Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Ví dụ 1. Cho đường thẳng 1 1 : 2 1 1 − − = = − x y z d . Tìm điểm M trên d thỏa mãn a) 3; =MA với (2;0;1) A b) 13 ; 6 = MA MB với (2;0;1); (2; 1;1) − A B c) 2 2 2 2 2 11 + + = M M M x y z d) ( ) ;( ) 2, = d M P với (P): x + 2y + 2z – 1 = 0. Đ/s: a) M(3; 1; 0) b) M(3; 1; 1) c) M(1; –1; –2) Ví dụ 2. Cho đường thẳng : 1 2 =   = +   =  x t d y t z t . Tìm điểm M trên d thỏa mãn a) 30 ; 2 = MAB S v ớ i (1;0;3); (2; 1;1) − A B b) ( ) 1 ; , 2 ∆ = d M v ớ i 1 : 2 1 1 + ∆ = = x y z Đ/s: a) M(1; 2; 2) b) M(–1; 0; –2) Ví dụ 3. Trong không gian h ệ t ọ a độ Oxyz cho đườ ng th ẳ ng 3 1 : 1 1 2 − + = = − x y z d và hai đ i ể m A(2; −1; 1), B(0; 1: −2). Tìm t ọ a độ đ i ể m M thu ộ c đườ ng th ẳ ng (d) sao cho tam giác ABM có di ệ n tích nh ỏ nh ấ t. H ướ ng d ẫ n gi ả i: +) Đườ ng th ẳ ng d có ph ươ ng trình tham s ố : 3 1 2 =   = −   = − +  x t d y t z t +) G ọ i M là đ i ể m c ầ n tìm. Do N ế u M thu ộ c d thì M nên ( ;3 ; 1 2 ). − − + M t t t +) Di ệ n tích tam giác ABM đượ c tính b ở i 1 ; 2   =     S AM BM +) ( ) ( ) ( ) 2;4 ;2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 , ; ; 8; 2; 4 2 2 1 2 1 2 ;2 ;2 1 AM t t t t t t t t t AM BM t t t t t t t t BM t t t  = − − −  − − − − − −     ⇒ = = + + −      − + + − = − +         +) Do đ ó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 , 8 2 16 2 5 34 34 2 2 2 2   = = + + + + = + + ≥     ABM S AM BM t t t V ậ y 34 min 2 =S khi 5 ( 5;8; 11). = − ⇒ − − t M Ví dụ 4. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz, cho hai đ i ể m A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đườ ng th ẳ ng 1 1 : 2 1 2 + − ∆ = = − x y z . Tìm to ạ độ đ i ể m M thu ộ c đườ ng th ẳ ng ∆ để tam giác MAB có di ệ n tích nh ỏ nh ấ t. H ướ ng d ẫ n gi ả i: +) G ọ i (2 1;1 ;2 ). ∈∆ ⇒ − − M M t t t 10. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! +) ( ) ( ) 2 2; 4 ;2 4 2 2 2 2 2 2 4 , ; ; 2 2 6 2 6 2 4 2 4 2 2 4; 2 ;2 6 AM t t t t t t t t t AM BM t t t t t t BM t t t  = − − −  − − − − − −     ⇒ =      − − − − − − − − = − − − −         ( ) 2 24;8 12;2 12 t t t= + − − +) Do đó ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 23 1547 1 , 2 14 8 12 2 12 18 1547 2 2 18 36 6 S AM BM t t t t     = = + + − + − = − + ≥         +) V ậ y 1547 min 6 =S khi 23 14 5 23 ; ; . 18 9 18 9   = ⇒ = −     t M Ví dụ 5. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz , cho ba đ i ể m A (5; 8; − 11), B (3; 5; − 4), C (2; 1; − 6) và đườ ng th ẳ ng th ẳ ng 1 2 1 : 2 1 1 − − − = = x y z d . Tìm đ i ể m M thu ộ c (d) sao cho MA MB MC − −    đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Đ i ể m M thu ộ c d nên M(2t + 1;2 + 2t;1 + t). Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4;2 6; 12 2 2;2 3; 5 2 1; 2 4; 2 1;2 1; 7 MA t t t MB t t t MA MB MC t t t MC t t t  = − − +   = − − + ⇒ − − = − − − − −   = − + +         ( ) ( ) 2 2 2 2 2 10 53 53 2 1 2 4 9 20 17 9 9 9 3   ⇒ − − = + + + + = + + = + + ≥        MA MB MC t t t t t t D ấ u đẳ ng th ứ c x ả y ra khi 10 11 2 1 ; ; . 9 9 9 9   = − ⇒ = − − −     t M Ví dụ 6. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz cho cho m ặ t ph ẳ ng ( ) : 2 2 1 0 P x y z − + − = và các đườ ng th ẳ ng 1 1 3 : , 2 3 2 x y z d − − = = − 2 5 5 : . 6 4 5 x y z d − + = = − Tìm đ i ể m M thu ộ c d 1 , N thu ộ c d 2 sao cho MN song song v ớ i (P) và đườ ng th ẳ ng MN cách (P) m ộ t kho ả ng b ằ ng 2. Ví dụ 7. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho hai đườ ng 1 ( ): 1 1 2 x y z d = = và 2 1 1 ( ): 2 1 1 x y z d + − = = − . Tìm t ọ a độ các đ i ể m M thu ộ c d 1 và N thu ộ c d 2 sao cho đườ ng th ẳ ng MN song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( ) : – 2012 0 + + = P x y z độ dài đ o ạ n MN b ằ ng 2. H ướ ng d ẫ n gi ả i: Ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 ; ;2 2 ' 1; ' ; ' 2 1 1 2 '; ';1 ' ∈ ⇒  ⇒ = − − − − − +  ∈ ⇒ − − +    M d M t t t MN t t t t t t N d N t t t . Theo bài ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 ' 1 ' ' 2 1 2 3 1 4 1 2 . 0 2 ' 1 ' ' 2 1 0  = −   = − − + − + − + =    ⇔ ⇔    + + + − = = − − − − + − + =         t t MN t t t t t t t t t MN n t t t t t t ( ) 2 0 ' 3 2 5 0;0;0 , ; ; 2 7 7 7 ' 14 4 0 7 =  = −     ⇔ ⇔ → = = − −     = − + =      t t t M N t t t Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 1 4 ( ): 1 2 1 − + = = − x y z d và 2 1 ( ): 1 2 2 = − +   = − −   = − +  x t d y t z t . Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Tìm tọa độ các điểm M thuộc d 1 và N thuộc d 2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( ) : 2 1 0 + + + = P x y z và 11. =MN Đ/s: (1;0; 4), ( 2;1;3). − − M N Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1 1 2 1 ( ): 1 1 2 − − + = = − x y z d ; 2 2 3 ( ): 1 4 = +   = −   = − +  x t d y t z t . Tìm t ọ a độ các đ i ể m M thu ộ c d 1 và N thu ộ c d 2 sao cho đườ ng th ẳ ng MN song song v ớ i m ặ t ph ẳ ng ( ) : 19 0 + + + = P x y z và 2 6. = MN Ví dụ 10. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho hai đườ ng 1 1 ( ): 2 = +   =   = −  x t d y t z t và 2 1 ( ): 2 3 1 − = = − − x y z d . Tìm t ọ a độ các đ i ể m M thu ộ c d 1 và N thu ộ c d 2 sao cho A, M, N th ẳ ng hàng v ớ i A(3; − 4; 0). Đ/s: 4 ; ' 3 7 = − = t t BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho hai đườ ng 1 1 ( ): 2 3 = +   = −   = +  x t d y t z t và 2 2 1 ( ): 1 1 1 − − = = − − x y z d . Tìm t ọ a độ các đ i ể m M thu ộ c d 1 và N thu ộ c d 2 sao cho A, M, N th ẳ ng hàng v ớ i A(2; − 2; 3). Đ/s: (3; 4;5), (1;0;1). − M N Bài 2. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho hai đườ ng 1 1 2 ( ): 1 = +   =   = −  x t d y t z t và 2 2 1 ( ): 2 1 3 + + = = − x y z d . Tìm t ọ a độ các đ i ể m M thu ộ c d 1 và N thu ộ c d 2 sao cho ∆ AMN đề u, v ớ i A(3; 0; 1). Bài 3. Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ Oxyz, cho đườ ng th ẳ ng 2 1 4 : 1 1 3 − − − ∆ = = − x y z và hai m ặ t ph ẳ ng ( ):3 5 10 0; ( ):5 3 8 0 + + − = − − + = P x y z Q x y z . Tìm đ i ể m M thu ộ c ∆ sao cho ( ) ( ) ;( ) 3 ;( ) . = d M P d M Q Đ/s: 59 28 113 (1;2;7), ; ; 29 29 29       M M Bài 4. Trong không gian cho đườ ng th ẳ ng 2 1 5 : . 1 3 2 + − + = = − x y z d Tìm t ọ a độ đ i ể m M thu ộ c d sao cho di ệ n tích tam giác MAB b ằ ng 3 5 bi ế t ( 2;1;1), ( 3; 1;2) − − − A B Đ /s: ( 2;1; 5), ( 14; 35;19) − − − − M M Bài 5. Trong không gian v ớ i h ệ to ạ độ Oxyz cho 2 đườ ng th ẳ ng 1 2 1 2 : , : 1 1 2 1 = − −   = = =  = +   x t x y z d d y t z t a) Xét v ị trí t ươ ng đố i c ủ a 2 đườ ng th ẳ ng trên b) Tìm các đ i ể m A thu ộ c d 1 , B thu ộ c d 2 sao cho đườ ng th ẳ ng AB song song v ớ i (P): x – y + z – 3 = 0 và 2 2. =AB Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Đ/s: A(1; 1; 2), B(1; –1; 0) hoặc 3 3 6 13 3 10 ; ; , ; ; 7 7 7 7 7 7 − − − −             A B Bài 6. Tìm trên đường thẳng 2 1 2 : 1 2 1 − − + = = − x y z d đ i ể m M(x M ; y M ; z M ) sao cho a) 2 2 2 = + + M M M F x y z nh ỏ nh ấ t. b) Kho ả ng cách t ừ M đế n ( P ): x + y + 2 z – 3 = 0 b ằ ng 3. Đ/s: a) M (1; –1; –1) Bài 7. Cho hai đ i ể m A (2; 1; –1), B (1; 2; 1), C (0; 0; 3) và 1 5 : 3 1 1 − − = = x y z d . Tìm đ i ể m M thu ộ c d sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 đạ t giá tr ị nh ỏ nh ấ t. Đ/s : 3 12 54 ; ; . 11 11 11   −     M . z . Tìm to ạ độ đ i ể m M thu ộ c đườ ng th ẳ ng ∆ để tam giác MAB có di ệ n tích nh ỏ nh ấ t. H ướ ng d ẫ n gi ả i: +) G ọ i (2 1;1 ;2 ). ∈∆ ⇒ − − M M t t t 10. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC. LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Tìm tọa độ các điểm M thuộc d 1 . quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014! Tìm tọa độ các điểm M thuộc d 1 và N thuộc d 2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng ( ) : 2 1 0 + + + = P x y z và 11. =MN Đ/s: (1;0; 4), ( 2;1;3). −