Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định Người viết: Nguyễn Quang Hoàng- THPT Vĩnh Định A. GIỚI THIỆU BÀI VIẾT. Dạy học các kiến thức mới cho học sinh, ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy- học thật hợp lí với mục tiêu chính là giúp cho HS nắm được các kiến thức trọng tâm của bài học. Thông qua đó, trang bị thêm cho học sinh các “công cụ để giải toán”. Qua bài học “Tính đơn điệu của hàm số”- Giải tích lớp 12 Nâng cao, tôi thấy rằng, bài học này có thể giúp cho HS làm quen và giải các dạng toán sau đây: 1. Xét tính đơn điệu của hàm số. 2. Chứng minh hàm số f(x) đã cho là đơn điệu trên một khoảng nào đó. 3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x;m) đơn điệu trên một khoảng K cho trước. 4. Vận dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh các bất đẳng thức một biến. Ngoài ra, ứng dụng của tính đơn điệu có thể phát huy tác dụng trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. Dạng toán này xuất hiện đầu tiên ở câu chốt KA 2010, và từ đó đến nay, các đề thi Đại học và thi thử Đại học cũng như các thầy cô và các bạn trẻ yêu toán đều sáng tạo và đưa ra nhiều bài tập rất hay và thú vị. Một số bài toán nếu không dùng đến công cụ tính đơn điệu thì e rằng các cách giải khác trở nên khó khăn hơn rất nhiều. Hi vọng qua bài giới thiệu này, quý thầy cố sẽ thấy được sự mạnh mẽ của đạo hàm trong các bài toán PT, BPT và HPT. Trong bài viết này, tôi giới thiệu về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải PT, BPT và HPT, mỗi dạng toán đều có ví dụ mẫu và PP chung để tìm đường lối giải. Hi vọng rằng tài liệu sẽ phần nào giúp cho HS bước đầu thấy được ứng dụng của đạo hàm trong đại số. B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG TOÁN. 1. Định lí cơ bản: (dùng cho trên đoạn) * “ Nếu hàm số   y f x liên tục trên   ;ab và có đạo hàm   / 0fx ( 0) trên khoảng   ;ab , f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số   y f x đồng biến (nghịch biến) trên   ;ab ”. * Hiển nhiên     / 0;f x x a b   thì f(x) không đổi trên   ;ab . * Nếu trên nửa khoảng thì định lí vẫn đúng, nếu trên khoảng thì không cần đk liên tục. (Hàm số đạo hàm trên khoảng thì liên tục trên khoảng ) 2. Hệ quả: Cho hàm số f(x) là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K (K là kí hiệu chung cho đoạn, khoảng, nửa khoảng), khi đó: 2.1) Phương trình ()f x a có nhiều nhất một nghiệm trên K. (Dùng giải PT bằng PP đạo hàm) 2.2) Nếu f(u) = f(v) với ;u v K thì u = v (Dùng cho giải HPT bằng đạo hàm) 2.3) Nếu f(x) đồng biến thì ( ) ( )f u f v u v   ; Nếu f(x) nghịch biến thì ( ) ( )f u f v u v   (Dùng cho giải BPT bằng đạo hàm) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO VIỆC GIẢI PT- BPT-HPT Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 3. Bài tập vận dụng: 3.1. Ứng dụng giải phương trình. 3.1.1. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) 2 4 1 4 1 1   xx b) 3 sin 2 sin 1   xx c) 3 1 4 5    x x x d) 22 1 1 1 1        x x x x x x Hướng dẫn giải: a) 2 4 1 4 1 1   xx Điều kiện: 2 4 1 0 4 1 0      x x 1 2 x Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số 2 4 1 4 1   y x x và 1y . Xét hàm số 2 4 1 4 1   y x x . Miền xác định: 1 ; 2       D . Minh họa đồ thị Đạo hàm / 2 2 4 1 0 2 41 41        x yx x x . Do hàm số liên tục trên 1 ; 2      nên hàm số đồng biến trên 1 ; 2      . Dễ thấy 1 2 x thỏa (1). Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 1 2 x . b) 3 sin 2 sin 1   xx . TXĐ: DR . Đặt sintx , điều kiện 1t x y O 1 2 1 Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định Khi đó phương trình có dạng : 3 2 1   tt 3 1 2    tt (2) Dễ thấy: + Hàm số ( ) 3f t t là hàm đồng biến trên   1;1D + Hàm số ( ) 1 2  g t t là hàm nghịch biến trên   1;1D Từ (*) suy ra : ( ) ( )f t g t nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Ta thấy 1t là thỏa phương trình (2), do đó: sin 1 2 2      x x k c) 3 1 4 5    x x x (3) TXĐ:   1;D   . Xét hàm số ( ) 1f x x có / 1 ( ) 0 1 21      f x x x nên hàm số đồng biến trên   1;  Và hàm số 3 ( ) 4 5   g x x x . Đạo hàm : /2 3 4 0      y x x D hàm số nghịch biến trên D . Phương trình (3) có dạng ( ) ( )f x g x . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy 1x thoả mãn phương trình. Vậy phương trình có nghiệm 1x . d) 22 1 1 1 1        x x x x x x Điều kiện: 2 2 10 1 1 0               x x x x x x 2 2 1 11                x x x x x x + Với 2 2 22 0 10 1 0 1                           x xx x x x x x x x 0 0         x x x + Với 2 2 22 10 10 11 10 1 2 1                                  x xx x x x x x x x x 1 1         x x x . Vậy DR Biến đổi phương trình về dạng : 22 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1          x x x x x x Nguyn Quang Hong- T Toỏn- THPT Vnh nh 22 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 x x x x x x x x (4) Xột hm s 2 ( ) 1 f t t t t . Min xỏc nh DR o hm : / 2 2 / 2 2 2 1 2 1 2 1 () 2 1 4 1. 1 t t t t t t ft t t t t t t t t Nhn xột : 2 2 2 2 1 2 1 4 4 4 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0 t t t t t t t t t t / ( ) 0 f x x hm s ng bin trờn D. Khi ú: (*) ( ) ( 1) 1 f x f x x x vụ nghim. Vy phng trỡnh ó cho vụ nghim. 3.1.2. S lc v PP gii. Dng 1: 0Dạng ( ) , với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D. F x F x Bc 1: a phng trỡnh (1) v dng: ()Fx 0 Bc 2: Xột hm s ()y F x Ch rừ hm s ()y F x ng bin hay nghch bin trờn D. Bc 3: oỏn c Fx 0 0 . Lỳc ú phng trỡnh (1) cú nghim duy nht 0 xx . Dng 2: ( ) đồng biến trên D Phơng trình (1) có: hoặc ngợc lại ( ) nghịch biến trên D Fx Gx Bc 1: a phng trỡnh (1) v dng : ( ) ( )F x G x (1) Bc 2: Xột hai hm s ()y f x v ()y g x Ch rừ hm s ()y F x l hm ng bin (nghch bin) v ()y G x l hm nghch bin (ng bin) Bc 3: oỏn c F x G x 00 . Lỳc ú phng trỡnh (1) cú nghim duy nht 0 xx . Dng 3: Dạng phơng trình ( ) ( ) (*), với ( ) hoặc đồng biến,F u F v F x hoặc nghịch biến trên ; . Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất a b u v Bc 1: a phng trỡnh v dng ( ) ( )F u F v (1) Bc 2: Xột hm s: ()y F t . Ch rừ hm s ng bin hay nghch bin trờn ;ab . Bc 3: Khi ú: ( ) ( ) F u F v u v Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 3.1.3. Bài tập vận dụng. Giải các phương trình sau: 68 1) 3 14 32xx   3 3 2) x +1=2 2 1x 32 3 3) 8x - 36x + 53x - 25 = 3 5x 32 3 4) x - 15x + 78x - 144 = 5 2 9x  32 3 5) 27x - 27x + 13x - 2 = 2 2 1x   32 6) x +3x + 4x +2 = 3 2 3 1xx 7) 2 4 2 1 2 1 1 2 3x x x x x        3.2. Ứng dụng giải bất phương trình. 3.2.1. Ví dụ: Giải các bất phương trình sau: a) 9 2 4 5   xx b) 22 2 3 6 11 3 1        x x x x x x Hướng dẫn giải: a) 9 2 4 5   xx (1). Điều kiện: 90 2 2 4 0         x x x Xét hàm số ( ) 9 2 4    y f x x x . Miền xác định :   2;  D Đạo hàm / 11 ( ) 0 2 2 9 2 4        f x x xx . Suy ra hàm số đồng biến trên D . Để ý rằng: (0) 5f , do đó: + Nếu 0x thì ( ) (0) 9 2 4 5     f x f x x , nên 0x là nghiệm bpt. + Nếu 20  x thì ( ) (5) 9 2 4 5     f x f x x nên 20  x không là nghiêm bpt. Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là   0;T   . b) 22 2 3 6 11 3 1        x x x x x x (2) Điều kiện: 2 2 2 3 0 6 11 0 13 30 10                   xx xx x x x (*) Biến đổi bất phương trình: 22 2 3 1 6 11 3         x x x x x x 22 ( 1) 2 1 (3 ) 2 3         x x x x (3) Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định Xét hàm số 2 ( ) 2  f t t t . Ta thấy hàm số đồng biến trên   1;3 Từ (3) ta có ( 1) (3 ) 1 3 2        f x f x x x x Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là   2;3T  . 3.2.2. Sơ lược về PP giải. Dùng tương tự như giải PT, chú ý tính đồng biến nghịch biến của hàm số để lấy dấu bất phương trình. 3.2.3. Bài tập vận dụng. Giải các bất phương trình sau: 1) 1 3 4xx    2) 5 1 3 4xx    5 3) 3 3 2 2 6 21 xx x      3 4) 8 2 ( 2) 1x x x x    3.3. Ứng dụng giải hệ phương trình. 3.3.1. Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: a)   3 4 11 1           x y x xy b) 2 2 3 2 3 3 2 3              x x y y y x c)       32 32 32 3 3 ln 1 3 3 ln 1 3 3 ln 1                          x x x x y y y y y z z z z z x Hướng dẫn giải: a)   3 4 11 1           x y x xy (I) . Điều kiện: 1 0 1 00           xx yy Ta có (I)     2 3 4 1 1 1 1             x x x xy Từ phương trình :   2 3 1 1 1    x x x 32 1 2 2      x x x x (1) Ta thấy hàm số ( ) 1f x x là hàm đồng biến trên   1;  Xét hàm số 32 ( ) 2 2    g x x x x . Miền xác định:   1; D Đạo hàm /2 ( ) 3 2 2 0       g x x x x D . Suy ra hàm số nghich biến trên D. Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định Từ (1) ta thấy 1x là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm   1;0 . b) 2 2 3 2 3 3 2 3              x x y y y x (II). Điều kiện: 0 0      x y Ta có (II) 2 2 3 2 3 3 3 2               x x y x y y Cộng vế theo vế ta có: 22 3 3 3 3 3 3      x x y y (2) Xét hàm số 2 ( ) 3 3 3   f t t t . Miền xác định:   1; D Đạo hàm: / 2 3 ( ) 1 0 2 3        t f t x D t t . Suy ra hàm số đồng biến trên D. Từ (*) ta có ( ) ( )  f x f y x y Lúc đó: 2 33  xx (3) + VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D. + VP (3) là hàm hằng trên D. Ta thấy 1x là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy ra phương trình có nghiệm 1x là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm   1;1 c)       32 32 32 3 3 ln 1 3 3 ln 1 3 3 ln 1                          x x x x y y y y y z z z z z x Xét hàm số   32 ( ) 3 3 ln 1     f t t t t t Lúc đó hệ có dạng: () () ()         f x y f y z f z x . Miền xác định: DR Đạo hàm : /2 2 21 ( ) 3 3 0 21         t f x t x R tt . Suy ra hàm số đồng biến trên D Ta giả sử   ;;x y z là nghiệm của hệ và   max , ,x x y z khi đó ta suy ra: Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định ( ) ( ) ( ) ( )      y f x f y z z f y f z x . Vậy      x y z x x y z . Thay vào hệ ta có :   32 3 3 ln 1     x x x x x   32 2 3 ln 1 0      x x x x (3) Ta thấy 1x là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R) Vậy hệ có nghiệm   1;1;1 3.3.2. Các bước giải như sau: Bước 1. Đặt điều kiện cho PT và chặn miền biến của biến nếu được. Bước 2: Biến đổi một về hoặc phối hợp cả hai vế của HPT để làm xuất hiện hàm số đặc trưng. Bước 3: Xét hàm số đặc trưng f(t) (trên TXĐ; trên miền biến chặn được) và chứng minh rằng hàm số f(t) đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng đang xét. Bước 4: Vận dụng kiến thức 2.2 để giải; sau khi dùng hàm số, ta thu được một PT mới. PT này có thể giải tiếp bằng PP hàm số, PP lượng liên hợp, lượng giác hóa, đặt nhân tử chung hoặc đặt ẩn phụ đưa về PT đa thức,… 3.3.3. Bài tập vận dụng. Giải các hệ phương trình sau. 5 4 10 6 2 1) 4 5 8 6 x xy y y xy             3 3 2 2 3 4 2 2) 1 2 1 y y x x x x y y                33 84 55 3) 1 x x y y xy              22 2 1 1 1 4) 4 2 22 3 8 x x y y x x y                3 2 2 2 2 2 (4 y 1) 2(x 1) 6 5) (2 2 4 1) 1 xx x y y x x               32 3 2 3 2 5 3 3 10 6 6) 6 13 10 x y x y x x y x x x y y                    3 3 (2 3 ) 1 7) (y 2) 3 xy x        2 2 2 2 2 (x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2 8) 4 2 16 3 8x y x                  3 3 2 3 7 3 ( ) 12 6 1 9) 4 1 3 2 4 x y xy x y x x x y x y                 2 22 (4x 1)x (y 3) 5 2 0 10) KA2010 4 2 3 4 7 y x y x               3 2 3 2 22 3 9 22 3 9 11) KA2012 1 2 x x x y y y x y x y                3 2 2 2 2 2 2 1 3 1 12) 5 2 12 7 19 5 y x x x y x y x x y y                  Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định                3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 13) 1 3 2 0 x y y x x x y y              22 22 91 2 91 2 x y y y x x                        2 17 3 5 3 14 4 0 15) 2 2 5 3 3 2 11 6 13 x x y y x y x y x x             2 2 4 2 2 ( ) ( 1) 16) 4 5 8 6 x x y y y xy 2 2 2 2 2 7 2 1 10 8 17) 4 5 1 1 4 5 x x y x y y x y x y y                                 4 3 ( 1) 18) 18 xy x y x                      3 3 2 2 2 ln 1 ln 1 19) ( 1) (2 ) 2 3 x y x x y y x x y y y             3 3 2 2 3( ) 2 3( ) 20) ( 2)(y 2) 4 x y x y x y xy x 22 22 2 2 2 2 1 21) 2 2 2 0 x x x y y y x y x y                  42 3 2 3 ( 2) y 4 0 22) 3 4 2(4y y 1) y x x x x x                22 22 2 (x 3) y(y 3) 3 ( ) 23) (x 2) 4(2 ) x xy x y y              `        33 66 33 24) 1 x x y y xy 22 22 2014 11 25) 2014 11 xy xy xy xy            22 22 2 5 3 4 26) 3 3 1 0 y y y x x y x y x                 22 ( 1) 5 5 27) 4 5 (2 ) 1 x y x y y x x x y                4 4 22 1 1 2 28) KA2013 2 ( 1) 6 1 0 x x y y x x y y y                  Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định . mạnh mẽ của đạo hàm trong các bài toán PT, BPT và HPT. Trong bài viết này, tôi giới thi u về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải PT, BPT và HPT, mỗi dạng toán đều có ví dụ mẫu và PP chung.   (Dùng cho giải BPT bằng đạo hàm) ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO VIỆC GIẢI PT- BPT- HPT Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 3. Bài tập vận dụng: 3.1. Ứng dụng giải phương trình phương trình. Dạng toán này xuất hiện đầu tiên ở câu chốt KA 2010, và từ đó đến nay, các đề thi Đại học và thi thử Đại học cũng như các thầy cô và các bạn trẻ yêu toán đều sáng tạo và đưa ra nhiều