ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

10 1.2K 1
ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Trang 1 Chương 1 : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT 1.1.MA TRẬN : 1.1.1. Khái niệm về ma trận : • Ma trận là một bảng chữ nhật gồm mxn phần tử được sắp thành m dòng , n cột theo một thứ tự nhất định : ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 • Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị . • Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng. • Ma trận bằng nhau : Hai ma trận bằng nhau là 2 ma trận cùng cấp và có các phần tử nằm ở cùng vị trí bằng nhau . 1.1.2. Phép toán về ma trận : 1.Phép cộng : Tổng của 2 ma trận cùng cấp là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tổng của các phần tử tương ứng . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 312 201 + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 241 123 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 551 124 2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận . 2. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 5 1 2 1 4 0 0 3 1 3 1 2 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 10 2 4 2 8 0 0 6 2 6 2 4 3.Phép nhân hai ma trận : • Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai . • Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất tương ứng với các phần tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại . ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 302 211 . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 021 123 201 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +++−+++ +−++−−++−+ 0.31.02.22.3)2.(00.21.33.01.2 0.21).1(2.12.2)2).(1(0.11.23).1(1.1 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 465 160 Trang 2 1.1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng : 1. Phép biến đổi 1 : Hoán vị 2 dòng . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 213 021 302 ⎯⎯→⎯ ↔ 21 dd ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 213 302 021 2. Phép biến đổi 2 : Nhân một dòng với một số khác không . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 213 302 021 11 2dd→ ⎯ ⎯⎯→ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 213 302 042 3. Phép biến đổi 3 : Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác không . ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 213 302 021 ⎯⎯⎯⎯→⎯ →+− 221 )2( ddd ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 213 340 021 1.1.4. Ma trận dạng bậc thang : 1. Định nghĩa : • Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không . • Với hai dòng khác không , phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên . 2. Định lý : Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang sau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng . 1.1.5. Ma trận đảo : 1. Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả đảo nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n sao cho : A.B = B.A = I . Ma trận B là duy nhất và được gọi là ma trận đảo của ma trận A ,ký hiệu A -1 . 2. Cách tìm ma trận đảo : • Lập ma trận mở rộng ( A | I ) • Biến đổi ma trận ( A | I ) về dạng ( I | B ) : o Nếu biến đổi được về dạng ( I | B ) thì A là ma trận khả đảo và A -1 =B . o Nếu không biến đổi được về dạng ( I | B ) ( nghĩa là ma trận bên trái có xuất hiện dòng không ) thì ma trận A không khả đảo . Ví dụ : Tìm ma trận đảo , nếu có , của các ma trận : a) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 101 122 011 , b) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 633 211 532 1.2. ĐỊNH THỨC : Trang 3 1.2.3 Khái niệm về định thức: 1. Định thức cấp 2 : Cho ma trận vuông cấp 2 : A = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2221 1211 aa aa . Định thức của ma trận A là : det(A) = A = 2221 1211 aa aa = a 11 a 22 - a 12 a 21 2. Định thức cấp 3 : Cho ma trận vuông cấp 3 : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 333231 232221 131211 aaa aaa aaa . Định thức của ma trận A là : 333231 232221 131211 aaa aaa aaa = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 - a 13 a 22 a 31 - a 12 a 21 a 33 - a 11 a 23 a 32 Cách tính định thức cấp 3 : a. Quy tắc tam giác : *** *** *** *** *** *** ( + ) ( - ) b. Quy tắc đường song song : + + + ooooo ooooo ooooo - - - Ví dụ : Tính định thức của các ma trận : a) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 222 013 121 b) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 500 310 423 2. Định thức cấp n : Trang 4 Cho ma trận vuông cấp n : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nnnn n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 . a. Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử a ij , ký hiệu A ij , là một số xác định như sau : A ij = (-1) i+j ij M trong đó M ij là ma trận suy từ A bằng cách bỏ dòng i và cột j . b. Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n . nii ,1, =∀ : A = ∑ = n j ijij Aa 1 hoặc : mjj ,1, =∀ : A = ∑ = n i ijij Aa 1 Ví dụ : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 222 013 121 A = a 11 A 11 + a 12 A 12 + a 13 A 13 1.2.2. Tính chất: Cho ma trận A vuông . 1. Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : t A = A 2. Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu : ' A = - A 3. Nếu nhân 1 dòng cho α thì ' A = α A 4. Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0 . 5. Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần . 21212211 nnnn bbbaaabababa +=+++ 6. Nếu thay 1 dòng bằng chính nó cộng với 1 dòng khác đã nhân với 1 số khác không thì định thức không đổi : ' A = A . Ghi chú : Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức bằng tích các phần tử trên đường chéo chính . Trang 5 Ví dụ 1 : Tính định thức của ma trận : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − 222 013 121 Ví dụ 2 : Tính định thức của ma trận : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1210 3120 1210 0121 Ví dụ 3 : Chứng minh rằng : zzz yyy xxx 22 22 22 sincos2cos sincos2cos sincos2cos = 0 1.2.3 Cách tìm ma trận đảo bằng định thức 1. Điều kiện khả đảo : Ma trận A khả đảo ⇔ A ≠ 0 2. Công thức ma trận đảo : t nnnn n n AAA AAA AAA A A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 1 21 22221 11211 1 Ví dụ : Tìm ma trận đảo ( nếu có ) của các ma trận : a) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 52 21 , b) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 101 122 011 c) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 101 121 212 1.2.4 Hạng của ma trận : 1. Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn . • Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận vuông cấp k . Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A . • Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con khác không của A. Ghi chú : • r(A) = 0 ⇔ A = 0 • A = (a ij ) mxn ⇒ r(A) ≤ min(m,n) 2. Cách tìm hạng của ma trận : Trang 6 • Đưa ma trận về dạng bậc thang . • Hạng của ma trận là số dòng khác 0 . Ví dụ1 : Tìm hạng của ma trận : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− 1813 3211 1511 Ví dụ 2 : Biện luận theo tham số m hạng của ma trận : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − m38555 114243 001101 824312 1.3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH : 1.3.1. Khái niệm : 1.Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (1) a ij : hệ số ; b ij : hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = m,1 ; j = n,1 ) 2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 , B = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ m b b b . . 2 1 , X = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n x x x . . 2 1 A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số Ta có : (1) ⇔ AX = B 3. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính : Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số ( c 1 ,c 2 ,…,c n ) sao cho khi thay vào (x 1 ,x 2 ,…,x n ) các phương trình được nghiệm đúng. 4. Điều kiện tồn tại nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli Cho hệ phương trình (1) ,ta có : Trang 7 • r(A) ≠ r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm . • r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất . • r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm phụ thuộc (n-r) tham số . Ví dụ 1 : Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−++ =+−+ =+−+ =++− 7324 154 3332 52 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx Ví dụ 2 : Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ 1 1 1 321 321 321 mxxx xmxx xxmx 1.3.2. Hệ phương trình Cramer : 1. Định nghĩa : Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không . 2. Cách giải hệ phương trình Cramer : a. Phương pháp Cramer : Cho hệ phương trình Cramer : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ nnnnnn nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x 1 ,x 2 ,…,x n ) với : x i = A A i ),1( ni = trong đó A i là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B. Ví dụ1 : Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ −=++ =−+ 3285 132 2 321 321 321 xxx xxx xxx Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình : ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ 2 1 myx ymx b. Phương pháp ma trận đảo : Trang 8 Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B . Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là X = A -1 B Ví dụ : Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =++ =+ 4 922 3 31 321 21 xx xxx xx 1.3.3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss : Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B (A|B) → đưa về dạng bậc thang → (A’|B’) AX = B ⇔ A’X = B’ Ví dụ1 : Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−− =++ =++ 224 652 12 321 321 321 xxx xxx xxx Ví dụ2 : Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −=−+ =−++ =−+− 172 1234 223 321 4321 4321 xxx xxxx xxxx Ví dụ3 : Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+−− =+−+ =+−+ 022 42463 22 321 4321 4321 xxx xxxx xxxx 1.3.4. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : 1. Định nghĩa : Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự do đều bằng 0 . ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa Dạng ma trận : AX = 0 2. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : a. Nghiệm tầm thường : Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0) gọi là nghiệm tầm thường . b. Nghiệm không tầm thường: Trang 9 • Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là nghiệm không tầm thường . • Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < n ( số ẩn số ) • Nếu A là ma trận vuông thì : Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ | A | = 0 • Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ thuộc một số tham số .Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được nghiệm riêng . Ví dụ : Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =+− =++ 05 02 02 321 321 321 mxxx xxx xxx a. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường . b. Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình . 3. Hệ nghiệm cơ bản : Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản . Ví dụ : Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+− =−−+ =+−+ =++− 0333 052 042 02 431 4321 4321 4321 xxx xxxx xxxx xxxx 4. Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 2211 22222121 11212111 (1) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+++ =+++ =+++ 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa (2) Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1) Ví dụ1 : Cho hệ phương trình tuyến tính : Trang 10 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =++ =++ mxxx xxx xxx 321 321 321 384 342 12 (1) a. Giải và biện luận hệ phương trình (1) b.Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với hệ (1) Ví dụ2 : Cho hệ phương trình tuyến tính : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+− =−+ =+− 352 23 12 4321 431 321 xxxx xxx xxx (1) a. Chứng tỏ (0,1,1,1) là một nghiệm riêng của (1) b.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết với (1) c. Tìm nghiệm tổng quát của (1). . 21 22221 11211 • Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị . • Ma trận vuông ,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng. • Ma trận bằng nhau : Hai ma trận bằng. 1.3.2. Hệ phương trình Cramer : 1. Định nghĩa : Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không . 2. Cách giải hệ. = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n x x x . . 2 1 A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số Ta có : (1) ⇔ AX = B 3. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính : Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là

Ngày đăng: 22/11/2014, 19:36

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan