Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN BIẾT MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨNKHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2014 ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN BIẾT MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC Chuyên ngành:TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:TS.NGUYỄN ANH TUẤN Thái Nguyên – 2014 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỤC LỤC MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 1 CHƢƠNG 1 BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 3 1.1. Bài toán tối ƣu tổng quát: 3 1.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính 4 1.2.2. Phƣơng pháp đơn hình 5 CHƢƠNG 2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NÓN XOAY 11 2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính 11 2.2. Khái niệm về nón tuyến tính, cạnh của nón và nón - min 11 2.2.1. Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính 11 2.2.2. Khái niệm về cạnh của nón đơn hình: 12 2.2.3. Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh ra từ nón M: 16 2.2.4. Định nghĩa Nón – min (Nón cực tiểu). 17 2.3. Phƣơng pháp nón xoay tuyến tính: 19 2.3.1. Thuật toán nón xoay tuyến tính 20 2.3.2. Bảng lặp giải bài toán qui hoạch tuyến tính bởi thuật toán nón xoay tuyến tính và ví dụ minh hoạ: 23 CHƢƠNG 3 THUẬT TOÁN NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC 29 3.1. Lựa chọn siêu phẳng đƣa vào cơ sở 30 3.2. Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phƣơng trình tuyến tính khi biết một điểm chấp nhận đƣợc 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Trong những thập kỷ qua, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, lý thuyết tối ưu đã có những bước tiến lớn trong đó phải nói đến các phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học như L.V. Kantorovich (1939), George Dantzig (1947), Lemke (1954), Leonid Khachian (1979), Karmarkar (1984), Bài toán quy hoạch tuyến tính có hai dạng cơ bản là dạng chuẩn và dạng chính tắc, hai dạng này có quan hệ mật thiết với nhau. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn là bài toán có miền ràng buộc là một hệ bất phương trình tuyến tính, còn bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là bài toán quy hoạch có miền ràng buộc là một hệ phương trình tuyến tính với các biến của nó có dấu không âm. Nội dung chính của luận văn là đề nghị một thuật toán cải tiến từ thuật toán nón xoay tuyến tính trình bày trong [5] khi chúng ta biết một điểm chấp nhận được của miền ràng buộc bài toán (đây là giả thiết thông thường mà các thuật toán khác vẫn sử dụng). Sự cải tiến này đã làm cho thuật toán mới đề xuất chỉ làm việc với các siêu phẳng tương ứng là ràng buộc biên và như vậy chúng ta đã loại đi được tất cả các ràng buộc không phải là biên của miền ràng buộc mà thuật toán nón xoay tuyến tính đề nghị trong [5] vẫn có thể phải làm việc tính toán trong các bước lặp của nó khi thuật toán chưa cải tiến. Đây chính là ưu điểm của thuật toán làm cho số bước lặp giảm đi đáng kể khi kích thước (số chiều) của bài toán là lớn. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1 trình bày bài toán tối ưu tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính và phương pháp đơin hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản liên quan đến nón đơn hình tuyến tính, từ đó làm cơ sở cho việc xây dựng phương pháp nón xoay tuyến tính giải trục tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính khi biết một nón-min của hàm mục tiêu bài toán. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chương 3 (dựa trên phương pháp nón xoay đề nghị trong chương 2) trình bày việc xây dựng thuật toán nón xoay cải tiến CT giải bài toán quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính khi biết một điểm chấp nhận được của miền ràng buộc bài toán và ví dụ bằng số minh hoạ cho thuật toán.  Thuật toán nón xoay cải tiến CT giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn khi biết một điểm chấp nhận được của miền ràng buộc bài toán đề nghị trong luận văn này được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được trình bày sao cho chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình trên máy tính bằng các ngôn ngữ như Pascal, C, Java, Luận văn này hoàn thành dựa trên cuốn sách”Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay”[5] và trên các sách, tài liệu có trong phần tài liệu tham khảo. Tác giả Nguyễn Văn Biết 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 1 BÀI TOÁN TỐI ƢU TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chƣơng này, chúng tôi trình bày bài toán tối ƣu tổng quát, bài toán quy hoạch tuyến tính và tóm tắt sơ lƣợc phƣơng pháp đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. 1.1. Bài toán tối ƣu tổng quát: Bài toán tối ƣu tổng quát đƣợc phát biểu nhƣ sau: Cực đại hoá (cực tiểu hoá) hàm: f ( x) max(min) . (1.1) với các điều kiện 1 ii g ( x )( , , )b ,i , ,m    . (1.2) n x X R . (1.3) Bài toán (1.1) – (1.3) đƣợc gọi là một quy hoạch, hàm f ( x ) đƣợc gọi là hàm mục tiêu, các hàm 1 i g ( x),i , ,m đƣợc gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức trong hệ (1.2) đƣợc gọi là một ràng buộc. Tập hợp:   1 ii D x X / g ( x)( , , )b ,i , m      . (1.4) đƣợc gọi là miền ràng buộc (hay miền chấp nhận đƣợc). Mỗi điểm: 12 n ( x x ,x , ,x ) D đƣợc gọi là một phƣơng án (hay một lời giải chấp nhận đƣợc). Một phƣơng án * xD đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là: * f ( x ) f ( x), x D   (đối với bài toán Max) * f ( x ) f ( x), x D   (đối với bài toán Min) 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ đƣợc gọi là phƣơng án tối ƣu (lời giải tối ƣu). Khi đó giá trị * f ( x ) đƣợc gọi là giá trị tối ƣu của bài toán. 1.2. Bài toán QHTT và phƣơng pháp đơn hình 1.2.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính có hai dạng cơ bản là dạng chính tắc và dạng chuẩn tắc, sau đây ta trình bày lần lƣợt hai dạng này. Bài toán QHTT dạng chính tắc: 1 n jj j c x max    1 1 n ij j i j a x b ,i , ,m    01 j x , j , ,n Bài toán QHTT dạng chuẩn: 1 n jj j c x max    1 1 n ij j i j a x b ,i , ,m    01 j x , j , ,n Bất kỳ QHTT nào cũng có thể đƣa về một trong hai dạng chuẩn hoặc chính tắc nhờ phép biến đổi tuyến tính sau: 1. Một ràng buộc 1 n ij j i j a x b    có thể đƣa về ràng buộc: 1 n ij j i j a x b      bằng cách nhân hai vế với (-1) và viết lại: 1 n ij j i j a' x b'    5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2. Một ràng buộc đẳng thức 1 n ij j i j a x b    có thể thay bằng hai ràng buộc bất đẳng thức: 1 n ij j i j a x b    và 1 n ij j i j a x b      3. Một biến i x không bị ràng buộc dấu có thể thay bởi hiệu của hai biến không âm bằng cách đặt: j j j x x x   với 00 jj x ,x   . 4. Một ràng buộc bất đẳng thức 1 n ij j i j a x b    có thể đƣa về ràng buộc đẳng thức bằng cách đƣa vào biến phụ 0 i y  : 1 n ij j j i j a x y b    Về nguyên tắc, áp dụng nhiều lần các phép biến đổi 1, 2 và 3 ta có thể đƣa một bài toán QHTT bất kỳ về dạng chuẩn, sau đó áp dụng nhiều lần phép biến đổi 4 ta sẽ đƣa nó về dạng chính tắc. 1.2.2. Phƣơng pháp đơn hình Vào năm 1947, Nhà Toán học ngƣời Mỹ là George Dantzig đề xuất giải bài toán QHTT dạng chính tắc sau: c,x max   (1.5) Ax b (1.6) 0x  (1.7) Trong đó A là ma trận kích thƣớc m.n (m ≤ n) với hạng của ma trận A là m. Dƣới đây để ngắn gọn, chúng tôi trình bày sơ lƣợc tóm tắt thuật toán, còn phần cơ sở của thuật toán đơn hình có thể xem trong [3]. Thuật toán đơn hình Bƣớc 1: Xây dựng bảng đơn hình xuất phát. Tìm một phƣơng án cực biên xuất phát x và cơ sở của nó j A , j J . 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Xác định các số jk z bởi hệ phƣơng trình: jk j k jJ z A A    (1.8) Đối với mỗi kJ , tính các ƣớc lƣợng: k jk j k jJ z c c      (1.9) Còn với 0j  thì 0 j  . Tính giá trị hàm mục tiêu: 0 jj jJ z c x    Bƣớc 2: Kiểm tra tối ƣu: Nếu 0 k ,k J   thì x là phƣơng án tối ƣu, dừng thuật toán. Trái lại, chuyển sang bƣớc 3. Bƣớc 3: Tìm véc tơ đƣa vào cơ sở. Có hai khả năng xảy ra: Tồn tại kJ sao cho 0 k  và 0 jk z , j J   thì bài toán QHTT không có lời giải tối ƣu (Z không bị chặn trên). Dừng thuật toán. Đối với mỗi kJ sao cho 0 k  đều tồn tại 0 jk j J : z . Khi đó chọn chỉ số s theo tiêu chuẩn:   0 s k k min /     (1.10) Đƣa véc tơ s A vào cơ sở. Bƣớc 4: Tìm véc tơ loại khỏi cơ sở. Xác định: 0 j r r js js rs x x min | z zz          (1.11) Khi đó chỉ số loại ra là r, và đƣa véc tơ r A ra khỏi cơ sở. Bƣớc 5: Chuyển sang phƣơng án cực biên mới và cơ sở mới. Cơ sở mới là   j A , j J ' với     J' ( J \ r ) s . j J ' các thành phần của phƣơng án cực biên mới x' đƣợc tính theo công thức: 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ j r rs js j r rs x ( x / z ).z , j s x' ( x / z ), j s       nÕu nÕu (1.12) Khai triển của các véc tơ k A theo các véc tơ cơ sở mới đƣợc tính theo công thức (1.15). Quay lên bƣớc 2. Công thức đổi cơ sở và bảng đơn hình: Ta xét các công thức chuyển từ phƣơng án cực biên x với cơ sở J sang phƣơng án cực biên x' với cơ sở J'. Ta đã có công thức (1.12) để tính các thành phần của x' , bây giờ ta thiết lập công thức tính các số jk z' ta có từ: s js j jJ A z A    . Suy ra: 1 r s js j j J ,j r rs A ( A z .A ) z    (1.13) Mặt khác: k jk j jk j rk r j J j J ,j r A z A z A z A        (1.14) Thay biểu thức của r A từ (1.13) vào (1.14) ta đƣợc: rk rk rk k jk j s js j jk js j s j J ,j r j J ,j r j J , j r rs rs rs z z z A z A A z A ( z z )A A z z z                   Đây là công thức biểu diễn k A qua cơ sở mới     J' ( J \ r ) s Bởi vậy ta có, jk rk rs js jk rk rs z ( z / z )z , j s j J ' : z' ( z / z ), j s         nÕu nÕu (1.15) Sau khi có jk z' ta tính: k jk j k j J' ' z' c c      (1.16) Để dễ tính toán, mỗi bƣớc lặp ta thiết lập bảng đơn hình. [...]... giả thiết x 0 là một điểm chấp nhận ca bài toán (L) Định lý này cho ta kết luận rằng, nếu bi toỏn (L) có ít nhất một điểm chấp s nhận đ-ợc thì I là một tập khác rỗng S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 16 2.2.3 Khỏi nim nún xoay M(r,s) sinh ra t nún M: Gi s M l mt nún n hỡnh tuyn tớnh ca h rng buc PL xỏc nh bi (2.1) v J ( x M ) , khi ú vi mi r I s , tập hợp các điểm x thoả mãn hệ... hm f ( x ) C,x ca bi toỏn ( L ) nu f ( x M ) f ( x ),x M Ta nói M là một nón - min của bài toán ( L ) khi M l mt nún min ca hm mc tiờu f ca bi toỏn ( L ) S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 18 nh lý 2.5 M l mt nún - min ca hm f ( x ) C,x ) khi v ch khi: i C,zM 0, I f ( x ) C,x ca bi Giả sử M là một nún - min ca hm mc tiờu toỏn ( L ) Gi: s V s : v I : f ( x v ) min... toỏn ( L ) thỡ nón M ( r,s ) xỏc nh t (2.16) cng là một nón - min ca hm mc tiờu bài toán ( L ) Chứng minh (xem [5]) nh x M ( r ,s ) ca nún xoay M ( r,s ) cũn cú th xỏc nh cụng thc sau õy khi bit cỏc vộc t ch phng cỏc cnh ca nún xoay M ( r,s ) : x M ( r ,s ) iI ( r ,s ) i bi zM ( r ,s ) (2.21) D-ới đây chúng ta sẽ xõy dng thut toỏn nún xoay giải bài toán ( L ) dựa vo cơ sở lý thuyt trỡnh by cỏc phn... kim tra nún xoay mi ny tng t nh i vi nún M, quỏ trỡnh ny c thc hin cho n khi nh ca nún xoay mi M ( r,s ) thuc min chp nhn ca bi toỏn ( L ) (khi min rng buc ca bi toỏn ( L ) cú phng ỏn) hoc s phỏt hin ra min rng buc ca bi toỏn ( L ) l rng 2.3.1 Thut toỏn nún xoay tuyn tớnh B-ớc chuẩn bị (bc 0) Gi s ta ó bit M 0 là nón - min của bài toán 0 0 (L) vi tp ch s c s l I 0 : i10 ,i2 , ,in ,x 0 x M 0 là đỉnh... rng buc sk l rng buc biờn ca PL Ta cú thut toỏn sau õy gii bi toỏn quy hoch tuyn tớnh ( L ) 3.2 Thut toỏn nún xoay gii bi toỏn quy hoch tuyn tớnh vi min rng buc l h bt phng trỡnh tuyn tớnh khi bit mt im chp nhn c Thut toỏn nún xoay CT (ci tin) Bc chun b (bc 0) Gi s ta bit mt im chp nhn c x*0 ca min rng buc PL v M 0 là nón cc tiu của bài toán ( L ) vi tp ch s c s 0 0 l I 0 : i10 ,i2 , ,in , x0 x M0... xoay tuyn tớnh gii trc tip bi toỏn quy hoch tuyn tớnh vi min rng buc l h bt phng trỡnh tuyn tớnh khi bit mt nún-min ca hm mc tiờu bi toỏn Bt k mt bi toỏn quy hoch tuyn tớnh no cng cú th a v bi toỏn quy hoch tuyn tớnh vi min rng buc l h bt phng trỡnh tuyn tớnh di õy (k c rng buc v du cng nm trong h) 2.1 Bi toỏn quy hoch tuyn tớnh Xét bi toỏn qui hoch tuyn tớnh vi min rng buc l h bt phng trỡnh tuyn tớnh... k nún M k tng ng l I k : i1k ,i2 , ,in ; x k x M k v zk z M k Xỏc nh tp J ( x k ) theo (2.10): J ( x k ) : j 1, 2, ,m : A j ,x k b j 0 1) Nếu J ( x k ) thì dừng lại x k chính là một lời giải của bài toán ( L), 2) Nếu J ( x k ) , ta chn ch s a vo c s theo mt trong hai cỏch sau: Ta chn sk l mt ch s tu ý thuc J ( xk ) chn sk min j : j J ( x k ) (gi l qui tc chn min) hoc ta (2.22) hoc... As ,z M r zM z M r As ,z M 1 r z M s r A ,z M khi i I 0 khi i I s ,i r (2.18) khi i s Cỏc cụng thc ny gi l cỏc cụng thc i c s, b di õy chng minh cỏc cụng thc trờn B 2.2: Gi s M l nún xỏc nh bi: i M : x R n : Ai ,x bi 0,i I vi cỏc vộc t ch phng zM ca cỏc cnh xỏc nh theo (2.4), cỏc giao im x i xỏc nh theo (2.10), (2.11) Khi ú nún xoay M ( r,s ) cú nh l x M ( r ,s ) x r xỏc nh... trờn và định lý 2.6 2.3 Phng phỏp nún xoay tuyn tớnh: Mt bin th ca phng phỏp nún min gii bi toỏn qui hoch gn lign lừm ngh trong cun sỏch Quy hoch gn li-gn lừm ng dng vo quy hoch tuyn tớnh (NXB Khoa hc v k thut nm 2011) s cho chỳng ta mt phng phỏp gii trc tip bi toỏn quy hoch tuyn tớnh (L) trong mc 2.1 vi c s xut phỏt t nh mt nún-min ca hm mc tiờu gi l phng phỏp nún xoay tuyn tớnh c th hin di dng thut... vuụng l [ Ask ,zkk ] S húa bi Trung tõm Hc liu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 29 CHNG 3 THUT TON NểN XOAY GII BI TON QUY HOCH TUYN TNH KHI BIT MT IM CHP NHN C Chng ny (da trờn phng phỏp nún xoay ngh trong chng 2) trỡnh by vic xõy dng thut toỏn nún xoay ci tin CT gii bi toỏn (L) dng chun khi bit mt im chp nhn c ca min rng buc bi toỏn v cỏc vớ d bng s minh ho cho thut toỏn. Ta nhc li bi toỏn qui hoch tuyn . KHOA HỌC NGUYỄN VĂN BIẾT MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨNKHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC . KHOA HỌC NGUYỄN VĂN BIẾT MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ NGOÀI GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC Chuyên ngành:TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12. THUẬT TOÁN NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH KHI BIẾT MỘT ĐIỂM CHẤP NHẬN ĐƢỢC 29 3.1. Lựa chọn siêu phẳng đƣa vào cơ sở 30 3.2. Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính