CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 1 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Chứng minh đẳng thức tổ hợp là bài tập thường thấy ở các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 những năm gần đây. Với mong muốn giúp các em có một cái nhìn tổng quát và luôn có hướng giải chính xác và đơn giản trong vấn đề này tác giả đã trình bày chuyên đề nhỏ “Phương pháp và kĩ thuật chứng minh một đẳng thức tổ hợp” Lưu ý: Ở đây, tác giả chỉ sử dụng kiến thức lớp 11. Những em lớp 12 có thể sử dụng thêm đạo hàm, tích phân để giải quyết vấn đề này (Sẽ đề cập trong một tài liệu khác). Tuy nhiên, đối với một số bài toán, việc dung đạo hàm tích phân khá phức tạp, và đôi lúc là không thể áp dụng… Chúng ta bắt đầu nào ! Trước hết hãy xem dạng tổng quát của một đẳng thức tổ hợp.                                      khoảng Từ đây, chúng ta rút ra rằng để làm tốt bài tập dạng này, ta cần phải có kĩ thuật xử lí   và khoảng cách . A. Xử lí “khoảng cách ” Sau đây là những ví dụ minh họa. A1. Sử dụng khai triển NewTon Ví dụ 1:Chứng minh rằng                     Giải:Ta có:                                              Trong     cho , ta được                      Ví dụ 2: Chứng minh rằng                      CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 2 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 Giải:Ta có:                                                                                  Cộng vế theo vế hai khai triển trên ta được:                                Trong     cho , ta được                      Nhận xét: Nếu ta trừ vế theo vế hai khai triển trên ta sẽ thu được điều sau:                                 Giả sử trong      cho , ta được                      Ví dụ 3: Chứng minh rằng:                                                 Giải:Ta có:                                                                       trong đó,                                                                                      trong đó,                                                   Cộng vế theo vế các khai triển trên ta thu được: CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 3 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408                                                        trong đó                 Taẽ chứng minh được rằng       Thật vậy                                       Suy ra                                              và                                                         Do đó từ  suy ra                                                     Trong     cho , ta được                                             Nhận xét: Một câu hỏi thường gặp?? Nếu ta muốn tính                 Hay                     Gợi ý một chút nhé! Chúng ta cùng nhìn lại biểu thức                  và tính chất       . Bạn đã suy nghĩ ra chưa??? Dễ dàng nhận ra rằng, nếu chúng ta muốn tính  ta phải làm cho hệ số của   là   Muốn vậy, ta làm như sau: Lấy                   . Khi đó, ta thu được CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 4 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408                                                           Tương tự, nếu lấy                           ta thu được                                                                   Để tính  ta chỉ cần cho cho  trong     và     Chúng ta cùng qua ví dụ 4 Ví dụ 4: Chứng minh rằng:                                    Giải: Ta có                                                                                                                                                                                                      Cộng vế theo vế các khai triển trên ta thu được:                                                   trong đó                   CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 5 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 Ta sẽ chứng minh được rằng          Thật vậy, ta có           . Suy ra:                                                                                           Do đó, từ  suy ra                                                Trong     cho , ta được                                     Nhận xét: Cũng như nhận xét ở ví dụ 3 ta thu được 3 khai triển khác như sau: Lấy                :                                                 Lấy                               :                                                          Lấy                               :                                                           Tổng quát hóa bài toán Ở mục này, tôi xin dành cho những em có mong muốn nghiên cứu sâu về đằng thức tổ hợp Bài toán: Cho  là số nguyên dương,  .Tính tổng                          CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 6 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 Chú thích:    được gọi là phần nguyên của  Ở các ví dụ 1,2,3,4 tương ứng lần lượt với . Cùng theo dõi lời giải tổng quát. Giải: Ta có                                                                                                                                                                                              Trong đó,          là các căn bậc  của . Ở chuyên đề này, tác giả không đề cập nhiều về căn bậc nguyên thủy của một số. Cộng vế theo vế tất cả các khai triển trên ( khai triển) ta thu được:                                                   trong đó                        Ta luôn luôn chứng minh được rằng:         Phần chứng minh liên quan đến vấn đề về căn bậc nguyên thủy của một số. Đến đây, tôi tin rằng các em đã hiểu ra vấn đề vì vậy tôi xin dừng bài toán tổng quát lai và chuyển sang một vấn đề khác. A2. Sử dụng phương pháp cân bằng hệ số Phương pháp cân bằng hệ số là một trong những phương pháp khá hay và mạnh trong những bài toán tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức tổ hợp. Cơ sở của phương pháp là đồng nhất hai đa thức bằng nhau. CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 7 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 Từ một đẳng thức ta có thể khai triển theo hai cách khác nhau, thì hai đa thức thu được đều phải như nhau. Từ đó suy ra hệ số của số hạng bậc nào ở trong 2 khai triển là bằng nhau. Ta xét vài ví dụ sau: Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số nguyên . Ta có                         Giải:Ta có đẳng thức                     với mọi số nguyên                                                                                               Hệ số   trong khai triển vế trái là                      Hệ số   trong khai triển vế phải là    Do đó                          Ví dụ 2: Chứng minh với mọi số nguyên . Ta có                                                   Giải: Vì       . Do đó, đpcm tương đương với                                                   Ta có đẳng thức                             với mọi số nguyên                                                                                                                                             Hệ số   trong khai triển vế trái là                          Hệ số   trong khai triển vế phải là                          CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 8 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 Do đó, ta có được điều phải chứng minh.                                                   Những điều cần lưu ý: Đẳng thức mà ta cần chứng minh sẽ gợi ý cho ta xét đa thức cần khai triển  Khai triển mũ bao nhiêu  Tích của hai triển nào  Hệ số của số mũ cần cân bằng. Về việc khai triển mũ bao nhiêu và khai triển tích nào chắc không phải là câu hỏi của các em (ai cũng có thể nhận ra). Vấn đề ở đây là hệ số cần cân bằng. Trong ví dụ đầu tiên, ta dễ dàng nhận ra tổng các khoảng cách tương ứng với mỗi số hạng của vế trái là không đổi và bằng , điều này giúp ta suy nghĩ đến việc cân bằng hệ số   . Ở trong ví dụ thứ 2, điều này không có sẵn. Nhưng bằng công thức       ta có thể đưa bài toán về bài toán như bài toán ví dụ đầu tiên. Lưu ý: Ở các khai triển           ở trên, ta có thể cho  bất kì để được một đẳng thức có dạng     nào đó. Phần xử lí khoảng cách  xin được phép dừng ở đây. Chúng ta sang phần B. B. Xử lí hệ số “  ” Việc đầu tiên, hãy học thuộc hai “bí kíp” sau:       và              Để chứng minh hai công thức trên là việc khá dễ dàng, xin dành cho các em. Hướng dẫn sử dụng: -Muốn tu luyện được 2 môn “võ công” này, trước hết phải tự…học được :3 -Để ý ở trong cả hai công thức chúng ta đều muốn chuyển hệ số theo thành hệ số theo và từ đây ta có thể đặt nhân tử chung các hệ số theo để thu được một đẳng thức chỉ có hệ số là  hoặc  . Khi đó bài toán sẽ trở nên cực kì dễ dàng (với kĩ năng ở mục A). Cùng theo dõi một số ví dụ đơn giản sau. Ví dụ 1:(ĐH-CĐ khối A-2005) Tìm số nguyên dương  sao cho: CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 9 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408                            Giải: Số hạng tổng quát của VT:      với    Như nhận xét ở mục A thì   không phải là vấn đề của chúng ta (chỉ cần cho  hoặc  trong khai triển ở mục A) Vậy, đâu là vấn đề????. Hệ số  !!!!. Chúng ta xử lí bằng công thức đầu tiên như sau:         Vây                                             Do đó  Ví dụ 2: Chứng minh rằng:                                Giải:ố hạng tổng quát của VT:       với  Chúng ta xử lí bằng công thức thứ hai như sau:              Vậy                                                 đpcm Ví dụ 3: Chứng minh rằng:                          Giải: Số hạng tổng quát của VT               với  Áp dụng công thức đầu tiên .              với  Do đó, CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 10 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408                                                                     Ví dụ 4: Chứng minh rằng                                Giải: Số hạng tổng quát của VT             với  Áp dụng công thức đầu tiên ba lần kiên tiếp ta được:                                                     Do đó,                                 Nhận xét: Ở 4 ví dụ trên chúng ta có thể sử dụng đạo hàm, tích phân để giải quyết nhưng với những bài tiếp theo sau đây bạn sẽ thấy khó khăn với hai công cụ giải tích này. Tôi xin nói thêm một tí về công cụ giải tích, nó rất “mạnh”. Nhưng bạn không thể lấy một con dao để cắt đôi một con kiến được! Tôi e rằng bạn sẽ tự cắt vào tay mình mất!!! Kiểm chứng nhé! Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi nguyên dương :                           Đạo hàm?, Tích phân… Có vẻ như không hiệu quả cho lắm. Nhưng chỉ cần sử dụng hai công thức trên, bài toán quả thực rất đơn giản. Giải: Số hạng tổng quát của VT:        với  Áp dụng công thức đầu tiên ta được.                    Do đó,                                                 Tiếp tục nào! Ví dụ 6: Chứng minh rằng [...]... quyết khá tốt các bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp rồi đấy! Nhưng không có môn “võ công” nào là không có “điểm yếu” ! -“Điểm yếu” ở 2 công thức trên là gì??? Cùng nhìn lại 2 công thức trên 𝑘−1 𝑘𝐶 𝑛𝑘 = 𝑛𝐶 𝑛−1 và 1 1 𝑘+1 𝐶 𝑛𝑘 = 𝐶 𝑛+1 𝑘+1 𝑛+1 Ta luôn muốn biến đổi hệ số theo thành hệ số theo để đặt được nhân tử chung cho mỗi số hạng và đưa hệ số của đẳng thức cần chứng minh về hoặc Với những ví dụ... Ví dụ 7 :Chứng minh rằng: 1 0 1 2 1 4 1 22𝑛 22𝑛+1 − 1 2𝑛 𝐶2𝑛 + 𝐶2𝑛 + 𝐶2𝑛 + ⋯ + 𝐶2𝑛 = − 2 4 6 2𝑛 + 2 2𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)(2𝑛 + 2) Giải: Số hạng tổng quát của VT: 1 2𝑘 𝐶2𝑛 với 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 2𝑘 + 2 Chắc là sử dụng công thức thứ hai rồi, làm thôi 1 2𝑘 𝐶2𝑛 = ⋯ =? ? ? ? ? 2𝑘 + 2 Mà khoan, không giống công thức thứ 2 lắm,  Giá mà 2𝑘 + 1 thì tốt quá 11 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Đây...CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 2 2 𝑛+1 𝐶0 𝐶1 𝐶 𝑛𝑛 2 𝐶2𝑛+2 − 1 𝑛 𝑛 ( ) + ( ) + ⋯+ ( ) = ( 𝑛 + 1)2 1 2 𝑛+1 2 𝐶 𝑛𝑘 ) với 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 Giải: Số hạng tổng quát của VT: ( 𝑘+1 Áp dụng công thức thứ hai ta được: 2 𝐶 𝑛𝑘 1 1 𝑘+1 ( 𝐶 𝑛+1 )2 = ( ) = 𝐶 𝑘+1 𝐶 𝑛−𝑘 , 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 ( 𝑛 + 1)2 ( 𝑛 + 1)2 𝑛+1 𝑛+1 𝑘+1 Do đó,... 𝐶𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 2 3 4 𝑛+2 𝑛 𝑚 𝐶 0 + 𝑛 𝑛 32 − 22 1 33 − 23 2 3 𝑛+1 − 2 𝑛+1 𝑛 𝐶𝑛 + 𝐶𝑛 + ⋯+ 𝐶𝑛 2 3 𝑛+1 1 2 22 2 22014 0 2014 1 𝐶2014 − 𝐶2014 + 𝐶2014 − ⋯ + 𝐶2014 1.2 2.3 3.4 2015.2016 Bài 2: Chứng minh các đẳng thức tổ hợp sau: 𝑎 2.1 𝐶 1 + 3.2 𝐶 2 + ⋯ + ( 𝑛 + 1) 𝑛 𝐶 𝑛𝑛 = 𝑛 ( 𝑛 + 3) 2 𝑛−2 𝑛 𝑛 𝑏 𝑐 𝐶1 𝑛 𝐶2 𝐶3 𝐶 𝑛𝑛 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛 𝑛 + 2 1 + 3 2 + ⋯ + 𝑛 𝑛−1 = 𝐶𝑛 𝐶𝑛 𝐶𝑛 2 𝐶0 𝑛 𝐶1 𝑛+2 + 𝐶1 𝑛 𝐶2 𝑛+3 + 𝐶2 𝑛 𝐶3 𝑛+4 + ⋯+... 22𝑛+1 − 1 = − (đpcm) 2𝑛 + 1 (2𝑛 + 1)(2𝑛 + 2) C BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN Bài 1: Rút gọn các tổng sau: 2014 1 2 a 𝑆 = 𝐶2014 + 22 𝐶2014 + ⋯ + 20142 𝐶2014 b 𝑆 = 𝐶 0 − 2 𝐶 1 + 3 𝐶 2 − ⋯ + (−1) 𝑛 ( 𝑛 + 1) 𝐶 𝑛𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 c 𝑆 = 𝐶 0 + 2 𝐶 1 + 6 𝐶 2 + ⋯ + ( 𝑛2 − 𝑛 + 2 𝑛 ) 𝐶 𝑛𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 12 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 0 2013 2014 1 1 2 d 𝑆 = 𝐶2014 𝐶2014 + 𝐶2014 𝐶2014 + ⋯ + 𝐶2014 𝐶2014 e 𝑆 = (... như sau: 1 2𝑘 + 1 1 2𝑘 𝐶2𝑛 = 𝐶 2𝑘 2𝑘 + 2 2𝑘 + 2 2𝑘 + 1 2𝑛 Đến đây, đã đúng chiêu thức rồi, thi triển võ công thôi 2𝑘 + 1 1 2𝑘 + 1 1 1 2𝑘 + 1 2𝑘+1 2𝑘 2𝑘+1 𝐶2𝑛 = 𝐶2𝑛+1 = 𝐶 2𝑘 + 2 2𝑘 + 1 2𝑘 + 2 2𝑛 + 1 2𝑛 + 1 2𝑘 + 2 2𝑛+1 Tiếp tục… = 1 2𝑘 + 1 2𝑘+2 𝐶 2𝑛 + 1 2𝑛 + 2 2𝑛+2 2𝑘+2 Số hạng bây giờ là (2𝑘 + 1) 𝐶2𝑛+2 Công thức thứ nhất nào 2𝑘+2 (2𝑘 + 1) 𝐶2𝑛+2 = ⋯ =? ? ? ? ? Không thành vấn đề ! Biến đổi . ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 1 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP Chứng minh đẳng thức tổ hợp là bài tập thường thấy ở các đề thi đại học, đề thi. toán tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức tổ hợp. Cơ sở của phương pháp là đồng nhất hai đa thức bằng nhau. CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP 7 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408 Từ một đẳng thức ta.           Tổng quát hóa bài toán Ở mục này, tôi xin dành cho những em có mong muốn nghiên cứu sâu về đằng thức tổ hợp Bài toán: Cho  là số nguyên dương,  .Tính tổng    