bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

38 366 1
bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian hilbert

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC LỢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC LỢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 3 1.1 Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . 11 2 Phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 15 2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Sự hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn về sự tận tâm và nhiệt tình của Cô trong suốt quá trình tác giả thực hiện luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các Thầy Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy Cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Trường. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Tác giả Nguyễn Đức Lợi ii BẢNG KÝ HIỆU R trường số thực ∅ tập rỗng R n không gian Euclide n-chiều |x| giá trị tuyệt đối của x ||x|| chuẩn của véctơ x x, y tích vô hướng của hai phần tử x và y B(x, ρ) hình cầu mở tâm x, bán kính ρ > 0 B(x, ρ) hình cầu đóng tâm x, bán kính ρ > 0 int C phần trong của tập hợp C ∂C biên của tập hợp C D(F ) miền xác định của ánh xạ F iii Mở đầu Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia [7] đưa ra nghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Kể từ đó bất đẳng thức biến phân và phương pháp giải bài toán này luôn là một đề tài thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H được phát biểu như sau: Tìm phần tử u ∗ ∈ C sao cho : F (u ∗ ), v − u ∗  ≥ 0, ∀v ∈ C, (1) ở đây C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và F : C → H là một ánh xạ phi tuyến. Bất đẳng thức biến phân (1) tương đương với bài toán điểm bất động: u ∗ = P C (u ∗ − µF(u ∗ )), (2) trong đó P C là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số tùy ý. Nếu ánh xạ F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và hằng số µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (2) là ánh xạ co. Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard x n+1 = P C (x n − µF(x n )) 1 hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1). Phương pháp này được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu không dễ dàng thực thi vì nó phụ thuộc vào độ phức tạp của tập lồi C bất kỳ. Để khắc phục nhược điểm này, Yamada [9] (xem thêm [5]) đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert H. Từ đó đến nay đã có nhiều công trình mở rộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn theo hướng làm giảm nhẹ điều kiện đặt lên thuật toán này hoặc mở rộng cho bài toán tổng quát hơn đối với họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được hay họ vô hạn không đếm được các ánh xạ không giãn. Mục đích của luận văn là trình bày một cải biên của phương pháp lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert trên cơ sở bài báo [6] công bố năm 2012. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert cùng phương pháp lai đường dốc nhất giải bài toán này. Trong chương 2 trình bày hai phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. 2 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức và kết quả cơ bản về không gian Hilbert thực, ánh xạ không giãn và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Các kiến thức của chương này được viết dựa trên các tài liệu [1], [2] và [7]. 1.1 Không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1. Không gian tuyến tính H xác định trên trường số thực R được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định một hàm hai biến ·, · : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau: (i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0; (ii) x, y = y, x, ∀x, y ∈ H; (iii) x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ H; (iv) αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R. Hàm ·, · thỏa mãn bốn tính chất trên được gọi là tích vô hướng 3 trên H và x, y là tích vô hướng của hai phần tử x và y. Nhận xét 1.1. Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn của x ∈ H xác định bởi ||x|| =  x, x. Định nghĩa 1.2. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian Hilbert. Ví dụ 1.1. R n là một không gian Hilbert với tích vô hướng x, y = n  k=1 ξ k η k , trong đó x = (ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) ∈ R n và y = (η 1 , η 2 , . . . , η n ) ∈ R n . Ví dụ 1.2. l 2 =  x = (x 1 , x 2 , . . . ) | ∞  i=1 |x i | 2 < ∞  là một không gian Hilbert với tích vô hướng x, y = ∞  i=1 x i y i trong đó x = (x 1 , x 2 , . . . ), y = (y 1 , y 2 , . . . ) là các dãy số thực trong l 2 . Bổ đề 1.1. Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó các biểu thức sau đúng: (i) ||tx + (1 − t)y|| 2 = t||x|| 2 + (1 − t)||y|| 2 − t(1 − t)||x − y|| 2 với mọi x, y ∈ H và t ∈ [0, 1]. (ii) ||x + y|| 2 ≤ ||x|| 2 + 2y, x + y với mọi x, y ∈ H. Định nghĩa 1.3. Dãy {x n } ∞ n=1 trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu lim n→∞ x n , y = x, y với mọi y ∈ H. Dãy {x n } ∞ n=1 được gọi là hội tụ mạnh nếu lim n→∞ ||x n − x|| = 0. Ký hiệu x n  x chỉ sự hội tụ yếu, x n → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {x n } đến phần tử x ∈ H. 4 Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ H được gọi là tập lồi nếu ∀x 1 , x 2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx 1 + (1 − λ)x 2 ∈ C. Ví dụ 1.3. Trong không gian hữu hạn chiều, mặt phẳng, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác, hình cầu là các tập lồi. Định nghĩa 1.5. Tập C ⊆ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội tụ {x n } ⊂ C đều có giới hạn thuộc C, tức là  ∀{x n } ⊂ C : x n → x  ⇒ x ∈ C. Ví dụ 1.4. Hình cầu đóng B(¯x, r) = {x ∈ H : ||x − ¯x|| ≤ r} tâm ¯x, bán kính r > 0 là tập đóng. Định nghĩa 1.6. Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, F : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ F được gọi là: (i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho ||F (x) − F(y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ C. Nếu 0 < L < 1 thì F được gọi là ánh xạ co, nếu L = 1 thì F được gọi là ánh xạ không giãn; (ii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C, F là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên B; (iii) đơn điệu trên C, nếu F (x) − F(y), x − y ≥ 0 , ∀x, y ∈ C; (iv) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao 5 [...]... tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert H được trình bày trong định lý sau đây: 7 Định lý 1.1 Cho C ⊂ H là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng trong không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn Khi đó, tồn tại duy nhất phần tử x ∈ C sao cho T (¯) = x ¯ x ¯ Mối liên hệ giữa tập điểm bất động của ánh xạ không giãn và tập điểm bất động của ánh xạ giả co chặt... xấp xỉ nghiệm bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Chương này trình bày kết quả trong [6] về phương pháp lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực, {Tn }∞ : H → H là một n=1 ∞ họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn Đặt F = Fix(Tn ) n=1 Trong chương... toán phức tạp trên các ánh xạ Ti và đòi hỏi quá trình tính toán lớn Trong [6], tác giả đã đưa ra một nghiên cứu mới, bằng việc sử dụng ánh xạ Ln xác định bởi (1.3) trong Bổ đề 1.7 để tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipchitz trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Ánh xạ Ln đơn giản hơn ánh xạ Wn và Vn , không chứa... sự phức tạp của tập con lồi, đóng bất kỳ C Để khắc phục khó khăn này, Yamada đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất (hybrid steepest descent) vào năm 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) = ∅ Giả sử F : H → H là một ánh xạ η-đơn 2η... biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert được công bố trong [8] năm 2013 và phát triển cho bài toán bất đẳng thức biến phân tương tự trong không gian Banach (xem [4]) Chúng tôi cũng hy vọng trong thời gian tới đưa ra một ví dụ số bằng việc sử dụng thuật toán (2.5) trong Hệ quả 2.1 để giải bất đẳng thức biến phân 31 ... đã đề cập đến, một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phương pháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ nghiệm thích hợp Bài toán (1.5) tương đương với x∗ = PC (x∗ − µF (x∗ )), (1.7) trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số Nếu F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh,... ∀y ∈ C 1.2 (1.4) Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của H Ánh xạ phi tuyến F : C → H là đơn trị Định nghĩa 1.9 Bài toán tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.5) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân ( variational inequality problem), ký hiệu là VI(F, C) Tập nghiệm của bài toán (1.5)... là không gian Hilbert thực, C ⊂ H là tập lồi đóng, khác rỗng Ánh xạ T : C → C được gọi là κ-giả co chặt nếu tồn tại một hằng số κ ∈ [0, 1) sao cho ||T (x) − T (y)||2 ≤ ||x − y||2 + κ||(I − T )(x) − (I − T )(y)||2 , ∀x, y ∈ C, ở đây I là toán tử đồng nhất trong không gian Hilbert H Trong định nghĩa này, nếu κ = 0 thì T là một ánh xạ không giãn Vì thế lớp các ánh xạ không giãn chứa trong lớp các ánh xạ. .. ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Nét mới của phương pháp này là sử dụng một ánh xạ đơn giản và dễ tính toán hơn so với một số phương pháp lặp hiện có Đóng góp chính của tác giả viết luận văn là đọc hiểu, nghiên cứu tài liệu, hệ thống kiến thức và trình bày lại các chứng minh một số kết quả chính trong [6] Kết quả này đã được mở rộng cho bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân trên tập. .. như trong Định lý 2.1 ta có được 29 lim ||xn − x∗ || = 0 n→∞ Nhận xét 2.1 Trong tính toán thực tế, ta có thể lấy một điểm bất ∞ Fix(Tk ) là điểm lặp ban đầu bằng việc sử dụng động chung trong k=1 thuật toán (2.5) trong Hệ quả 2.1 30 Kết luận Luận văn đã trình bày một phương pháp lặp hiện trong [6] để tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh . nghiệm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. 2 Chương 1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Chương. 2001 để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H là một ánh xạ không giãn sao cho. lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Cho H là một không gian Hilbert thực, {T n } ∞ n=1 :

Ngày đăng: 21/12/2014, 16:35

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan