MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỊNH LÝ VIÉTE (CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG KIẾN THỨC CHO GIÁO VIÊN GIẢNG DẠY TOÁN THCS VÀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 9) A- LÝ LUẬN CHUNG: I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 1, Lý lý luận: Từ xưa đến Đảng, Nhà nước nhân dân ta ln ln nhận thức đầy đủ, sâu sắc vị trí vai trị giáo dục đào tạo cơng phát triển kinh tế xã hội thực công nghiệp hoá, đại hoá đưa đất nước lên thực “Dân giàu, nước mạnh, xã hội công văn minh” Đảng, Nhà nước ta khẳng định : Giáo dục - đào tạo động lực, điều kiện đảm bảo việc thực mục tiêu kinh tế - xã hội xây dựng bảo vệ tổ quốc Giáo dục - đào tạo chìa khố để mở cửa tiến vào tương lai Đầu tư cho giáo dục đào tạo đầu tư cho phát triển Thật coi trọng giáo dục - đào tạo quốc sách hàng đầu Giáo dục - đào tạo với nhiệm vụ nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Ba nhiệm vụ ln ln có quan hệ hữu với đan xen trình phát triển chung ngành Song song với việc nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực nhiệm vụ bồi dưỡng nhân tài đóng vai trò quan trọng Bởi lẽ nhân tài vốn quý đất nước phận đầu tầu thúc đẩy q trình cơng nghiệp hố, đại hố đất nước Bộ phận không đông, song cần phải phát hiện, tuyển chọn, đào tạo, bồi dưỡng, sử dụng, đãi ngộ cách thoả đáng, trí tuệ phận nhân tài trí tuệ cộng đồng lớn cống hiến họ cho đất nước có giá trị gấp nhiều lần so với giá trị mà nhân dân, đất nước đãi ngộ họ Chính vậy, nhiệm vụ bồi dưỡng nhân tài có liên quan tới tất cấp học, bậc học nước quan tâm tồn xã hội khơng thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy Cho nên việc bồi dưỡng nâng cao trình độ kiến thức cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn nhà trường đồng thời việc phát hiện, tuyển chọn, đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi đặt cho bậc học ngày đề cao trọng, khơng cịn nhiệm vụ trường chuyên, trường trọng điểm chất lượng cao mà nhiệm vụ chung tất trường học Bậc THCS xác định rõ nhhiệm vụ ngày hàng năm đạo Sở Giáo dục - đào tạo Bắc Giang, Phòng giáo dục Tân Yên đạo cụ thể, sát xao thường xuyên có tư mới, sáng tạo phù hợp tình hình cụ thể việc nâng cao trình độ cho giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi huyện Cho nên phong trào giáo viên giỏi, học sinh giỏi ngày nâng lên số lượng chất lượng Thành tích Phịng Giáo dục Tân Yên phong trào học sinh giỏi, giáo viên giỏi có đóng góp đáng kể thầy giáo, giáo giảng dạy mơn Tốn tồn huyện, đặc biệt thầy giáo, giáo dạy giỏi môn Hàng năm thi học sinh giỏi bậc học bậc THCS để có học sinh giải nhất, nhì tỉnh mơn Tốn đặc biệt mơn Tốn 9, câu hỏi mà phải quan tâm để tìm câu trả lời 2, Lý thực tiễn: Qua q trình giảng dạy Tốn lớp với việc hàng năm có ơn luyện cho em thi vào lớp 10 thi vào trường khiếu bậc THPT năm trước, với cương vị đạo dạy học nhà trường tơi thấy phần kiến thức phương trình bậc hai, định lý Viéte giáo viên cần thiết học sinh lĩnh hội nhiều hạn chế Trong kiến thức phần đóng vai trị quan trọng chương trình Tốn tảng thiếu cho việc học đại số sơ cấp em từ lớp 10 trở lên Một câu hỏi đặt phải khn khổ sách giáo khoa Tốn viết vấn đề hạn hẹp số đồng chí chưa dạy tốn liên tục khơng có thời gian để sâu Theo nghĩ mà thầy giáo, giáo chưa quan tâm nhiều tới sách tham khảo, sách tốn nâng cao, ơn luyện thi vào lớp 10 THPT, khiếu, tạp chí tốn học kể các sách giáo khoa lớp viết vấn đề Tôi xét thấy việc cần thiết phải trang bị cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn hiểu thật sâu, thật đa dạng dạng tập phương trình bậc hai, định lý viéte đồng thời giáo viên sử dụng tài liệu để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp ôn thi vào lớp 10 cho em II- NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: 1, Cung cấp, trang bị cho giáo viên giảng dạy mơn Tốn học sinh khá, giỏi lớp chuyên đề : “Phương trình bậc hai, định lý viéte” để nâng cao trình độ kiến thức cho giáo viên bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi trường 2, Phân loại dạng tập, đưa phương pháp giải dạng có lời giải tập mẫu kèm theo tập tương tự III- ĐỐI TƯỢNG, ĐỊA ĐIỂM, PHẠM VI NGHIÊN CỨU: 1, Đối tượng : - Giáo viên giảng dạy mơn Tốn - Học sinh khá, giỏi lớp - Phụ huynh học sinh 2, Địa điểm : Trường THCS Phúc Hoà 3, Phạm vi nghiên cứu: - Về kiến thức : Phương trình bậc hai, định lý Viéte - Thời gian nghiên cứu từ năm học 2004 - 2005 đến IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1, Đọc sách tham khảo (các ôn luyện vào lớp 10, 1001bài toán sơ cấp) đề thi vào lớp 10 tỉnh tỉnh, đề thi tuyển vào lớp 10 khiếu tỉnh Bắc Giang 2, Tham gia giảng dạy trực tiếp cho học sinh khá, giỏi lớp làm chuyên đề kiến thức cho giáo viên Toán trường B- NỘI DUNG : Một tốn phương trình bậc hai có chứa tham số có yêu cầu có nhiều yêu cầu khác (Tức có nhiều phần) Song yêu cầu kể đến sau: 1, Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm x1x2 * Phương pháp : +Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm; + Biến đổi biểu thức cho dạng sử dụng x 1+x2, x1 x2, thay x1 + x2 = −b , a x1 x2 = vào biểu thức tính 2, Chứng minh phương trình có nghiệm vơ nghiệm * Phương pháp : + Tính ∆ (hoặc ∆’) + Chỉ ∆ ≥ (hoặc ∆’ ≥ 0) yêu cầu chứng minh phương trình có nghiệm + Chỉ ∆ < (hoặc ∆’ < 0) yêu cầu chứng minh phương trình vơ nghiệm 3, Chứng minh hai (hay nhiều) phương trình có nghiệm * Phương pháp : + Tính tổng ∆ (hoặc tổng ∆’) + Chứng minh tổng khơng âm 4, Tìm giá trị tham số để phương trình có nghiệm (hoặc vơ nghiệm) * Phương pháp : Tìm giá trị tham số qua bất phương trình ∆ ≥ (hoặc ∆ < 0) 5, Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phương trình thoả mãn đẳng thức (hoặc bất đẳng thức) nghiệm phương trình * Phương pháp : Giá trị tham số cần tìm phải thoả mãn hệ phương trình: ∆≥0 x1 + x2 = p x1 x2 = s Đẳng thức nghiệm ( bất đẳng thức hai nghiệm) 6, Tìm giá trị lớn (hoặc giá trị nhỏ nhất) biểu thức có gắn với hai nghiệm phương trình * Phương pháp : + Biến đổi biểu thức dạng chứa tổng tích hai nghiệm + Thay x1 + x2 = s, x1 x2 = p vào biểu thức biến đổi biểu thức dạng khơng âm (hoặc khơng dương) Từ tìm cực trị biểu thức 7, Chứng minh nghiệm phương trình thoả mãn đẳng thức (hoặc bất đẳng thức) * Phương pháp : + Chứng minh phương trình có nghiệm: x1, x2 + Biến đổi biểu thức cho dạng sử dụng x1+x2, x1 x2 + Thay x1+x2 = s, x1 x2 = p vào biểu thức biến đổi trên, chứng minh theo yêu cầu cho 8, Viết hệ thức hai nghiệm không chứa tham số * Phương pháp : + Chứng minh ∆ ≥ (hoặc ∆’ ≥ 0) để có x1 x2 + Tính x1 + x2 , x1x2 + Biến đổi tổng, tích hai nghiệm để cộng trừ theo vế triệt tiêu tham số 9, Lập phương trình bậc hai * Phương pháp : + Tính tổng hai nghiệm x1 + x2 = s, tính tích hai nghiệm x1x2 = p + Thay s,p vào phương trình :X2 - SX + P = 10, Tìm giá trị tham số để hai (hoặc nhiều phương trình) có nghiệm chung tương đương 11, Các toán thuộc dạng khác (như chứng minh chia hết, chứng minh biểu thức không phụ thuộc tham số…) * SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CỦA CÁC DẠNG TRÊN : Bài 1: Khơng giải phương trình: 3x2 + 17x - 14 = (1) Hãy tính giá trị biểu thức : 3x12 + x1 x2 + 3x2 S= x1x2 + x2 x12 Giải: Ta có : 2 3x12 + x2 + x1 x2 3( x12 + x2 ) + x1 x2 S= = x1 x2 + x12 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) =  ( x1 + x2 ) − x1 x2  + x1 x2   Thay x1 + x2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) 3( x1 + x2 )2 − x1 x2 = x1 x2 ( x1 + x2 ) −17 −14 909 ; x1 x = vào S, ta S = 3 952 Bài 2: Cho phương trình: x2 - ax + a - = (1) a, Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức : 3x12 + 3x2 − M= 2 x1 x2 + x1 x2 b, Tìm giá trị a để tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ Giải : a, Ta có ∆ = (-a)2 - (a - 1) = a2 - 4a + = (a - 2)2 ≥ Với ∀ a → phương trình ln ln có nghiệm 2 3x12 + 3x2 − 3( x12 + x2 ) − = Từ M = 2 x1 x2 + x1 x2 x1x2 ( x1 + x2 ) M= ( x1 + x2 ) − x1 x2  −   x1 x2 ( x1 + x2 ) 3( x1 + x2 ) − x1 x2 − = x1 x2 ( x1 + x2 ) Theo định lý Viéte : x1 + x2 = a (*) x1 x2 = a − Thay (*) vào M ta : 3.a − 6(a − 1) − 3a − 6a + − M= = (a − 1).a a( a − 1) 3a − 6a + 3( a − 2a + 1) = = a( a − 1) a( a − 1) 3( a − 1) 3(a − 1) = = a (a − 1) a b, Giá trị a cần tìm phải thoả mãn hệ : x1 + x2 = a x1 x2 = a - A= x12 +x22 đạt GTNN Ta có : A = x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − x x2 Hay : A = a − 2(a − 1) = a − 2a + = a2 - 2a + + = (a - 1)2 + ≥ GTNN A 1, dầu xảy a = Thông qua 1, giúp cho ta thành thạo biến đổi sử dụng tổng, tích nghiệm Bài 3: Chứng minh phương trình : (x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) = ln ln có nghiệm với a, b, c Giải: Ta biến đổi phương trình: (x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) = ⇔ x2 - (a + b) x + ab + x2 - (b + c) x + bc + x2 - (a + c) x + ac = ⇔ 3x2 - 2(a + b + c) x + ab + bc + ac = Ta có : ∆’ = [ −( a + b + c) ] − 3(ab + bc + ac) = (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca 2∆’ = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca = (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2) = (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ≥ với ∀ a, b, c Vậy phương trình cho ln ln có nghiệm 1 Bài 4: Cho + = CMR hai phương trình sau phải a b x2 + ax + b = (1) x2 + bx + a = có nghiệm : (2) Giải : Ta có ∆1 = a2 - 4b ∆2 = b2 - 4a Xét ∆1 + ∆2 = a2 + b2 - (a + b) Từ (*) 1 + = ⇔ 2(a + b) = ab a b (**) Thay (**) vào (*) : ∆1 + ∆2 = a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 ≥ ⇒ (đpcm) Bài 5: Cho phương trình : x2 + ax + b - = (1) x2 + bx + c - = (2) x2 + cx + a - = (3) Chứng minh ba phương trình có phương trình có nghiệm: Giải : Ta có : ∆1 = a2 - (b - 1) = a2 - 4b + ∆2 = b2 - (c - 1) = b2 - 4c + ∆3 = c2 - (a - 1) = c2 - 4a + Xét : ∆1+ ∆2 + ∆3 = (a2 - 4a + 4) + (b2 - 4b + 4) + (c2 - 4c + 4) = (a - 2)2 + (b - 2) + (c - 2)2 ≥ ⇒ (đpcm) Bài 6: Cho phương trình : x2 + ax + b = x2 - cx - d = (1) (2) Có hệ số a, b, c, d thoả mãn: a(a - c) + c (c - a) + (d - b) > Chứng minh hai phương trình cho có hai nghiệm phân biệt : Giải : Phương trình (1) có : ∆1 = a2 - 4b Phương trình (2) có : ∆2 = c2 + 4d Xét ∆1 + ∆2 = a2 + c2 + 4d - 4b ⇒ (∆1 + ∆2) = 2(a2 + c2 + 4d - 4b) = 2(a2 + c2) + (d - b) Từ giả thiết : a(a - c) + c(c - a) + ( d - b) > ⇒ (d - b) > ac - a2 - c2 ⇒ 2(∆1 + ∆2) = (a2 + c2) + 8(d - b) > a2 + c2 + 2ac = (a + c)2 > ⇒ 2(∆1 + ∆2) > ⇒ ∆1 + ∆2 > ⇒ Ít hai biểu thức thức ∆1, ∆2 dương ⇒ (đpcm) Bài 7: Cho phương trình (ẩn x) x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) a, Chứng minh (1) có nghiệm với ∀ m b, m = ? (1) có nghiệm trái dấu c, Giả sử x1, x2 nghiệm (1) Chứng minh M = (1 - x2)x1 + (1 - x1)x2 không phụ thuộc m d, Tìm hệ thức nghiệm độc lập m 1 e, Lập phương trình bậc có nghiệm (x1, x2 hai nghiệm x1 x2 (1)) Giải: a, Trước làm yêu cầu học sinh xác định hệ số : a = 1, b = -2 (m + 1) b’ = - (m + 1) ; c = m - ∆ ' = [ −(m + 1) ] − (m − 4) = (m + 1) − (m − 4) = m + 2m + − m + Ta có : = m + m + = m + 2.m + + 19 4 19 = (m + ) + ≥ ⇒ (dpcm) b, (1) có nghiệm trái dấu ⇔ ac < ⇔m- 4 ⇒ phương trình có nghiệm phân biệt ∀ m 4 c, Ta có : A = x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2) Vì phương trình (1) có nghiệm x1, x2 ∀ m, theo Viéte: x1 + x2 = 2(m + 1) x1 x2 = m − thay vào (*) Ta có : A = [ 2(m + 1) ] − 3( m − 2)2(m + 1) = 8(m + 1)3 - 6(m2 - 2m + m - 2) = 8(m3 + 3m2 + 3m + 1) - 6m2 + 6m + 12 = 8m3 + 24m2 + 24m + - 6m2 + 6m + 12 = 8m3 + 18m2 + 30m + 20 = (8m3 + 16m2 + 28m + 20) + 2m2 + 2m = 4(2m3 + 4m2 + 7m + 5) + 2m (m + 1) Do 4(2m3 + 4m2 + 7m + 5) M4 với ∀m ∈ z 16 (*) Và 2m (m + 1) lần tích số ngun liên tiếp ln ln chia hết cho ⇒ A M (đpcm) * MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Bài 1: Chứng minh phương trình (x + 1) (x + 3) + m (x + 2) (x + 4) = (1) ln ln có nghiệm số thực với ∀ giá trị m Bài 2: Cho phương trình : ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (3) Với ∀ a, b, c ≠ Chứng minh ba phương trình phải có nghiệm Bài 3: Chứng minh : Nếu a + b ≥ hai phương trình sau có nghiệm: x2 + 2ax + b = x2 + 2bx + a = (1) (2) Bài 4: Cho phương trình : x2 - 4x - (m2 + 3m) = a, Chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm x1, x2 với m b, Xác định m để : x12 + x22 = 4(x1 + x2) c, Lập phương trình bậc ẩn y có nghiệm y1, y2 thoả mãn : y1 + y2 = x1 + x2 y1 y + =3 − y2 − y1 Bài 5: Cho phương trình : 2x2 + (2m - 1)x + m - = a, Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với ∀ m b, Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm c, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn : -1 < x1 < x2 < 17 d, Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt x 1, x2 lập hệ thức x1, x2 khơng có m Bài 6: Cho phương trình : x2 - (k + 1)x + k = (1) a, Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với ∀ k b, Gọi x1, x2 nghiệm (1) tìm k để A = x x22 + x12 x2 + 2007 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài 7: Cho phương trình : x2 + ax + bc = (1) x2 +bx + ac = (2) (a, b, c đôi khác khác 0) Cho biết (1) (2) có nghiệm chung chứng minh hai nghiệm cịn lại phương trình (1) (2) nghiệm phương trình x2 + cx + ab = Bài 8: Biết : Phương trình : x2 + ax + = có nghiệm x1 = m (1) Phương trình : x2 + bx + = có nghiệm x2 = m (2) Phương trình : x + cx + = có nghiệm x3 = m.n (3) Chứng minh : (a2 + b2 + c2 + abc) chia hết cho Bài 9: Cho phương trình : x2 + mx + n = (1) a, Tìm m, n biết phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 - x2 = x13 - x23 = b, Cho biết n = m - Tìm m, n để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 10: Có hai phương trình : x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a, Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung b, Tìm m để hai phương trình tương đương c, Xác định m để phương trình : (x2 + mx + 2) (x2 + 2x + m) = Có nghiệm phân biệt C - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: 18 Chuyên đề : “Phương trình bậc hai, định lý Viéte” tơi trình bày trao đổi với nhóm tốn trường từ năm học 2004 – 2005 giảng dạy cho học sinh lớp hàng năm (sau em học xong chương IV - Đại số 9) Sau thời gian gần năm học nhận thấy kết chuyên đề có hiệu đáng ghi nhận Các đồng chí nhóm tốn rói hiểu sâu thêm vấn đề đó, học sinh sau học xong giải tập tương tự tỏ rát thông thạo, tự tin Với cách làm tương tự với nhiều chuyên đề khác mà tơi tổ tốn trao đổi, học tập lẫn Chẳng hạn chuyên đề : Tỷ lệ thức, dạng tỷ số băng (ở lớp 7), đa thức phương pháp chứng minh bất đẳng thức (lớp 8), tổng dãy phân số viết theo quy luật (lớp 6) Song song với việc trang bị kiến thức cho giáo viên thường xuyên dự (kể dự đột xuất) thấy kiến thức đồng chí nhóm tốn ngày lên rõ rệt Thêm vào hàng năm thi học sinh giỏi Tốn cấp huyện, cấp tỉnh trường có nhiều em đạt giải gần có em giải huyện, giải khuyến khích tỉnh Tốn với cách làm tương tự mơn văn hố khác trình độ giáo viên nâng lên hàng năm thi học sinh giỏi trường xếp thứ hạng tốp đầu huyện D - TRIỂN VỌNG CỦA ĐỀ TÀI: Kết thu đề tài đem lại cho giáo viên giảng dạy vững vàng kiến thức, đem lại cho học sinh cách phương pháp tư toán quan trọng tiếp thu lĩnh hội mảng kiến thức khác Chính triển vọng đề tài bổ ích có chiều sâu cho người dạy người học E - KẾ LUẬN : Chúng ta biết rõ : Dạy học mơn Tốn dạy cách tư tư sáng tạo Chuyên đề “Phương trình bậc hai, định lý Viéte” mảng kiến thức nhỏ bé kho tàng kiến thức Toán học nói chung kiến thức mơn Tốn THCS nói riêng Tôi tin tưởng thầy giáo, cô giáo ln ln ý khơng ngừng nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ sư phạm nhiệm vụ trồng người thành cơng 19 Do khn khổ nội dung đề tài với lực cá nhân, xin chia sẻ với bạn đồng nghiệp Nếu viết có sơ xuất mong đóng góp bạn đồng nghiệp Xin trân thành cảm ơn ! Phúc Hoà, ngày 19 tháng năm 2007 Người viết sáng kiến Giáp Thị Minh 20 ... Lập phương trình bậc hai * Phương pháp : + Tính tổng hai nghiệm x1 + x2 = s, tính tích hai nghiệm x1x2 = p + Thay s,p vào phương trình :X2 - SX + P = 10, Tìm giá trị tham số để hai (hoặc nhiều phương. .. nhỏ Bài 10: Có hai phương trình : x2 + mx + = (1) x2 + 2x + m = (2) a, Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung b, Tìm m để hai phương trình tương đương c, Xác định m để phương trình : (x2 +... theo định lý đảo Viéte ta có : x1 x2 hai nghiệm phương trình : x2 - (a + b)x + ab = ; (vì a + b = - 2) ⇒ x2 + 2x + ab = Bài 14: Cho phương trình (ẩn x): x4 - 2mx2 + 2m - = (1) a, Giải phương trình