Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 + Là hệ có dạng ( ; ) 0 ( ; ) 0 f x y g x y =   =  trong đó ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) f x y g y x g x y f y x =   =  + Phương pháp giải: Trừ vế theo vế các phương trình của hệ ta được một phương trình có nhân tử chung là ( ) x y − Ví dụ 1: Giải hệ PT 3 3 2 2 x x y y y x  = +   = +   Ví dụ 2: Giải hệ PT 3 5 3 5 x y y x  + − =   + − =   BÀI TẬP: Bài 1. Giải hệ PT 2 2 2 4 5 2 4 5  = − +   = − +   x y y y x x Bài 2. Giải hệ PT 2 2 3 2 3 2  + =     + =   x y x y x y Bài 3. Gi ả i h ệ PT 3 3 5 5 x x y y y x  = +   = +   Bài 4. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 1 2 1 y x y x y x  =  −    =  −  Bài 5. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 2 1 1 1 1 y x y x y x  − =  +   −  =  +  Bài 6. Gi ả i h ệ PT 4 3 4 3  − =     − =   y x y x x y x y Bài 7. Gi ả i h ệ PT 1 1 2 2 1 1 2 2 y x x y  + − =     + − =   Bài 8*. Gi ả i h ệ PT 2 4 2 4 1 2 3 1 2 3 x y y x  + =     + =   Bài 9*. Gi ả i h ệ PT 1998 1998 1998 1998 x y x y  + − =   − + =   V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC Ví dụ 1: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 2 2 2 2 4 1 3 2 2 7  − + = −   + + =   x xy y x xy y Ví dụ 2: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 2 2 3 0 2  + − =   + = −   x xy y x x y y 10. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 8 2 3 3 1  − = +   − = +   x x y y x y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 4 16 1 5 1  + = +   + = +   x y y x y x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 10  − =   + =   y x y x x x y y Ví dụ 6: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 1  + =    + = −  x y x y xy x Ví dụ 7: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 9 1 4 5 5 2 x xy y x xy y  − + =   − + =   H ướ ng d ẫ n gi ả i: L ấ y (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta đượ c ph ươ ng trình đồ ng b ậ c ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 2 3 9 4 5 4 26 30 0 5 2 3 0 2 3 x y x xy y x xy y x xy y x y x y x y =  ⇒ − + = − + ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔  =  V ớ i 5 x y = thay vào (1) ta có 2 2 1 2 18 9 2 2 y y y= ⇔ = ⇔ = ± t ươ ng ứ ng 5 2 2 x = ± . V ớ i 3 2 y x = thay vào (1) ta có 2 4 2 y y = ⇔ = ± t ươ ng ứ ng 3 x = ± . V ậ y h ệ ph ươ ng trình có b ố n nghi ệ m là ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 ; ; ; ; 3;2 ; 3; 2 . 2 2 2 2     − − − −             Ví dụ 8: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình ( ) 2 2 3 3 30 (1) 35 2 x y y x x y  + =   + =   H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ph ươ ng trình này là ph ươ ng trình đố i x ứ ng lo ạ i m ộ t tuy nhiên chúng ta c ũ ng có th ể gi ả i theo ph ươ ng pháp đồ ng b ậ c. L ấ y (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta đượ c ph ươ ng trình đồ ng b ậ c ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 3 3 3 2 2 3 3 7 6 6 7 7 6 0 2 3 3 2 0 2 2 3 x y x y y x x y x x y y x y x y x y x y x y x y   = −   + = + ⇔ − − − = ⇔ + − − = ⇔ =    =  V ớ i x y = − thay vào (2) suy ra vô nghi ệ m. +) V ớ i 3 2 x y = thay vào (2) ta có 3 8 2 y y = ⇔ = suy ra 3 x = . +) V ớ i 2 3 x y = thay vào (2) ta có 3 27 3 y y = ⇔ = suy ra 2 x = . V ậ y h ệ có nghi ệ m là ( ) ( ) ( ) { } ; 3;2 , 2;3 x y = . Ví dụ 9: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 3 2 2 2 3, (1) 2 2 , (2) x y y x x y y x  − = − +   − = −   H ướ ng d ẫ n gi ả i: Đ i ề u ki ệ n: 2 2 2 . x y ≥ Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (1) (2 ) 2 2 3 0 2 1. 2 3 0 x y x y x y x y x y  − =  ⇔ − + − − = ⇔ ⇒ − =  − = − <  Khi đ ó 3 3 3 3 2 2 (2) 2 ( 2 ).1 2 ( 2 ).( 2 ) x y y x x y y x x y ⇔ − = − ⇔ − = − − 3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 2 2 4 2 5 2 2 0, (*) x y x y x y xy x x y xy y⇔ − = − − + ⇔ − − − = Do y = 0 không th ỏ a mãn (*) nên chia (*) cho y ≠ 0 ta đượ c 3 2 5 2 2 1 0 x x x y y y       − − − =             . Đặ t x t y = ta có ph ươ ng trình 3 2 5 2 2 1 0 t t t − − − = 2 2 1 ( 1)(5 3 1) 0 5 3 1 0 o t t t t t t vn =  ⇔ − + + = ⇔  + + = ⇒  V ớ i 1 . t x y = ⇒ = Thay vào (2) ta đượ c 3 0 0 0 1 1 1 1 x y x x x y x y = ⇒ =   − = ⇔ = − ⇒ = −   = ⇒ =  Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n ban đầ u ta đượ c x = y = 1 và x = y = −1 th ỏ a mãn h ệ ph ươ ng trình. V ậ y h ệ đ ã cho có hai nghi ệ m là ( ) { } ; (1;1),( 1; 1) . x y = − − Ví dụ 10: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 1 5 3 2 x y x y y x y  + + − =   + =   Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình 0 x y ≥ ≥ Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2x+2 4 2 2 2 2 0 5 4 0 5 4 0 y x x y x y y x y y x y y x x y y x y x y x y y xy y x − ≥   + + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔  − = −   ≥  ≥   ⇔ ⇔ =    − =    − =   V ớ i 0 y = thay vào (2) ta suy ra 9 x = (lo ạ i) V ớ i 5 4 0 y x − = thay vào (2) ta có 4 1 1 5 x x y = ⇔ = ⇒ = (th ỏ a mãn). V ậ y h ệ ph ươ ng trình có nghi ệ m là 4 1; 5       . Ví dụ 11: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình 2 2 5 5 3 3 3 31 7 x xy y x y x y  + + =   + =  +  H ướ ng d ẫ n gi ả i: Đ i ề u ki ệ n c ủ a ph ươ ng trình x y ≠ − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 1 31 7 31 2 7 x xy y x xy y x y x y x y x y  + + =  + + =   ⇔   + = + = +    +  L ấ y (2) nhân 3 k ế t h ợ p v ớ i (1) ta đượ c ph ươ ng trình đồ ng b ậ c ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2 2 3 3 5 4 3 2 4 4 21 31 10 31 31 31 10 0 3 x y x xy y x y x x y x y xy y+ = + + + ⇔ + + + + = . Rõ ràng 0 x y = = không ph ả i là nghi ệ m h ệ ph ươ ng trình. Đặ t x ty = thay vào (3) ta đượ c: Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! ( ) ( ) ( ) 5 5 4 3 5 4 3 4 3 2 4 3 2 10 31 31 31 10 0 10 31 31 31 10 0 1 0 1 10 21 10 21 10 0 10 21 10 21 10 0 y t t t t t t t t t t t t t t t t t t + + + + = ⇔ + + + + = + =  ⇔ + + + + + = ⇔  + + + + =  Với 1 0 1 t t + = ⇔ = − hay 0 x y x y = − ⇔ + = (loại). Với ( ) 4 3 2 10 21 10 21 10 0 3 t t t t+ + + + = . Vì 0 t = không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương trình cho 2 t ta được: 2 2 1 1 10 21 10 0 t t t t     + + + + =         , Đặ t 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2; 2 2 u t u u t t u t t t = + ⇒ ≥ = + + ⇒ + = − . Khi đ ó (3) tr ở thành 2 2 5 10 21 10 0 5 2 u u u u  =  + − = ⇔   = −   +) V ớ i 5 2 u = − ta có 2 2 1 5 2 5 2 0 1 2 2 t t t t t t = −   + = − ⇔ + + = ⇔  = −  +) Với 2 t = − ta có 2 x y = − thế vào (1) ta có 2 2 3 3 1 1 y y y = ⇔ = ⇔ = ± tương ứng 2 x = ∓ . +) Với 1 2 t = − ta có 2 y x = − thế vào (1) ta có 2 2 3 3 1 1 x x x = ⇔ = ⇔ = ± tương ứng 2 y = ∓ . Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 2 , 1;2 , 2; 1 , 2;1 . − − − − Ví dụ 12: Giải hệ phương trình 3 4 2 2 3 7 2 9 x y y x y xy y  − =   + + =   H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có h ệ t ươ ng đươ nng v ớ i ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 2 2 3 2 7 1 7 2 9 9 2 y x y x y y x y xy y y x y  − =  − =   ⇔   + + =  + =    T ừ h ệ suy ra .y 0; y, y 0 x x ≠ ≠ ± > . L ấ y ph ươ ng trình (1) l ũ y th ừ a ba, ph ươ ng trình (2) l ũ y th ừ a b ố n. L ấ y hai ph ươ ng trình thu đượ c chia cho nhau ta thu đượ c ph ươ ng trình đồ ng b ậ c: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 8 4 4 7 9 y x y y x y − = + . Đặ t x ty = ta đượ c ph ươ ng trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 8 4 1 7 3 9 1 t t − = + . T ừ ph ươ ng trình này suy ra 1 t > . Xét ( ) ( ) ( ) 3 3 8 1 ; t 1. 1 t f t t − = ∀ > + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 8 7 7 2 3 3 3 3 2 3 8 8 2 7 3 3 2 8 9 1 1 8 1 1 1 1 9 9 8 8 f' 1 1 1 1 9 8 0 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t − + − + − − + + − + = = + + − + + + = > ∀ > + V ậ y f(t) đồ ng bi ế n v ớ i m ọ i 1 t > . Nh ậ n th ấ y 2 t = là nghi ệ m c ủ a (3). V ậ y 2 t = là nghi ệ m duy nh ấ t. V ớ i 2 t = ta có 2 x y = th ế vào (1) ta đượ c 4 1 1 y y = ⇔ = (vì 0 y > ) suy ra 2 x = . (lo ạ i) Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Vậy hệ có nghiệm là ( ) 2;1 . BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1. Giải hệ PT 2 2 2 3 4 4 1  − =   − + =   y xy x xy y Bài 2. Giải hệ PT 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17  + + =   + + =   x xy y x xy y Bài 3. Giải hệ PT 2 2 2 2 3 5 4 3 9 11 8 6  − − = −   + − =   x xy y y xy x Bài 4. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 2 2 3 15 2 8 x xy y x xy y  + + =   + + =   Bài 5. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 2 6 2 56 5 49 x xy y x xy y  − − =   − − =   Bài 6. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 2 2 3 9 4 5 5  − + =   − + =   x xy y x xy y Bài 7. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 2 2 3 9 2 2 2  + + =   + + =   x xy y x xy y Bài 8. Gi ả i h ệ PT 2 2 2 2 2 3 9 2 13 15 0  − + =   − + =   x xy y x xy y Bài 9. Gi ả i h ệ PT ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2  − =     + =   y x y x x x y y Bài 10. Gi ả i h ệ PT 2 2 3 3 3 2 2  + + =   + = +   x y xy x y y x Bài 11 . Gi ả i h ệ PT 2 2 4 2 3 2 2  + =  + = −  x xy y xy Bài 12: Gi ả i h ệ PT 2 2 3 1 2  + − =   = +   x y xy x x y Bài 13 . Gi ả i h ệ PT 3 3 2 2 2 2 3  + =   + =   x y x y y x xy Bài 14. Gi ả i h ệ PT 2 2 3 3 2 2 2  + =   + + = +   x y x y xy x y Bài 15. Gi ả i h ệ PT 3 3 3 3 3 2 2 3  + =   + =   x y xy x y x y Bài 16: Gi ả i h ệ PT 2 2 3 2 9 9(2 ) x y x xy y x y  + =   + + = +   Bài 17. Gi ả i h ệ PT 3 3 2 4 4 1 4 4 x y xy x y x y  + − =   + = +   Bài 18*: Gi ả i h ệ PT 3 2 2 2 2 12 0 (12 ) 8 x y x y y x  + − =   − =   Bài 19*: Gi ả i h ệ : 3 3 3 3 5 6 1 2 x y y xy y  + =   + =   Bài 20*: Gi ả i h ệ PT 3 2 3 2 2 4 8 1 2 4 4 2 x xy y x y x y  + + =   + = +   Bài 21*: Gi ả i h ệ : 3 2 2 2 2 4 2 2 2 ( 1)( 3)(1 ) 2 2 5 x x y y y x y y  − = + + −   + + =   Bài 22*: Gi ả i h ệ : 2 9 3 3 x y y x y + =    − = −   . Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 8 2 3 3 1  − = +   − = +   x x y y x y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 4 16 1 5 1  + = +   + = +   x y y x y x Ví dụ 5: Giải hệ phương trình. Trừ vế theo vế các phương trình của hệ ta được một phương trình có nhân tử chung là ( ) x y − Ví dụ 1: Giải hệ PT 3 3 2 2 x x y y y x  = +   = +   Ví dụ 2: Giải hệ PT 3 5 3 5 x y y. x y y x y  + + − =   + =   Hướng dẫn giải: Điều kiện của phương trình 0 x y ≥ ≥ Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2x+2 4 2 2 2 2 0 5 4 0 5