Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 12 , ,..., n thì đặt 12 12 () ... () n n A AA Px Q x x x x . + Khi 22 ( ) , 4 0 Q x x x px q p q thì đặt 2 () . () P x A Bx C Q x x x px q + Khi 2 () Q x x x với thì đặt 2 () () A P x B C Q x x x x . PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên ; ab thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bb aa b u x v x dx u x v x v x u x dx a hay bb aa b udv uv vdu a . Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại ( ) . dv v x dx Bước 2: Tính du u dx và () v dv v x dx . Bước 3: Tính bb aa vdu vu dx và b uv a . Bước 5: Áp dụng công thức trên. Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 1 BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG Cxdx C x dxx 1 1 Cx x dx ln C n bax a dxbax n n 1 1 )( 1 Cedxe xx C a a dxa x x ln Cxdxx sin.cos ; Cnx n dxnx sin 1 ).(cos Cxdxx cos.sin ; Cnx n dxnx cos 1 .sin Ctgxxtgdx x )1( cos 1 2 2 Cgxgxdx x cot)cot1( sin 1 2 2 C a x xa dx arcsin 22 C a x a xa dx arctan 1 22 Cudu C u duu 1 1 Cbax a dx bax ln 1 )( 1 C un dxudx u n n n 1 ).1( 11 Ce a dxe baxbax 1 ; C u a dua u u ln Cbax a dxbax )cos( 1 )sin( Cbax a dxbax )sin( 1 )cos( Cu u du dx u u ln ' ; Cudx u u 2 ' ; C u dx u u 1' 2 C xa xa a xa dx ln 2 1 22 Caxx ax dx 2 2 ln CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. I. Phƣơng pháp đổi biến số dạng 1. Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau 1/ Quy tắc : Bước 1: Đặt x=v(t) Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt Bước 4: Tính () () () ( ) ( ) ( ) () vb b a v a vb f x dx g t dt G t va Bước 5: Kết luận : I= () () () vb Gt va 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là : Dấu hiệu Cách chọn 22 ax sin 22 ost 0 t x a t t x a c Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 2 22 xa ; sin 2 2 0; \ ost 2 a xt t a xt c 22 ax tan ; 22 cot 0; x a t t x a t t a x a x a x a x x=a.cos2t x a b x x=a+ 2 sinb a t b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : * 22 2 2 1 1 1 1 0 ax b a x+ 2a 2 dx dx du bx c a u k a Với : b x+ , , 2a 2 u k du dx a . * áp dụng để giải bài toán tổng quát : 21 22 k dx kZ ax . II. Đổi biến số dạng 2 1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : ) Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) . Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt . Bước 4: Tính () () () ( ) ( ) ( ) () ub b a u a ub f x dx g t dt G t ua Kết luận : I= () () () ub Gt ua 2. Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ A. DẠNG : I= () 0 ax+b Px dx a * Chú ý đến công thức : ln ax+b ax+b mm dx a . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến ( ) 1 ( ) ( ) ax+b ax+b ax+b P x m dx Q x dx Q x dx m dx B. DẠNG : 2 () ax Px dx bx c 1. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c có hai nghiệm phân biệt Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 3 Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( ) () ux dx u x ux Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) 2. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c có hai nghiệm kép Công thức cần chú ý : '( ) ln ( ) () u x dx ux ux Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t . 3. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c vô nghiệm : Ta viết : f(x)= 2 22 2 ( ) ( ) 2 ; 2 22 b ux P x P x a a u k b k ax a aa Khi đó : Đặt u= ktant C. DẠNG : 32 () ax Px dx bx cx d 1. Đa thức : f(x)= 32 ax 0bx cx d a có một nghiệm bội ba Công thức cần chú ý : 1 1 1 1 . 1 mm dx x m x 2. Đa thức : f(x)= 32 ax 0bx cx d a có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu 3. Đa thức : f(x)= 32 ax 0bx cx d a có ba nghiệm PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ I. KIẾN THỨC 1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau : - '( ) () 2 ( ) fx dx f x C fx - 2 2 1 lndx x x b C xb - Mở rộng : 2 2 '( ) ln ( ) ( ) () ux du u x u x b C u x b 1. Tích phân dạng : 2 1 0 ax I dx a bx c a. Lý thuyết : Từ : 2 2 2 2 f(x)=ax 24 2 b xu b a bx c a x du dx aa K a Khi đó ta có : - Nếu 2 2 2 2 0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k (1) Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 4 - Nếu : 2 0 0 ( ) ( ) . 2 2 a b f x a x b f x a x a u a a (2) - Nếu : 0 . +/ Với a>0 : 1 2 1 2 ( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x (3) +/ Với a<0 : 1 2 1 2 ( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x (4) Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau : b. Cách giải . *. Trường hợp : 2 2 2 2 0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k Khi đó đặt : 2 2 2 2 01 2 ; 2 2 2 ax . , . 2 tc x dx tdt ba ba bx c t ax bx c t a x x t t x t t tc t a x t a ba *. Trường hợp : 2 0 0 ( ) ( ) . 2 2 a b f x a x b f x a x a u a a Khi đó : 1 ln : 0 22 1 1 1 1 ln : 0 22 22 bb xx aa a I dx dx bb a bb a x x xx aa aa a *. Trường hợp : 0, 0a - Đặt : 1 2 12 2 ax x x t bx c a x x x x x x t *. Trường hợp : 0, 0a - Đặt : 1 2 12 2 ax x x t bx c a x x x x x x t 2. Tích phân dạng : 2 0 ax mx n I dx a bx c Phƣơng pháp : b.1 : Phân tích 2 2 2 2 . ax ( ) 1 ax ax ax A d bx c mx n B fx bx c bx c bx c b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1) b.4. Tính I = 2 2 1 2 ax ax A bx c B dx bx c (2) Trong đó 2 1 0 ax dx a bx c đã biết cách tính ở trên 3. Tích phân dạng : 2 1 0 ax I dx a mx n bx c Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 5 Phƣơng pháp : b.1. Phân tích : 2 2 11 ax ax n mx n bx c m x bx c m . (1) b.2 Đặt : 2 2 11 1 1 1 1 ax n y t dy dx x t m x t n x ym x t bx c a t b t c y y y b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : ' 2 ' dy I Ly My N . Tích phân này chúng ta đã biết cách tính . 4. Tích phân dạng : ;; m x I R x y dx R x dx x ( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và , , , là các hằng số đã biết ) Phương pháp : b.1 Đặt : t= m x x (1) b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng xt b.3. Tính vi phân hai vế : dx= ' t dt và đổi cận b.4. Cuối cùng ta tính : ' ' ; ; ' m x R x dx R t t t dt x *) Tính tích phân: 2 ,0 mx n I dx a ax bx c . (trong đó 2 () mx n fx ax bx c liên tục trên đoạn ; ) +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: cbxax B cbxax baxA cbxax nmx 222 )2( +)Ta có I= dx cbxax B dx cbxax baxA dx cbxax nmx 222 )2( . Tích phân dx cbxax baxA 2 )2( = cbxaxA 2 ln Tích phân 2 dx ax bx c tính được. *) Tính tích phân () () b a Px I dx Qx với P(x) và Q(x) là đa thức của x. Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 6 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 12 , , , n thì đặt 12 12 () () n n A AA Px Q x x x x . + Khi 22 ( ) , 4 0Q x x x px q p q thì đặt 2 () . () P x A Bx C Q x x x px q + Khi 2 ()Q x x x với thì đặt 2 () () A P x B C Q x x x x . PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên ;ab thì: '' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bb aa b u x v x dx u x v x v x u x dx a hay bb aa b udv uv vdu a . Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau: Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng ' udv uv dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại ' ( ) .dv v x dx Bước 2: Tính ' du u dx và ' ()v dv v x dx . Bước 3: Tính ' bb aa vdu vu dx và b uv a . Bước 5: Áp dụng công thức trên. *Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần. () b x a P x e dx ( )ln b a P x xdx ( )cos b a P x xdx cos b x a e xdx u P(x) lnx P(x) x e dv x e dx P(x)dx cosxdx cosxdx Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 7 Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và ' dv v dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn ' dv v dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm. Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần: Nếu tính tích phân ( ) ( )P x Q x dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: , cos , sin ax e ax ax thì ta thường đặt ' () () () () du P x dx u P x dv Q x dx v Q x dx Nếu tính tích phân ( ) ( )P x Q x dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt ' () () () du Q x dx u Q x dv P x dx v P x dx Nếu tính tích phân cos ax I e bxdx hoặc sin ax J e bxdx thì ta đặt 1 cos sin ax ax du ae dx ue dv bxdx v bx b hoặc đặt 1 sin cos ax ax du ae dx ue dv bxdx v bx b Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính. TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƢỢNG GIÁC Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 1. Tính cos dx I asinx b x c Phƣơng pháp: Đặt 2 2 tan 21 x dt t dx t Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 8 Ta có: 2 2 sin 1 t x t và 2 2 1 cos 1 t x t 2 2 cos 2 dx dt I asinx b x c c b t at b c đã biết cách tính. 2. Tính 22 sin sin cos cos dx I a x b x x c x d Phƣơng pháp: 22 sin sin cos cos dx I a d x b x x c d x 2 2 cos tan tan dx x a d x b x c d Đặt 2 cos dx t tgx dt x 2 dt I a d t bt c d đã tính được. 3. Tính sin cos sin cos m x n x p I dx a x b x c . Phƣơng pháp: +)Tìm A, B, C sao cho: sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x +) Vậy sin cos sin cos m x n x p I dx a x b x c = = cxbxa dx Cdx cxbxa xbxa BdxA cossincossin sincos Tích phân dx tính được Tích phân Ccxbxadx cxbxa xbxa cossinln cossin sincos Tích phân cxbxa dx cossin tính được. Nguyên hàm dạng sin ,cosR x x dx , với sin ,cosR x x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân. Trường hợp chung: Đặt 2 2 tan 21 x dt t dx t Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 9 Ta có 2 22 21 sin ;cos 11 tt xx tt Những trường hợp đặc biệt: +) Nếu sin ,cosR x x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là sin , cos sin ,cosR x x R x x thì đặt tantx hoặc cottx , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t. +) Nếu sin ,cosR x x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: sin ,cos sin ,cosR x x R x x thì đặt costx . +) Nếu sin ,cosR x x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: sin , cos sin ,cosR x x R x x thì đặt sintx . TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 1.Cho hàm số ()y f x liên tục và lẻ trên đoạn ;aa . Khi đó ( ) 0 a a I f x dx . 2.Cho hàm số ()y f x liên tục và chẵn trên đoạn ;aa . Khi đó 0 ( ) 2 ( ) aa a I f x dx f x dx . Chứng minh : Ta có 0 0 ( ) ( ) ( ) aa aa I f x dx f x dx f x dx (1) Ta tính 0 () a J f x dx bằng cách đặt 0x t t a dx dt 00 00 ( ) ( ) ( ) ( ) aa aa J f x dx f t dt f t dt f x dx (2) Thay (2) vào (1) ta được 0 ( ) 2 ( ) aa a I f x dx f x dx 3.Cho hàm số ()y f x liên tục và chẵn trên đoạn : . Khi đó dxxfdx a xf I x )( 2 1 1 )( Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên. Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ. 10 Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a x +1= a -t +1= 1 t t a a Khi x= - thì t = ; x = thì t =- Vậy dttf a a dt a tfa dx a xf I t t t t x )( 1 11 1 )( 1 )( Idxxfdt a tf dttf t )( 1 )( )( Suy ra dxxfdx a xf I x )( 2 1 1 )( 4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0; 2 .Khi đó 22 00 (sin ) (cos )f x dx f x dx . Chứng minh: Đặt 2 t x dx dt Khi x = 0 thì 2 t , khi 2 x thì t = 0 Do đó 0 2 2 2 0 0 0 2 (sin ) (sin( ) (cos ) (cos ) 2 f x dx f t dt f t dt f x dx . Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức *Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì (sin ) (sin ) 2 xf x dx f x dx *Nếu f(x) liên tục trên 0;1 thì 22 (cos ) (cos ) xf x dx f x dx