SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp A - Đặt vấn đề Lời mở đầu: trờng phổ thông, dạy toán hoạt động toán học Đối với học sinh, xem giải toán hoạt động đóng vai trò chủ yếu hoạt động toán học Các tập phơng tiện có hiệu thay đợc việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển lực t duy, hình thành rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Hoạt động giải tập điều kiện để thực tốt mục đích dạy học Toán trờng phổ thông Vì tổ chức có hiệu việc dạy học giải tập toán có vai trò định việc nâng cao chất lợng dạy học Toán, đồng thời góp phần rèn luyện phát triển trí tuệ cho học sinh Thực trạng: Khi dạy môn Toán nhận thấy việc phát hiện, tìm tòi, suy luận để tìm hớng giải cho toán em yếu, nguyên nhân chủ yếu em cha biết cách phân loại, hệ thống kiến thức nh mức độ khó dạng tập tìm cách giải phù hợp nên em thờng mông lung gặp dạng mới, dạng biến đổi toán đặc trng Đối với toán áp dụng tính chất dÃy tỉ số lớp ví dụ, dạng toán mà hầu hết em cảm thấy bỡ ngỡ mông lung gặp phải Lớp em đà đợc học tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau, tØ lÖ thøc, tính chất tỉ lệ thức nhiên hầu hết em cha nắm vững kiến thức bản, hiểu lơ mơ tính chất dÃy tỉ số nhau, cha xây dựng đợc đờng lối giải toán áp dụng tính chất dÃy tỉ số nhau, phần đa em cha biết áp dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng nh thÕ nµo cho đúng, hay cần phải biến đổi dÃy tỉ số cho trớc nh để áp dụng tính chất dÃy tỉ số vào toán cụ thể, em cho dạng toán khó, rắc rối việc liên hệ kiến thức với phơng pháp giải tập cha đợc hình thành, khả t liên hệ lý thuyết em Qua giảng dạy lắng nghe thông tin phản hồi từ em kết hợp với công tác dự rút kinh nghiệm, tham khảo ý kiến đồng nghiệp đà phần rút đợc nguyên nhân cách giải vấn đề giúp em dễ dàng phân loại dạng tập loại để có hớng giải phù hợp với điều kiện cho Kết quả: Từ thực tế giảng dạy qua khảo sát -kiểm tra đánh giá bớc đầu thu đợc kết kiển tra nh sau: Kết khảo sát- kiểm tra chất lợng học kỳ I toán năm học 2007 2008 Trờng THCS Nga Tân Thịnh Thị Oanh – Trêng THCS Nga T©n Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp KÕt qu¶ SÜ Giái Kh¸ T B Ỹu KÐm Sè SL % SL % SL % SL % SL % 7C 33 0 12,1 10 30.3 18.2 13 39.4 7D 33 0 9.1 11 33.3 21,2 12 36.4 Giải pháp thực hiện: Vấn đề đặt đa phần học sinh mục đích sáng kiến hớng dẫn học sinh phân loại dạng toán áp dụng tính chất dÃy tỉ số để giải tập cách ¸p dông trùc tiÕp tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng hay lập đợc tỉ số từ tỉ số đà cho số hạng số hạng dới có dạng thuận lợi nhằm sử dụng kiện toán Vì đà phân loại toán sử dụng tính chÊt d·y tØ sè b»ng nh sau nh»m gióp em có nhìn sâu cách giải tập dạng Từ thực trạng kết đà phân loại tập ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng dạng cụ thể cách giải dạng ®Ĩ qua ®ã häc sinh cã thĨ ®Ơ dµng tiÕp thu vận dụng vào tập Đó là: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dÃy tỉ số để giải Dạng 2: Dạng áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng sau đà lập đợc tỉ số tỉ số đà cho để sử dụng đợc kiện toán Dạng 3: Dạng tập có sử dụng tính chất dÃy tỉ số mà phần điều kiện cho thêm biến có dạng luỹ thừa Dạng 4: Từ kiện cho rút đợc dÃy tỉ số để áp dụng tính chất dÃy tỉ số giải Dạng 5: Sử dụng tính chất d·y tØ sè b»ng ®Ĩ chøng minh sù tån dÃy tỉ số từ tỉ số ban đầu Dạng 6: Dạng tập không sử dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhng häc sinh hay nhầm lẫn Từ việc phân lại nh giới thiệu cho em thấy qua tiết học em tiếp thu kiến thức áp dụng vào tập cụ thể tốt hơn, em thi đua tìm cách giải cho tập dạng áp dụng tính chất dÃy tỉ số làm cho không khí tiết học sôi nổi, vui vẻ hơn, không gò bó nặng nề, em tiếp thu kiến thức nhẹ nhàng * Với học sinh đại trà: Sau học xong phần em nắm biết cách giải toán Dạng1, Dạng , Dạng Dạng * Với học sinh giỏi: Các em nắm đợc dạng có cách giải khác cho toán dạng B Giải vấn đề: STT Lớp Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga T©n Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lp I Về kiến thức: Yêu cầu em cần nhớ: * Về tỉ lệ thức: + Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ sè a c = hc a : b = c : d (b ≠ 0; d ≠ 0) b d (a,b,c,d số hạng tỉ lệ thức, a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tØ ) + C¸c tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc: + NÕu a c = ⇔ ad = bc b d (tích ngoại tỉ tích trung tỉ) + NÕu ad = bc vµ a, b, c, d ta có tỉ lệ thức sau: a c a b d c d b = ⇔ = ⇔ = ⇔ = b d c d b a c a (hoán vị trung tỉ, ngoại tỉ, trung tỉ ngoại tỉ ta đợc mét tØ lƯ thøc míi) * VỊ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau: + Tõ d·y tØ sè * * a c e a c Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: = hc = = b d f b d a c a+c a−c = = = b d b+d b−d a c e a+c+e a−c−e = = = = = b d f b+d + f bd f Lu ý: Nếu đặt dấu - trớc số hạng tỉ số đặt dấu - trớc số hạng dới tỉ số II Về phơng pháp giải tập: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dÃy tỉ số để giải Dạng tập trung chủ yếu vào đối tợng học sinh trung bình, yếu để em củng cố khắc sâu kiÕn thøc vÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng VD1: Tìm x,y biết: a) x y x + y = 21 ; = b) x y x y = = Cách giải: áp dụng tính chất dÃy tỉ số ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp a)  x = 3.2 = x y x + y 21 = = = =3⇒  2+5  y = 3.5 = 15 b)  x = −2.2 = −4 x y x− y = = = = −2 ⇒  2−5 −3  y = −2.5 = −10 VD2: T×m x,y,z biÕt: a) x y z = = vµ x + y + z = 18 ; b) x y z = = vµ x − y z = 15 Cách giải: áp dụng tính chất dÃy tỉ số ta đợc:  x = 2.2 = x y z x + y + z 18  = = ⇒  y = 2.3 = a) = = = 2+3+  z = 2.4 =   x = −3.2 = −6 x y z x − y − z 15  = = −3 ⇒  y = −3.3 = −9 b) = = = 2−3−4 −5  z = 3.4 = 12 Tổng quát lên với tập dạng: Tìm x,y,z biết x y z = = vµ mx + ny + pz = d a b c Với a, b, c, d số cho tríc vµ m = ±1; n = ±1; p = Phơng pháp giải là: ta cần áp dụng trùc tiÕp tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ®Ĩ giải Dạng 2: Dạng áp dụng tính chất dÃy tỉ số sau đà lập đợc tỉ số tỉ số đà cho để sử dụng đợc kiện toán VD1: Tìm x, y biÕt: a) x y vµ x + y = 38 ; = b) x y vµ x − y = 10 = học sinh băn khoăn làm để áp dụng tính chất dÃy tỉ số Gợi ý: Vì cho điều kiện c©u a) x + y = 38 nh muốn sử dụng kiện từ dÃy tỉ số x y ta phải biến đổi cho xt hiƯn tØ sè míi b»ng tØ sè ®· cho = số hạng có dạng x y Cách giải: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp a)  x = 2 = x y x y x + y 38 = = = = = =2⇒ 10 10 + 19  y = = b)  x = −2.2 = −4 x y x y x − y 10 = = = = = = −2 ⇒  4−9 −5  y = −2.3 = −6 VD2: T×m x, y,z biÕt: a) x y z = = vµ x + y + z = −93 ; b) x y z = = vµ − x + y − z = 34 Cách giải: áp dụng tính chất dÃy tỉ số ta đợc: x = −3.3 = x y z y z x + y + z − 93  = = = = −3 ⇒  y = −3.4 = 12 a) = = = 20 + + 20 31  z = −3.5 = 15   x = −2.3 = −6 x y z x z − x + y − 3z 34  = = −2 ⇒  y = −2.4 = −8 b) = = = = = 15 − + − 15 − 17  z = 2.5 = 10 Dạng học sinh dễ nhầm lẫn( thì đặt dấu - trớc tử hay mẫu tỉ sè d·y tØ sè b»ng nhau) NhÊn m¹nh: DÊu - đặt trớc số hạng tỉ số đặt trớc số hạng dới tỉ số Tổng quát lên với tập dạng: Tìm x,y,z biÕt x y z = = vµ mx + ny + pz = d a b c Víi a, b, c, d số cho trớc m 1; n 1; p Phơng pháp giải nh sau: Tõ x y z mx ny pz = = ⇒ = = a b c ma nb pc ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cho dÃy tỉ số mx ny pz = = ta đợc ma nb pc mx ny pz mx + ny + pz d = = = = ma nb pc ma + nb + pc ma + nb + pc D¹ng 3: Dạng tập có sử dụng tính chất dÃy tỉ số mà phần điều kiện cho thêm biến có dạng luỹ thừa VD1: Tìm x,y biết: a) x y vµ x + y = 22 ; = ThÞnh ThÞ Oanh – Trờng THCS Nga Tân b) x y x − y = −19 = Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp Đến học sinh thấy phần kiện toán có xuất luỹ thừa biến Vậy phải biến đổi dÃy tỉ số nh để sử dụng tính chất dÃy tỉ số nhau? Gợi ý: Vì điều kiện cho x + y = 44 cã luü thõa bậc hai x y nên để suất hai luỹ thừa ta bình phơng tỉ số dÃy tỉ số đà cho lên Cách giải: 2 a) Ta có: x = y (1) ⇒ x = y ¸p dụng tính chất dÃy tỉ số ta đợc:  x = ⇒ x = ±2 x y 2 y x + y 22  = = = = =1⇒  18 + 18 22  y = ⇒ y = ±3  x =  x = −2 hc  y =  y = −3 kÕt hỵp víi (1) ⇒  2 b) Ta cã: x = y (1) ⇒ x = y ¸p dơng tÝnh chÊt dÃy tỉ số ta đợc: x y 2 x y 2 x − y − 19 = = = = = = 1⇒ 27 − 27 − 19   x = ⇒ x = ±2   y = ⇒ y = ±3  x =  x = −2 hc  y =  y = −3 kÕt hợp với (1) VD2: Tìm x, y,z biết: a) x y z = = vµ x + y + z =141 b) x y z = = vµ − x + y − z = 77 Cách giải: 2 a) Tõ x = y = z (1) ⇒ x = y = z ThÞnh ThÞ Oanh – Trêng THCS Nga T©n 16 25 Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp ¸p dơng tính chất dÃy tỉ số ta đợc: x = ⇒ x = ±3  x y z 2y 4z x + y + 4z 141 = = = = = = = ⇒  y = 16 ⇒ y = ±4 16 25 32 100 + 32 + 100 141  z = 25 ⇒ z = ±5  2 2 2 2 x =  x = −3  kÕt hỵp víi (1) ⇒  y = hc  y = −4  z =  z = −5   2 b) Tõ x = y = z (1) ⇒ x = y = z 16 25 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè ta đợc: x = x = ±3  x y z 2x 3z − x + y − 3z − 77 = = = = = = = ⇒  y = 16 ⇒ y = ±4 16 25 18 75 − 18 + 16 − 75 − 77  z = 25 ⇒ z = ±5  2 2 2 2 x =  x = −3  kÕt hỵp víi (1) ⇒  y = hc  y = −4  z =  z = −5   Tæng quát lên với tập dạng: Tìm x,y,z biết x y z = = vµ mx k + ny k + pz k = d a b c Víi a, b, c, d , m, n, p, d , k số cho trớc k N Phơng pháp giải nh sau: Từ x y z mx k ny k pz k = = ⇒ = k = a b c ma k nb pc k ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cho d·y tØ sè mx k ny k pz k = k = ta đợc: ma k nb pc k mx k ny k pz k mx k + ny k + pz k d = k = = = k k k k k k ma nb pc ma + nb + pc ma + nb k + pc k D¹ng 4: Từ kiện cho rút đợc dÃy tỉ số để áp dụng tính chất dÃy tỉ số giải VD1: Tìm x, y,z biết: a) x y y z = ; = vµ x + y + z = −92 ; Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân b) x y y z = ; = vµ − x + y − z = −47 Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lp dạng học sinh thÊy bµi cho hoµn toµn cha cã d·y tØ sè nhau, làm để xuất dÃy tỉ số từ tỉ lệ thức Gợi ý: Vì hai tỉ lệ thức có y, nên ta biến đổi hai tỉ lƯ thøc trªn cho chóng sÏ cã cïng mét tỉ số chứa y cách chia hai vế hai tỉ lệ thức cho số để hai tỉ lệ thức thu đợc có tỉ số chứa y nh tức mẫu tỉ số chứa y BCNN mẫu số ban đầu chứa y Cụ thể: Biến đổi để tỉ số chứa y câu a) có mẫu BCNN(3;4) câu b) có mẫu BCNN(3;2) Cách giải: a) Từ x y x y  = ⇒ = x y z  12  = ⇒ = y z y z 12 15 = ⇒ =   12 15  ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè ta đợc: x = x y z x + y + z − 92  = = = = = −1 ⇒  y = −12 12 15 + 24 + 60 92  z = −15  b) Tõ x y x y  = ⇒ =  x y z  ⇒ = = y z y z 15 = ⇒ =   15  ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tỉ số ta đợc: x = x y z − x + y − 3z − 47  = = = = = ⇒ y = 6 15 − + − 45 − 47  z = 15  VD2: T×m x, y,z biÕt: a) 2x 3y 4z vµ x + y + z = 220 ; = = b) x y 3z vµ − x + y − 3z = 216 = = dÃy tỉ số đà cho có dạng không thuận tiện cho việc áp dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng VËy lµm để sử dụng dÃy tỉ số đà cho cho phù hợp Gợi ý: Ta nên ta chia tỉ số cho BCNN hệ sè cđa tư sè Cơ thĨ C©u a) ta chia tỉ số cho BCNN(2;3;4)=12 Câu b) ta chia tỉ số cho BCNN(2;5;3)=30 Cách giải: Thịnh Thị Oanh – Trêng THCS Nga T©n Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp a) Tõ 2x 3y 4z x y z = = ⇒ = = 18 16 15 ¸p dơng tÝnh chÊt dÃy tỉ số ta đợc: x = 2.18 = 36 x y z x + y + z 220  = = = = = ⇒  y = 2.16 = 32 18 16 15 18 + 32 + 60 110  z = 2.15 = 30  b) Tõ x y 3z x y z = = ⇒ = = 45 24 50 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tỉ số ta đợc: x = 45 x y z − x + y − 3z 216  = = = = = −1 ⇒  y = −24 45 24 50 − 90 + 24 − 150 − 216  z = −50  VD3: T×m x, y biÕt: a) x = y x + y = 51 ; Cách giải: a) Tõ x = y ⇒ b) a.x = b y (a ≠ 0, b ≠ 0, b ≠ a) vµ x − y = b − a x y = ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tỉ số ta đợc: x = 21 x y x + y 51 = = = =3⇒  7 + 10 17  y = 15 b) Tõ a.x = b y ⇒ x y = b a ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ số ta đợc: x = b x y x− y b−a = = = =1⇒  b a b−a b−a y = a D¹ng 5: Sư dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ®Ĩ chøng minh sù tồn dÃy tỉ số từ tỉ số ban đầu a b c d VD: Cho tØ lÖ thøc: = (a, b, c, d ≠ 0; a ≠ ±b; c ≠ ± d ) Chøng minh r»ng: a) a+b c+d a−b c−d ; = ; = b d a c b) a+b c+d = a−b c−d Cách giải: Từ a c a b = = ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta đợc: b d c d Thịnh Thị Oanh Trêng THCS Nga T©n Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp a b a+b a−b = = = c d c+d c−d a) Tõ Tõ b a+b a+b c+d = ⇒ = d c+d b d a a−b a−b c−d = ⇒ = c c−d a c b) Tõ a+b a−b a+b c+d = ⇒ = c+d cd ab cd Dạng 6: Dạng tập không sư dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhng học sinh hay nhầm lẫn VD: Tìm x,y,z biết: a) x y vµ xy = 12 ; = b) x y z = = vµ xyz = −48 Dạng học sinh hay nhầm lẫn em thấy có xuất dÃy tỉ số phần đầu, đa số em áp dung tính chất dÃy tỉ số để giải Ví nh em đà giải nh sau: ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta đợc: x a) = x = y xy 12 = = =2⇒ 6 y =  x = −4 x y z xyz − 48  = = −2 ⇒  y = −6 b) = = = 24 24 z = Tuy nhiên kết không đợc chấp nhận tính chất dÃy tỉ số không phép nhân Vì với dạng em nên giải nh sau: Cách giải: a) Đặt x y = = k x = 2k ; y = 3k Thay x = 2k ; y = 3k vµo xy = 24 ta đợc: 2k 3k = 6k = 24 k = ⇒ k = ±2 -Víi k = ⇒ x = 4; y = -Víi k = −2 ⇒ x = −4; y = −6 b) Đặt x y z = = = k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k Thay x = 2k ; y = 3k ; z = 4k vµo xyz = −48 ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 10 SKKN: Hướng dẫn học sinh giải toán áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp x =  2k 3k 4k = 24k = 24 ⇒ k = ⇒ k = ⇒  y = z = Vậy giá trị x,y,z thoả mÃn toán là: x=-2; y=-3; z=-4 Lu ý: Cách giải học sinh áp dụng cho hầu hết to¸n ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng trên, nhiên trình giải tập cụ thể em chọn lựa phơng pháp giải phù hợp với C- Kết luận: Kết luận: Qua trình giảng dạy, nghiên cứu áp dụng sáng kiến vào công tác giảng dạy Toán trờng THCS nhận thấy từ chỗ em bỡ ngỡ, mơ hồ, cha hiểu, cha định hớng đợc phơng pháp giải toán áp dụng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng th× sau thể sáng kiến học sinh đà nắm vững đợc tính chất dÃy tỉ số biết cách phân loại tập loại dạng cụ thể để vận dụng cách giải Trên sở nhen nhóm dần cho học sinh lòng ham mê, niềm tin vào khả thân việc học toán, tự tin vào việc tiếp thu kiến thức Vậy giá trị x, y thoả mÃn toán là: x =  x = −4 vµ   y = y = tự tìm đợc phơng pháp giải khác Qua kết kiểm tra cuối học kỳ thấy kết học tập em đà đợc lên rõ rệt Kết kiểm tra cuối kì nh sau: Kết khảo sát chất lợng môn toán năm học 2007-2008 sau học xong phần nh sau: STT Lớp 7C 7D Kết Sĩ Giỏi Khá T B Sè SL % SL % SL % 33 24 14 42 33 1 18.2 14 42 YÕu KÐm SL % SL % 18.2 12.1 21.2 15.2 §Ị xuất: Trên vài dạng toán áp dụng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng líp mµ đà rút đợc trình giảng dạy, nhận thấy áp dụng đợc cho giảng dạy tất lớp khối học phần tính chất dÃy tỉ số Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 11 SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dóy t s bng lp Trên vài kinh nghiệm nhỏ đợc rút trình giảng dạy toán thân, nhiều sai sót tồn nhng xin mạnh dạn trình bày Rất mong đợc đóng góp ý kiến chân tình thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga Tân Trang 12 ... SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lp Đến học sinh thấy phần kiện toán có xuất luỹ thừa biến Vậy phải biến đổi dÃy tỉ số nh để sử dụng tính chất dÃy tỉ số nhau? Gợi... sè đà cho = số hạng có dạng x y Cách giải: áp dụng tính chất dÃy tỉ số ta đợc: Thịnh Thị Oanh Trờng THCS Nga T©n Trang SKKN: Hướng dẫn học sinh giải tốn áp dụng tính chất dãy tỉ số lớp a)  x... tập áp dụng tính chất dÃy tỉ số dạng cụ thể cách giải dạng để qua học sinh đễ dàng tiếp thu vận dụng vào tập Đó là: Dạng 1: Dạng áp dụng trực tiếp tính chất dÃy tỉ số để giải Dạng 2: Dạng áp dụng