Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa TÌM HIỂU TỐN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ A.PHẦN MỞ ĐẦU I.CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình tốn trung học sở , tốn dựng hình chiếm vị trí nhỏ nhằm hồn thiện chương trình hình học Song suốt trình giải tốn hình học phải vận dụng tốn dựng hình để làm tập chứng minh hình học khác ,nhất tập có vẽ thêm đường phuÏ tốn ứng dụng thực tế khác Phải thừa nhận tốn dựng hình phần khó chương trình hình học THCS có ý nghĩa tác dụng lớn việc rèn luyện tư tốn học nói riêng phân tích tổng hợp, khả quan sát , dự đốn, biết suy luận hợp lý lơgic, phát triển trí tưởng tượng vàcác tư linh hoạt ,độc lập nói chung phẩm chất cần thiết cho hoạt động sáng tạo người Học tốn dựng hình cịn giúp cho học sinh rèn luyện đức tính cần cù , nhẫn nại , làm việc có tổ chức kỉ luật,hình thành cho em kĩ vẽ hình ,đo đạc,tính tốn biết sử dụng cơng cụ đo đạc , biết ước lượng…cảm nhận đẹp ,những ứng dụng hay , phong phú tốn hocï đời sống người II CƠ SỞ THỰC TIỄN Như nói tốn dựng hình phần khó chương trình hình học trung học sở, khó giáo viên học sinh Đối với giáo viên khó chỗ dẫn dắt , diễn giải cho em hiểu cách rõ ràng , nắm cách chắn mà thầy muốn truyền đạt Đối với học sinh khó chỗ tiếp nhận kiến thức phương pháp , khó việc vâïn dụng kiến thức phương pháp vào việc giải tập tốn dựng hình tập vạân dụng tốn dựng hình Hiện , chương trình hình học THCS tốn dựng hình giới thiệu rải rác phần lý thuyết phần tập lớp lớp Lên lớp , giới thiệu cách hồn chỉnh lên lớp vận dụng làm số tập Thường tập dựng hình có sách tập, giáo viên yêu cầu học sinh nhà làm thêm , tốn đòi hỏi nhiều thời gian nên lớp có học phần dựng hình giáo viên có thời gian sâu phân tích cho em hiểu , học khác khơng thể giảng cặn kẽ tập dựng hình Nên gặp tốn em khơng biết phải làm nào, , đâu? Một số em yêu thích mơn tốn tự làm tốn va khiø gặp khó khăn phải hỏi riêng thầy ngồi học Mặt khác kì thi học sinh giỏi cấp tốn dựng hình đưa vào đềø thi nên ôn thi học sinh giỏi giáo viên sơ qua đại khái phần Vấn đề nghiên cứu phương pháp dựng hình thực tế ứng dụng có ích Chẳng hạn ngành xây dựng giới , mỹ thuật, kiến trúc……là ngành có ứng dụng dựng hình , có quan hệ mật thiết với bước tiến công xây dựng kinh tế văn hố Theo đường lối giáo dục học hành phải Vậy học dựng hình góp phần xây dựng đất nước ngày phồn vinh ,tiên tiến đại III LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trên sở lí luận thực tiễn thấy phải dạy cho học sinh thơng hiểu tốn dựng hình cách sâu sắc để em thấy ứng dụng việc học mơn đời sống xã hội Hiện làm công tác giảng dạy nămvà qua hai đơn vị cơng tác Địa bàn trường cịn gặp nhiều khó khăn, học sinh chậm tiếp thu, thời gian tự học nhà hạn hẹp phải làm thêm cơng việc để giúp đỡ gia đình, dân cư phân bố không tập trung -1- Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa nhiều thời gian lại Phương tiện học tập hạn chế, sở vật chất trường cịn nhiều thiếu thốn nên cơng tác giảng dạy mà cịn gặp nhiều khó khăn Mặc dù ban giám hiệu nhà trường cấp lãnh đạo địa phương luôn quan tâm động viên yếu tố khơng thể thiếu tinh thần học tập, hiếu học em Có nhiều em giỏi tốn em khơng giỏi tốn u thích học tốn hình học, khơng dạy em hiểu rõ tốn dựng hình khiếm khuyết lớn đường tự học em Trong viết nhỏ , muốn giới thiêïu đầy đủ tốn dựng hình cho em nắm cách chắn tốn dựng hình Mong có ý kiến chia sẻ đóng góp kinh nghiệm để viết hồn thiện B NỘI DUNG I THẾ NÀO LÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH? Trong thực tế , thường gặp nhiều hình vẽ như: năm cánh cờ quốc kỳ, biểu tượng ,lôgô….;các tốn xây dựng : chia đoạn thẳng cho trước thành đoạn nhau, dựng hình viên phân …trong vẽ kĩ thuật Thế có thử nghĩ làm để vẽ hình cách xác hợp lí chưa Vấn đề vừa nêu trên, dựa vào điêù kiện biết dùng phương pháp hình học hợp lí xác dựng hình cần thiết tốn dựng hình hình học Trong sách giáo khoa tốn tập định nghĩa sau: “Các tốn dựng hình tốn vẽ hình mà sử dụng hai dụng cụ thước compa” Hay xác dựa vào việc thực phép dựng hình mà thước compa tạo hình II.PHÉP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA Ngay từ kỉ VI-V trước công nguyên , người ta nghiên cứu tốn dựng hình với quy định sử dụng hai dụng cụ thước compa Trong chương trình tốn trung học sở nói đến dựng hình mà khơng có thích thêm ta phải hiểu cần tạo hình cách sử dụng thước compa Trong tốn chứng minh , việc chứng minh dựa tiên đề định lý Trong tốn dựng hình hình cho trước coi dựng được, việc dựng hình dựa phép dựng hình tốn dựng hình Các phép dựng hình là: -Dựng đường thẳng qua hai điểm phân biệt ( tiên đề thước ) -Dựng đường tròn biết tâm bán kính ( tiên đề compa ) -Giao điểm có hai đường dựng Tại công cụ dùng dựng hình lại có hai dụng cụ thước compa mà thước dùng hình học phải thước khơng chia độ Chúng ta dùng thước chia độ để dựng đoạn thẳng đoạn thẳng biết; dùng êke để vẽ góc vng đường thẳng góc có phải tiện lợi khơng ! Hình học khoa học dùng lý luận suy diễn , cần kết hợp với thực tế làm cho lý luận thực tiễn đôi với Các độ chia thước có chia độ, góc vng êke, đáng tin tưởng mặt lý luận khơng thể dùng để dựng hình Đương nhiên đường trịn vẽ compa khơng thật trịn , đường thẳng vẽ thước thẳng thẳng Nhưng thiếu hai dụng cụ khơng thể dựng hình Cho nên hạn chế dùng hai dụng cụ để dựng hình với kiến thức khơng cần thiết giảm đến mức giảm nữa, xem biện pháp tương đối hồn thiện Tuy nhiên số hình hình học , dùng compa thước thẳng khơng dựng được,trong viết tơi khơng thể trình bày hết -2- Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa III.CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH CƠ BẢN Ngồi ba phương pháp “vẽ đường thẳng qua hai điểm”, “vẽ đường tròn có tâm bán kính cho trước”, dựng giao điểm hai đường”, cịn có phương pháp khác như: “qua diểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước”, “dựng trung điểm đoạn thẳng”, v.v…đều phương pháp cần sử dụng làm tốn dựng hình gọi phép dựng hình Các phép dựng hình mà cần phải luyện tập thành thạo nhiều , xếp phân làm bốn loại sau: *Về loại đường thẳng 1)Dựng đoạn thẳng có độ dài cho trước đường thẳng định 2)Trên cạnh biết dựng góc góc cho trước 3)Dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước 5)Tìm trung điểm đoạn thẳng cho trước 6)Qua điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước 7)Qua điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 8)Chia đoạn thẳng cho trước nhiều phần 9)Dựng hình tam giác biết : ba cạnh (c.c.c);hai góc cạnh kề hai góc đó(g.c.g); hai cạnh góc nằm hai cạnh đó(g.c.g); hai góc cạnh đối hai góc (g.g.c) hai cạnh góc đối hai cạnh(c.c.g) 10)Dựng hình tam giác hình vng biết cạnh 11)Dựng hình chữ nhật biết hai cạnh kề 12)Lấy đường thẳng biết làm cạnh, dựng góc 600 300 * Về loại đường tròn 13)Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác cho 14)Dựng đường tròn nội tiếp tam giác cho 15)Lấy đoạn thẳng cho làm bán kính dựng đường trịn 16)Chia đơi cung cho trước 17)Từ điểm cho trước ngồi đường tròn , vẽ tiếp tuyến đường trịn 18)Lấy đoạn thẳng cho trước làm dây cung ,dựng hình viên phân chứa góc cho trước *Về loại tỉ lệ 19) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư 20)Chia đoạn thẳng cho trước làm hai phần chi tỉ số chúng tỉ số biết m:n 21)Dựng đoạn thẳng trung bình nhân hai đoạn thẳng cho trước * Về loại diện tích 22) Dựng hình vng cho diện tích tổng diện tích hai hình vng cho trước 23)Dựng hình vng cho diện tích hiệu diện tích hai hình vng cho trước Các phép dựng hình đây, sau em học theo sách giáo khoa, cần phải luyện tập cho thành thạo giải tốn dựng hình.Khi có phép dựng ,ta dễ dàng trình bày phương pháp dựng tốn dựng hình Sau ta sâu tìm hiểu tốn dựng hình mà chương trình THCS thường dùng Bài tốn Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Cho trước đoạn thẳng a.Dựng đoạn thẳng AB = a d a A B Ta thực phép dựng theo thứ tự sau: -Dựng đường thẳng d Trên d lấy điểm A -Lấy A làm tâm , dựng cung tròn bán kính a -3- Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa -Lấy giao điểm B đường thẳng d với cung trịn tâm A bán kính a Đoạn thẳng AB đoạn thẳng cần dựng Bài tốn 2.Dựng góc góc cho trước Cho góc xOy.Hãùy dựng góc x’Oy’ góc xOy O y' y B A B' x A' O' x' Ta thực phép dựng theo thứ tự sau: - Lấy O làm tâm , dựng cung trịn bán kính tuỳ ý cắt tia Ox , Oy A B - Dựng tia O’x’ - Lấy O’ làm tâm , dựng cung tròn bán kính OA - Lấy giao điểm A’ cung tròn với tia O’x’ - Dựng cung tròn tâm A’ ,bán kính đoạn AB - Lấy giao điểm cung (A’; AB) với cung (O’;OA) - Nối O’,B’ ta góc A’O’B’ cần dựng Góc A’O’B’ góc phải dựng, ta có: · 'O ' B ' = · · · A AOB( hay x ' Oy ' = xOy ) Thật ,dễ thấy ∆OAB = ∆O ' A ' B ' (trường hợp c-c-c) Suy · AOB = · ' O ' B ' A Bài tốn Dựng đường trung trực đoạn thẳng hay dựng trung điểm đoạn thẳng Cho đoạn thẳng AB, Hãy dựng đường trung trực đoạn thẳng AB Ta thực phép dựng theo thứ tự sau: C A M D B - Dựng đường trịn tâm A, bán kính r - Dựng đường trịn tâm B bán kính r - Dựng giao điểm C,D hai đường tròn (A;r) (B;r) - Dựng đường thẳng qua hai điểm C,D Dễ thấy CA = CB , DA = DB nên hai điểm C,D nằm đường trung trực AB hay đường thẳng CD đường trung trực AB * Chú ý: 1) Do CD đường trung trực AB nên ta có giao điểm M CD AB trung Điểm AB MA = MB 2) Để hai đường tròn (A,r) (B,r) cắt ta cần lấy bán kính r thoả mãn r > AB/2 Bài tốn 4.Dựng đường phân giác góc cho trước hay chia đơi góc cho trước Cho góc xOy Hãy dựng tia phân giác góc Ta thực phép dựng theo thứ tự sau: - Lấy đỉnh O làm tâm, dựng đường trịn tâm O bán kính r - Dựng giao điểm A,B đường tròn (O,r) với cạnh OxÕ, Oy - Lấy A làm tâm, dựng đường trịn bán kính r’ lấy B làm tâm , dựng đường trịn bán kính r’ -4- Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa - Dựng giao điểm I (A,r’) (B, r’) y - Dựng đưòng thẳng qua hai điểm O,I B Tia Oz chứa hai điểm O,I tia phân giác góc xOy I z Thật ,ta có : ∆OAI = ∆OBI ∆OAI = ∆OBI (trường hợp c-c-c) µ =O O =O ¶ µ ¶ Suy O1 2 A O x * Chú ý : -Để có điểm I, ta phải lấy r’ > AB/2 - Trong thực tế , để tránh việc thay đổi độ compa , người ta lấy r’ = r = OA Bài tốn Dựng đường thẳng vouung góc với đường thẳng cho trước qua điểm cho trước Cho điểm P đường thẳng xy Dựng đường thẳng d qua O vng góc với đường thẳng xy Ta thực phép dựng theo thứ tự sau: - Dựng đường tròn (O,r) - Dựng giao điểm A,B (O,r) xy - Dựng đường tròn (A,r) (B,r) d - Dựng giao điểm I (A,r) (B,R) - Dựng đường thẳng qua O I OI đường thẳng d cần dựng O Thật , OA = OB ; IA = IB , nên O I nằm đường trung trực đoạn AB Suy OI ⊥ AB hay d ⊥ xy x H y A B * Chú ý: 1) Trường hợp điểm O ngồi đường thẳng xy đường thẳng xy dựng 2) Cách dựng có sở phép dựng đường trung trực đoạn thẳng I 3) Trong thực tế ta khơng cần dựng đường trịn (A;r), (B;r) mà cần dựng cung đường trịn 4) Để có giao điểm A, B bán kính r phải thoả : r’ > OH , tức r phải lớn khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng xy 5) Khi dựng đường tròn ( hay cung tròn ) (A,r’) , (B ,r’) để tránh thay đổi độ compa ta lấy bán kính r’ = r , cần phải lấy r cho hai cung tròn cắt để có điểm I Trên tốn dựng hình Trong giải tốn dựng hình gặp phép dựng ta khơng cần lặp lại cách trình bày chi tiết cần nắm vững cách thực để tiến hành phép dựng xác , đảm bảo cho việc giải tốn dựng hình phân tích sở , khơng bị trực quan đánh lừa hình vẽ cuối thể giả thiết yêu cầu tốn Sau ta xét thêm số tốn dựng hình quen thuộc tốn thường coi sở cho việc giải tốn dựng hình phức tạp khác Bài tốn Dựng tam giác biết ba cạnh Dựng tam giác ABC biết ba cạnh a, b , c -5- Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa A a b c b c a B C * Cách dựng: - Trên đường thẳng dựng đoạn thẳng BC đoạn thẳng a - Dựng cung trịn tâm C, bán kính b tâm B , bán kính c - Dựng giao điểm A hai cung tròn * Chú ý : Điều kiện để tam giác tồn , tức điều kiện để dựng tam giác là: b−c < a h a, đồng thời ma = hình dựng tam giác cân.Ngồi , b = h a đồng thời ma > hình dựng tam giác vng, trường hợp có lời giải Nếu b > h a ma > b b > ma = b tốn có lời giải Nếu b > ma > tốn có hai lời giải lấy A làm tâm lấy ma làm bán kính vẽ cung cắt CD điểm thứ hai E’ , lấy E’B’ = E’C nằm CD tam giác AB’C lời giải tốn V TỔNG QUÁT VỀ CÁCH PHÂN TÍCH MỘT BÀI TỐN DỰNG HÌNH Trước dựng hình điều phải nghiên cứu đường hình cần dựng trước, đường nên dựng sau, vị trí điểm nên định trước ,điểm nên để sau Nếu khơng chuẩn bị tốt vấn đề gặp tốn phức tạp thấy quýnh lên, thấy đâu khó Phân tích tốn dựng hình khơng có quy tắc thơng dụng phổ biến ,nhưng nguyên tắc đước nêu xem ứng dụng đa số tốn: Bước Trước hết ta vẽ phác hình tương tự hình cần tìm , hình khơng xác có ích.Dựa vào hình , ta biết rõ vị trí điểm đường , mối tương quan chúng Chẳng hạn hai đoạn thẳng -9- Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa nhau.hoặc vng góc với nhau, điểm nằm đường thẳng, nằm đường tròn, mối tương quan khó lịng tưởng tượng, phải có hình vẽ phác nhìn thấy Mặt khác thức dựng hình cịn tham khảo hình vẽ phác , dựng hình thức ta nhìn qua hình vẽ phác kịp thời biết đường chưa dựng , nên dựng đường trước Bước Sau vẽ phác hình cần phân biệt biết chưa biết Những biết mối tương quan biết ,nên kí hiệu đặc biệt đánh dấu bút chì màu Làm nhìn vào hình vẽ phác ta biết đường dài ngắn sao, góc to nhỏ nnhư , hai đường thẳng hai góc có mối quan hệ Những đoanï thẳng biết độ dài góc biết độ lớn nên nghĩ cách dựng chúng trước , hai đoạn thẳng hai góc dựng trước , tiếp dựng đoạn khác góc khác Bước Quan sát tỉ mỉ xem có phận hình dựng trước khơng – phận thơng thường hình tam giác (giả sử có) trước hết phải dựng nó.Bộ phận ln ln sở tồn hình , sau có sở tiếp tục dựng phận khác Bước Trên sở biết , tiếp tục dựng phận khác hình cần dựng Có nhiều tốn dựng hình khơng đơn giản nêu , phân tích cần bổ sung thêm số đường phụ thể quan hệ điều kiện biết chưa biết VI.PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH Phương pháp giải tốn dựng hình hình học có nhiều , viết nêu hai phương pháp thường dùng chương trình tốn THCS phương pháp lấy hình tam giác làm sở phương pháp quỹ tích tương giao 1/ PHƯƠNG PHÁP LẤY HÌNH TAM GIÁC LÀM CƠ SỞ Thơng thường làm tốn dựng hình ,trước hết phải dựng phận tồn hình – hình tam giác – dùng để dựng tồn hình , sau ttiếp tục dựng phần khác Phương pháp gọi phương pháp lấy hình tam giác làm sở Nếu có hình biết ba yếu tố nó, cụ thể biết năm trường hợp sau: 1) cạnh.cạnh.cạnh ; 2) góc.cạnh.góc ; 3) cạnh.góc.cạnh ; 4) góc.góc.cạnh ; 5) cạnh.cạnh.góc dùng phương pháp lấy hình tam giác làm sở để giải tốn Nếu hình vẽ , khơng có hình tam giác vậyä , sau dựng thêm đường phụ thích hợp mà có hình tam giác có thêû ứng dụng phương pháp Phương pháp ứng dụng rộng rãi , sau ta xét vài ví dụ: Ví dụ : Dựng hình thang biết độ dài hai cạnh đáy 1cm 3cm, cạnh bên 2cm, đường cao 1,5cm Giải : 1) Phân tích : Giả sử hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu tốn dựng Nếu ta vạch đường cao AH hình thang thì: - Tam giác ADH có cạnh huyền AD = 2cm, cạnh góc vng AH = 1,5cm dựng - Đỉnh B thoả mãn hai điều kiện: + B thuộc đường thẳng xy qua A song song vớiđường thẳng DC + B cách A khoảng dài 1cm 2) Cách dựng : x B' A B y 1,5 2 1,5 C' D H C - Dựng ∆ADH vuông H với AD = 2cm AH = 1,5 - 10 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa - Dựng đường thẳng DH , lấy điểm C cho DC = 3cm - Qua A dựng đường thẳng xy song song với đường thẳng CD , lấy điểm B cho B, C thuộc nửa mặt phẳng bờ AD AB = 1cm - Nối B, C ta tứ giác ABCD 3) Chứng minh: Theo cách dựng , tứ giác ABCD có : AB//CD nên hình thang đáy nhỏ AB = cm ; đáy lớn CD = 3cm ; cạnh bên AD = 2cm; AH ⊥ DC nên AH đường cao AH = 1,5cm Vậy hình thang ABCD vừa dựng thoả mãn yêu cầu tốn 4) Biện luận : Ta dựng tam giác ADH , ln ln dựng hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu tốn Ngồi , đường thẳng DH cịn có điểm C’ khác điểm C mà C’D = 3cm; đường thẳng xy cịn có điểm B’ khác điểm B mà B’, C’ thuộc nửa mặt phẳng bờ AD B’A = 1cm Như hình thang AB’C’D thoả mãn yêu cầu tốn Do vậy, ta nói tốn có hai nghiệm hình µ Ví dụ Dựng hình thang cân ABCD biết đáy CD = 3cm, đường chéo AC = 4cm, D = 800 Giải : 1)Phân tích: Giả sử hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu tốn dựng µ Tam giác ACD dựng biết D = 800 ,CD = 3cm , AC = 4cm Do ABCD hình thang cân nên BD = AC = 4cm Điểm B phải thoả mãn hai điều kiện: + B thuộc đường thẳng qua A song song với CD + B cách D khoảng 4cm nên nằm đường trịn tâm D bán kính 4cm 2)Cách dựng: µ - Dựng ∆ACD có D = 800 , AC = 4cm , CD = 3cm - Dựng tia AY // DC ( tia Ay diểm C nằm nửa mặt phẳng bờ AD ) - Dựng đường trịn tâm D bán kính cm, cắt tia Ay B Nối BC ta tứ giác cần dựng x y B A 80 3cm 4cm D C 3) Chứng minh: Theo cách dựng , tứ giác ABCD có : AB//CD nên hình thang Hình thang ABCD hình thang cân có hai đường chéo µ AC = BD = 4cm Hình thang cân ABCD có D = 800 , AC = 4cm , CD = 3cm nên thoả mãn yêu cầu tốn 4) Biện luận Ta dựng tam giác ACD , ln dựng hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu đề Bài tốn có nghiệm hình Ví dụ Dựng tam giác cân, biết tổng hai cạnh đáy cạnh bên biết góc đáy Giải : 1) Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC thoả mãn yêu cầu tốn - 11 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa µ µ µ Ta biết B = α , AB = AC, B = C suy độ lớn hai góc cịn lại µ C = α , µ = 1800 − 2α chưa biết độ dài cạnh , chưa thể dựng A tam giác Giả sử cần dựng tổng cạnh đáy a cạnh bên b a + b biết µ 1µ kéo dài BC đến D cho CD = AC BD = a + b , D = C = α điều 2 kiện biết , tam giác ABD dựng 2) Cách dựng : a+b A B C D µ µ - Dựng tam giác ABD cho B = α , BD = a + b , D = α · - Dựng AC cho DAC = α , cắt BD C Tam giác ABC tam giác cần dựng 3) Chứng minh : µ · µ · Theo cách dựng , ta có D = α DAC = α nên D = DAC ⇒ AC = CD nên 2 BC + AC = BC + CD = BD = a + b 1 µ · µ ACB ACB = D + DAC = α + α = α ( góc ngồi tam giác) ⇒ B = · Mặt khác · 2 ⇒ AB = AC Như tam giác ABC thoả mãn yêu cầu tốn 4) Biện luận: Khi α ≥ 900 tốn khơng có nghiệm hình Cịn lại tốn ln có nghiệm hình BÀI TẬP Dựng tam giác ABC biết độ lớn góc B β , độ dài đường phân giác góc A tn , đường cao thuộc cạnh đối diện với góc A Dựng tam giác ABC biết độ lớn góc A α , độ dài đường trung tuyến thuộc cạnh kề mb đường cao thuộc cạnh kề hc Dựng tam giác ABC biết độ lớn góc C γ , độ dài đường phân giác góc tc bán kính đuường trịn nội tiếp r Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) biết AB = 1cm, góc C = 550 , đường cao BH = 1,5 cm µ µ Dựng hình thang ABCD ( AB // CD ) biết AB = 3,5cm , CD = 3,5cm, C = 450 , D = 600 Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD ) biết AB =1cm , CD = 3cm, BD = 2cm Dựng hình bình hành ABCD biết ba đoạn thẳng xuất phát từ A Ab= 3cm , AC = 3cm, AD = 2cm · 8.Dựng hình bình hành ABCD biết hai đường chéo AC = 3cm , BD = 4cm, COD = 450 ( O giao điểm hai đường chéo) 9.Dựng hình bình hành ABCD biết hai đường chéo AC = 8cm , BD = 6cm chiều cao BH = 4,5cm với H thuộc AD - 12 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa 10 Dựng hình chữ nhật biết đường chéo 3cm, góc nhọn tạo hai đường chéo 500 11 Dựng hình chữ nhật có chu vi 7cm, , góc nhọn tạo hai đường chéo 700 12 Dựng hình thoi ABCD biết cạnh 2cm , đường cao 1,5cm 13.Dựng hình vnng ABCD Dựng điểm E cạnh CD , dựng điểm F cạnh BC cho tam giác AEF tam giác 2/DỰNG HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH TƯƠNG GIAO Ta biết điểm cách hai diểm A B cho trước nhiều vô hạn , chúng nằm đường trung trực đoạn thẳng nối liền A , B Đường trung trực đoạn AB tập hợp tất điểm thoả mãn điều kiện, người ta gọi quỹ tích điẻm cách hai điểm A,B.Trong chương trình tốn THCS học sinh học nhiều định lý quỹ tích như: " đường phân giác góc quỹ tích điểm cách hai cạnh góc ấy", " Tập hợp điểm cách đường thẳng d cố định khoảng h không đổi hai đường thẳng sng song với đường thẳng d cách d khoảng h."v.v…Trong tốn dựng hình ,các định lý có ích Nhiều tốn dựng hình tương tự ví dụ nêu , cần phải tìm điểm thoả mãn điều kiện cho Thông thường có hai điều kiện , với điều kiện , dựng quỹ tích tương ứng Vì điểm nằm quỹ tích thứ thoả mãn điều kiện thứ , điểm nằm quỹ tích thứ hai thoả mãn điều kiện thứ hai, giao điểm hai quỹ tích định đồng thời thoả mãn hai điều kiện, điểm cần phải tìm.Phương pháp dựng hình dựa vào giao điểm hai quỹ tích gọi phương pháp quỹ tích tương giao.Ví dụ muốn tìm điểm cách hai diểm A,B cho trướcđồng thời cách C hai cạnh góc xOy , cách tìm sau : B - Dựng đường trung trực CD đoạn thẳng AB y - Dựng đường phân giác OE góc xOy , hai đường E A gặp P P D Vì P nằm CD theo định lý quỹ tích nêu P định cách A,B; O x đồng thời P nằm OE nên theo định lý quỹ tích P định cách Ox ,Oy P điểm cần tìm Khi dựng hình , định lý mà cần ứng dụng gồm định lý nêu đây: 1.Quỹ tích điểm cách điểm cố định cho trước đoạn không đởi đường tròn lấy điểm cho làm tâm lấy đoạn thẳng cho làm bán kính Định lý sử dụng nhiều dựng hình , có ba cơng dụng sau : a) Tìm điểm cố định cách điểm cố định đoạn cho trước b) Tìm tâm đường trịn biết bán kính qua điểm cho trước c) Tìm tâm đường trịn biết bán kính tiếp xúc với đường trịn cho trước 2.Quỹ tích điểm cách đường thẳng cố định cho trước đoạn cho trước hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng cho trước Về mặt dựng hình ,định lý có cơng dụng: a) Tìm điểm cách đường thẳng cho khoảng có độ dài cho trước b) Tìm đỉnh tam giác biết cạnh đáy đường cao c) Tìm tâm đường trịn biết bán kính tiếp xúc với đường thẳng cho 3.Quỹ tích điểm cách hai điểm cố định đường trung trực đoạn thẳng nối liền hai điểm Định lý có ứng dụng sau: a)Tìm điểm cách hai điểm cố định b) Tìm tâm đường tròn qua hai điểm biết c) Tìm đỉnh tam giác cân biết cạnh đáy 4.Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng cố định cắt hai đường phân giác qua giao điểm hai đường thẳng Công dụng định lý : - 13 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa a) Tìm điểm cách hai đường thẳng giao biết b) Tìm tâm đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng giao cho trước Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng song song cho trước đường thẳng song song nằm hai đường thẳng cho (tức qua trung điểm đoạn thẳng vng góc chung hai đường thẳng cho ).Công dụng định lý : a) Tìm điểm cách hai đường thẳng song song cho trước b) Tìm tâm đường trịn tiếp xúc với hai đừng thẳng song song cho trước Nếu hai cạnh góc vng ln ln qua hai điểm cố định quỹ tích đỉnh góc vng đường trịn nhận đoạn thẳng nối hai điểm cố định làm đường kính Cơng dụng định lý : a)Tìm đỉnh góc vuông tam giác vuông biết cạnh huyền b) Tìm chân đường cao thuộc hai cạnh tam giác biết cạnh đáy Nếu đợ lớn góc khơng đổi , hai cạnh ln qua hai điểm cho trước quỹù tích đỉnh góc cung hình viên phân nhận đoạn thẳng nối liền hai điểm cố định làm dây cung chứa góc Cơng dụng định lý : Tìm đỉnh tam giác biết độ lớn góc đỉnh cạnh đáy Quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc với đường thẳng cho trước điểm cho trước đường thẳng đường thẳng vng góc với đường thẳng cho qua điểm cho Công dụng định lý :Tìm tâm đường trịn tiếp xúc vơi ùmột đường thẳng cho trước điểm cho trước thuộc đường thẳng Quỹ tích tâm đường trịn tiếp xúc với đường tròn cố định điểm cố định thuộc đường trịn đường thẳng qua tâm đường tròn cố định điểm cố định Cơng dụng định lý là: Tìm tâm đường trịn tiếp xúc vơi ùmột đường tròn cố định điểm cố định thuộc đường trịn Sau ví dụ : Ví dụ Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m đường cao AH = h Giải : 1) Phân tích A h m h m H M a B a C Giả sử tam giác ABC dựng , ta có cạnh BC = a dựng , cần dựng đỉnh A -Do AM = m ⇒ A cách trung điểm M BC khoảng m (1) -Do AH = h ⇒ A cách đường thẳng BC khoảng h (2) Nếu tạm gác điều kiện (2) tức giữ lại điều kiện A cách M khoảng m quỹ tích A đường trịn tâm M ,bán kính m Nếu tạm gác điều kiện (1) tức giữ lại điều kiện A cách đường thẳng BC khoảng h quỹ tích A đường thẳng d song song với BC cách BC khoảng h A phải thoả mãn hai điều kiện Vậy A giao điểm đường tròn (M ; m) đường thẳng d 2) Cách dựng: - Trên đường thẳng , dựng đoạn BC = a - Dựng trung điểm M đoạn thẳng BC dựng đường tròn (M; m) - Dựng đường thẳng d somg song với BC cách BC khoảng h - Dựng giao điểm A đường thẳng d đường tròn (M; m) - Nối AB,AC Tam giác ABC tam giác cần dựng - 14 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa 3) Chứng minh : Theo cách dựng , tam giác ABC có : BC = a ; đỉnh A nằm đường trịn tâm M , bán kính m nên AM = m ; đỉnh A nằm đường thẳng d nên AH = h 4)Biện luận : Bài tốn giải xác định đỉnh A, tức d (M ; m) cắt nhau.Do ta có : - Nếu h < m : ta có giao điểm (vì quỹ tích điểm cách đường thẳng BC khoảng h hai đường thẳng song song với BC , nằm khác phía BC cách BC khoảng h) Ta có tam giác tam giác nên ta nói tốn có nghiệm hình - Nêùu h = m d tiếp xúc với (M; m) Ta có tam giác ABC tam gíac cân , ta nói tốn có nghiệm hình - Nếu h > m d (M; m) khơng cắt Bài tốn khơng có nghiệm hình Ví dụ Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a ,các đường cao BE = hb CF = hc 1)Phân tích : hc A E F a B C M Giả sử tam giác ABC dựng ,ta thấy BC = a nên hai đỉnh B,C dựng ,chỉ cần dựng đỉnh A.Ta thấy đỉnh A giao điểm hai đường thẳng BF CE nên việc dựng đỉnh A quy việc dựng hai điểm E,F -Xác định điểm E · + Ta có BEC = 900 ⇒ điểm E nằm đường trịn đường kính BC ,tức đường trịn tâm M a với M trung điểm BC ,bán kính +BE = hb điểm E nằm đường trịn tâm B bán kính hb a Vậy E giao điểm hai đường tròn (M ; ) (B ; hb) -Xác định điểm F.Tương tự điểmE , điểm F giao điểm hai đường tròn (M ; a ) (C ; hc ) 2) Cách dựng : - Trên đường thẳng , dựng đoạn thẳng BC = a , dựng trung điểm M đoạn thẳng BC a - Dựng đường tròn (M ; ) - Dựng đường tròn (B ; hb) - Dựng đường tròn (C ; hc ) - 15 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa - Dựng giao điểm E hai đường tròn (M ; a ) (B ; hb) giao điểm F hai đường tròn a ) (C ; hc ) - Dựng giao điểm A hai đường thẳng CE BF Nối A với B, A với C Tam giác ABC tam giác cần dựng 3) Chứng minh : Theo cách dựng ,tam giác ABC có :BC = a Điểm E thuộc đường trịn đường kính BC nên BE ⊥ AC Điểm E thuộc đường tròn tâm B ,bán kính hb nên BE = hb Tương tự , ta có CF ⊥ AB CF = hc 4)Biện luận : để tốn có nghiệm ta phải dựng điểm E, F -Nếu hb < a hc < a :bài tốn có nghiệm hình -Nếu hb = a hc < a hb < a hc = a:bài tốn có nghiệm hình tam giác vng (đỉnh C B) - Nếu hb > a hc > a hb = a hc = a:bài tốn vơ nghiệm Ví dụ Cho đường thẳng xy đường tròn tâm O ,trên (O) lấâùy điểm P bất kìø Hãy dựng đường trịn tâm O’ tiếp xúc với đường tròn tâm O P tiếp xúc với đường thẳng xy Giải 1)Phân tích : Giả sử dựng đường trịn (O’) thoả mãn u cầu tốn -Vì đường trịn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) P nên tâm định nằm đường thẳng qua hai điểm O, P (quỹ tích thứ nhất) - Vì hai đường tròn (O) (O’) chung tiếp tuyến AB qua P , đồng thời (O’) tiếp xúc với xy AB , tâm phải nằm đường phân giác qua giao điểm xy AB (quỹ tích thứ hai ) 2)Cách dựng: - Nối OP kéo dài - Qua P dựng tiếp tuyến đường tròn O A B O gặp xy A · - Dựng đường phân giác BAx cắt đường kéo dài OP O’ P O' - Lấy O’ làm tâm ,O’P làm bán kính dựng Đường trịn Đó đường tròn cần dựng (M ; x C A y 3)Chứng minh: Theo cách dựng , đường tròn (O’) có O’C ⊥ xy O’C = O’P nên đường trịn (O’) tiếp xúc với xy Mặt khác (O’) có bán kính O’P nên tiếp xúc với đường trịn (O) P.) 4) Biện luận: Vì AB xy cắt tạo thành hai góc BAx BAy.Như đựng đường phân giác góc Bay cắt đường kéo dài OP điểm, lấy điểm làm tâm dựng đường trịn tiếp xúc với xy tiếp xúc với đường tròn (O),do tốn có hai lời giải Nhưng OP vng góc với xy tốn có lời giải BÀI TẬP Dựng tam giác ,biết trung tuyến đường cao thuộc cạnh m a , trung tuyến thuộc cạnh khác mb Dựng tam giác ,biết độ lớn góc đỉnh A α , đường cao thuộc cạnh đáy , bán kính đường trịn ngoại tiếp R Chỉ dẫn : Dựng góc tâm đường trịn α Dựng hình bình hành biết chiều dài hai đường chéo góc Dựng tứ giác , biết hai cạnh kề , góc tạo hai cạnh kề khác hai đường chéo - 16 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa 5.Lấy độ dài cho làm bán kính ,hãy dựng đường trịn cho tiếp xúc với hai đường trịn khác cho trước 6.Hãy dựng đường trịn cho tâm nằm đường thẳng xy qua điểm A cho trước nằm xy đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O) cho trước Dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song cho trước tiếp xúc với đường tròn khác nằm giưã hai đường thẳng Dựng đường trịn tiếp xúc với đường tròn cho trước điểm cho trước đường trịn đồng thời tiếp xúc với đường tròn khác cho trước * Chỉ dẫn: Giả sử hai đường tròn biết (A),(B) ,điểm biết B đường tròn (A) P.Muốn dựng đường tròn tiễp xúc ngồi với với hai đường trịn (A) ,(B) lấy điểm C PA (nếu đường tròn (A) bé đường tròn (B) O C nằm đường kéo dài PA) cho PC bán kính P C A đường trịn (B) Dựng đường trung trực BC ,cắt đường kéo dài AP O ,đó đường trịn cần tìm.Nếu đường trung trực BC cắt đường kéo dài PA(khơng phải AP) đường trịn cần dựng phải tiếp xúc với hai đường tròn cho.Nếu C nằm đường kéo dài AP đường trịn cần dựng tiếp xúc với đường tròn cho tiếp xúc ngồi với đường tròn lại Dựng tứ giác biết hai cạnh đối ,hai đường chéo góc hợp hai đường chéo 10.Dựng hình thang cân ABCD biết cạnh đáy AB = a cạnh bên AD = b bán kính đường trịn ngoại tiếp R 11.Dựng tam giác ABC biết cạnh AB = c, bán kính đường trịn ngoại tiếp R đường cao CF = hc Trên hai phương pháp dựng hình thơng dụng chương trình tốn THCS Mỗi tốn dựng hình khơng phải dùng phương pháp , phương pháp chuyên dùng cho loại tốn , nên phải tuỳ ứng biến,vận dụng linh hoạt đạt kết cao học tập C.KẾT LUẬN I KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Được dạy học từ lớp lên lớp nên nhận thấy khiếm khuyết, sai lầm mà học sinh thường mắc phải học hình học tốn vận dụng tốn dựng hình , tập dựng hình để đo đạc thực tế Khi dạy hình học gặp tốn dựng hình thường trăn trở phải cho em thấu suốt cách triệt để , biết phân loại tốn dựng hình , phân tích loại tìm phương pháp dựng loại bài.Trên sở đótơi ln tích luỹ kinh nhgiệm sau tiết dạy ,tìm tịi đổi đưa tập ứng dụng vào tiết học nên phần em hiểu đựơc phải vẽ thế, vẽ nên đâu, sử dụng công cụ nào? Qua em phần tháo gỡ khó khăn việc học hình học vận dụng tốn dựng hình vào giải loại tập khác hay tập thực tế Các em hứng thú với mơn học hơn, có ý thức chủ động tham gia vào hoạt động khám, phá tìm tịi vật gần gũi xung quanh II.BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua việc tổng hợp tốn dựng hình cho học sinh tơi thấy để làm tốn hình học học sinh có số kiến thức định học dựng hình tránh nhiều khó khăn học tập.Trong buổi ôn thi học sinh giỏi tiết học lớp lồng ghép tốn dựng hình vào kiến thức cần - 17 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa truyền đạt cho buổi học hơm tơi đưa vào, ví dụ “Đường trung bình tam giác, hình thang” ; ”Tính chất đường phân giác tam giác” ; “ Chứng minh trường hợp đồng dạng tam giác”…cần vẽ thêm đường phụ chứng minh số tập khác Ngồi cịn có tiết thực hành cần vẽ hình để đo đạc :” Đo khoảng cách gữa hai địa điểm có địa điểm khơng thể tới được” hay “Đo gián tiếp chiều cao vật”mà chương trìng hình học 7,8,9 có hai tiết, học sinh phải tham gia khâu từ làm đồ dùng thực hành ,dựng hình giấy phác hoạ bảng , đất đến đo đạc tính tốn III.Ý KIẾN ĐỀ XUẤT - Nên tổ chức lại kì thi học sinh giỏi huyện, tỉnh khối 6, 7, để có thúc đẩy cạnh tranh học hỏi Các đề thi ngồi tốn chứng minh hình học cần có tốn dựng hình tốn chứng minh có lồng ghép phần dựng hình -Ngồi đồ dùng dạy học tự làm giáo viên học sinh nhà trường cần tăng thêm thiết bị công cụ đo đạc để có đủ dụng cụ tiết thực hành dựng hình đo đạc -Về phía phụ huynh học sinh cần trang bị đầy đủ dụng cụ học tập :thước đo đạc loại, compa,bút … cho em để phục vụ việc học đôi với hành - Tạo điều kiện , tạo sở vật chất đại giáo viên có phương pháp dạy học thích hợp để học sinh hiểu nhanh, nhớ lâu qua lĩnh hội kiến thức tốt chủ đề khó chương trình tốn dựng hình , quỹ tích… ∗∗∗∗∗∗ MỤC LỤC Phần chung Trang - 18 - Trường THCS Cao Bá Quát Sáng kiến kinh nghiệm Người thực :Bùi Thị Hoa A.Phần mở đầu I.Cơ sở lí luận II.Cơ sở thực tiễn III.Lý chọn đề tài B.Nội dung I.Thế tốn dựng hình? II.Phép dựng hình thước com pa III.Các tốn dựng hình IV.Các bước giải tốn dựng hình V.Tổng qt cách phân tích tốn dựng hình VI.Phương pháp dựng hình C.Kết luận I.Kết đạt II.Bài học kinh nghiệm III.Ý kiến đề xuất - 19 - 1 2 11 11 19 20 20 ... điêù kiện biết dùng phương pháp hình học hợp lí xác dựng hình cần thiết tốn dựng hình hình học Trong sách giáo khoa tốn tập định nghĩa sau: “Các tốn dựng hình tốn vẽ hình mà sử dụng hai dụng cụ thước... dạy học từ lớp lên lớp nên nhận thấy khiếm khuyết, sai lầm mà học sinh thường mắc phải học hình học tốn vận dụng tốn dựng hình , tập dựng hình để đo đạc thực tế Khi dạy hình học gặp tốn dựng hình. .. dựng hình đây, sau em học theo sách giáo khoa, cần phải luyện tập cho thành thạo giải tốn dựng hình. Khi có phép dựng ,ta dễ dàng trình bày phương pháp dựng tốn dựng hình Sau ta sâu tìm hiểu tốn