7 Chuyên đề “Phân số và giải toán với phân số” A. PHẦN MỞ ĐẦU I. Đặt vấn đề Thời đại mới ngày nay đã đưa đến cho lĩnh vực giáo dục và đào tạo nhiều vận hội, cùng nhiều thách thức mới. Có lẽ chưa ở đâu và chưa bao giờ vấn đề dạy và học trong nhà trường lại được sự quan tâm và trở thành “Một phong trào hành động”mang tính “xã hội học tập”, “xã hội hoá giáo dục” như hiện nay. Trong công cuộc đổi mới phương pháp dạy - học, vị thế cùng vai trò, trách nhiệm của người thầy, người trò ngày càng nâng lên tầm cao mới. Có như vậy người dạy, người học mới năng động, sáng tạo chủ động chiếm lĩnh và truyền thụ tri thức được. Trong rất nhiều yếu tố; rất nhiều điều kiện; rất nhiều môn học nhiều nội dung để có trò giỏi, thầy giỏi thì nội dung dạy Toán ở Tiểu học với tư cách là một phân môn “công cụ” có quan hệ khăng khít với tất cả các môn học khác trong trường. Học tốt môn Toán không những giúp cho học sinh nắm chắc kiến thức, kỹ năng cơ bản về khoa học tự nhiên, khoa học xã hội mà còn tạo điều kiện cho học sinh học tốt các môn học khác thông qua rèn kỹ năng cũng như áp dụng vào trong đời sống sản xuất. Như lời của cố Thủ tướng Phạm Văn Đồng nói: “Dù các bạn phục vụ ở ngành nào thì kiến thức toán học cũng rất cần cho các bạn”. Một trong những nhiệm vụ có tầm quan trọng đặc biệt của việc dạy học Toán là: Phát triển ở học sinh mọi khả năng, năng lực học toán, trên cơ sở đó mà phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi toán, góp phần tích cực vào nhiệm vụ “Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” phục vụ đất nước. Bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán có một vị trí quan trọng trong chương trình môn toán bậc Tiểu học. Giải toán với phân số là một trong bốn mạch kiến thức trong dạy học Toán ở Tiểu học. Đây là mạch kiến thức khó, đòi hỏi khả năng phân tích, tổng hợp của học sinh khi học tập. Vậy làm thế nào để học sinh học tốt mạch kiến thức này ? Đặc biệt là với đối tượng học sinh giỏi lớp 4-5. Nhận thức được mục đích và tầm quan trọng của việc bồi dưỡng học sinh giỏi mạch “giải toán với phân số”; xuất phát từ mục tiêu giáo dục Tiểu học; xuất phát từ nhiệm vụ của dạy Học - Toán là trang bị cho học sinh một hệ thống kiến thức toán học và kỹ năng cơ bản, cần thiết cho việc học ở lớp tiếp theo; xuất phát từ những thực tế đã nêu trên. Để phát huy năng lực tư duy, bồi dưỡng trí thông minh cho học sinh từ các lớp 4-5 làm nền tảng vững chắc cho các lớp tiếp theo. Trường Tiểu học Y Jút tiến hành tổ chức thực hiện chuyên đề: “ Phân số và giải toán với phân số”, nhằm cùng bạn bè đồng nghiệp tìm hiểu và đưa ra một số biện pháp, phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi góp phần nâng cao hiệu quả trong các giờ dạy cũng như chất lượng học tập của học sinh. II. Mục đích của chuyên đề. - Giáo viên hiểu và nắm vững những điểm chính về nội dung, phương pháp dạy “Phân số và giải toán với phân số”. Trên cơ sở đó phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi thông qua việc rèn kỹ năng giải toán. Nâng cao chất lượng giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4-5 “giải toán ViOlympic”. Trên cơ sở khai thác các hoạt động của học sinh theo hướng phát huy tính tích cực, sáng tạo. III. Phạm vi của chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi “giải toán với phân số” trong chương trình SGK lớp 4-5 trên nền kiến thức cơ bản thông qua một số phương pháp giải toán. Giúp giáo viên nâng cao năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi mạch “ Phân số và giải toán với phân số” cho học sinh một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo đáp ứng nhu cầu chất lượng đại trà và chất lượng học sinh giỏi. Đối tượng: Giáo viên; học sinh khá giỏi lớp 4-5. Hai năm qua, hội thi giải toán ViOlympic đến với đông đảo học sinh, giáo viên và phụ huynh trên toàn quốc. Tuy nhiên, một số cơ sở giáo dục đã tích cực tham gia nhưng phần vì cơ sở vật chất thiếu thốn, phần thì đối tượng học sinh thiếu tố chất thông minh và hơn thế nữa thiếu sự bồi dưỡng của giáo viên nên rốt cục là : “Chất lượng của hội thi chưa tốt”. Từ thực trạng trên, chuyên đề “Phân số và giải toán với phân số” sẽ giúp giáo viên, học sinh và phụ huynh nhiều kiến thức bổ ích trong quá trình dạy – học và tham gia các kì thi đỉnh cao. B/ PHẦN KIẾN THỨC; Chuyên đề gồm 2 phần: Phần I: phần lý thuyết . Gồm những kiến thức, tổng hợp từ cơ bản đến nâng cao mảng phân số của môn Toán ở Tiểu học. Những kĩ thuật để bồi dưỡng HSG Toán. Phần II: Phần thực hành. Gồm các hoạt động của thầy và trò vận dụng trên cơ sở của phần lý thuyết. Nội dung thực hành vận dụng với 12 đến 16 học sinh của lớp 5A và được diễn ra trong thời gian 40 phút . PHẦN LÝ THUYẾT Trong chuyên đề về phân số và giải toán với phân số bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi chúng tôi chia làm 3 mạch kiến thức như sau: 1/ Phân số và tính chất cơ bản của phân số: gồm các kiến thức cần nhớ, các dạng toán điển hình, nâng cao đề cập đến các vấn đề: • Khái niệm phân số. • Tính chất cơ bản của phân số. • So sánh phân số. • Tìm các phân số giữa hai phân số cho trước. • Phân tích một phân số thành tổng các phân số tối giản. 2/ Bốn phép tính về phân số; gồm các bài toán xoay quanh các nội dung về kĩ thuật tính toán. 3/ Toán giải về phân số: Gồm các bài toán có lời văn liên quan đến phân số. Trong đó có: * 6 loại toán ẩn dữ kiện về phân số. * 2 dạng toán điển hình về phân số. * Một số dạng toán thường gặp khác về phân số. Trong mỗi phần đều có tóm tắt lý thuyết, các bài toán mẫu, các thủ thuật tính toán, cách nhận dạng bài và các bài tập vận dụng để rèn kĩ năng cho học sinh. PHẦN I. Phân số và tính chất cơ bản của phân số: VẤN ĐỀ 1: CẤU TẠO PHÂN SỐ Kiến thức cần nhớ: 1. Phân số là do một hay nhiều phần bằng nhau của đơn vị tạo thành. 2. Phân số là thương đúng của phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên (khác 0) 3. Các phân số lớn hơn đơn vị còn được viết dưới dạng hỗn số. 4. Mọi số tự nhiên đều viết được thành phân số. 5. Phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1. 6. Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1 và ngược lại. VẤN ĐỀ 2: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ. Kiến thức cần nhớ: Khi ta nhân hay chia cả tử số và mẫu số của phân số với cùng một số tự nhiên (khác 0) thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho. A, Viết phân số bằng nhau (nhân cả tử và mẫu với cùng một số tự nhiên khác 0). Cơ bản: 1 2 = 1 2 2 2 × × = 2 4 Nâng cao: 6 8 = 15 n ở dạng này rõ ràng học sinh sẽ không nhận ra được 6 nhân bao nhiêu để bằng 15. Vậy xin đưa ra 2 cách sau đây: Cách 1: n = 8 x 15 : 6 = 20 hay 8 x 15 = 6 x n . Cách 2: Đưa phân số 6 8 thành một phân số khác bằng nó rồi dùng t/c cơ bản của phân số để tìm n. 6 8 = 3 4 Bài tập: Viết số thích hợp vào chỗ chấm: 4 14 6 27 = = B, Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu với cùng một số tự nhiên khác 0). -Thông thường học sinh dựa vào dấu hiệu chia hêt cho 2,3,5 và 9 đã học như sau: Cơ bản: 4 4 : 2 2 10 10 : 2 5 = = ; 12 12 :3 4 15 15: 3 5 = = ; 18 18:9 2 27 27 :9 3 = = ; 20 20:5 4 25 25:5 5 = = Tuy nhiên, một số phép tính rút gọn phân số sau đây học sinh sẽ không tìm thấy dấu hiệu chia hết nếu không được bồi dưỡng thêm. Nâng cao: 121 121: 187 187 : a a = = ; 135135 135135: 246246 246246: a a = = ; 345 345: 322 322: a a = = ; 119 119 : 153 153: a a = = Cách hướng dẫn và làm: Trong các phép tính rút gọn phân số trên học sinh sẽ không tìm thấy dấu hiệu chia hết mà các em đã được học . Lúc này ta hướng dẫn học sinh nhận ra các dấu hiệu đặc biệt sau: 121 121: 187 187 : a a = = ? 11x11=121; 17x11 = 187. ( Dựa vào t/c nhân nhẩm với 11) 135135 135135: 246246 246246: a a = = ? 135135 :135 = 1001; 246246 : 246 = 1001. (Với các cặp chữ số được lặp lại nhiều lần) 345 345: 322 322: a a = = ? Trường hợp này học sinh sẽ không tìm được dấu hiệu rút gọn vì tử số 345 chỉ chia hết cho 3 và 5 còn mẫu số 322 chỉ chia hết cho 2. Lúc này ta hướng dẫn học sinh làm như sau: 345 – 322 = 23 vậy nên a = 23. “Hỏi tại sao lấy tử số trừ cho mẫu số ta lại tìm được số dùng để rút gọn? Trả lời: Phân số chưa tối giản luôn được chia thành các phần bằng nhau.” Bài tập: 119 119 : 153 153: a a = = ? 279 279: 341 341: a a = = ? 369 369: ? 574 574: a a = = VẤN ĐỀ 3: SO SÁNH PHÂN SỐ: Kiến thức cần nhớ: -Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn. -Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì bé hơn. Cơ bản: Có 2 cách để so sánh hai phân số đó là: * Đưa về cùng mẫu số rồi so sánh theo quy tắc. * Đưa về cùng tử số rồi so sánh theo quy tắc. Nâng cao: Ngoài 2cách cơ bản thì có những cặp phân số mà đem quy đồng thì cả một vấn đề lớn vậy ta có thêm 4 cách so sánh nữa sau đây. Cách 1: So sánh theo phần bù với 1. • Phần bù của 4 5 là 1 5 . • Trong 2 phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. Cách 2 : So sánh theo phần hơn với 1. • Phần hơn của 15 14 là 1 14 . • Trong 2 phân số, phân số nào có phần hơn nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. Cách 3 : So sánh phân số dựa vào phần tử trung gian. • Chọn phân số trung gian của 16 15 27 29 va là 16 29 hoặc 15 27 . Ta thấy: 16 16 15 27 29 29 > > nên 16 15 27 29 > . Cách 4 : Thực hiện chia 2 phân số để so sánh. Nếu kết quả nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai và ngược lại. • So sánh 5 7 9 10 va ta có 5 7 50 : 1 9 10 63 = < vậy 5 7 . 9 10 < VẤN ĐỀ4: TÌM PHÂN SỐ GIỮA HAI PHÂN SỐ CHO TRƯỚC Ở dạng này, GV hướng dẫn HS đưa về dạng tìm số trung bình cộng. VD: Tìm 1000 phân số nằm giữa hai phân số 1 8 và 1 7 . Hoặc tìm a, b, c biết 1 3 ; a; b; c; 1 2 . Kiến thức cần nhớ: • Nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 . Lúc đó khoảng cách hai phân số sẽ rộng ra ta tìm được nhiều phân số nằm giữa hai phân số đó. • Khi nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số với số tự nhiên a (khác 0) ta sẽ chọn được (a-1) phân số giữa hai phân số đã cho. Bài toán cơ bản: Tìm 5 phân số lớn hơn 7 10 và nhỏ hơn 13 10 . HS tìm được dễ dàng đó là: 8 12 ; ; 10 10 Bài toán nâng cao: Tìm 5 phân số lớn hơn 2 5 và nhỏ hơn 3 5 . Ta có: 2 12 5 30 = ; 3 18 5 30 = . Do 12 13 14 15 16 17 18 30 30 30 30 30 30 30 < < < < < < nên 5 phân số cần tìm là : 13 14 15 16 17 ; ; ; ; 30 30 30 30 30 . Kết luận: Muốn tìm 5 phân số ta nhân tử số và mẫu số với 6. Muốn tìm n phân số ta nhân tử số và mẫu số với (n +1). VẤN ĐỀ 5: PHÂN TÍCH MỘT PHÂN SỐ THÀNH TỔNG CÁC PHÂN SỐ TỐI GIẢN Trường hợp này học sinh cần phải biết tách tử só hay mẫu số thành các phân số có thể rút gọn được. VD: Phân tích phân số 7 8 thành tổng các phân số đều có tử số là 1. HD: Xét mẫu số, 8 chia hết cho 1; 2; 4; 8. Xét tử số, 7 = 1+2+4 nên ta có: 7 1 2 4 1 1 1 8 8 8 8 8 4 2 = + + = + + Bài tập: Viết phân số 13 27 ; 1 5 thành tổng hai phân số tối giản có mẫu số khác nhau. Phần 2: các phép tính với phân số 1,PHÉP CỘNG, TRỪ PHÂN SỐ. 2 + 3 4 = 2 1 + 3 4 = 8 3 11 3 2 4 4 4 4 + = = ; 3 3 3 8 3 5 2 2 ;2 4 4 4 4 4 4 + = − = − = 2,PHÉP NHÂN PHÂN SỐ. a c a c b d b d × × = × ; 2 2 5 10 5 3 3 3 × × = = Cơ bản; 2 5 10 3 7 21 × = ; Nâng cao 18 22 17 14 34 55 9 28 × × × × × × = 2 9 2 11 17 14 2 17 5 11 9 2 14 × × × × × × × × × × × = 1 5 3,PHÉP CHIA PHÂN SỐ. : a c a d b d b c × = × ; *Chia số tự nhiên cho phân số. 1 2 3 2 3: 3 6 2 1 1 × = × = = ; : a b m b m m b a a × = × = * chia phân số cho số tự nhiên 11 11 11 : 2 3 3 2 6 = = × ; : a a n b b n = × 4,ÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TÍNH TRÊN PHÂN SỐ. A, Vận dụng T/c giao hoán, kết hợp để tính nhanh; 3 6 7 2 16 19 5 11 13 5 11 13 + + + + + = 3 2 7 19 6 16 5 5 13 13 11 11 + + + + + = 5 26 22 1 2 2 5 5 13 11 + + = + + = B, Vận dụng T/c một số nhân một tổng; một hiệu để tính nhanh. 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 5 4 4 5 5 4 4 5 5   × + × = × + = × =  ÷   C,Vận dụng t/c phân phối của phép cộng với phép chia để tính nhanh. 6 2 5 2 6 5 2 2 3 : : : 1: 11 3 11 3 11 11 3 3 2   + = + = =  ÷   5,TÌM X VỚI PHÂN SỐ. Tìm x với phân số cũng giống với tìm x ở số tự nhiên. Tuy nhiên, ở phân số có một số dạng tìm x sau đây: * 3 75 : 4 6 100 x = Ta có; 75 3 100 4 = và x = 6. * 15 38 67 53 19 5 15 15 x × < < + Ta có: 6 < x < 8 và x = 7 * Để 34 125 85 x = thì x phải bằng bao nhiêu? Ta có: Cách 1: 34 2 50 85 5 125 = = vậy x = 50. Cách 2: x = 125 x 34 : 85 ; x = 50. 6,TÍNH NHANH VỚI PHÂN SỐ. Tính nhanh hay tính thuận tiện là sử dụng các tính chất các phép tính trên biểu thức để thực hiện. Một số trường hợp ta còn phải phân tích biểu thức, kết hợp quy luật của dãy số để vận dụng như trong trường hợp sau đây: Ví dụ 1 : 1 1 1 1 1 4 8 16 128 256 + + + + + HD: Viết số hạng còn thiếu của dãy tính dựa vào quy luật của dãy, xác định mẫu số chung cho cả dãy để quy đồng nhanh. VD2: 637 527 189 526 637 448 × − × + = 637 527 189 637 526 448 × − × + = 637 (526 1) 189 637 526 448 × + − × + = 637 526 637 189 637 526 448 × + − × + = 637 526 448 637 526 448 × + × + = 1 [...]... 3: Giải toán với phân số Trong giải toán có lời văn ở tiểu học đều có liên quan đến số tự nhiên Phân số và số thập phân Tuy nhiên, các bài toán có lời văn mang các giá trị là phân số thì trừu tượng và hơi khó hiểu hơn cả Xét 2 ví dụ sau đây: +VD1: Hiệu hai số là 15 Tổng của hai số là 47 Tìm hai số đó Giải bài toán ta dễ tìm được hai số đó là 31 và 16 +VD2: Hiệu hai số bằng 1 1 số bé Tổng của hai số. .. = STII x 5 Vậy số thứ nhất bằng số thứ 4 5 4 hai Bài toán 5: Tìm một phân số có mẫu số hơn tử số 15 đơn vị và bằng phân số 51 68 HD: Tỉ số này phải được rút gọn theo vấn đề 2 Dạng 5 Bài toán ẩn Hiệu, ẩn Tỉ số của hai số Bài toán: Tìm một phân số biết rằng Nếu thêm 5 đơn vị vào tử số thì ta được phân số có giá trị là 1 còn nếu chuyển 1 đơn vị từ tử số xuống mẫu số thì ta được phân số có giá trị bằng... 2 = 13 2, Dạng toán cùng bớt ở tử số, mẫu số: Bài toán: Phải bớt đi cả tử số và mẫu số của phân số để được phân số mới có giá trị 35 cùng một số tự nhiên nào 71 1 HD:( Hiệu không đổi khi cùng bớt ) Giải theo 4 dạng cùng thêm 3, Dạng toán thêm ở tử số, bớt ởmẫu số: Bài toán: Phải thêm vào tử số và bớt đi ở mẫu số của phân số nhiên nào để được phân số mới có giá trị bằng 19 cùng một số tự 89 2 7 HD:... Bài toán cho biết trung bình cộng hai số, ta tìm được tổng hai số là Dạng 2 Bài toán biết Hiệu ẩn Tổng của hai số 2 4 x2= 3 3 Bài toán: Cho 3 phân số cách đều nhau Tìm ba số đó, biết trung bình cộng của ba phân số đó là 2 1 và hiệu giữa phân số thứ nhất và phân số thứ ba là 5 3 HD: Từ trung bình cộng của ba phân số ta tìm được tổng của ba phân số và đây là dãy lẻ nên trung bình cộng chính là số ở... Tổng không đổi thì giải theo Tổng – Tỉ Nếu Hiệu không đổi thì giải theo Hiệu – Tỉ 1, Dạng toán cùng thêm vào tử số, mẫu số: Bài toán: Phải thêm vào tử số và mẫu số của phân số nào để được phân số mới bằng 2 cùng một số tự nhiên 5 5 6 HD: Lập luận nêu lên được vấn đề Hiệu không đổi khi cùng thêm Hiệu của phân số đã cho là: 5 – 2 = 3 Tử số của phân số mới là: 3 : (6 – 5 ) x 5 = 15 Số phải thêm là : 15... tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ ba ( Bài toán trở về dạng Tổng – Hiệu ) Dạng 3 Bài toán biết Tổng ẩn hiệu hai số Bài toán: Tìm một phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 210 biết rằng nếu chuyển từ mẫu số lên tử số1 2 đơn vị ta được phân số mới bằng 1 HD: xác định hiệu của mẫu và tử phân số phải tìm (12 x 2 =24) Sau khi chuyển tổng vẫn không đổi Tử số phải tìm: (210-24) :2 = 93 ; Mẫu số phải... của phân số, phân rõ dạng bài và khắc sâu cách giải cho học sinh Trong phần này chuyên đề không đưa ra các bài toán cơ bản mà sẽ đưa lên các bài toán được phát triển từ cơ bản để bồi dưỡng HSG thông qua các dạng toán trong chương trình hiện hành A 6 dạng toán ẩn dữ kiện về phân số Dạng 1: Bài toán biết tỉ số ẩn tổng hai số, : Bài toán1 : Trung bình cộng của hai số bằng 2 2 Số bé bằng số lớn Tìm hai số. .. không đổi nên giải theo Tổng – Tỉ Tổng của tử số và mẫu số phân số ban đầu là: 19 + 89 = 108 Tử số của phân số mới là: 108 : (2 + 7) x 2 = 24 Số tự nhiên cần tìm là: 24 – 19 = 5 3, Dạng toán bớt ở tử số, thêm ởmẫu số: Trường hợp này tổng không đổi nen hướng dẫn giải như dạng 3 IV KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Sau nhiều năm kinh nghiệm và dạy cho học sinh khá giỏi các dạng toán phân số cơ bản và nâng cao... Dạng 4 Bài toán biết Tổng (Hiệu) ẩn Tỉ số của hai số Bài toán mẫu: Hiệu hai số bằng 1 1 số bé Tổng hai số bằng Tìm hai số đó 4 4 Đọc bài toán học sinh khó nhận ra dạng , cái gì ẩn đằng sau dữ kiện HD: Nếu hiệu hai số là 1 phần thì số bé là 4 phần và số lớn sẽ là 5 phần Số bé là: 1 1 1 1 5 : (4 +5 ) x 4 = Số lớn là : − = 4 9 36 4 9 Bài toán 2: Tổng hai số là 203,5 biết HD: 1 2 số thứ nhất bằng số thứ hai... dạng toán? Hiệu của bài toán (5).Tỉ số bài toán ( chuyển Vẽ sơ đồ để tìm ra phân số mới là 1 ) sau khi 2 7 8 và phân số phải tìm là 14 13 Dạng 6.Tìm giá trị một phân số khi biết giá trị của phân số khác Bài toán: Một người bán cam,lần thứ nhất bán 1 2 số cam,lần thứ hai bán số 3 5 cam thì còn lại 12 quả Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam? HD: Cả hai lần người đó bán bao nhiêu phần số cam? Số cam . . Kết luận: Muốn tìm 5 phân số ta nhân tử số và mẫu số với 6. Muốn tìm n phân số ta nhân tử số và mẫu số với (n +1). VẤN ĐỀ 5: PHÂN TÍCH MỘT PHÂN SỐ THÀNH TỔNG CÁC PHÂN SỐ TỐI GIẢN Trường hợp. phân số lớn hơn đơn vị còn được viết dưới dạng hỗn số. 4. Mọi số tự nhiên đều viết được thành phân số. 5. Phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1. 6. Phân số có tử số lớn hơn mẫu số. 1 Phần 3: Giải toán với phân số Trong giải toán có lời văn ở tiểu học đều có liên quan đến số tự nhiên. Phân số và số thập phân. Tuy nhiên, các bài toán có lời văn mang các giá trị là phân số thì