CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường THPT N am Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1 LỜI NÓI ðẦU Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm m ột vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân ñ ượ c ứng dụng rộn g r ãi n h ư ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là ñố i tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phươn g t r ì nh v i p h â n , p h ươn g tr ì n h ñạ o hàm riêng Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược ứng dụn g rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn họ c, y học Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớ p 12, tiếp theo ñược phổ biến trong tất cả các trườn g ðại học cho khối sinh viên năm t h ứ nhất và năm t h ứ hai trong chương trình học ð ạ i cươn g. Hơn nữa trong các kỳ t h i T ốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề t hi môn Toán của khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu v à o h ệ Th ạc sĩ và nghiên cứu sinh. Với tầm q u a n t r ọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh nghiệm g i ảng dạy t í n h t í c h p h â n c ủa khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠN G P H Á P P H Â N T Í C H - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG P H Ầ N” ñể phần nào củn g c ố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tản g trong những năm h ọc ðại cươn g c ủa ðại học. Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phươn g ph á p ñổi biến số, phươn g p há p t í c h p h â n t ừng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳn g c ủa các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ n ăng tính tích phân và phần cu ố i củ a chuyên ñề là một số c â u hỏi trắc nghiệm t í c h p h â n . T u y n h i ê n v ới kinh nghiệm c ò n h ạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày chu yê n ñề nà y sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñư ợc sự góp ý chân tình của quý Thầy C ô t r o n g H ội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục v à ðào t ạo t ỉnh ðồng Nai. Nhân dịp này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy c ô trong tổ Toán trườn g N a m H à , c á c ñ ồn g ng h i ệp , b ạn bè ñã ñó n g g ó p ý k i ến cho tôi hoàn thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành c ám ơn./. CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 2 MỤC LỤC Lời nói ñầu 1 Mục lục 2 I. Nguyên hàm: I.1. ðịnh nghĩa n guyên hàm 3 I.2. ðịnh lý 3 I.3. Các tính chất của ngu yên hà m 3 I.4. Bảng công thức ngu yên hàm v à một số công thức bổ sung 4 II. Tích phân: II.1. ðịnh nghĩa tích ph ân xác ñịnh 5 II.2. Các tính chất của tíc h phân 5 II.3 Tính tích phân bằng phươn g p h á p ph â n t í c h 5 Bài tập ñề nghị 1 9 II.4 Tính tích phân bằng phươn g p h á p ñ ổi biến số 10 II.4.1 Phương pháp ñổi biến số l o ại 1 10 ðịnh lý về phương pháp ñổi biến số loại 1 13 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số lo ại 1 14 Bài tập ñề nghị số 2 14 Bài tập ñề nghị số 3 15 Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề t hi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16 II.4.2 Phương pháp ñổi biến số l o ại 2 16 Bài tập ñề nghị số 5 21 Các ñề t hi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 Các ñề t hi tu yển sinh ðại học Cao ñẳn g 22 II.5. Phương pháp tích phân từng phần 23 Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề t hi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28 III. Kiểm t r a k ết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính CASIO fx570-MS 29 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm t í c h p h â n 3 0 Phụ l ục 36 CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 3 I. NGUYÊN HÀM: I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: Hàm số F(x) ñ ượ c gọ i là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu vớ i mọi x∈(a;b): F’(x) = f(x) VD1: a) Hàm số F ( x ) = x 3 là n guyên hàm c ủa hàm số f(x) = 3x 2 trên R b) Hàm số F ( x ) = l n x là n g uyê n h àm c ủa hàm số f(x) = 1 x trên (0;+∞) I.2. ðỊNH LÝ: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì: a) Vớ i mọi hằng số C , F ( x) + C cũn g là m ột nguyên hàm của f(x) trên khoản g ñó. b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoản g ( a; b ) ñều có thể viết dưới dạng F(x) + C với C là một hằn g s ố. Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một nguyên hàm nào ñó c ủa nó rồi cộng vào nó một hằ ng số C . Tập hợ p các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và ñược ký hi ệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịn h ) Vậy : ∫ f(x)dx= F(x)+C VD2: a) 2 2xdx= x +C ∫ b) s i n x d x = - c o s x +C ∫ c) 2 1 d x =t g x + C c o s x ∫ I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 1) ( ) ∫ f(x)dx f(x) ' = 2) ( ) ≠ ∫ ∫ = a 0 a.f(x)dx a f(x)dx 3)     ∫ ∫ ∫ = ± f(x)±g ( x ) dx f(x)dx g ( x ) d x 4) ( ) ( ) ⇒ ∫ ∫ = f(x)dx = F(x)+C f u(x) u'(x)dx F u(x) +C VD3: a) ( ) ∫ 4 2 5 3 2 -6x+ - 2x + 4x 5x 8x dx= x +C b) ( ) ∫ ∫ 2 x 6cosx.sinxdx= -6 co sx. d cosx = -3cos +C CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 4 I.4. BẢNG CÔNG THỨC N G U Y Ê N H À M : BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP ( ) ( ) ( ) π π α α α ≠ α ≠ ≠ ≠ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +1 x x x x 2 2 2 2 dx= x + C x x dx= + C ( -1) +1 dx = lnx +C (x 0) x e dx= e + C a a dx= + C 0 < a 1 lna cosxdx= sinx+ C sinxdx= -cosx+C dx = 1+tg x dx= tgx+ C (x k ) cosx 2 dx = 1+cotgx dx si 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ x / n 9 π ≠ ∫ ∫ = -cotgx+C (x k ) ( ) ( ) π π α α α ≠ α ≠ ≠ ≠ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + 1 u u u u 2 2 2 du= u+C u u du= +C ( -1) +1 du = ln u +C (u = u(x) 0) u e du= e +C a a du= +C 0 <a 1 lna cosudu= sinu+C sinudu= - cosu+C du = 1+tg u du= tgu+C (u k 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7/ 8/ 9/ ) cos u 2 du = 1+ c sin u ( ) π ≠ ∫ ∫ 2 otgu du= -cotgu+C(u k ) CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG  C Ô N G T H ỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α α ≠ ≠ α ≠ ≠ ≠ ∈ ≠ ≠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +1 ax+b ax+b kx kx 1 dx = 2 x + C (x 0) x ax+b 1 ax+b dx= + C (a 0) a +1 1 1 dx= ln ax+ b + C (a 0) ax+b a 1 e dx= e + C (a 0) a a a dx= + C 0 k R,0 < a 1 k.lna 1 cosax+b dx= sinax+b 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 7 + C (a 0) a 1 sinax+ b dx= -/ cos a ( ) π π π ≠ ≠ + ≠ ∫ ∫ ∫ ax+b + C (a 0) tgxdx= - ln cosx+ C (x k ) 2 cotgxdx= lnsinx+ C (9/ x / k 8 )  CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA : m n m+n m m-n -n n n 1 n nm m m m a . a = a a 1 = a ; 1/ 2/ 3/ = a a a a = a ; a = a  CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC : a. CÔNG THỨC HẠ BẬC: ( ) ( ) 2 2 1 / 2 1 1 s i n x = 1 - c o s 2 x c o s x = 1 + c o s 2 x 2 2 / b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )             1 c o s a . c o s b = c o s a-b+cosa+b 2 1 s i n a . s i n b = c o s a-b-cos a +b 2 1 s i n a . c o s b = s i n a -b+sina+b 2 1/ 2/ 3/ CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 5 II. TÍCH PHÂN: II.1. ð Ị NH NGHĨA T Í C H P H Â N X Á C ðỊNH: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ c ủa K, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñư ợ c gọi là tích phân từ a ñến b của f(x). Ký hiệu : ∫ b a b a = f(x)dx= F ( x ) F(b) - F(a) II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: = ∫ ( ) 0 / 1 a a f x dx = − ∫ ∫ 2/ ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx = ≠ ∫ ∫ b b a a k f x dx k f x dx k .( ) . ( ) (3/ 0 ) ± = ± ∫ ∫ ∫ [ ( ) ( )4 ]/ ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = + ∫ ∫ ∫ b a f(x)( ) ) 5/ ( c b a c dx f x dx f x dx với c∈(a;b) 6/ Nếu ≥ ∀∈f x x a b ( ) 0 , [ ; ] thì ≥ ∫ a ( ) 0 b f x dx . 7/ Nếu ≥ ∀ ∈ f x g x x a b ( ) ( ), [ ; ] thì ≥ ∫ ∫ a ( ) ( ) b b a f x dx g x dx . 8/ Nếu ≤ ≤ ∀ ∈ m f x M x a b ( ) , [; ] thì − ≤ ≤ − ∫ a ( ) ( ) ( ) b m b a f x dx M b a . 9/ t biế n thiên trên [ ; ]a b ⇒ = ∫ ( ) ( ) t a G t f x dx là một nguyên hàm của ( )f t và =( ) 0 G a II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: Chú ý 1: ðể tính tích phân = ∫ ( ) b a I f x dx ta phân tích = + + 1 1 ( ) ( ) ( ) m m f x k f x k f x Trong ñó : ≠ = i k i m 0 ( 1 , 2 , 3 , . . . , ) các hàm = i f x i m ( ) ( 1 , 2 , 3 , . . . , ) có trong bảng nguyên hàm cơ bản. VD4: Tính các tích phân sau: CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 6 ∫ 2 2 3 2 -1 3 2 3 2 2 -1 = (3x - 4x+3)dx= ( x -2x+3x) =(2-2.2+3.2)-((-1)-2.(-1)+3.(-1))= 12 1) I Nhận x é t : Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụn g cô n g t h ức 1/ và 2/ trong bảng nguyên hàm. 2 I ∫ 2 4 3 2 2 1 3x -6x+4x -2x+ 4 ) = dx x Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bản g n g uyê n hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy t ử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 và sử dụn g c ô ng t h ức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm. I⇒ + = = ∫ ∫ 2 2 4 3 2 2 2 2 1 1 3 2 2 1 3x -6x+ 4x -2x+ 4 2 4 = dx = (3x -6x+ 4- )dx x x x 4 (x -3x+ 4x -2ln|x|-) 4-2ln2 x 3) I ∫ 2 2 0 x -5x+3 = dx x +1 Nh ậ n xét: Câu 3 trên ta c ũ n g c h ư a áp d ụ n g n ga y ñượ c các công th ứ c trong b ả n g nguyên hàm, tr ướ c h ế t phân tích phân s ố trong d ấ u tích phân (l ấ y t ử chia m ẫ u) r ồ i áp d ụ ng tính ch ấ t 4 và s ử d ụ ng công th ứ c 1/, 2/ trong b ả ng nguyên hàm và công th ứ c 3/ b ổ sun g . I 6x   ⇒ − +           ∫ ∫ 2 2 2 0 0 2 2 0 x -5x+3 9 = dx = dx x +1 x +1 x = -6x+9ln|x+1|= 2 -12+9ln3= 9ln3 -10 2 ( ) 4 ) I ∫ 1 x -x x - x -x 0 = e 2x e +5e -e dx Nh ậ n xét: Câu 4: bi ể u th ứ c trong d ấ u tích phân có d ạ n g tí c h t a c ũ n g ch ư a áp d ụ n g ngay ñượ c các cô ng th ứ c trong b ả n g n gu y ê n hà m, tr ướ c h ế t nhân phân ph ố i rút g ọ n r ồ i áp d ụ ng tính ch ấ t 4 và s ử d ụ ng công th ứ c 1/, 2/, 5/ trong b ả ng nguyên hàm. ( ) ( ) 1 0 I   ⇒ =     ∫ ∫ 1 1 x x -x x -x - x x 2 0 0 5 4 = e 2x e +5e -e dx= 2 x + 5 -1 dx= x + -x l n 5 l n 5 5 ) I π π = ∫ 4 4 0 2 2 = ( 4 c o s x + 2 s i n x - ) d x ( 4 s i n x -2cosx-2tgx)= 2 2 - 2 -2+2= 2 c o s x 0 Nh ậ n xét: Câu 5 trên ta ch ỉ c ầ n áp d ụ n g t í n h c h ấ t 4 và s ử d ụ n g c ô n g t h ứ c 6/, 7/ và 8/ trong b ả ng nguyên hàm. CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 7 6) I π π = ∫ 8 0 8 0 = (4sin2x - 12cos4x)dx (-2cos2x - 3sin4x) = - 2 -3+2= -1- 2 Nhận xét: Câu 6 trên ta cũn g c h ỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụn g c ô n g t h ức 6/ , 7/ trong bản g n g uy ê n h à m p hần c ác c ô n g thức bổ s u n g . 7) I π π ∫ 12 0 2 = sin (2 x - )dx 4 Nhận xét: Câu 7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm c ô n g t h ức 2/ trong bảng bảng nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã xe m π 2 u = sin (2x - ) 4 2 (hơ i giố ng ñạo hàm hàm số hợp). Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức b ổ sung. ( ) I π π π π π π π π π   ⇒                       ∫ ∫ ∫ 12 12 12 0 0 0 12 0 2 1 1 = sin (2x - )dx = 1-cos(4x- ) dx= 1-sin4x dx 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = x + c o s 4 x = + cos - 0 + c o s 0 = - 2 4 2 12 4 3 2 4 24 16 1 8/ I π ∫ 16 0 = cos6x.cos2xdx Nhận xét: Ở câu 8: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũn g c h ưa áp dụng ngay ñược c ác công thức trong bảng nguyên hàm, trước hế t phải biến ñổi lượng giác biến ñổi tích thành tổng rồi áp dụn g tín h c hất 4 và sử dụn g c ôn g t h ức 6 / trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung. ( ) I π π π   ⇒ =     ∫ ∫ 16 16 0 0 16 0 1 1 1 1 = cos6x.cos2xdx = cos8x +cos4xdx sin8x + sin4x 2 2 8 4 ( ) 0 0 π π       = − = =               1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 sin + sin sin + sin + 1+ 2 2 8 2 4 4 2 8 4 2 8 8 16 9) I ∫ 2 2 -2 = x -1dx Nhận xét: Câu 9 biểu thức trong dấu tích phân có chứa giá trị tuyệt ñối, ta hướng học sinh khử dấu giá trị tuyệt ñối bằng cách xét dấu biểu thức x 2 – 1 trên [-2;2] và kết hợp vớ i tính chất 5/ của tíc h phân ñ ể khử giá trị tuyệt ñối. CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 8 ( ) ( ) ( ) I 5 ⇒ − +       − + =             ∫ ∫ ∫ ∫ 2 -1 1 2 2 2 2 2 -2 -2 -1 1 3 3 3 -1 1 2 -2 -1 1 = x -1dx= x -1dx x -1dx x -1dx x x x = - x - x - x 3 3 3 10) I ∫ 3 2 2 3x+9 = dx x - 4x -5 Nhận xét: Câu 10 trên ta không thực hiện p h é p c h i a ña thức ñược như câu 2 và 3, m ặt khác biểu thức dưới mẫu phân tích ñược thành (x -5)(x+1) nên ta tách b i ểu thức trong dấu tích phân như sau: 2 3 x + 9 A B 4 1 = + = - x -4x-5 x -5 x+1x -5 x+1 (phương pháp hệ số bất ñịnh) ( ) I   ⇒     = ∫ ∫ 3 3 2 2 2 3 2 3x+9 4 1 = dx = - dx = 4ln |x-5|-ln|x+1| x - 4x-5 x -5x +1 4 4ln2 -ln4-4ln3+ln3= 2ln2 -3ln3= ln 27 Chú ý 2: ð ể tính I ≥ ∫ 2 2 a'x+b' = dx (b - 4ac 0) ax +bx+c ta làm như sau: TH1: Nếu 2 b - 4ac= 0 , khi ñó ta luôn có sự phân tích 2 2 b ax +bx+c= a(x + ) 2a I⇒ ∫ ∫ ∫ 2 2 b ba' ba' a'(x + )+b'- b ' - a' dx dx 2a 2a 2a = dx= + b b b a a a(x + ) x + (x + ) 2a 2a 2a TH2: Nếu ⇒ 2 2 1 2 b - 4ac>0 ax +bx+c= a(x - x )(x - x ) . Ta xác ñịnh A,B sao cho 1 2 a'x +b'= A(x - x )+B(x - x ) , ñồng nhất hai vế  ⇒   1 2 A+B = a' Ax + Bx = -b' I ∫ ∫ 1 2 1 2 2 1 1 A(x - x )+B(x - x ) 1 A B = dx = ( + )d x a (x - x )(x - x ) a x - x x - x . CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 9 Chú ý 3: TH1: ðể tính I ∫ 1 2 n P(x) = dx (x -a)(x -a) (x -a) ta làm như sau: 1 2 n 1 2 n 1 2 n A A A P(x) = + + + (x -a)(x -a) (x -a) (x -a) (x -a) (x -a) TH2: ðể tính I = ∫ m k r 1 2 n P(x) dx (x -a) (x -a) (x-a) ta làm như sau: m k r 1 2 n P(x) (x -a) (x -a) (x -a) = 1 2 m m m-1 1 2 m A A A + + + + (x-a) (x-a) (x-a) TH3: ðể tính I ∫ P(x) = dx Q(x) với P(x) và Q(x) là hai ñ a thức: * Nếu b ậc của P(x) lớ n hơn ho ặc bằn g b ậc của Q(x) th ì lấy P ( x ) c h i a c h o Q ( x ) . * Nếu b ậc của P(x) nh ỏ hơ n bậ c của Q(x) thì tìm cách ñưa v ề các dạng trên. Nhận xét: V í dụ 4 trên gồm n h ững b à i tập tính tích phân ñơn giản mà học sinh có thể áp dụn g n g a y b ảng công thức nguyên hàm ñể giải ñư ợ c bài toán hoặc vớ i nhữn g p hé p biến ñổi ñơn giản như nhân phân phối, chia ña thức, ñồng nhất hai ña t hức, b iến ñổi tích thành tổn g . . .Q u a ví d ụ 4 này nhằm g i ú p c á c e m t h u ộc công thức và nắm v ững phép tính tích phân cơ bản. BÀI TẬP ðỀ NGH Ị 1: Tính các tích phân sau: 1) I ∫ 1 3 0 = (x x +2x+1)dx 2) Ι = ∫ 2 2 3 2 1 2x x + x x -3x+1 dx x 3) I ∫ 0 3 2 -1 x -3x-5x+3 = dx x -2 ( ) 4) I ∫ 2 2 2 -2 = x + x -3dx ( ) 5) I π ∫ 6 0 = sinx+cos2x-sin3xdx 6) I π ∫ 12 0 = 4sinx.sin2x.sin3xdx 7) I π ∫ 0 16 4 = c o s 2xdx 8) I ∫ 2 2 -2 = x +2x-3dx 9) I ∫ 4 2 1 dx = x -5x+6 10) I ∫ 1 0 dx = x +1+ x 11) I ∫ 2 x +2x+6 = dx (x -1)(x- 2)(x- 4) 12) I ∫ 2 3 x +1 = dx (x -1)(x +3) 13) I ∫ 4 2 xdx = x -6x+5 14) I ∫ 7 4 2 x dx = (1+ x ) CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 10 II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1. Phươ ng pháp ñổi biến số loạ i 1: Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân ∫ b a f(x) dx chỉ phụ thuộc vào hàm số f(x), cận a v à b mà kh ô n g p h ụ t h uộc vào cách ký hiệ u biến số tích phân. Tức là: = = = ∫ ∫ ∫ b b b a a a f(x) f(t) f(u) dx dt du Trong một số trường hợ p tính tích phân mà không tính trực tiếp bằn g c ô n g t h ức hay qua các bước phân tí ch ta vẫn không giải ñư ợc. Ta xét các t rườn g hợp c ơ bản sau: VD5: Tính các tích phân sau: 1) I= ∫ 2 2 2 0 dx 2 -x Phân tích: Biểu thức tro ng dấu tích phân có chứa căn bậc hai, ta không khử căn bằng phép biến ñổ i bình phươn g h a i v ế ñược, ta thử tìm cách biến ñổi ñưa căn bậc hai về dạng 2 A , khi ñó ta sẽ liên tưởng ngay ñến công thức: 2 2 x = x = x 1-sin c o s c o s , do ñó: ðặt ⇒ x = 2sint dx = 2costdt , ; π π       ∈ - 2 2 t ðổi cận: π ⇒ ⇒ 2 2 x = 2sint= t = 2 2 6 ⇒ ⇒ x = 0 2sint= 0 t = 0 I π π π π π ⇒ ∫ ∫ ∫ 6 6 6 6 2 2 0 0 0 0 = = 2 c o s t. d t 2c o s t . d t = dt= t = 6 2 -2sint 2(1-sin t) ( vì 0 ; π   ⇒     ∈ cost >0 6 t ) Trong VD trên khi ta thay ñổi như sau: I = ∫ 2 2 0 dx 2 -x . Học sinh làm tương tự và ñược kết quả I 2 π = . Kết quả trên bị sai vì hàm số ( )f x = 2 1 2-x không xác ñịn h kh i 2 x= . Do ñó khi ra ñề ở d ạn g tr ê n G iá o v iê n c ần chú ý: hàm số ( )f x xác ñịnh trên [a;b] [...]... tr b ng: A - 1 4 B - 1 2 1 4 C 0 D C 2 D 3 C 14 D 2 Câu 26: ∫ x 2 - x dx có giá tr b ng: 0 A 0 B 1 2 Câu 27: ∫ x 3 - 2x 2 - x + 2 dx có giá tr b ng: -1 9 4 A B 37 12 41 12 2 Câu 28: ∫x 2 -3 x + 2 dx có giá tr b ng: -3 A 59 2 B π 2 Câu 29: ∫ 2 5 - 4cos x - 4sinx dx 0 A -2 3 - 2 - π 6 2 59 C - 59 2 D - 2 59 π π 2 2 có giá tr b ng:  ∫ 5 - 4cos 2 x - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx  0 0  B 2 3 - 2 - π 6 Trư... b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s , phương pháp tích phân t ng ph n Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm trư c ñ các em h c sinh rèn luy n k năng tính tích phân, bên c nh ñó cũng hư ng d n h c sinh ki m tra k t qu bài gi i c a mình có k t qu ñúng hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS và ph... ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 16 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI a) M t s d ng cơ b n thư ng g p khi ñ i bi n s lo i 2:(D ng ngh ch) Trong m t s trư ng h p tính tích phân b ng phương pháp phân tích hay tính tích phân b ng tích phân ñ i bi n s lo i 1 không ñư c nhưng ta th y bi u th c trong d u tích phân có ch a: 1 Lũy th a thì ta th ñ t u b ng bi u th c bên... +1) 0 - ∫ xdx = 2ln2 0 x2 1 1 = 2ln2 - = - +ln4 2 0 2 2 1 2 2x 3 I = ∫ ( 4x - 2x -1 )e dx (ðH GTVT 2004) 0  du = (8x - 2)dx  u = 4x 2 - 2x -1   ⇒ ð t:  1 2x  v = e2x dv = e dx   2  1 1 1 1 ⇒ I = (4x 2 - 2x -1 ) e 2x - ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β 2 2 0 0 1 2 1 1 2 A = (4x 2 - 2x -1 ) e 2x = e 2 + du = 4dx u = 4x -1 ⇒  ð t:  1 2x  v = e2x dv = e dx 2  1 Β = ∫(4x - 1)e dx 2x 0 1 ⇒ ( 4x -1 ... u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ;   2 2   Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai Trang 11 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π π ð i c n: x = β ⇒ t = β’ ∈ - ;   2 2   π π x = α ⇒ t = α’ ∈ - ;   2 2  2+ VD6: Tính tích phân sau: I = 6 2 ∫ GV: NGUY N DUY KHÔI 2+ -x 2 + 4x -1 dx Ta có: I = 2 6 2 ∫ 3 - (x -2 ) dx 2 2 π π ð t x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ;   2 2   ð i... Biên Hòa – ð ng Nai C 2 3 + 2 - π 6      D 2 3 + 2 + π 6 Trang 33 CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUY N DUY KHÔI π 2 Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá tr b ng: 0 A 2 3 - 2 + ∫(2 x A 2 + Câu 32: 3 π C 2 3 - 2 + 3 π 6 D 2 3 - 2 - π 6 - 4 dx có giá tr b ng: -1 2 B 2 3 - 2 - ) 2 Câu 31: π 1 ln2 dx ∫ 1+ 1- x B 3 + 1 ln2 C 4+ 1 ln2 D 5 + 1 ln2 có giá tr b ng: -1 A ln2 B 2ln2 C 3ln2 D 4ln2... :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” π 3π A B C 0 2 2 GV: NGUY N DUY KHÔI D 1 π 4 Câu 23: sin4x ∫ sin x +cos x dx 4 4 có giá tr b ng: 0 A -ln2 B -ln2 C -ln3 D -ln3 - Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a f(-x) + f(x) = cos7x π 2 ∫ f(x) dx π - có giá tr 2 b ng: 16 35 A B 32 35 C 24 35 D 12 35 - 4 5 Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a 3 f(-x) + f(x) = cos x.sin x π 2 ∫ f(x) dx π - có... i D 2004) 2  (2x - 1)dx = (2x - 1)dx x ( x -1 ) du = u = ln(x 2 - x)  x2 - x ⇒ ð t:    dv = dx  v = x - 1  (nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñ kh m u s ) 3 3 2x - 1 2 ⇒ I = (x -1 ).ln(x - x) - ∫ dx = 2ln6 -2 ln2 +1 = 2ln3 + 1 x 2 2 Nh n xét: Trong d ng bài t p tích phân t ng ph n có ch a ln(u(x)) thư ng xu t hi n phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên... CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” ln2 π 6 6 -x ∫ xe dx a) I = GV: NGUY N DUY KHÔI π c) I = ∫(2x 2 -4 )sin2xdx b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx 0 0 1 3 0 π d) I = ∫(2x -1 )ln(x +1)dx 2 e) I = ∫(2x -1 )ln(x -1 )dx 0 f) I = 2 xdx ∫ π sin x 2 4 π 1 g) I = ∫ 2xln 2(x +1)dx 3 2 i) I = ∫ 2xln2(x -1 )dx h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx 0 π 2 x 2 0 j) I = ∫(x + sin 2 x)cosxdx (TNTHPT – 2005) 0 2 Tính các tích phân sau: (Các... ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”  π π x = β ⇒ t = β’ ∈  - ;   2 2  π π x = α ⇒ t = α’ ∈  - ;  ð i c n: GV: NGUY N DUY KHÔI  2 2 Ta xét ví d tương t ti p theo: 1+ 2 VD8: Tính tích phân sau: I = ∫ 1 dx x -2 x+3 2 Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai m u s vô nghi m nên ta phân tích m u s ñư c thành: a2 + u2(x) 1+ 2 Ta có: I = ∫ 1 1+ 2 dx dx = ∫ 2 2 x -2 x+3 1 2+ ( x -1 )  π π ð t x -1 = 2tgt .          ∫ ∫ ∫ ∫ 2 -1 1 2 2 2 2 2 -2 -2 -1 1 3 3 3 -1 1 2 -2 -1 1 = x -1 dx= x -1 dx x -1 dx x -1 dx x x x = - x - x - x 3 3 3 10) I ∫ 3 2 2 3x+9 = dx x - 4x -5 Nhận xét: Câu 10 trên ta. II.3 Tính tích phân bằng phươn g p h á p ph â n t í c h 5 Bài tập ñề nghị 1 9 II.4 Tính tích phân bằng phươn g p h á p ñ ổi biến số 10 II.4.1 Phương pháp ñổi biến số l o ại 1 10 ðịnh lý về phương. ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” G V : N G UY ỄN DUY KHÔI Trường T HPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 10 II.4. TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ: II.4.1. Phươ ng pháp ñổi biến số loạ