C AE: Chung Suy EK=EC Vậy ABE=KBE (c.c.c) AB=KB AE=KE BE: Chung 1 ->   KBE  ABK  600  300 ABE  2   300 ; BEA  750  Như BEA có ABE ->   1800  (750  300 )  750 AEB Hoaëc AKC cân A có góc đỉnh 300; ->góc đáy   AKC  (1800  300 ) :  750 ; ACK    mà EAC  150  ECK  600 Vậy ECK ñeàu -> KC=EC=EK Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku -> ABE=CAK(c.g.c) vì: AB=AC AE=KC  ACK BAE   Suy     750 AEB AKC Cách 4: Vẽ tam giác ACK phía ABC, tạo góc EAK 750, góc EAB Khi BAE=KAE (c.g.c) vì: AB=AK AE Chung =>   E1 AEB  B   BAE  KAE   Mà E1  E2 AEK = CEK (c.c.c)  1 -> E1  AEC  1500  750 2 E 15 A C K Cách 5: Vẽ tam giác AKC “trùm” lên EAC, tạo góc KCB 150, góc ECA  Từ K kẻ tia KM cho MKC  150 MKC=EAC (g.c.g) vì: B 30 K   KCM  ECA 15 KC=AC 30   MKC  EAC  150 M 15 E 15 A 15 C Do KM=AE Mặït khác ABK cân A có góc đỉnh 300 -> góc đáy 750 Do  KBM  750  450  300 , góc KMB Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku  KMB caân K -> KB=KM=AE Vậy ABE = BAK (c.g.c) vì: AB: Chung AE=BK     750 ABK ABE ->     750 AEB ABK Ở ví dụ đầu cho hai cặp đoạn thẳng là: AB=AC; EA=EC Do giải toán theo cách: Vẽ tam giác có cạnh AE; EC; AB; AC Như với gợi ý, hướng dẫn giáo viên, học sinh biết phân tích đầu bài, tìm mối liên hệ kiện giải thiết, từ định hướng cách giải Đó thành công người thầy Và điều quan trọng trước hướng dẫn học sinh triển khai toán theo nhiều cách khác nhau, giáo viên tạo cho học sinh óc quan sát nhạy bén, linh hoạt làm cho tư hình học em phát triển 3.Ví dụ 3: Cho tam giác cân ABC có đáy BC, góc đáy 500 Lấy điểm K tam giác cho góc KBC 100, góc KCB 300 Tính số đo góc tam giác ABK  Hướng giải quyết: A ABK có:   500  100  400 ABK ? K ? B 10 30 C Vậy phải tính hai góc lại   BAK BKA Xem xét đầu bài, ta thấy ABC có góc 500,500, 800 0   KBC  100 , ABC  500 , mà 50 +10 =60 góc tam giác Từ giải toán theo cách sau (học sinh tìm giáo viên gợi ý): Cách 1:Vẽ tam giác BCE “trùm” lên ABC, tạo góc   100 , góc ABE  KBC Dễ thấy EAB=EAC (c.c.c) vì: 10 Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku EB=EC AB=AC AE: Chung   -> E1  E2  300 E 12 A Khi ABE=KBC (g.c.g) vì:   E1  KCB  300 10 ? BE=BC K 10 30 B C   EBA  KBC  AB=KB Do tam giác ABK cân B có góc đỉnh   400 ABK   -> BAK  BKA  (1800  400 ) :  700 Vậy góc tam giác ABK 400,700, 700 Cách 2: A ? K 10 30 B E C Vẽ tam giác ABE (E, C nằm phía AB), tạo góc EBC 100, góc KBC tạo AEC cân A có góc đỉnh bằng: 800-600=200  góc đáy (1800-200):2=800   BCE  800  500  300 Do KBC=EBC (g.c.g) vì:   KBC  EBC  100 BC: Chung   KCB  BCE  300 -> BK=BE -> BK=BA -> Khi ABK cân B -> góc 400,700, 700 Cách 3: Vẽ tam giác AEC ( E,B nằm phía AC), tạo góc BCE 100, góc KBC tạo ABE cân A có góc đỉnh bằng: 800-600=200 -> góc đáy 800  -> EBC  800  500  300 11 Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Do KBC=ECB (g.c.g) vì: A   KBC  BCE BC: Chung   KCB  EBC ? K 10 B E 30 C -> AK=EC=AB -> AKB cân B Vậy góc cần tính 400,700, 700 Ở ví dụ có hai đoạn thẳng AB=AC Do vẽ thêm tam giác dựa hai cạnh đó, ta hai cách: cách 2, cách Ngoài vẽ tam giác mà cạnh không đoạn thẳng khác giải được: cách 1, không, không đủ kiện ( ví dụ: vẽ tam giác có cạnh KC BK) Qua ví dụ này, cho học sinh thấy cách cách tương đương nhau: tạo tam giác có cạnh hai cạnh bên tam giác cân cho, từ dẫn đến cạnh BK cạnh tam giác vừa tạo để suy tam giác ABK cân Còn vẽ tam giác có cạnh KC để tạo góc góc KCB vẽ tam giác có cạnh BK để tạo góc góc ABC không giải toán, không đủ kiện, học sinh cần phải thấy điều để có cách vẽ cho thích hợp Ví dụ 4:  Tính số đo góc B tam giác ABC biết C  750 , đường cao AH cạnh BC A 75.0 B H C Phân tích: AHC vuông H có   C  750 , suy CAH  150 Mà 750-150=600 góc tam giác Từ hướng dẫn học sinh vẽ thêm tam giác đều; có cách sau:  Cách 1: Vẽ tam giác AEC nằêm 12 Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku A E B K H C tam giác ABC tạo ra:   ECB  150  CAH Keû EK  BC ( hướng dẫn giải thích cho học sinh lại kẻ vậy) Khi hai tam giác vuông EKC CHA (cạnh huyền – góc nhọn), vì: EC=AC   ECB  CAH -> KC=AH, maø AH= BC -> KC= BC Vậy K trung điểm BC, EBC cân E   EBC  ECB  150 Mặït khác:  BEC  1800  2.150  1500  BEA  3600  (600  1500 )  1500 -> BEC=BEA(c.g.c) vì: BE: Chung     BEC  BEA( 1500 )  B1  B2  150 EC=EA Vaäy   300 ABC (Hoặc từ BEC =BEA -> AB=BC -> ABC cân B có góc đáy 750 (gt)  -> B  1800  2.750  300 Caùch 2: Vẽ tam giác BEC (E,A nằm phái BC) tạo   C1  150 , baèng CAH 13 Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku Từ A kẻ AK  EC tam giác vuông AKC tam giác vuông CHA ( cạnh huyền – góc nhọn) vì: AC: Chung E A   CAH  150 ACK  K -> KC=AH, maø AH= BC ? B H 2 -> KC= BC  EC C Vậy K trung điểm EC Vậy tam giác EAC cân A , AEB=ACB (c.c.c) vì: BE=BC AB: Chung AE=AC   1 -> B1  B2  CBE  300 (Vaø suy K giao điểm AB EC) Ở ví dụ cho cặp đoạn thẳng phải vẽ tam giác cho liên hệ kiện giả thiết Như qua ví dụ trên, giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp vẽ thêm tam giác từ việc liên hệ kiện giả thiết Và sau ví dụ này, giáo viên nên cho học sinh tự nhận xét, tổng kết dạng tập tính số đo góc giải phương pháp vẽ tam giác đều, sau chốt lại cho em là: Khi xét mối liên hệ góc, phát góc tam gác nên nghó đến cách vẽ thêm tam giác để tạo góc góc cho Hơn việc vẽ thêm tam giác tạo đoạn thẳng nhau, tạo đường có nhiều tính chất, từ dễ dàng phát yếu tố nhau, liên kết với để tìm lời giải Cũng cần cho học sinh thấy kinh nghiệm việc vẽ thêm tam giác đều: Nếu vẽ thêm tam giác mà cạnh có với đoạn thẳng khác giải toán Qua ví dụ học sinh cần thấy rằng, có nhiều cách để tạo tam giác đều, nên chọn cách dẫn đến chứng minh toán đơn giản 14 Trịnh Văn Huyên - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku III BÀI TẬP ỨNG DỤNG : Bài 1: Cho hình vuông ABCD điểm M nằm hình   vuông cho MAB  MBA  150 Tính số đo góc tam giác MDC? Bài 2: Cho tam giác ABC có góc B 600, góc C 450 Trong  góc ABC vẽ tia Bx cho CBx  150 Đường vuông góc với AB A cắt Bx I Tính góc ICB? Bài 3: Trong tam giác cân ABC có góc C 1000 Kẻ Ax cho góc ABx 300, tia phân giác góc B cắt tia Ax M Tính góc ACM? IV THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT: Với biện pháp nêu hầu hết em học sinh biết cách giải tập hình học có tính trừu tượng cao Đặc biệt với chuyên đề này, sau hướng dẫn em đội tuyển học sinh bồi dưỡng học sinh giỏi khối làm ví dụ phương pháp phân tích lên đẫ cho em làm ba tập áp dụng nêu để lấy điểm Kết sau: Đội tuyển Tìm hướng Không tìm HSG khối 7: 15 em giải hoàn chỉnh hướng giải Khi chưa áp em – 13% 13 em – 87% dụng SKKN Sau áp 10 em – 67% em – 33% dụng SKKN Kết khiêm tốn, song rõnét tính ưu việt việc sử dụng phương pháp vẽ tam giác giải toán tính số đo góc Kết cao có đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp cho chuyên đề C KẾT LUẬN: Qua ví dụ trên, ta thấy việc vẽ thêm đường phụ tạo tam giác phương pháp tốt để giải toán tính số đo góc Để dạy cho học sinh lớp đặc biệt học sinh giỏi toán thành thạo việc giải 15 Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku tập hình học, có định hướng đắn việc tìm cách giải tập khó, giáo viên cần phải ý điều sau: + Phải dạy cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu kiến thức tăng cường luyện tập để em thành thạo vận dụng kiến thức + Từ tập cụ thể cần khai thác sâu, mở rộng triệt để, giúp học sinh có óc tư linh hoạt sáng tạo + Hệ thống tập phải chọn lọc kỹ càng, xếp theo trình tự, lôgic, từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp qua hệ thống tập, giáo viên cần phải khái quát hóa cách giải dạng tập + Nên đưa tập có tính thực tế cao, gần gũi với đời sống hàng ngày em để tạo hứng thú cho học sinh, làm cho em tan cảm giác “sợ” học hình Đề tài đưa góc nhỏ phương pháp giải toán Song với phương pháp phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh, quan trọng hình thành cho học sinh biết cách tư hình học, đứng trước toán phải biết phân tích đầu bài, tìm mối liên quan kiện giả thiết, từ xác định hướng giải quyết, từ dạng toán làm mở rộng dạng toán khác Trên kinh nghiệm đúc rút trình giảng dạy áp dụng thành công Song đề tài không tránh khỏi sai sót, kính mong Q đồng nghiệp quan tâm – góp ý để đề tài ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 16 ... kỹ vẽ thêm yếu tố phụ, cụ thể vẽ tam giác để giải số toán tính độ lớn góc Đó lý chọn đề tài: Trịnh Văn Hun - THCS Lý Tự Trọng, Pleiku “ Khai thác cách vẽ tam giác để giải toán tính số đo góc? ??... tập tính số đo góc giải phương pháp vẽ tam giác đều, sau chốt lại cho em là: Khi xét mối liên hệ góc, phát góc tam gác nên nghó đến cách vẽ thêm tam giác để tạo góc góc cho Hơn việc vẽ thêm tam. .. Còn vẽ tam giác có cạnh KC để tạo góc góc KCB vẽ tam giác có cạnh BK để tạo góc góc ABC không giải toán, không đủ kiện, học sinh cần phải thấy điều để có cách vẽ cho thích hợp Ví dụ 4:  Tính số