LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN I/ ĐẠI SỐ: 1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai 2 2 ( ) ( 0; , ; ; ; 4 ) f x ax bx c b a R S b ac a α β α β = + + ≠ ∈ < = − ∆ = − 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 / ( ) 0, 0 0 / ( ) 0, 0 / ( ) 0 0 / ( ) 0 0 2 0 / ( ) 0 0 2 0 / ( ) 0 ( ) 0 / ( ) 0 / a f x x R a b f x x R a c x x af d x x af S e x x af S x x f x x af af g x x af h x α α α α α α α α α α α α α β β α β ∆ ≤  ≥ ∀ ∈ ⇔  >  ∆ ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔  <  < < ⇔ <   ∆ >  < < ⇔ >    − >    ∆ >  < < ⇔ >    − <  < < ∆ >   ⇔   < < >   <  < < < ⇔  >  < < < 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 / ( ) 0 / ( ). ( ) 0 af x af af i x x af x x j f f x x α β α α β β α β α β α β <  ⇔  <  >  < < < ⇔  <  < < <  ⇔ <  < < <  1 2 0 ( ) 0 / ( ) 0 0 2 0 2 af k x x af S S α α β β α β    ∆ >  >   < < < ⇔ >    − >   − <   2. Bất đẳng thức: Các tính chất của bất đẳng thức: * 3 3 * * 0 * 0 * * * 0 * 0 0 * * 0 * n n a b a c b c a b a c b c c ac bc a b c ac bc a b a b a c b d c d a c b a b c a b ac bd c d a b a b n N a b a b a b a b >  ⇔ >  >  > ⇔ + > + >  ⇔ >  >  <  ⇔ <  >  >  ⇒ + > +  >  + > ⇔ > − > ≥  ⇒ >  > ≥  > ≥  ⇒ >  ∈  > ≥ ⇔ > > ⇔ > Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối: ( ) 0 ( , ) a a a a R x a a x a a x a x a x a a b a b a b a b R − ≤ ≤ ∀ ∈ ≤ ⇔ − ≤ ≤ > > ⇔ < − ∪ > − < + < + ∈ Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không âm): * 2 a b ab + ≥ dấu “=” xảy ra khi a = b * 3 3 a b c abc + + ≥ dấu “=” xảy ra khi a= b= c Trang 1/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực): 2 2 2 2 * ( )( )ab cd a c b d+ ≤ + + Dấu “=” xảy ra khi ad= bc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 *a b a b c b a a a b b b+ + ≤ + + + + Dấu “=” xảy ra khi 3 1 2 1 2 3 a a a b b b = = 3. Cấp số cộng: a/Đònh nghóa: Dãy số u 1 , u 2 …….,u n ,……. Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu 1n n u u d − = + b/Số hạng thứ n: 1 ( 1) n u u n d= + − c/Tổng của n số hạng đầu tiên: 1 1 ( ) [2 ( ) ] 2 2 n n n n S u u u n d= + = + − 4. Cấp số nhân: a/Đònh nghóa: Dãy số u 1 , u 2 …….,u n ,……. Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu 1 . n n u u q − = b/Số hạng thứ n: 1 1 . n n u u q − = c/Tổng của n số hạng đầu tiên: 1 1 ( 1) 1 n n q S u q q − = ≠ − Nếu 1 1 1 lim 1 n n u q S q →∞ − < < ⇒ = − 5. Phương trình, bất phương trình chứa giá trò tuyệt đối: 2 2 * 0 * * * * A B A B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B = ⇔ = ± ≥  = ⇔  = ±  <  < ⇔  > −  < ⇔ < >  > ⇔  < −  6. Phương trình , bất phương trình chứa căn thức: 2 2 2 0 ( 0) * 0 * 0 * 0 * 0 0 0 * 0 A B A B A B B A B A B A A B A B A A B B A B B A A B B A B ≥ ≥  = ⇔  =  ≥  = ⇔  =  ≥  < ⇔  <   ≥  < ⇔ >   <   <    ≥   > ⇔  ≥    >    7. Phương trình, bất phương trình logarit: [ ] 0 1 *log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0) f(x)=g(x) 0 1 ( ) 0 *log ( ) log ( ) ( ) 0 ( 1) ( ) ( ) 0 a a a a a f x g x f x g x a f x f x g x g x a f x g x < ≠   = ⇔ > >    < ≠   >  > ⇔  >   − − >  8. Phương trình , bất phương trình mũ: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) * 1 / ( ), ( ) 0 * ( 1) ( ) ( ) 0 f x g x f x g x a f x g x a a a f x g x a a a a f x g x  < ≠    =   = ⇔  =    ∃    >   > ⇔  − − >   Trang 2/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng 9. Lũy thừa: . . * . . * *( ) * * * ( . ) 1 * * k n m n m k k n m a a a a a a a a a a a a a b b a b a b a a a a a α β γ α β γ α α β β α β αβ α β α β α α α α α α α α + + − − = = = =   =  ÷   = = = = 10. Logarit:0<N 1 , N 2 , N và 0 , 1a b< ≠ ta có: 2 1 log log log 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 *log *log * * *log ( ) log log *log log log *log log 1 *log log log *log log 1 *log log a a a M a M a N N N a a a a a a a a a a b a b a b N M N a a M a N N N N N N N N N N N N N N N N N a b a α α α α = ⇔ = = = = = +   = −  ÷   = = = = II. LƯNG GIÁC: A.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC 1. Hệ thức cơ bản: 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 sin cos cos cot sin .cot 1 1 1 cos 1 1 cot sin x x x tgx x x gx x tgx gx tg x x g x x + = = = = + = + = 2. Cung liên kết: Cung đối: cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot x x x x tg x tgx g x gx − = − = − − = − − = − Cung bù: sin( ) sin cos( ) cos ( ) cot ( ) x x x x tg x tgx g x tgx π π π π − = − = − − = − − = − Cung phụ: sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 ( ) cot 2 cot ( ) 2 x x x x tg x gx g x tgx π π π π − = − = − = − = Cung hơn kém π : sin( ) sin cos( ) cos ( ) cot ( ) cot x x x x tg x tgx g x gx π π π π + = − + = − + = + = Trang 3/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng Cung hơn kém 2 π sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 ( ) cot 2 cot ( ) 2 x x x x tg x gx g x tgx π π π π + = + = − + = − + = − 3. Công thức cộng: sin( ) sin cos sin cos ( ) cos cos sin sin ( ) 1 x y x y y x cox x y x y x y tgx tgy tg x y tgxtgy ± = ± ± = ± ± = m m 4. Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 2sin cos cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin 2 2 1 1 cos2 cos 2 1 cos 2 sin 2 x x x x x x x x tgx tg x tg x x x x x = = − = − = − = − + = − = 5. Công thức nhân ba: 3 3 3 2 3 3 sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos 3 3 1 3 3cos cos3 cos 4 3sin sin3 sin 4 x x x x x x tgx tg x tg x tg x x x x x x x = − = − − = − + = − = 6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo 2 x t tg= 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 1 t x t t x t t tgx t = + − = + = − 7. Công thức biến đổi: a/Tích thành tổng: [ ] [ ] [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y = − + + = − − + = − + + b/Tổng thành tích: cos cos 2cos cos 2 2 cos cos 2sin sin 2 2 sin sin 2sin cos 2 2 sin sin 2cos sin 2 2 sin( ) cos cos sin( ) cos cos sin( ) cot cot sin sin sin( ) cot cot sin x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y tgx tgy x y x y tgx tgy x y x y gx gy x y x y gx gy + − + = + − − = − + − + = + − − = + + = − − = + + = − − = sinx y Đặc biệt: 2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 sin cos 2 sin( ) 2 cos( ) 4 4 1 sin 2 (sin cos ) x x x x x x x x x x x π π π π + = + = − − = − = − + ± = ± II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC: Trang 4/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng 1. Phương trình cơ bản: ( ) 2 / sin sin k Z 2 sin 1 2 2 sin 1 2 2 sin 0 2 / cos cos (k Z) 2 cos 1 2 cos 1 2 cos 0 2 / ( ) / cot cot x u k a x u x x k x x k x x k x x k x u k b x u x u k x x k x x k x x k c tgx tgu x u k k Z d gx gu x u k π π π π π π π π π π π π π π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  = ⇔ = + = − ⇔ = − + = ⇔ = = +  = ⇔ ∈  = − +  = ⇔ = + = − ⇔ = + = ⇔ = = ⇔ = + ∈ = ⇔ = + ( )k Z π ∈ 2. Phương trình bậc n theo một hàm số lượng giác: Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx, cotgx) ta chuyển về phương trình: 1 1 0 0 n n n n a t a t a − − + + + = Chú ý: nếu đặt t = sinx hoặc cosx thí chú ý điều kiện 1 1t− ≤ ≤ 3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx: sin cosa x b x c + = Điều kiện để có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ Cách giải: Chia hai vế cho 2 2 a b+ và sau đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: 2 2 sin sin cos cos 0a x b x x c x d+ + + = Cách giải: *Xét cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + có là nghiệmkhông? *Xét cos 0x ≠ chia 2 vế chia cho cos 2 x và đặt t= tgx Chú ý: 2 2 1 (1 ) cos d d tg x x = + 5. Phương trình dạng: .(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c± + + = Cách giải: Đặt 2 2 sin cos 2 sin( ) 2 2 4 1 1 sin .cos (sin .cos ) 2 2 t x x x t t t x x x x π = ± = ± ⇒ − ≤ ≤ − − ⇒ = = và giải phương trình bậc hai theo t III. Hệ thức lượng trong tam giác: 1. Đònh lý cosin: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 a b c bc A b a c ac B c a b ab C b c a A bc a c b B ac a b c C ab = + − = + − = + − + − = + − = + − = 2. Đònh lý hàm số sin: 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c a m a c b m a b c m + = − + = − + = − 4. Công thức độ dài đường phân giác trong: 2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 a b c A bc l b c B ac l a c C ab l a b = + = + = + Trang 5/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng 5. Công thức tính diện tích tam giác: 1 1 1 . . . 2 2 2 1 1 1 .sin .sin .sin 2 2 2 . 4 ( )( )( ) a b c S a h b h c h S bc A ab C ac B abc S p r R S p p a p b p c = = = = = = = = = − − − III. ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN: 1. Đạo hàm các hàm số thường gặp: 1 2 2 2 1/( )' . 1 2 /( )' 2 1 1 3/ ' 4 /(sin )' cos 5/(cos )' sin 1 6 /( )' cos 1 7 /(cot ) ' sin 8/( )' 9 /( )' ln 1 10 /(ln )' 1 11/(log )' .ln x x x x a x x x x x x x x x x tgx x gx x e e a a a x x x x a α α α − = =   = −  ÷   = = − = = − = = = = 1 2 2 2 12 /( )' . . ' ' 13/( )' 2 1 ' 14 / ' 15/(sin ) ' '.cos 16 /(cos )' '.sin ' 17 /( )' cos ' 18/(cot )' sin 19 /( )' ' 20 /( )' ' ln ' 21/(ln )' ' 22 /(log )' .ln u u u u a u u u u u u u u u u u u u u u u tgu u u gu u e u e a u a a u u u u u u a α α α − = =   = −  ÷   = = − = = − = = = = 2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp: 1 2 ( 1) 1 ln 1 x x dx x C x x dx C dx x C x dx C x x e dx e C α α α α + = + = + ≠ + = + = − + = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 ln cos sin sin cos cos cot sin x x a a dx C a xdx x C xdx x C dx tgx C x dx gx C x = + = + = − + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chú ý: 1 ( ) ( )f ax b dx F ax b C a + = + + ∫ 3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay: -Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng. -Chọn công thức tính diện tích: ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b S f x g x dx S f y g y dy = − = − ∫ ∫ -Chọn công thức tính thể tích: *Hình phẳng quay quanh trục Ox: 2 2 ( ) ( ) a b V f x g x dx π = − ∫ *Hình phẳng quay quanh trục Oy: 2 2 ( ) ( ) a b V f y g y dy π = − ∫ -Biến x thì cận là x= a; x=b là hoành độ các giao điểm. Biến y thì cận là y= a; y=b là tung độ các giao điểm. IV. HÌNH HỌC: PHÉP DỜI HÌNH • Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác đònh được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó. PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH • Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến theo vectơ u r là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho ' .MM u= uuuuur r Phép tònh tiến theo vectơ u r thường được ký hiệu là T hoặc u T r . Vectơ u r được gọi là vectơ tònh tiến. • Tính chất của phép tònh tiến: Đònh lý 1: Nếu phép tònh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ = MN Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không Trang 6/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng làm thay đổi thứ tự ba điểm đó Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng nó. • Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép tònh tiến theo vectơ u r . Biết tọa độ của u r là (a,b). Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có: ' ' x x a y y b = +   = +  • Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép biến hình không là thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính , biến góc thành góc bằng nó. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC • Đònh nghóa phép đối xứng trục: Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép phép biến hình mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a • Đònh lý: Phép đối xứng trục là một phép dời hình • Biểu thức tọa độ: Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có: ' ' x x y y =   = −  Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có: ' ' x x y y = −   =  • Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối Đ d biến H thành chính nó, tức là Đ d (H) = H PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM • Đònh nghóa phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O cố đònh và góc lượng giác ϕ không đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và ( , ')OM OM ϕ = được gọi là phép quay tâm O góc quay ϕ . • Đònh lý: Phép quay là một phép dời hình • Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghóa là ' 0OM OM+ = uuuur uuuuur r • Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b). Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó ta có: ' 2 ' 2 x a x y b y = −   = −  • Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm Đ o biến hình H thành chính nó, tức là Đ o (H) = H HAI HÌNH BẰNG NHAU: • Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Trang 7/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng HÌNH HỌC GIẢI TÍCH: I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: 1/ Tọa độ của vectơ: Các công thức cần nhớ * ( , ) B A B A AB x x y y= − − uuur *Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k: MA k MB = uuur ( 1k ≠ ) Tọa độ điểm M được xác đònh bởi: 1 1 A B M A B M x kx x k M y ky y k −  =   −  −  =  −  *Điểm I là trung điểm của AB: Tọa độ điểm I được xác đònh bởi: 2 2 A B I A B I x x x I y y y +  =    +  =   *Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC: Tọa độ điểm G được xác đònh bởi: 3 3 A B C G A B C G x x x x G y y y y + +  =    + +  =   *Cho tam giác ABC có 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ; ), ( ; ) 1 2 ABC AB a a AC b b S a b a b ∆ = = ⇒ = − uuur uuur 2/ Đường thẳng: a/Phương trình đường thẳng ∆ : -Phương trình tổng quát: 0Ax By C+ + = Vectơ pháp tuyến 2 2 ( ; ); 0n A B A B= + ≠ r -Phương trình tham số: 0 0 x x at t R y y bt = +  ∈  = +  Vectơ chỉ phương ( ; )u a b= r và qua điểm M(x 0 ; y 0 ) -Phương trình chính tắc: 0 0 x x y y a b − − = -Phương trình đoạn chắn: 1 x y a b + = ∆ qua A( a; 0) ; B(0; b) b/ Góc tạo bởi hai đường thẳng: 0 ' ' ' 0 Ax By C A x B y C + + = + + = 2 2 2 2 . ' . ' . ' ' A A B B Cos A B A B ϕ + = + + c/Khoảng cách từ một điểm 0 0 ( ; )M x y đến đường thẳng: 0 0 / 2 2 M Ax By C d A B ∆ + + = + d/Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: 2 2 2 2 ' ' ' ' ' AX By C A x B y C A B A B + + + + = ± + + e/Xác đònh phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài Hai điểm M(x 1 ; y 1 ) và M’(x 2 ; y 2 ) nằm cùng phía so với ∆ 1 2 . 0t t⇔ > Hai điểm M(x 1 ; y 1 ) và M’(x 2 ; y 2 ) nằm khác phía so với ∆ 1 2 . 0t t⇔ < 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 ' ' ' ( ; ) ' ' Ax By C A x B y C t t A B A B + + + + = = + + 3/Đường tròn: Phương trình đường tròn: -Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R ( ) ( ) 2 2 2 x a y b R− + − = -Dạng 2: Phương trình có dạng 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = Với điều kiện 2 2 0a b c+ − > là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính 2 2 R a b c= + − -Phương tích của một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) đối với một đường tròn: 2 2 /( ) 0 0 0 0 2 2 M C P x y ax by c= + − − + 4/Elip: -Phương trình chinh tắc Elip (E) 2 2 2 2 1 x y a b + = 2 2 2 ( );a b c a b> = − -Tiêu điểm: F 1 (-c; 0) , F 2 (c; 0) -Đỉnh trục lớn: A 1 (-a; 0) , A 2 (a; 0) -Đỉnh trục nhỏ: B 1 (0; -b) , B 2 (0; b) -Tâm sai : 1 c e a = < Trang 8/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng -Phương trình đường chuẩn: a x e = ± -Bán kính qua tiêu: 1 2 M M MF a ex MF a ex = + = − -Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M 0 ( x 0 ; y 0 ) ( )E∈ 0 0 2 2 1 x x y y a b + = -Điều kiện tiếp xúc của (E): 2 2 2 2 1 x y a b + = và ∆ : 0Ax By C+ + = là: 2 2 2 2 2 A a B b C+ = 5/Hypebol: a/ Phương trình chinh tắc Elip (E) 2 2 2 2 1 x y a b − = 2 2 2 c a b= + -Tiêu điểm: F 1 (-c; 0) , F 2 (c; 0) -Đỉnh: A 1 (-a; 0) , A 2 (a; 0) -Tâm sai : 1 c e a = > -Phương trình đường chuẩn: a x e = ± -Phương trình tiệm cận: b y x a = ± -Bán kính qua tiêu: 1 2 M M MF ex a MF ex a = + = − -Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M 0 ( x 0 ; y 0 ) ( )E∈ 0 0 2 2 1 x x y y a b − = -Điều kiện tiếp xúc của (E): 2 2 2 2 1 x y a b − = và ∆ : 0Ax By C+ + = là: 2 2 2 2 2 A a B b C− = 6/ Parabol: -Phương trình chính tắc của Parabol: 2 ( ) : 2P y px= -Tiêu điểm: ( ;0) 2 p F -Phương trình đường chuẩn: 2 p x = − -Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x 0 ; y 0 ) ( )P∈ : 0 0 ( )y y p x x= + -Điều kiện tiếp xúc của (P) và ( ) ∆ : 0Ax By C+ + = 2 2AC B p= II. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN: 1/ Tích có hướng của hai vectơ: a/Đònh nghóa: cho hai vectơ ( ; ; ) ( '; '; ') u x y z v x y z = = r r , ; ; ' ' ' ' ' ' y z z x x y u v y z z x x y     =  ÷     r r Các ứng dụng: - ,u v r r cùng phương , 0u v   ⇔ =   r r r - , ,u v w r r ur đồng phẳng , . 0u v w   ⇔ =   r r ur - 1 , 2 ABC S AB AC ∆   =   uuur uuur -ABCD là tứ diện , . 0AB AC AD m   ⇔ = ≠   uuur uuur uuur - 1 6 ABCD V m= b/ Mặt phẳng: -Phương trình tổng quát mặt phẳng: Dạng 1: 2 2 2 0 ( ; ; ) ( 0) Ax By Cz D n A B C A B C + + + = = + + ≠ r Dạng 2: 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( , , ), ( ; ; ) A x x B y y C z z n A B C M x y z − + − + − = = r -Phương trình mặt phẳng chắn: 1 x y z a b c + + = (( α ) qua A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c)) -Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng khác: ( ) : 0 ( ) : ' ' ' ' 0 Ax By Cz D A x B y C z D α β + + + = + + + = là ( ) ( ' ' ' ') 0Ax By Cz D A x B y C z D λ µ + + + + + + + = Trong đó 2 2 0 λ µ + ≠ Trang 9/13 LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng -Vò trí tương đối của hai mặt phẳng: cho hai mặt phẳng: ( ) ( ) : 0 : ' ' ' 0 Ax By Cz D A x B y C z D α β + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / : : ': ': ' / ' ' ' ' / // ' ' ' ' α β α β α β ∩ = ⇔ ≠ ≡ ⇔ = = = ⇔ = = ≠ a d A B C A B C A B C D b A B B D A B C D c A B C D 3/Phương trình đường thẳng: a/Phương trình tổng quát: 0 ' ' ' ' 0 Ax By Cz D A x B y C z D + + + =   + + + =  b/ Phương trình tham số: 0 0 0 x x at y y bt z z ct = +   = +   = +  Trong đó (x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vectơ chỉ phương là ( ; ; )u a b c= r c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng: 0 0 0 2 2 2 ( 0) x x y y z z a b c a b c − − − = = + + ≠ 4/ Vò trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian: Giả sử đường thẳng d qua 0 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có vectơ chỉ phương là ( ; ; )u a b c= r và đường thẳng d’ qua 0 0 0 0 ' ( ' ; ' ; ' )M x y z và có vectơ chỉ phương là ' ( '; '; ')u a b c= ur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 / , ' . ' . ' 0 . ' . ' 0 / ' : : : ': ' / ' : : ': ': ' : : / ' : : ': ': ' : : / , ' . ' . ' 0 a d d u u M M u u M M b d d I a b c a b c c d d a b c a b c x x y y z z d d d a b c a b c x x y y z z e d d u u M M α α   ⊂ ⇔ =      =    ∩ = ⇔  ≠   ⇔ = ≠ − − − ≡ ⇔ = = − − −   ∉ ⇔ ≠   r ur uuuuuuur r ur uuuuuuur P r ur uuuuuuur 5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: trong không gian cho : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 : : 0 / 0 0 / 0 0 / 0 x x y y z z d a b c Ax By Cz D a d I aA bB cC aA bB cC b d Ax By Cz D aA bB cC c d Ax By Cz D α α α α − − − = = + + + = ∩ = ⇔ + + ≠ + + =  ⇔  + + + ≠  + + =  ∈ ⇔  + + + =  P 6/ Các công hức tính khoảng cách: -Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng: ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( / ) 2 2 2 ( ; ; ) : 0 M M x y z Ax By Cz D Ax By Cz D d A B C α α + + + = + + + ⇒ = + + -Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong không gian cho điểm 1 1 1 1 0 0 0 ( ; ; ) : M x y z x x y y z z d a b c − − − = = 0 / . M d M M u d u     ⇒ = uuuuuur r r -Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 0 0 0 0 0 0 0 / ' : ' ' '0 ': ' ' ' . ' . . ' . ' x x y y z z a b c x x y y z z a b c u u M M d u u ∆ ∆ − − − ∆ = = − − − ∆ = =     ⇒ =     r ur uuuuuuuur r ur 7/ Góc : - Góc giữa hai đường thẳng: Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có: 2 2 2 2 2 2 : ( ; ; ) ': ' ( ', ', ') . ' ' ' ' cos . ' ' ' ' d u a b c d u a b c u u aa bb cc u u a b c a b c ϕ = = + + = = + + + + r ur r ur r ur - Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Trang 10/13 [...]... = n ! = n(n − 1)(n − 2) 3.2.1 n! k ( 0 ≤ k ≤ n) -Chỉnh hợp: An = n − k ! ( ) n! k -Tổ hợp: Cn = n − k !k ! ( ) -Các hệ thức cần nhớ: n ! = ( n − 1) !n ( 0 < k < n) k k− Cn = Cnk−1 + Cn −11 ( 0 < k < n) k Cn = Cnn − k -Nhò thức Newton: 0 1 k n (a + b)n = Cn a nb 0 + Cn a n −1b + + Cn a n− k b k + + Cn b n k =0 k = ∑ Cn a n − k b k n -Các công thức cần nhớ: 0 1 Cn + Cn + Cn2 + + Cnn = 2n 0 1 k Cn... từ O đến mỗi điểm của d Trang 12/13 LTĐH- TOÁN Gv ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương 1 1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy h 3 2/ Thể tích chóp cụt:  B,B' là diện tích 2 đáy 1 B + B '+ B.B ' h  3  h là chiều cao hình chóp 3/Thể tích hình hộp chữ nhật: V= a.b.c 4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2π Rh V= ( ) 5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp = Sxq + 2 Sđáy 6/...LTĐH- TOÁN Gv ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng r d : u = (a; b; c) r ( α ) : n = ( A; B; C ) 00 < ϕ < 900 sin ϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B 2 + C 2 a 2 + b 2 + c 2 - Góc giữa hai mặt phẳng: ( α ) : AX + By + Cz + D = 0... nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau 7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P) Trang 11/13 LTĐH- TOÁN Gv ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng 8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai 9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với . LTĐH- TOÁN Gv. ThS.Khương Nguyễn Hữu Hoàng TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN I/ ĐẠI SỐ: 1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai 2 2 ( ) ( 0; , ; ; ; 4. = m m 4. Công thức nhân đôi: 2 2 2 2 2 2 2 sin 2 2sin cos cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin 2 2 1 1 cos2 cos 2 1 cos 2 sin 2 x x x x x x x x tgx tg x tg x x x x x = = − = − = − = − + = − = 5. Công thức. x x x x x = − = − − = − + = − = 6. Công thức biểu diễn theo sinx, cosx theo 2 x t tg= 2 2 2 2 2 sin 1 1 cos 1 2 1 t x t t x t t tgx t = + − = + = − 7. Công thức biến đổi: a/Tích thành tổng: [