Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS) của PGS.TS Lê Anh Vũ. CHƢƠNG 7. TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN (INTEGRALS) 7.1. ÔN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (ANTIDERIVATIVE or PRIMITIVE FUNCTION INDEFINITE INTEGRAL) 7.1.1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM 1. Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập xác định D nếu đạo hàm của F(x) là f(x), tức là F’(x) = f(x), xD. Nhận xét: Hiển nhiên nếu hàm f(x) có một nguyên hàm thì nó sẽ có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của f(x) chỉ sai khác nhau một hằng số. 2. Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của nó và kí hiệu là f (x)dx . Như vậy, nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì tích phân bất định của nó là f (x)dx F(x) C
Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 1 BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS) CHƢƠNG 7. TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN (INTEGRALS) 7.1. ÔN TẬP VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (ANTIDERIVATIVE or PRIMITIVE FUNCTION & INDEFINITE INTEGRAL) 7.1.1. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM 1. Nguyên hàm: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên tập xác định D nếu đạo hàm của F(x) là f(x), tức là F’(x) = f(x), xD. Nhận xét: Hiển nhiên nếu hàm f(x) có một nguyên hàm thì nó sẽ có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kỳ của f(x) chỉ sai khác nhau một hằng số. 2. Tích phân bất định: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) được gọi là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của nó và kí hiệu là ()f x dx . Như vậy, nếu f(x) có một nguyên hàm là F(x) thì tích phân bất định của nó là ( ) ( )f x dx F x C 7.1.2. BẢNG CÁC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN 1 , 1; 1 x x dx C ln dx xC x (0 1); ln x x a a dx C a a xx e dx e C sin cos ;xdx x C cos sinxdx x C 2 tan cos dx xC x 2 cot sin dx xC x 2 arcsin ; 1 dx xC x 2 arctan 1 dx xC x 22 arcsin , 0; dx x Ca a ax 22 1 arctan , 0 dx x Ca aa ax ' ln u dx u C u 1 ,0 ax ax a e dx e c a 1 sin cos , 0 a axdx ax c a 1 cos sin , 0 a axdx ax c a 7.1.3. CÁC TÍNH CHẤT Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 2 1. ( ) ( ) ( ) 2. ( ) ( ) ( ) ( ) af x dx a f x dx a const f x g x dx f x dx g x dx ' 3. '( ) ( ) 4. ( ) ( ) f x dx f x C f x dx f x 7.1.4. CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Tính các tích phân sau đây 32 ;x x x dx 3 2 4 ; xx e dx x 22 ; sin cos dx xx 2cos2 8sin4xx dx Ví dụ 2. Tính các tích phân sau đây a) tgxdx b) 2 21 1 x dx x c) 2 41 4 x dx x d) 1 x dx e 7.1.5. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Phƣơng pháp tích phân (theo) từng phần a) Ý tƣởng: Khéo đƣa tích phân khó ()f x dx về dạng udv để chia việc tích phân theo từng phần dễ hơn v dv và vdu rồi dùng công thức udv uv vdu để suy ra tích phân gốc. b) Áp dụng đối với các tích phân ()f x dx với f(x) thuộc một trong các dạng P(x).ln(…); P(x).arcsin(…); P(x).arctan(…); P(x)sin(…); P(x).cos(…); P(x).e (…) . c) Cách đặt u hoặc dv theo câu “thần chú”: “ U ơi lốc ác quá trời E rằng sin cos còn mời đê vê ” Ví dụ 3. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần a) 2 ( 1)arcsinx xdx b) 2 lnx xdx c) 1 cosx xdx d) 2x xe dx e) 2 1 sin2xdxx 2. Phƣơng pháp đổi biến dttxtxfdxxf ' trong đó txx , với t là biến số mới. Các bƣớc thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân của nó. - Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân thu được theo biến số mới. - Trả kết quả về biến số ban đầu. Ví dụ 4. Tính các tích phân sau đây bằng phương pháp đổi biến số 2 ); ln dx a xx b) 2 2x x dx c) 2 sin 1 cos x dx x d) 2008 1x x dx 7.2. ÔN TẬP VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (DEFINITE INTEGRAL) Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 3 7.2.1. CÔNG THỨC NEWTON – LEIBNIZ aFbFxFdxxf b a b a trong đó F(x) là nguyên hàm của f(x). Ví dụ 5. Tính các tích phân xác định sau đây 1 2 0 3 4 2x x dx 2 32 1 3 4 2 1 2 x x x dx x 4 2 0 cos xdx 1 32 2 0 3 2 2 1 x x x dx x 7.2.2. CÁC TÍNH CHẤT ( ) ( ) bb aa cf x dx c f x dx [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx Nếu f(x) là hàm số chẵn (nghĩa là ( ) ( )f x f x ) thì 0 ( ) 2 ( ) aa a f x dx f x dx . Nếu f(x) là hàm số lẻ (nghĩa là ( ) ( )f x f x ) thì ( ) 0 a a f x dx . Ví dụ 6. 11 22 10 1 2 2 arctan ; 2 0 11 dx dx x xx 2 3 2 2 0; 1 x dx x Ví dụ 7. 3 0 3 0 3 1 1 0 1 0 5x dx xdx xdx xdx xdx 7.2.3. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Phƣơng pháp tích phân từng phần bb b a aa u dv uv vdu Các dạng áp dụng và cách đặt u, dv tương tự trường hợp tích phân bất định. Ví dụ 8. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp tích phân từng phần Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 4 a) 1 ln e x xdx b) 2 0 ( 2 1)sinx xdx c) 1 0 arctanx xdx d) 2 3 cosx xdx 2. Phƣơng pháp đổi biến số dttxtxfdxxf b a ' , là các cận mới của tích phân xác định theo biến số t . Các bƣớc thực hiện: - Chọn biến số mới, tính vi phân của nó - Đổi cận tích phân theo biến số mới - Viết tích phân ban đầu theo biến số mới và tính tích phân mới. Ví dụ 9. Tính các tích phân xác định sau đây bằng phương pháp đổi biến số a) 7 2 2 2x x dx b) 2 2 0 cos 1 sin xdx x c) 3 1 ln e x dx x d) 2 3 0 sin xdx 7.3. SƠ LƢỢC VỀ TÍCH PHÂN SUY RỘNG (IMPOPER INTERGRALS) Khi xét tích phân xác định () b a f x dx , ta đòi hỏi các cận a, b là các số hữu hạn và hàm số lấy tích phân f(x,y) liên tục trên [a,b]. Dưới đây ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp các cận của nó là vô hạn. 7.3.1. Định nghĩa tích phân suy rộng với cận vô hạn ( ) lim ( ) ; b b aa f x dx f x dx ( ) lim ( ) ; bb a a f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) c c b ab c a c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx trong đó c là hằng số bất kì, còn f(x) là hàm số liên tục trên khoảng lấy tích phân. Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 5 Khi các giới hạn bên các vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng hội tụ và có giá trị bằng giới hạn hữu hạn ở vế phải tương ứng. Trường hợp ngược lại, tức là (một trong) các giới hạn ở vế phải không tồn tại hoặc vô hạn thì ta nói tích phân suy rộng ở vế trái tương ứng phân kỳ. Ví dụ 10. 22 11 1 1 1 1 lim lim lim 1 1. 1 b b b b b dx dx xb xx Ví dụ 11. 11 lim lim ln lim ln 1 . b b b b ee b dx dx x b xx e Ví dụ 12. 00 22 0 11 lim lim arctan lim ( arctan ) . 2 11 a a a a dx dx x a a xx Ví dụ 13. 0 2 2 2 0 1 1 1 lim lim 1 1 1 b ab a dx dx dx x x x lim ( arctan ) lim arctan 22 ab ab Ví dụ 14. Tính các tích phân suy rộng sau đây 8. a) 0 x xe dx b) 1 dx xx c) 0 2 4 dx x d) 3 4 dx x 7.3.2. Vài tích phân suy rộng hội tụ kinh điển và tiêu chuẩn hội tụ của tích phân suy rộng của hàm không âm 1. Vài tích phân suy rộng kinh điển hội tụ Tích phân suy rộng a dx x ( > 0) + Hội tụ khi (và chỉ khi) > 1; + Phân kỳ khi (và chỉ khi) ≤ 1. 2. Các tiêu chuẩn so sánh a) Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất Giả thiết: 0 ≤ f(x) ≤ g(x), x ≥ a. Kết luận: + ( () a fx phân kì ) ( () a gx cũng phân kỳ). + ( () a gx hội tụ ) ( () a fx cũng hội tụ). b) Tiêu chuẩn so sánh thứ hai Giả thiết: + 0 ≤ f(x), x ≥ a và f(x) 0 (tức là f(x) VCB ) khi x +. + f(x) k x (0 < k < +) khi x +. Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 6 Kết luận: + ( () a fx hội tụ ) ( > 1), ( () a fx phân kỳ) ( ≤ 1) . 3. Ví dụ 15. Xét sự hội tụ (hay phân kỳ) của các tích phân dưới đây a) 2 3 1 3 2 1 42 xx dx xx ; b) 2 0 23 31 x dx xxx ; c) 2 4 0 2 4 3 1 3 5 2 xx dx xx ; d) 2013 2015 0 2012 2 2 41 3xx dx xx . 7.4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG KINH TẾ 7.4.1. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Xác định quỹ vốn theo lƣợng đầu tƣ Giả sử việc đầu tư được tiến hành liên tục theo thời gianK = K(t) là quỹ vốn tại thời điểm t (t là biến thời gian) và I = I(t) là lượng đầug tư tại thời điểm t (0 ≤ t). Khi đó ta có K(t) = ()I t dt Ở đây, hằng số C trong tích phân ở vế phải được xác định nhờ quỹ vốn ban đầu K(0) = K 0 . 2. Xác định hàm tổng theo giá trị cận biên Giả sử một biến số kinh tế mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí C, tổng doanh thu R, tổng lợi nhuận , …). Khi đó nếu biết hàm giá trị cận biên (chi phí cận biên, doanh thu cận biên, lợi nhuận cận biên, …) thì dễ dàng tính được hàm tổng giá trị bằng cách lấy tích phân (bất định). 3. Ví dụ Ví dụ 16. Giả sử lượng đầu tư tại thời điểm t cho bởi I = I(t) = 180t 0,8 , t ≥ 0. Hãy xác định quỹ vốn biết rằng vốn ban đầu là 200. Giải + Quỹ vốn xác định bởi K = K(t) = 0,8 1,8 ( ) 180 100I t dt t dt t C . + Vì vốn ban đầu là K(0) = C = 200 nên K = 100t 1,8 + 200. Ví dụ 17. Giả sử chi phí cận biên (Marginal Cost) của một doanh nghiệp ở mỗi mức sản lượng Q cho bởi MC = 30 – 40Q + 9Q 2 . Hãy xác định tổng chi phí TC (Total Cost) và chi phí khả biến (Variable Cost) VC theo Q biết rằng chi phí cố định (Fixed Cost) là VC = TC – FC và FC = 100. Giải + TC = TC(Q) = MCdQ = 2 (30 40 9 )Q Q dQ = 30Q – 20Q 2 + 3Q 3 + C. + Vì FC = 100 = TC(0) = C nên C = 100. Tức là TC = 100 + 30Q – 20Q 2 + 3Q 3 . + Chi phí khả biến là VC = TC – FC = 30Q – 20Q 2 + 3Q 3 . 7.4.2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Thặng dƣ của ngƣời tiêu dùng và thặng dƣ của nhà sản xuất Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa theo giá P cho bởi Q s = Q s (P) và Q d = Q d (P). Khi đó tìm giá P theo lượng cung, cầu ta được các hàm cung ngược P = P(Q s ) và hàm cầu ngược P = P(Q d ). Giải phương trình cân bằng Q s = Q d ta xác định được điểm cân bằng (P 0 , Q 0 ). Khi đó thặng dư của người tiêu dùng CS (Consumers’ Surplus) và thặng dư của nhà sản xuất PS (Producers’ Surplus) được xác định bởi các tích phân xác định theo công thức dưới đây CS = 0 00 0 () Q dd P Q dQ PQ ; PS = 0 00 0 () Q ss PQ P Q dQ . 2. Ví dụ Ví dụ 18. Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Q s = 1P , Q d = 113 P . Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó. Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 7 Giải + Các hàm cung, cầu ngược cho bởi P = (Qs + 1) 2 , P = 113 – Q d 2 . + Điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Q s = Q d , tức là Q s = Q d 1P = 113 P (P 0 , Q 0 ) = (64, 7). + Thặng dư của người tiêu dùng là 0 7 7 23 00 0 00 1 ( ) (113 ) 64 7 113 448 3 Q d d d d P Q dQ PQ Q dQ Q Q = 686 3 . + Thặng dư của nhà sản xuất là 0 7 7 3 2 00 00 0 ( 1) ( ) 64 7 ( 1) 448 3 Q s s s s s Q PQ P Q dQ Q dQ = 833 3 . Ví dụ 19. Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi Q s = 3P , Q d = 185 P . Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó. Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 8 CHƢƠNG 8. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN(DIFFERENTIAL EQUATIONS) 8.0. BỔ TÚC VỀ SỐ PHỨC (COMPLEX NUMBERS) (SV Tự ôn) 8.1.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 (FIRST - ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS) 8.2.SƠ LƢỢC VỀ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 (SECOND – ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS) CHƢƠNG 8: PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 8.1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 8.1.1. KHÁI NIỆM 1. Phƣơng trình vi phân: là phương trình có chứa đạo hàm của hàm số cần tìm. Ví dụ 1. a) 2 1 '2y y x x ; b) " 4 ' 3 2sin 4cosy y y x x . Đây là các phương trình vi phân với y là ẩn hàm cần tìm, x là biến số độc lập, ', "yy là các đạo hàm của ẩn hàm. 2. Cấp của phƣơng trình vi phân: là cấp cao nhất của đạo hàm có mặt trong phương trình đó. Ví dụ 2. a) Phương trình cho ở ví dụ 1a) là phương trình vi phân cấp 1. b) Phương trình cho ở ví dụ 1b) là phương trình vi phân cấp 2. 3. Nghiệm của phƣơng trình vi phân: là hàm số thoả mãn phương trình đó. Ví dụ 3. a) Hàm số 3 yx là nghiệm của phương trình cho ở ví dụ 1a), vì thay 32 , ' 3y x y x vào phương trình đó ta thấy: 2 3 2 11 ' 3 2y y x x x xx là đẳng thức đúng với mọi 0.x Tương tự, hàm số 3 y x cx (với c là hằng số bất kì) cũng là nghiệm của phương trình cho ở ví dụ 1a), vì: thay 3 y x cx , 2 '3y x c vào phương trình đã cho ta cũng thấy thoả mãn. b) Hàm số sinyx là nghiệm của phương trình " 4 ' 3 2sin 4cosy y y x x 4. Phân loại nghiệm: a) Nghiệm tổng quát: là nghiệm có chứa hằng số tuỳ ý. Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 9 Ví dụ 4. 3 y x cx là nghiệm tổng quát của phương trình 2 1 '2y y x x . b) Nghiệm riêng: là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát khi cho hằng số c một giá trị cụ thể. Ví dụ 5. 3 yx là nghiệm riêng của phương trình 2 1 '2y y x x vì nó được suy từ nghiệm tổng quát khi 0c . c) Nghiệm kì dị: là nghiệm không suy được từ nghiệm tổng quát. Nghiệm kì dị thường xuất hiện khi xét các trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân. Nhận xét. Ứng với mỗi nghiệm tổng quát sẽ có vô số nghiệm riêng. Do đó, muốn tìm một nghiệm riêng nào đó, ta cần biết trước điều kiện của nghiệm. Ta gọi đó là điều kiện ban đầu của phương trình vi phân. Điều kiện này thường được viết ở dạng : 00 ()y x y hoặc 0 0xx yy . Khi đó, chỉ cần thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát, ta sẽ tìm được giá trị cần có của hằng số. Từ đó suy ra nghiệm riêng. Ví dụ 6. Hãy tìm nghiệm riêng của phương trình 2 1 '2y y x x thoả mãn điều kiện: (1) 0.y Ta đã có nghiệm tổng quát của phương trình đó là 3 y x cx . Muốn thoả mãn điều kiện đã cho thì 3 0 1 1 1.cc Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số 3 .y x x 8.1.2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Phƣơng trình có biến số phân li a) Khái niệm. Phương trình có biến số phân li (còn gọi là phương trình tách biến) là phương trình vi phân cấp một có dạng ( ) ( )f x dx g y dy Ví dụ 1. a) sin lnxdx ydy là phương trình phân li. b) sin cosx ydx tgydy không là phương trình phân li, nhưng có thể biến đổi để đưa về phương trình phân li. Chẳng hạn, nếu chia hai vế cho cos y , với điều kiện cos 0y , ta được phương trình phân li Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 10 2 sin sin sin cos cos tgy y xdx dy hay xdx dy y y . b) Cách giải. Lấy tích phân bất định hai vế của phương trình phân li sẽ được nghiệm tổng quát ở dạng “hàm ẩn”. Ví dụ 2. Giải phương trình cho ở ví dụ 1a), ta có sin ln sin ln cos (ln 1) xdx ydy xdx ydy x c y y Chú ý: Chỉ cần cộng hằng số vào một trong hai vế ở công thức nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình sin cosx ydx tgydy . Ví dụ 4. Giải phương trình ln 0.tgydx x xdy Ví dụ 5. Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ( 8) 1y của phương trình 22 (1 ) 1 0xydx y x dy . 2. Phƣơng trình đẳng cấp a) Khái niệm. Phương trình đẳng cấp là phương trình vi phân cấp một có dạng ' ( ) y yf x Ví dụ 6. a) ' cos yy y xx là phương trình đẳng cấp. b) '2xy y x không là phương trình đẳng cấp, nhưng có thể biến đổi để đưa về phương trình đẳng cấp. Chẳng hạn, nếu chia hai vế cho x , với điều kiện 0x , ta được phương trình đẳng cấp '2 y y x . b) Cách giải. Đặt ẩn hàm mới ' ' . y z hay y zx y z x z x Thay vào phương trình đẳng cấp sẽ được phương trình phân li theo ,.zx Giải phưong trình này sẽ tìm được z , từ đó suy ra .y Ví dụ 7. Giải phương trình cho ở ví dụ 6a). Đặt ẩn hàm ' ' . y z y zx y z x z x [...]... trình vi phân 15 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp c e0 c e0 0 3 c 2 1 2 1 0 0 c2 1 c1e 2c2 e 1 5 x 2x Vậy, nghiệm riêng cần tìm là hàm số y 2e e x 8.2.2 PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN 1 Phƣơng trình giảm cấp đƣợc a) Khái niệm Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được là phương trình có thể đưa được về phương trình vi phân cấp một bằng cách đặt ẩn hàm mới... 14 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp x y 2 3 1 dx x dy C x2 y2 1 1 2 x 3 y 2 3 x xy C xy C1 x 1 y 1 x y Ví dụ 20 Giải các phương trình sau 2 a) ( x y)dx ( x 2 y)dy 0, x y b) ( e y sin y)dx ( e x x cos y )dy 0 8.2.PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 8.2.1 KHÁI NIỆM 1 Phƣơng trình vi phân cấp hai là phương trình... y '(0) 2 c) Phƣơng trình vi phân cấp hai thiếu y Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 16 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Khi đó phương trình có dạng y " f ( x, y ') Muốn giải phương trình này, ta đặt ẩn hàm z y ' z ' y " Thay vào phương trình đã cho, sẽ được phương trình mới có dạng z ' f ( x, z) Đây là phương trình vi phân cấp một đối với ẩn hàm z , biến số...PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Thay vào phương trình đẳng cấp ta được z ' x z z cos z z ' x cos z dz dz dx x cos z dx cos z x Đây là phương trình phân li với điều kiện cos z 0 Lấy tích phân bất định hai vế ta có ... z' e Thay vào phương trình đẳng cấp, ta thấy thoả mãn Vậy, đây là nghiệm kì dị của phương trình Khi đó y ' ex y e 2 x 2 Như vậy, phương trình đã cho có một nghiệm tổng quát và một nghiệm kì dị y' x( x 1), y(2) 1, y '(2) 1 Ví dụ 5 Giải phương trình y " x 1 Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 17 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp Ví dụ 6 Giải phương trình y... phương trình yy " y ' 0, y(0) 1, y '(0) 2 2 Phƣơng trình tuyến tính hệ số hằng thuần nhất Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 18 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp a) Khái niệm Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất là phương trình vi phân có dạng y " a1 y ' a2 y 0 b) Cách giải Xét phương trình đặc trưng k2 a1k a2 0 - Nếu phương trình đặc trưng... y " 4 y 0 3 Phƣơng trình tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất a) Khái niệm Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất là phương trình vi phân có dạng y " a1 y ' a2 y f ( x) Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 19 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp b) Cách giải Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất có dạng y y yr , trong đó y là nghiệm... yr 1 là nghiệm riêng của phương trình y " a1 y ' a2 y f2( x) x Ví dụ 18 Giải phương trình y " y e 5 x Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 23 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp BÀI TẬP TP VÀ PTVP 1 Tính các tích phân bất định a) x 1 x dx ; b) (sin 5x sin 7x)dx ; c) e) i) dx ; sin x 2cos 2 x f) 2 s inx dx ; 2-cosx k) 2 s inx 3 sin 2 2x ... trình (2 xy 3)dx x dy 0 2 Ví dụ 14 Giải phương trình y ' 1 x y arcsin x, y(0) 0 4 Phƣơng trình Bernoulli Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 12 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng y ' p( x) y q( x) y trong đó p( x), q( x) là các hàm số của biến số độc lập x , còn là số thực bất kì Với 0, 1 , phương trình Bernoulli... phương trình sau 3 x2 y y2 ( x3 1)sin x, y(0) 1 a) y ' 3 x 1 3 b) 3dy (1 3 y ) y sin xdx 0, Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân y( ) 1 2 13 PGS-TS Lê Anh Vũ Bài giảng Toán Cao Cấp 5 Phƣơng trình vi phân toàn phần a) Khái niệm: là phương trình vi phân có dạng P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 trong đó P( x, y), Q( x, y) là các hàm hai biến có các đạo hàm riêng thoả mãn điều . Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 1 BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A COURSE OF HIGHER MATHEMATICS) . c a 1 cos sin , 0 a axdx ax c a 7.1.3. CÁC TÍNH CHẤT Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 2 1 2008 1x x dx 7.2. ÔN TẬP VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (DEFINITE INTEGRAL) Bài giảng Toán Cao Cấp PGS-TS Lê Anh Vũ Chƣơng 7, 8: Phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân 3 7.2.1.