Đang tải... (xem toàn văn)
Để làm quen với bất đẳng thức thì việc nắm vững bất đẳng thức cơ bản là vô cùng quan trọng. Trên thế giới có rất nhiều bất đẳng thức với nhiều định lí liên quan đến bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức nên để hiểu hết được chúng là điều không thể, điều quan trọng là chúng ta phải hiểu thật rõ các bất đẳng thức cơ bản, đó là yếu tố quan trọng đầu tiên để ta học tốt được bất đẳng thức. Trong chương trình toán THPT chúng ta đã biết về bất đẳng thức liên hệ giữa TBC và TBN. Sau đây tôi xin giới thiệu một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức AMGM trong giải các bài toán lớp 10 và 11
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— TIỂU LUẬN BẤT ĐẲNG THỨC Tên đề tài: MỘT SỐ KĨ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Học viên thực hiện: Nguyễn Quang Thịnh Giáo viên hướng dẫn: GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Lớp: Phương pháp Toán sơ cấp - K26 Đà Nẵng, 06/2013 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Bất đẳng thức AM-GM 5 1.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân 5 1.2 Các dạng thường gặp của AM-GM . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Bất đẳng thức AM-GM suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM 9 2.1 Những kĩ năng cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Kĩ thuật chọn điểm rơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Kĩ thuật ghép đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Kĩ thuật thêm - bớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Kĩ thuật AM-GM ngược dấu . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM 19 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 2 LỜI NÓI ĐẦU Để làm quen với bất đẳng thức thì việc nắm vững các bất đẳng thức cơ bản là vô cùng quan trọng. Trên thế giới có rất nhiều các bất đẳng thức, rất nhiều định lí liên quan đến bất đẳng thức, rất nhiều kĩ thuật để chứng minh bất đẳng thức nên để biết hết được chúng là điều không thể, điều quan trọng nhất của chúng ta phải hiểu thật rõ các bất đẳng thức cơ bản, đó là yếu tố quan trọng đầu tiên để học tốt bất đẳng thức. Một bất đẳng thức quen thuộc trong chương trình phổ thông là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM), nhưng để nắm vững được chúng không phải là điều đơn giản, dễ dàng nhất là đối với các bạn mới làm quen với bất đẳng thức. Trong bài tiểu luận này tôi xin trình bày một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM và một số bài toán ứng dụng liên quan đến bất đẳng thức AM-GM. Đây là một trong những vấn đề cơ bản và rất hiệu quả đối với các bạn học sinh THCS, các bạn học sinh lớp 10, 11 muốn rèn luyện kĩ năng chứng minh bất đẳng thức của mình. Trên đây là lí do tôi chọn đề tài: "Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM." Trong tiểu luận gồm phần mở đầu, 3 chương, kết luận và phụ lục. Chương 1. Bất đẳng thức AM-GM. Trong chương này tôi xin trình bày một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức AM-GM, một số bất đẳng thức thường dùng và bất đẳng thức AM-GM suy rộng. Chương 2. Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM. Một trong những vấn đề thức mắc của nhiều bạn là phải giải bài toán bất đẳng thức bằng cách nào? Tại sao lại giải như thế? Tại sao lại thêm số này, bớt số kia? Tại sao bài tập này lại dùng được AM-GM? 3 Chương này tôi sẽ giới thiệu một vài kĩ thuật vận dụng AM-GM trong việc tìm tòi lời giải cho các bài tập, trên cơ sở đó giúp cho chúng ta giải quyết một số dạng bài toán cơ bản. Chương 3. Một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM. Trong thực tế giải toán, các đẳng thức ta gặp thường rất đa dạng và không rơi vào dạng như các bài toán ở chương 2, lúc này ta phải phối hợp khéo léo các kĩ thật mới có thể giải quyết được chúng. Trong bài tiểu luận này, tôi hy vọng sẽ là một trong những tài liệu tham khảo tốt dành cho học sinh năng khiếu môn Toán học bậc phổ thông, các sinh viên và cho các thầy giáo, cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu đã giảng dạy và hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành bài tiểu luận này. 4 Chương 1 Bất đẳng thức AM-GM Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) là bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rộng rãi, là bất đẳng thức đầu tiên mà bạn cần phải ghi nhớ rất rõ và sử dụng một cách thành thạo. 1.1 Định lí về các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân Định lý 1.1. (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử x 1 , x 2 , , x n là các số không âm. Khi đó: x 1 + x 2 + + x n n ≥ n √ x 1 x 2 x n (1.1) Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n *Chứng minh: Rõ ràng bất bẳng thức đúng với n=2, nếu bất đẳng thức đúng với n số thì cũng đúng với 2n số vì: x 1 + x 2 + + x 2n ≥ n n √ x 1 x 2 x n + n n √ x n+1 x n+2 x 2n ≥ 2n 2n √ x 1 x 2 x n Do đó bất đẳng thức cũng đúng với n bằng một lũy thừa của 2. Mặt khác nếu bất đẳng thức đúng với n số thì cũng đúng với n-1 số, thật vậy ta chỉ cần chọn: x n = s n − 1 , với s = x 1 + x 2 + + x n . 5 ⇒ s + s n − 1 ≥ n n x 1 x 2 x n−1 .s n − 1 ⇒ s ≥ (n − 1) n √ x 1 x 2 x n−1 Từ 2 nhận xét trên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n . Khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM chúng ta cần hết sức lưu ý đến điều kiện của đẳng thức và cần tách các hệ số cho phù hợp. Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM, các chứng minh trên là cách chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp Cauchy. Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM là bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa (gọi và viết tắt là bất đẳng thức GM-HM hoặc GH 2 ) Hệ quả 1.1. Với mọi bộ số dương x 1 , x 2 , , x n ta đều có: n √ x 1 x 2 x n ≥ n 1 x 1 + 1 x 2 + + 1 x n Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 1 = x 2 = = x n . 1.2 Các dạng thường gặp của AM-GM Bất đẳng thức AM-GM có nhiều ý nghĩa và ứng dụng trong việc giải toán bất đẳng thức. Ngoài ra, sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có thể giải quyết được nhiều lớp bài toán tìm cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mà không cần sử dụng đến kiến thức Giải tích cao cấp. Trước hết, ta cần quan tâm đến hai trường hợp riêng của bất đẳng thức AM-GM là: • Trường hợp n=2, lúc này bất đẳng thức viết lại thành. Nếu a,b là các số thực không âm thì ta có a + b 2 ≥ √ ab Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b. Bất đẳng thức trên còn có thể viết lại dưới dạng tương đương là: ab ≤ ( a + b 2 ) 2 .(a + b) 2 ≥ 4ab.a 2 + b 2 ≥ (a + b) 2 2 6 • Trường hợp n=3, Ta có bất đẳng thức AM-GM cho ba số không âm như sau: Nếu a,b,c là các số thực không âm thì ta có: a + b + c 3 ≥ 3 √ abc Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c. Trong thực tế ta còn sử dụng một dạng khác tương đương với bất đẳng thức này là: abc ≤ ( a + b + c 3 ) 3 • Với mọi số thực a,b,c ta luôn có: a. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca b. a 2 + b 2 + c 2 ≥ (a+b+c) 2 3 c. (a + b + c) 2 ≥ 3(ab + bc + ca) d. a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc(a + b + c) e. (ab + bc + ca) 2 ≥ 3abc(a + b + c) 1.3 Bất đẳng thức AM-GM suy rộng Định lý 1.2. (Bất đẳng thức AM-GM suy rộng)Với các số thực dương x 1 , x 2 , , x n và p 1 , p 2 , , p n là các số thực không âm có tổng bằng 1 ta có: x 1 p 1 + x 2 p 2 + + x n p n ≥ x p 1 1 x p 2 2 x p n n (1.2) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi p 1 = p 2 = = p n . * Chứng minh: Phương pháp chứng minh sử dụng quy nạp Cauchy hoàn toàn tương tự như với bất đẳng thức AM thông thường. Tuy nhiên, trong trường hợp n = 2 chúng ta cần một lời giải chi tiết hơn. Ta phải chứng minh nếu x+y=1 và a, b, x, y là các số dương thì ax + by ≥ a x b y 7 Cách đơn giản nhất đối với bất đẳng thức này là xét với số hữu tỉ rồi chuyển qua giới hạn. Hiển nhiên nếu x,y hữu tỉ thì bài toán được chứng minh theo bất đẳng thức AM thông thường. ma + nb ≥ (m + n)a m m+n b n m+n ⇒ ax + by ≥ a x b y , Trong đó x = m m+n , y = n m+n . Còn nếu x, y thì sẽ tồn tại dãy các số hữu tỉ r n → x, s n → y, r n + s n = 1 và như vậy ar n + bs n ≥ a r n b s n ⇔ ar n + b(1 − r n ) ≥ a r n b 1−r n Chuyển qua giới hạn khi n → +∞ ta được ax + by ≥ a x b y . Đây chính là điều phải chứng minh. Độ lệch giữa trung bình cộng và trung bình nhân được mô tả như sau: Định lý 1.3. Với mọi số thực dương a 1 , a 2 , , a n ta luôn có: a 1 + a 2 + + a n n − n √ a 1 a 2 a n ≥ 1 n ( √ a 1 − √ a n ) 2 . 8 Chương 2 Một số kĩ thuật vận dụng bất đẳng thức AM-GM 2.1 Những kĩ năng cơ bản Để sử dụng thành công bất đẳng thức AM-GM. Đầu tiên, bạn cần phải trang bị cho mình đầy đủ công cụ cơ bản (gồm những dạng thường gặp AM-GM) Sau đó là rèn luyện cho mình cách nhìn tổng quát từng lớp bài toán cũng như những phương pháp những kĩ thuật cụ thể cho từng dạng Bài toán 2.1. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh: xy(x 2 + y 2 ) ≤ 2 Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng ab ≤ (a+b) 2 4 , ta có: xy(x 2 + y 2 ) = 1 2 (2xy)(x 2 + y 2 ) ≤ (2xy + x 2 + y 2 ) 2 2.4 = (x + y) 4 8 = 2 Do đó, xy(x 2 + y 2 ) ≤ 2 Bài toán 2.2. (India MO 2003)Cho x,y là hai số thực thỏa mãn x+y = 2. Chứng minh: x 3 y 3 (x 3 + y 3 ) ≤ 2 9 Giải: Do x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 ) nên bài toán ta quy về chứng minh: x 3 y 3 (x 2 − xy + y 2 ) ≤ 1 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho bộ bốn số abcd ≤ ( a + b + c + d 4 ) 4 ta có x 3 y 3 (x 2 − xy + y 2 ) = (xy)(xy)(xy)(x 2 − xy + y 2 ) ≤ ( xy + xy + xy + x 2 − xy + y 2 4 ) 4 = ( (x + y) 2 4 ) 4 = 1 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi xy = x 2 − xy + y 2 ⇔ x = y = 1 *Nhận xét: Từ hai bài toán trên, ta có bài toán tổng quát sau: Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 2 và hằng số k ∈ Z + . Chứng minh rằng: x k y k (x k + y k ) ≤ 2. Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng phương pháp quy nạp toán học. Bài toán 2.3. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta luôn có: 1 a + 1 b + 1 c ≥ 9 a + b + c Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số: (a + b + c)( 1 a + 1 b + 1 c ) ≥ 3 3 √ abc 3 3 √ abc = 9 Vậy điều phải chứng minh. Bất đẳng thức tổng quát hơn được chứng minh hoàn toàn tương tự 1 a 1 + 1 a 2 + + 1 a n ≥ n 2 a 1 + a 2 + + a n . 2.2 Kĩ thuật chọn điểm rơi Trong bất đẳng thức, "Kĩ thuật chọn điểm rơi" là một kĩ thuật quan trọng. Ý tưởng là xác định được dấu của đẳng thức xảy ra khi nào để ta có thể sử dụng những đánh giá hợp lí. Chúng ta sẽ xét các bài toán sau để làm rõ hơn về kĩ thuật này. 10 [...]... tiếp bất đẳng thức AM-GM với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều a b c a b c 3 + + ≤ + + ≥ ?! 1 + b2 1 + c2 1 + a2 2b 2c 2a 2 Tuy nhiên, rất may mắn ta có thể dùng lại bất đẳng thức đó theo cách khác a ab2 ab =a− ≥a− 2 2 1+b 1+b 2 Ta đã sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số 1 + b2 ≥ 2b ở dưới mẫu nhưng lại có một bất đẳng thức thuận chiều? Sự may mắn ở đây là cách dùng ngược bất đẳng thức. .. bày một số bài tập vận dụng các kĩ thuật trên cùng kèm theo bài tập tự luyện (ở chương 3) Mặc dù, vấn đề bất đẳng thức chưa bao giờ là vấn đề đơn giản trong toán học nhưng qua môn học bất đẳng thức cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Tôi đã trang bị cho mình cũng được rất nhiều kĩ thuật giải quyết bài toán bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức có thể vận dụng được bất. .. thức AM-GM, một kĩ thuật rất ấn tượng và bất ngờ Nếu không sử dụng phương pháp này sẽ rất khó giải quyết Từ bất đẳng thức trên, xây dựng 2 bất đẳng thức tương tự với b, c rồi cộng cả ba bất đẳng thức lại suy ra a b c ab + bc + ca 3 + + ≥a+b+c− ≥ 1 + b 2 1 + c 2 1 + a2 2 2 Vì ta có ab + bc + ca ≤ 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Với cách làm trên có thể xây dựng một bất đẳng thức tương... Giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số a3 ab2 ab2 b =a− 2 ≥a− =a− a2 + b2 a + b2 2ab 2 ⇒ a3 b ≥a− a2 + b2 2 Tương tự c b3 ≥b− b2 + c2 2 c3 d ≥c− c2 + d2 2 d3 a ≥d− d2 + a2 2 Cộng các bất đẳng thức sau theo vế ta được điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d 18 Chương 3 Một số bài toán áp dụng bất đẳng thức AM-GM Bài toán 3.1 (IMO Shortlist 1990) Giả sử a,b,c,d là các số thực... mọi số thực dương a, b, c, d ta luôn có: a3 b3 c3 d3 a+b+c+d + 2 + 2 + 2 ≥ a2 + b2 b + c2 c + d2 d + a2 2 26 KẾT LUẬN Trong bài này, tôi đã cố gắng trình bày tương đối đầy đủ về kiến thức cơ bản của bất đẳng thức AM-GM (Ở chương 1) cùng với đó là nhiều kĩ thuật vận dụng nó vào việc giải toán như thế nào (ở chương 2) Qua đây tôi đã nói lên cách giải quyết một số bài toán có thể vận dụng được bất đẳng thức. .. minh: a + b ≥ 2 ab3 Tuy nhiên, bất đẳng thức không luôn đúng (chẳng hạn, a = 3 , b = 1) Vì 2 vậy ta sẽ sử dụng bài toán tổng quát với m = 3, n = 1, p = 0 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có: √ 4 a + b + b + b ≥ 4 ab3 √ 4 b + c + c + c ≥ 4 bc3 √ 4 c + a + a + a ≥ 4 ca3 Cộng các bất đẳng thức này theo vế rồi chia cho 4 ta được ngay điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b... b3 c3 + + ≥ + + b3 c3 a3 b c a Dấu "=" xảy ra khi a = b = c 2.5 Kĩ thuật AM-GM ngược dấu Cuối cùng ta xem xét bất đẳng thức AM-GM và một kĩ thuật đặc biệt kĩ thuật AM-GM ngược dấu Đây là một trong những kĩ thuật hay, khéo léo, mới mẽ và ấn tượng nhất trong bất đẳng thức AM-GM Ta xét các bài toán sau: 16 Bài toán 2.11 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng: b... chúc sức khỏe đến với thầy GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu 27 Tài liệu tham khảo [1] GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Bất đẳng thức- Định lí và áp dụng Nxb Giáo dục 2006 [2] GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu Bất đẳng thức -Một số vấn đề liên quan Nxb Giáo dục 2005 [3] Võ Quốc Bá Cẩn-Trần Quốc Anh Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức Nxb Đại học Sư phạm 2011 [4] www.VNMATH.COM [5] Tạp chí Toán học - Tuổi trẻ Nxb Giáo dục 28 ... Với mọi số thực dương a, b, c luôn có √ √ √ n n n a + b + c ≥ abn−1 + bcn−1 + can−1 14 2.4 Kĩ thuật thêm - bớt Nếu ở ba kĩ thuật đầu tiên, chúng ta đã được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào "bề ngoài" của một bài toán thì từ đây, ta sẽ bắt gặp những bất đẳng thức phong phú hơn, những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đọt phá ý tưởng Kĩ thuật thêm... như nhau) Do đó, sử dụng kĩ thuật ghép đối xứng ta thử chứng minh ab bc + ≥ 2b c a Thật vậy, bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM ab bc + ≥2 c a ab bc = 2b c a Từ đó bài toán được giải quyết hoàn toàn Chú ý rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài toán 2.8 Cho a,b,c là ba số không âm Chứng minh rằng: √ √ √ 4 4 4 a + b + c ≥ ab3 + bc3 + ca3 √ 4 Giải: Áp dụng ý tưởng ban