1 Một Số Kiến Thức Về Hàm Số Tuần Hoàn Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Trần Minh Hiền, THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Trong chương trình THPT, kiến thức về hàm số tuần hoàn (HSTH) ñược ñề cập rất ít, chủ yếu khi học sinh ñược học về các tính chất của các hàm số lượng giác ở lớp 11. Tuy nhiên, trong các kì thi học sinh giỏi, vẫn thường hay xuất hiện những bài toán liên quan ñến nội dung này. Bài viết sau sẽ trình bày một số kiến thức về lý thuyết cũng như các bài toán về HSTH. 1. ðịnh nghĩa Hàm số ( ) y f x = có tập xác ñịnh D ñược gọi là HSTH nếu tồn tại ít nhất một số 0 T ≠ sao cho với mọi x D ∈ ta có: i) x T D ± ∈ ii) ( ) ( ) f x T f x ± = . Số thực dương T thỏa mãn các ñiều kiện trên ñược gọi là chu kì (CK) của HSTH ( ) f x . Nếu HSTH ( ) f x có CK nhỏ nhất 0 T thì 0 T ñược gọi là chu kì cơ sở (CKCS) của HSTH ( ) f x . Ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của HSTH. 2. Một số tính chất 2.1. Giả sử ( ) f x là HSTH với CK T . Nếu 0 x D ∈ thì 0 x nT D + ∈ , 0 x D ∉ thì 0 x nT D + ∉ , với mọi n ∈ ℤ . 2.2. Giả sử ( ) f x là HSTH với CK T và ( ) 0 f x a = , 0 x D ∈ , khi ñó ( ) 0 f x nT a + = , với mọi n ∈ ℤ . 2.3. Nếu 1 2 , 0 T T > là các CK của HSTH ( ) f x trên tập D thì các thực dương 1 2 1 , , mT nT mT nT + , với ,m n + ∈ ℤ , ñều là CK của ( ) f x trên tập D . 2.4. Nếu ( ) f x là HSTH với CKCS 0 T thì 0 ,T nT n + = ∈ ℤ là m ộ t CK c ủ a HSTH ( ) f x . 2.5. N ế u 1 2 , T T là các CK c ủ a các HSTH ( ) ( ) , f x g x và 1 2 T T là s ố h ữ u t ỉ thì các hàm s ố ( ) ( ) f x g x + , ( ) ( ) ( ) ( ) , . f x g x f x g x − c ũ ng là các HSTH v ớ i chu kì 1 2 , ,T mT nT m n + = = ∈ ℤ . Vi ệ c ch ứ ng minh các tính ch ấ t 2.1 – 2.4 t ươ ng ñố i ñơ n gi ả n. Ta s ẽ ch ứ ng minh tính ch ấ t 2.5. Chứng minh. Vì 1 2 T T là số hữu tỉ nên tồn tại ,m n + ∈ ℤ sao cho 1 2 T n T m = . ðặt 1 2 T mT nT = = , với mọi x D ∈ , ta có • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 f x f x T f x T f x mT f x T = + = + = = + = + , • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 g x g x T g x T g x nT g x T = + = + = = + = + . Do ñ ó, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , . . f x T g x T f x g x f x T g x T f x g x + ± + = ± + + = . V ậ y ( ) ( ) ( ) ( ) , . f x g x f x g x ± là các HSTH v ớ i chu kì 1 2 , ,T mT nT m n + = = ∈ ℤ . 2 Vi ệ c k ế t lu ậ n m ộ t hàm s ố có ph ả i là HSTH hay không ph ụ thu ộ c r ấ t nhi ề u vào vi ệ c xác ñị nh CK ho ặ c CKCS (n ế u có) c ủ a hàm s ố . Ta ñề c ậ p ñế n CK (CKCS) c ủ a m ộ t s ố hàm s ố th ườ ng g ặ p. 3. Chu kì và chu kì cơ sở của một số hàm số 3.1. Hàm số ( ) f x c = ( c là hằng số) là HSTH với CK là số dương bất kì nhưng không có CKCS. 3.2. Hàm Dirichlet ( ) 1, 0, \ x f x x  ∈   =   ∈   ℚ ℝ ℚ là HSTH với CK là số hữu tỉ dương bất kì nhưng không có CKCS. 3.3. Hàm số ( ) { } [ ] f x x x x = = − là HSTH có CKCS 0 1 T = . 3.4. Các hàm số ( ) ( ) sin , cos f x x f x x = = là các HSTH có CKCS 0 2 T π = . Các hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) tan , cot , sin , cos f x x f x x f x x f x x = = = = là các HSTH có CKCS 0 T π = . 3.5. Các hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) sin , cos f x ax b f x ax b = + = + , 0 a ≠ là các HSTH có CKCS 0 2 T a π = . Các hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) tan , cot f x ax b f x ax b = + = + , 0 a ≠ là các HSTH có CKCS 0 T a π = . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho hàm số ( ) { } [ ] f x x x x = = − và ( ) ( ) sin f x ax b = + , các hàm số còn lại xin dành cho bạn ñọc như bài tập tự luyện. • Với mọi n ∈ ℤ , ta có ( ) { } { } ( ) f x n n x x f x + = + = = . Do ñó ( ) ( ) 1 f x f x + = . M ặ t khác, n ế u 0 0 1 T t < = < là CKCS c ủ a ( ) f x thì v ớ i 1 x t = − , ta có 0 1 x < < , do ñ ó. ( ) ( ) ( ) { } 1 0 1 f x t f f x x t + = = ≠ = = − . V ậ y hàm s ố ( ) { } [ ] f x x x x = = − là HSTH có CKCS 0 1 T = . • Tr ướ c h ế t, ta ch ứ ng minh 0 2 T a π = , 0 a ≠ là CK c ủ a ( ) ( ) sin f x ax b = + . Th ậ t v ậ y, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 sin f x a a x a b ax b ax b f x π π π   + = + + = ± + = + =     . Gi ả s ử t ồ n t ạ i s ố d ươ ng 2 t a π < sao cho ( ) ( ) f x t f x + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Khi ñ ó, v ớ i 2 b x a π − = , ta có ( ) ( ) ( ) 2 sin sin 2 cos cos 1 b f x t a t b at at t a a π π     −     + = + + = + = = <           , ( ) ( ) 2 sin sin 2 1 b f x a b a π π     −     = + = =           . Do ñó, ( ) ( ) f x t f x + = không xảy ra với mọi x ∈ ℝ , tức là 0 2 T a π = , 0 a ≠ là CKCS c ủa ( ) ( ) sin f x ax b = + . 4. Một số bài toán Bài toán 1. Xét tính tuần hoàn và tìm CKCS (nếu có) của các hàm số sau a) ( ) cos f x x π = b) ( ) cos f x x = 3 c) ( ) 3 cos cos 2 2 x x f x = d) ( ) cos cos 2 f x x x = + e) ( ) 2 sin f x x = Lời giải . a) Theo tính ch ất 3.5, dễ thấy rằng ( ) cos f x x π = là HSTH vớ i CKCS 2 T = . b) T ậ p xác ñị nh c ủ a hàm s ố là [ ) 0,D = +∞ . Gi ả s ử ( ) cos f x x = là HSTH v ớ i CK 0 T > . N ế u 0 x D ∈ thì 0 x nT D + ∈ , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . Tuy nhiên, ñ i ề u này không th ể x ả y n ế u cho 0 n < ñủ bé thì 0 0 x nT + < . Do ñ ó ( ) cos f x x = không là HSTH. c) Ta có ( ) ( ) ( ) 3 1 cos cos cos cos2 2 2 2 2 x x f x x x f x π = = + = + . Ta s ẽ ch ứ ng minh 0 2 T π = là CKCS c ủ a hàm s ố này. Th ậ t v ậ y, v ớ i 0 2 a π < < thì cos 1,cos 2 1 a a < ≤ , suy ra ( ) ( ) ( ) 1 cos cos 2 1 0 2 f a a a f = + < = . Do ñ ó, ( ) ( ) f x a f x + = không th ể x ả y ra v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , t ứ c là 0 2 T π = là s ố d ươ ng nh ỏ nh ấ t sao cho ( ) ( ) 0 f x T f x + = v ớ i m ọ i x ∈ ℝ hay 0 2 T π = là CKCS. d) Gi ả s ử ( ) cos cos 2 f x x x = + là HSTH, t ứ c là t ồ n t ạ i 0 T > sao cho ( ) ( ) f x T f x + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , hay ( ) ( ) cos cos 2 cos cos 2 x T x T x x + + + = + . V ớ i 0 x = , ta có cos cos 2 2 T T + = , suy ra cos cos 2 1 T T = = hay 2 , 2 2 T k T m π π = = , trong ñ ó ,k m + ∈ ℤ . Do ñó 2 m k = ∈ ℚ (vô lý). Vậy ( ) cos cos 2 f x x x = + không là HSTH. e) Giả sử ( ) 2 sin f x x = là HSTH, tứ c là t ồ n t ạ i 0 T > sao cho ( ) ( ) f x T f x + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , hay ( ) 2 2 sin sin x T x + = . V ớ i 0 x = , ta có 2 sin 0 T = hay 2 T k π = , k + ∈ ℤ hay T k π = . Suy ra ( ) ( ) f x k f x π + = . V ớ i 2 x k π = , ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 sin 2 sin 2 sin 2 0 k k k kπ π π π + = = = , vô lý vì ( ) ( ) ( ) 2 sin 2 sin 2 2 2 sin 2 2 0 k k k k k kπ π π π π π + = + + = ± ≠ . Vậy ( ) 2 sin f x x = không là HSTH. Bài toán 2. Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) [ ] { } 1 x f x x = − là HSTH. Lời giải. Ta sẽ chứng minh 0 2 T = là CKCS của hàm số. Thật vậy, ta có ( ) ( ) [ ] { } ( ) [ ] { } ( ) [ ] { } ( ) 2 2 2 1 2 1 1 x x x f x x x x f x + + + = − + = − = − = . Gi ả sử tồn tại 0 2 a < < sao cho ( ) ( ) f x a f a + = , với mọi x ∈ ℝ . Ta sẽ xét ba trường hợp. (i). 0 1 a < < . Chọn 2 x a = − thì 1 2 x < < . Do ñó ( ) { } 0 f x x = − ≠ ; ( ) ( ) 2 0 f x a f + = = , suy ra ( ) ( ) f x a f x + ≠ . 4 (ii). 1 a = . Ch ọ n 0 1 x < < , ta có ( ) { } ( ) { } ; f x x x f x a x x = = + =− = − , ( ) ( ) f x a f x + ≠ . (iii). 1 2 a < < . Ch ọ n 2 x a = − thì 0 1 x < < , ta có ( ) { } ( ) ( ) ; 2 0 f x x x f x a f = = + = = , suy ra ( ) ( ) f x a f x + ≠ . V ậ y không t ồ n t ạ i 0 2 a < < sao cho ( ) ( ) f x a f a + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ hay 0 2 T = là CKCS. Bài toán 3. [Vi ệ t Nam 1997, b ả ng B] Cho , , , a b c d là các s ố thực khác 0 . Chứ ng minh r ằ ng ( ) sin cos f x a cx b dx = + là HSTH c d ⇔ là s ố h ữ u t ỉ . Lời giải. ( ) ⇒ Giả sử ( ) f x là HSTH, tức là tồn tại 0 T > sao cho ( ) ( ) f x T f x + = , với mọi x ∈ ℝ . Với 0 x = ta có ( ) ( ) 0 f T f = hay sin cos a cT b dT b + = . V ớ i x T = − , ta có ( ) ( ) 0 f T f = hay sin cos a cT b dT b − + = . C ộ ng theo t ừ ng v ế các ñẳ ng th ứ c trên, ta nh ậ n ñượ c cos 1 dT = , suy ra { } 2 , \ 0 dT k k π = ∈ ℤ . Tr ừ theo t ừ ng v ế các ñẳ ng th ứ c trên, ta nh ậ n ñượ c sin 0 cT = , suy ra { } , \ 0 cT m m π = ∈ ℤ . T ừ ñ ó suy ra 2 c m d k = ∈ ℚ . ( ) ⇐ Ng ượ c l ạ i, gi ả s ử c d là s ố h ữ u t ỉ , t ứ c là t ồ n t ạ i { } , \ 0 m n ∈ ℤ sao cho c m d n = . Ta ch ọ n s ố d ươ ng 2 2 m n T c d π π = = , khi ñ ó v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , ta có ( ) ( ) 2 2 sin cos sin cos m n f x T a c x b d x a cx b dx f x c d π π         + = + + + = + =             . Do ñ ó, ( ) f x là HSTH v ớ i CK 2 2 m n T c d π π = = . Bài toán 4. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u ñồ th ị hàm s ố ( ) f x có hai tr ụ c ñố i x ứ ng ( ) , x a x b a b = = ≠ , thì ( ) f x là HSTH. Lời giải. Trước hết, ta gọi ( ) C là ñồ thị của hàm số. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng a b < . Tịnh tiến ( ) C theo vector ( ) ,0 v a = −  . Bài toán trở thành: “Chứng minh rằng nếu ñồ thị của hàm số ( ) f x có hai trục ñối xứng 0, x x c b a = = = − thì ( ) f x là HSTH”. Vì ñồ thị của hàm số ( ) f x ñối xứng qua 0 x = nên ( ) ( ) f x f x = − . Mặt khác, ñồ thị của hàm số ( ) f x cũng ñối xứng qua x c = nên ( ) ( ) 2 f x f c x = − . Suy ra ( ) ( ) 2 f x f c x − = − , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , t ứ c là ( ) f x là HSTH v ớ i CK ( ) 2 2 T c b a = = − . Bài toán 5. Cho hàm s ố ( ) f x xác ñị nh trên D và ( ) ( ) ( ) 1 , 0 1 f x f x a a f x − + = ≠ + . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) f x là HSTH. Lời giải. Với mọi , 0 x D a ∈ ≠ , ta có 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 f x f x f x a f x a f x a a f x a f x f x f x − + − + − −   + = + + = = =   + + − + + . Suy ra, ( ) ( ) ( ) 1 4 2 f x a f x f x a − + = = + . Do ñ ó ( ) f x là HSTH. Bài toán 6. Cho hàm s ố ( ) f x xác ñị nh trên ℝ và thỏa mãn ñiều kiện ( ) ( ) ( ) 4 4 f x f x f x + + − = , với mọi x ∈ ℝ . Chứng minh rằng ( ) f x là HSTH. Lời giải. Với mọi x ∈ ℝ , từ ñiều kiện bài toán, ta có ( ) ( ) ( ) 8 4 f x f x f x + + = + . Suy ra ( ) ( ) 8 4 f x f x + =− − . Do ñ ó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 8 4 4 f x f x f x f x + = + + = − + − =− , và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 24 12 12 12 f f x f x f x = + + =− + = . V ậ y ( ) f x là HSTH v ớ i CK 24 T = . Bài toán 7. Cho hàm s ố ( ) f x xác ñị nh trên ℝ và th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) ( ) 3 3 f x f x f x = − + , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) f x là HSTH. Lời giải. Với mọi x ∈ ℝ , từ ñiều kiện bài toán, ta có ( ) ( ) ( ) 3 6 f x f x f x + = + . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 6 f x f x f x f x + = − + + , tức là ( ) 3 0 f x + = ho ặ c ( ) ( ) 3 6 1 f x f x − + = . N ế u ( ) 3 0 f x + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , thì ( ) 0 f x = , vì v ậ y ( ) f x là HSTH. N ế u ( ) ( ) 3 6 1 f x f x − + = thì ( ) ( ) 9 1 f x f x + = , do ñ ó ( ) ( ) 9 18 1 f x f x + + = . T ừ ñ ó suy ra ( ) ( ) 18 f x f x = + hay ( ) f x là HSTH CK 18 T = . Bài toán 8. Cho hàm s ố ( ) f x xác ñị nh trên ℝ và th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) ( ) 1 1 2 f x f x f x + + − = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) f x là HSTH. Lời giải. Với mọi x ∈ ℝ , từ ñiều kiện bài toán, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 1 f x f x f x f x f x f x f x   + + = + = − − = − −     . Do ñó ( ) ( ) ( ) 2 2 1 f x f x f x + − =− − . Từ ñẳng thức này, suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 1 f x f x f x f x f x + − + =− =− + − − hay ( ) ( ) 3 1 f x f x + = − − . Suy ra ( ) ( ) ( ) 4 8 f x f x f x =− + = + . V ậ y ( ) f x là HSTH v ớ i CK 8 T = Bài toán 9. Cho hàm s ố ( ) f x xác ñị nh trên ℝ , th ỏ a mãn các ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) 3 3 f x f x + ≤ + , ( ) ( ) 2 2 f x f x + ≥ + , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) g x f x x = − là HSTH. Lời giải. Ta sẽ chứng minh ( ) ( ) 6 g x g x + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Thật vậy, ta có 6 ( ) ( ) ( ) 6 6 6 3 3 6 g x f x x f x x + = + − − = + + − − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 6 3 3 6 f x x f x x f x x g x ≤ + + − − ≤ + + − − = − = . M ặ t khác, ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 6 4 2 6 4 2 6 g x f x x f x x f x x + = + − − = + + − − ≥ + + − − ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 6 6 6 f x x f x x x f x x g x ≥ + + − − ≥ + − − − = − = . Suy ra ( ) ( ) 6 g x g x + = , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ hay ( ) ( ) g x f x x = − là HSTH v ớ i CK 6 T = . Bài toán 10. Ch ứ ng minh r ằ ng n ế u HSTH ( ) f x th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) , kf x f kx = v ớ i m ọ i x ∈ ℝ , , 0, 1 k k k ∈ ≠ ≠ ± ℝ thì ( ) f x không có CKCS. Lời giải. Giả sử 0 T là CKCS của HSTH ( ) f x . Khi ñó, với mọi , 1, 0 x k k ∈ ≠ ≠ ℝ , ta có ( ) ( ) ( ) 0 f kx T f kx kf x + = = và ( ) 0 0 0 T T f kx T f k x kf x k k             + = + = +                 . Do ñó, ( ) 0 T f x f x k     = +       . Ta sẽ xét hai trường hợp sau: (i) 1 k > . N ế u 1 k > thì 0 0 T T k < (vô lý vì 0 T là CKCS). N ế u 1 k <− hay 1 k − > , b ằ ng cách ñặ t 0 T y x k = + , ta có ( ) 0 T f y f y k     = −       (vô lý vì 0 0 T T k − < ). (ii) 1 k < . V ớ i m ọ i x ∈ ℝ , ta có ( ) ( ) 0 0 0 x x x f x kT f k T kf T kf f x k k k                 + = + = + = =                       . ðặ t 1 'k k = , ta nh ậ n ñượ c ( ) 0 ' T f x f x k     = +       , v ớ i ' 1 k > . Theo (i), ta c ũ ng nh ậ n ñượ c ñ i ề u vô lí. Tóm l ạ i, ( ) f x không có CKCS. Bài toán 11. Cho 0 > a và hàm s ố : f + → ℝ ℝ th ỏ a ñ i ề u ki ệ n ( ) ( ) ( ) 2 1 2 + = + − f x a f x f x , v ớ i m ọ i 0 > x . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) f x là HSTH. Lời giải. Vì ( ) ( ) ( ) 2 1 , 2 f x a f x f x + = + − với mọi 0 > x nên ( ) 1 2 f x a + ≥ . Do ñó, ( ) 1 2 f x ≥ . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 2 f x a f x a f x a f x a f x a   + = + + − + = + + − +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 f x f x f x f x f x f x        = + + − − − = + − +            ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 f x f x f x = + − = + − = . Vậy tồn tại 2 0 T a = > sao cho ( ) ( ) f x T f x + = , với mọi x + ∈ ℝ nên ( ) f x là HSTH. 7 Bài toán 12. Tồn tại hay không các hàm số , :f g → ℝ ℝ , với g là HSTH thỏa mãn ñiều kiện [ ] ( ) ( ) 3 x f x g x = + , với mọi x ∈ ℝ , kí hiệu [ ] i chỉ phần nguyên. Lời giải. Giả sử tồn tại các hàm , f g thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi 0 T là CK của g . Với m ọi x ∈ ℝ , ta có ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3 0 0 0 0 x T f x T g x T f x T g x + = + + + = + + . Suy ra [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 0 0 0 0 0 3 3 * f x T f x x T x T x T x T+ − = + − = + + . V ới mọi [ ] ) 0 0 0, 1 x T T  ∈ + −  thì vế trái của (*) bằng 0, do ñó (*) là ña thức bậc 2 có vô số nghiệm, suy ra 2 3 0 0 0 3 3 0 T T T = = = hay 0 0 T = (vô lý). V ậ y không th ể t ồ n t ạ i các hàm , f g th ỏ a mãn yêu c ầ u bài toán. Bài toán 13. Gi ả s ử ( ) f x là m ộ t HSTH có CKCS 0 T . T ồ n t ạ i hay không ( ) 1 0 lim x x f → ? Lời giải. Trước hết, ta nhận thấy rằng ( ) f x c ≠ ( c là hằng số), vì hàm hằng không có CKCS. Do ñó, sẽ tồn tại hai số thực , a b sao cho ( ) ( ) f a f b ≠ . ðặt 0 0 , n n a a nT b b nT = + = + . Khi ñó, ta có 1 1 0, 0 n n n n a b →∞ →∞ → → . Do ñó ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 lim lim lim lim 1 n n n n n n f f a f a nT f a f a a →∞ →∞ →∞ →∞      = = + = =        , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 lim lim lim lim 1 n n n n n n f f b f b nT f b f b b →∞ →∞ →∞ →∞      = = + = =        . Suy ra, 1 1 lim lim 1 1 n n n n f f a b →∞ →∞           ≠               hay không t ồ n t ạ i ( ) 1 0 lim x x f → . Bài toán 14. Cho ( ) f x là HSTH và liên tục trên ℝ , có CK 2 T . Chứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i 0 x ∈ ℝ sao cho ( ) ( ) 0 0 f x T f x + = . Lời giải. ðặt ( ) ( ) ( ) g x f x T f x = + − . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 g x T f x T f x T f x f x T + = + − + = − + . Do ñó, ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 0 g x g x T f x T f x   + =− + − ≤   . Vì ( ) f x là hàm số liên tục nên ( ) g x cũng là hàm số liên tục, do ñó, theo ñịnh lý Cauchy – Bolzano, tồn tại [ ] 0 , x x x T ∈ + sao cho ( ) 0 0 g x = hay ( ) ( ) 0 0 f x T f x + = . Bài toán 15. Cho hàm s ố :f → ℝ ℝ thỏa mãn các ñiều kiện sau: (i) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x y f x y f x f y + + − = , v ớ i m ọ i ,x y ∈ ℝ ; (ii) T ồn tại số thực 0 x sao cho ( ) 0 1 f x =− . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) f x là HSTH. Lời giải. Cho 0 x y = = , ta nhận ñược ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 f f= . Do ñó ( ) 0 0 f = ho ặ c ( ) 0 2 f = . 8 N ế u ( ) 0 0 f = , v ớ i 0 , 0 x x y = = , ta ñượ c ( ) 0 2 0 f x = , mâu thu ẫ n ñ i ề u ki ệ n (ii). V ậ y ta ph ả i có ñượ c ( ) 0 1 f = , và nh ư v ậ y 0 0 x ≠ . Cho x y = , ta ñượ c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 f x f f x + = hay ( ) ( ) 2 2 2 1 f x f x = − , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Cho 0 x y x = = , ta ñược ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 f x f f x + = hay ( ) 0 2 1 f x = . Thay x b ở i 0 2 x x + và y b ở i 0 2 x x − , ta ñượ c ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 4 2 2 2 f x f x f x x f x x + = + − . Nh ư ng ( ) ( ) 2 0 0 4 2 2 1 f x f x = − , do ñ ó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 2 2 4 2 1 f x x f x x f x f x f x f x + − = + = + = . M ặ t khác, v ớ i x ∈ ℝ và 0 2 y x = , ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 f x x f x x f x + + − = . Suy ra ( ) ( ) 2 0 0 2 2f x x f x x   + − − =   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 2 2 4 2 2 4 4 0 f x x f x x f x x f x x f x f x   + + − − = + + − = − =   . Do ñ ó, v ớ i m ọ i x ∈ ℝ thì ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 f x x f x x f x + = − = hay ( ) f x là HSTH. Bài toán 16. Cho hàm s ố :f → ℝ ℝ th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n ( ) 2008 f x ≤ và ( ) 13 1 1 42 6 7 f x f x f x f x             + + = + + +                   , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) f x là HSTH. Lời giải. ðặt 1 1 , 6 7 a b = = thì 13 42 a b+ = . Khi ñó, mối quan hệ của hàm số có thể ñược viết lại như sau ( ) ( ) ( ) ( ) f x a b f x f x a f x b + + + = + + + , với mọi x ∈ ℝ . Trong ñẳng thức trên, ta thay liên tiếp x bởi , 2 , 3 , 4 , 5 x a x a x a x a x a + + + + + , rồi cộng lại, ta thu ñược ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 f x b f x f x f x b + + + = + + + , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Trong ñẳ ng th ứ c v ừ a nh ậ n ñượ c, ta thay liên ti ế p x b ở i , 2 , 3 , 4 , 5 x b x b x b x b x b + + + + + , r ồ i c ộ ng l ạ i, ta thu ñượ c ( ) ( ) ( ) 2 2 1 f x f x f x + + = + hay ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 f x f x f x f x + − + = + − , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . ðặ t ( ) ( ) 1 f x f x a + − = . B ằ ng ph ươ ng pháp quy n ạ p, ta ch ứ ng minh ñượ c, v ớ i m ọ i s ố n nguyên d ươ ng thì ( ) ( ) 1 f x n f x n a + − + − = . Do ñ ó, ( ) ( ) f x n f x na + − = . Ta s ẽ ch ứ ng minh 0 a = , và khi ñ ó ( ) f x là HSTH v ớ i CK 1 T = . Th ậ t v ậ y, gi ả s ử 0 a ≠ , thì ( ) ( ) 2.2008 n a na f x n f x = = + − ≤ , v ớ i m ọ i x ∈ ℝ . Nh ư ng ñ i ề u này không x ả y ra khi 0 n > ñủ l ớ n. Do ñ ó 0 a = . Bài toán 17. Cho hàm s ố :f + + → ℤ ℤ và số nguyên dương a thỏa mãn các ñiều kiện sau: (i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1995 , 1 1996 , 2 1997 f a f f a f f a f = + = + = ; 9 (ii) ( ) ( ) ( ) 1 1 f n f n a f n − + = + , v ớ i m ọ i n + ∈ ℤ . (a) Ch ứ ng minh r ằ ng ( ) ( ) 4 f n a f n + = v ớ i m ọ i n + ∈ ℤ . (b) Xác ñị nh giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ủ a a th ỏ a mãn bài toán. L ờ i gi ả i. (a) Tr ướ c h ế t ta nh ậ n th ấ y r ằ ng, ñể có ñượ c ñ i ề u ki ệ n (ii), ta ph ả i có ( ) 1 f n ≠− , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . H ơ n n ữ a, n ế u t ồ n t ạ i n ∈ ℤ sao cho ( ) 0 f n = thì ( ) 1 f n a + =− , suy ra ( ) 2 f n a + là không xác ñị nh. Do ñ ó ( ) { } 1,0 f n ∉ − , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 f n f n f n a f n a f n a f n f n f n − + − + − + = = =− + + − + + , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . Do ñ ó ( ) ( ) ( ) 1 4 2 f n a f n f n a + =− = + , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . (b) Xét 1 a = , thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1995 , 2 1996 , 3 1997 , 1 1 f n f f f f f f f n f n − = = = + = + . Khi ñ ó, ( ) ( ) 4 f n f n + = và ( ) ( ) 1 2f n f n − + = , v ớ i m ọ i n + ∈ ℤ . B ằ ng ph ươ ng pháp quy n ạ p, ta ch ứ ng minh ñượ c ( ) ( ) 4 f n k f n + = , v ớ i m ọ i , n k + ∈ ℤ . Vì 1995 3 4.498 = + nên ( ) ( ) ( ) 1 1995 3 f f f = = (vô lý vì ( ) ( ) 1 3 1 f f − = ). Xét 2 a = , thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1995 , 3 1996 , 4 1997 f f f f f f = = = ; và v ớ i m ọ i n + ∈ ℤ thì ( ) ( ) 8 f n f n + = , ( ) ( ) 1 4 f n f n − + = , v ớ i m ọ i n + ∈ ℤ . B ằ ng ph ươ ng pháp quy n ạ p, ta ch ứ ng minh ñượ c ( ) ( ) 8 f n k f n + = , v ớ i m ọ i ,n k + ∈ ℤ . Ta có • 1995 3 8.249 = + nên ( ) ( ) ( ) 2 1995 3 f f f = = . • 1996 4 8.249 = + nên ( ) ( ) ( ) 3 1996 4 f f f = = . • 1997 5 8.249 = + nên ( ) ( ) ( ) 4 1997 5 f f f = = . Suy ra ( ) ( ) 3 5 f f = . M ặ t khác ta có ( ) ( ) 1 5 1 f f =− hay ( ) ( ) 5 1 1 f f =− . Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 5 3 1 1 f f f f − = = + hay ( ) ( ) ( ) ( ) 5 1 5 1 1 f f f f + = − hay ( ) ( ) 5 1 f f = (vô lý). Ta s ẽ ch ứ ng minh 3 a = là giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ầ n tìm. Ta xây d ự ng hàm f nh ư sau: ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 f f f nh ậ n các giá tr ị tùy ý khác 0 và – 1. V ớ i m ỗ i 3 n > , ta xác ñị nh ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 f n f n f n − − = + + . Ta ch ứ ng minh hàm f v ừ a ñượ c xây d ự ng nh ư trên s ẽ th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n c ủ a bài toán. 10 Ta có ( ) ( ) ( ) 1 3 1 f n f n f n − + = + . Suy ra ( ) ( ) ( ) 1 1 f n f n a f n − + = + , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . M ặ t khác ( ) ( ) 12 f n f n + = , v ớ i m ọ i n ∈ ℤ . B ằ ng ph ươ ng pháp quy n ạ p, ta ch ứ ng minh ñượ c ( ) ( ) 12 f n k f n + = , v ớ i m ọ i ,n k + ∈ ℤ . Ta có • ( ) ( ) ( ) 1995 3 12.166 3 f f f = + = . • ( ) ( ) ( ) 1996 4 12.166 4 f f f = + = . • ( ) ( ) ( ) 1997 5 12.166 5 f f f = + = . V ậ y 3 a = là giá tr ị nh ỏ nh ấ t c ầ n tìm. Bài toán 18. Dãy s ố { } n x ñượ c cho b ở i công th ứ c 1 1 2 2, , 1 2 n n n x x x n Z x + + + = = ∈ − . Ch ứ ng minh r ằ ng (a) 0 n x ≠ , v ớ i m ọ i * n ∈ ℕ . (b) Dãy { } n x không tu ầ n hoàn. Lời giải. (a) Trước hết, dễ nhận thấy rằng các số hạng của dãy này ñều là số hữu tỷ. Ta ñặt 1 tan 2 x α = = , thì 1 2 2 1 2 tan tan tan 2 1 2 1 tan x x x α α α α + + = = = − − , …, ( ) 1 tan tan tan 1 1 tan tan n n x n n α α α α α + + = = + − . N ế u 0 n x = v ớ i 2 1,n k k = + ∈ ℕ thì 2 2 1 2 2 0 1 2 k k k x x x + + = = − , hay 2 2 k x =− . Khi ñ ó 2 2 2 tan 1 5 tan 2 2 2 1 1 tan 1 2 k k k x k k x k x α α α ± =− ⇔ =− ⇔ = − ⇔ = − − (vô lý). N ế u 0 n x = v ớ i 2 ,n k k = ∈ ℕ thì 2 2 tan tan 2 0 1 tan k k k α α α = = − . Do ñ ó tan 0 k x k α = = , suy ra k là m ộ t s ố ch ẵ n (vì 0 n x ≠ , v ớ i m ọ i n là s ố l ẻ ). Vì v ậ y ( ) 2 2 1 t k m = + . Ti ế p t ụ c lý lu ậ n nh ư trên, ta có ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 0, , 0, 0 t m m m x x x − + + + = = = (vô lý). V ậ y 0 n x ≠ , v ớ i m ọ i * n ∈ ℕ . (b) Gi ả s ử dãy { } n x tu ầ n hoàn, t ứ c là t ồ n t ạ i m + ∈ ℤ sao cho , m n n x x n + + = ∈ ℤ . Suy ra ( ) ( ) sin tan tan 0 sin 0 cos cos m m n n m m n n α α α α α α + = ⇔ = ⇔ = + . Do ñ ó, tan 0 m x m α = = (vô lý). V ậ y dãy { } n x không tu ầ n hoàn. [...]... x) = g ( x ) + a , v i m i x ∈ ℝ f : ℝ  ℝ \ {3} , sao cho t n t i s th c a > 0 th a mãn ñi u ki n → Bài 6 Cho hàm s f ( x + a) = f ( x)− 5 Ch ng minh r ng f ( x) là HSTH f ( x)− 3 Bài 7 Cho hàm s f : ℝ  ℝ là HSTH sao cho t p h p → t Ch ng minh r ng chu kì c a hàm s Bài 8 Cho hai hàm s { f ( n ) | n ∈ ℕ} ch a vô s ph n f ( x) là m t s vô t f ( x ) , g ( x) xác ñ nh trên ℝ và t n t i s th c a... thì 0 ≤ f ( x ) ≤ 2 Bài 9 Cho hàm s  1 π   : x = + kπ   2 2 ,k ∈ ℤ f ( x) =    1 π  : x ≠ + kπ   2 + tan 2 x 2   11 Ch ng minh r ng hàm s g ( x) = f ( x ) + f (ax) là HSTH khi và ch khi a là s vô t Bài 10 Tìm t t c các ña th c f ( x ) v i h s th c sao cho cos f ( x) , x ∈ ℝ là HSTH Bài 11 Cho hàm s f : ℝ  ℝ th a mãn các ñi u ki n sau → (i) f ( x) là hàm không gi m; (ii) f ( x ) là...M t s bài t p t luy n Bài 1 Xét tính tu n hoàn và tìm CKCS (n u có) c a các hàm s sau a) f ( x ) = sin x + cos x b) f ( x) = cos π x + sin 2π x c) f ( x ) = x 2 cos x d)  x f ( x) = x − n    n  e)  π x f ( x ) = (−1) cos π x +       3 Bài 2 Ch ng minh r ng n u ñ th hàm s f ( x) có tâm tr c ñ i x ng E(a, b) và có tr c ñ i x ng x = c (c ≠ a ) , thì... [5] Phan Huy Kh i “Toán nâng cao cho h c sinh THPT – ð i S (t p 1)” NXB Giáo D c, 2000 [6] Nguy n Vi t H i “Khai thác ñ nh nghĩa hàm s tu n hoàn T p chí Toán H c và Tu i Tr , s 1/2000 [7] Lê Sáng “Dãy s và các v n ñ liên quan” NXB ðà N ng, 1994 [8] Nguy n Tr ng Tu n “Bài toán hàm s qua các kì thi Olympic” NXB Giáo D c, 2004 12 ... sau → (i) f ( x) là hàm không gi m; (ii) f ( x ) là HSTH Ch ng minh r ng f ( x ) là hàm h ng Bài 12 Dãy s nguyên {un } , n = 1, 2, ñư c xác ñ nh như sau: u1 = 1990, u2 = 1989, u3 = 2000 , un+3 = 19un+ 2 + 9un+1 + 1991, n ∈ ℕ* V i m i n , g i rn là s dư trong phép chia un cho 1992 Ch ng minh r ng dãy {rn } là dãy s tu n hoàn Tài li u tham kh o [1] Doãn Minh Cư ng, Nguy n Huy ðoan, Ngô Xuân Sơn “Nh ng . Một Số Kiến Thức Về Hàm Số Tuần Hoàn Cao Minh Quang, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Trần Minh Hiền, THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Trong chương trình THPT, kiến thức về hàm. sau sẽ trình bày một số kiến thức về lý thuyết cũng như các bài toán về HSTH. 1. ðịnh nghĩa Hàm số ( ) y f x = có tập xác ñịnh D ñược gọi là HSTH nếu tồn tại ít nhất một số 0 T ≠ sao cho. g ặ p. 3. Chu kì và chu kì cơ sở của một số hàm số 3.1. Hàm số ( ) f x c = ( c là hằng số) là HSTH với CK là số dương bất kì nhưng không có CKCS. 3.2. Hàm Dirichlet ( ) 1, 0, x f x x  ∈   =   ∈   ℚ ℝ