Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 54:Thi chuyên Nguyễn Trãi(1997-1998) Câu 1: 1/ Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: ()() 22 11ab a b = −++ . 2/ Tìm các số tự nhiên x, y, z thỏa mãn: 333 42xyz0 − −=. Câu 2 1/ Tính tổng: 22 22 2 2 11 11 1 1 1 1 1 2 3 3 4 1997 1998 S =++++++++ + . 2/ Tính giá trị biểu thức : 24 1 A xxx=+ ++ với 111 .2 .2 288 x =+− . Câu 3: Ba đường phân giác trong các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tại A 1 , B 1 , C 1 . ABCΔ Chứng minh rằng: AA 1 + BB 1 + CC 1 > AB + BC + CA. Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, đường phân giác cắt cạnh BC và CD tại M và N. n BAD 1/ Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp CMN Δ nằm trên đường tròn ngoại tiếp CBD Δ . 2/ Gọi K là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp CMN Δ và đường tròn ngoại tiếp . Chứng minh rằng: . CBDΔ n 0 90AKC = Câu 5: Chứng minh: 2 11 . 1997 1998 abbc ca cab −−− ⎛⎞ ++ ≤ − ⎜⎟ ⎝⎠ Trong đó 1997 , , 1998abc ≤ ≤ . Hướng dẫn giải: Câu 1: 1/ Theo bài ra ta có: ()( 2 1ab a b=− ++ ) 2 1 0. trong đó: ,;0,9;ab ab a ∈ Ν≤≤≠ 167 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ ()() 22 10 2 1 2 1 .12 . 1 2 aba a b b aabb ⇒+=−++++ ⇒−=++ 168 2 0 5 6 Vì là số chẵn là số chẵn. () .1bb++ a⇒ +/ Nếu ( không có nghiệm nguyên ) () 2.122abb=⇒ ++= +/ Nếu () 5 4.1232 6 b abb b b = ⎡ =⇒ ++= ⇒ ⇒= ⎢ =− ⎣ +/ Nếu ( không có nghiệm nguyên ) () 6.123abb=⇒ ++= +/ Nếu () 5 8 . 1 2 32 5 6 b abb b b = ⎡ =⇒ ++= ⇒ ⇒= ⎢ =− ⎣ Vậy hoặc . 4, 5ab== 8, 5ab== 2/ Theo bài ra ta có: ( ) 333 3 4201 2 2 x yz x x−−= ⇒ ⇒## . Đặt thay vào (1) ta có: ( 11 2xxx=∈ ) Ν ( ) 333 333 3 11 842042 02 2 2 x yz xyz z z−−=⇒−−= ⇒ ⇒## . Đặt , thay vào (2) ta có : ( 11 2zzz=∈ ) Ν 2 () 333 3 3 11 428 0324 2 x yz yyy−−= ⇒ ⇒ ⇒### ) Ν 0 . Đặt , thay vào (3) ta có : ( 11 2yyy=∈ 333 111 42xyz − −= . Quá trình lập luận cứ tiếp diễn ta sẽ có: 2, 2, 2 nnn x yz### trong đó n là số tự nhiên lớn tùy ý 0.xyz⇒=== Thử lại, thấy thỏa mãn phương trình đã cho. 0xyz=== Vậy là nghiệm duy nhất. 0xyz=== Câu 2 1/ Xem đề 26- câu 1.a Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 2/ Ta có: 111 .2 .20 288 x =+−> . Và : () () () 2 2 2 42 2 4 2 4 1 824.2 8 1 8 2 16. 2 8 42.2 2. 2. 1 1 821 21 11 8 3 1 8 x x xx xx xx x xx x xx x xx += + ⎛⎞ ⇒+ = + ⎜⎟ ⎝⎠ ⇒+ = ⇒=− ⇒=−+ −+ ⇒++= ++ + ⇒++= Ta có: () () 2 2 1 24 2 2 3 32.2. 3 1 3 12 8 2. 2 2. 2 2. 2 x xxxxx Ax x x x x + +++−++ =+ ++=+ =+ = = =. Vậy 2A = . Câu 3: Theo định lý Ptoleme ta có: () ( ) () 1 1111 1 . AB AC BA AA BC BA AC CA AB BA AB AC AA BC + =+= +⇒= 1 Lại có: () 11 1 2 22 BA CA BC BA + => B C A Từ (1) và (2) () 1 * 2 AB AC AA + ⇒> Hoàn toàn tương tự ta có : () 1 ** 2 BA BC BB + > và () 1 *** 2 CA CB CC + > 169 A 1 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Cộng các BĐT (*), (**), (***) theo vế ta được: AA 1 + BB 1 + CC 1 > AB +AC +BC (đpcm) Câu 4: 1 2 1 K N I D A O C B M Gọi đường tròn ngoại tiếp CMN là Δ ( ) O . 1/ Ta có: m l m 11 NAA== 2 . AND⇒Δ cân ở D D NADBC⇒== . Có: n n n n n n n n n nn 2 B CO BCD DCO CMN CNM DCO CMN DCO CON DCO DNO=+=++= +=+= Xét & D NO BCOΔΔ có: n n () DN BC ON OC DNO BCO c g c BCO DNO ⎧ = ⎪ =⇒Δ=Δ ⎨ ⎪ = ⎩ n n ODN OBC=⇒Tứ giác CODB nội tiếp (đpcm). 170 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 2/ Gọi I là giao điểm của AC và BD ( ) 1OCB OND OB OD OI BDΔ=Δ⇒=⇒⊥ ⇒ OI là trung trực của đoạn BD. OI là đường thẳng nối tâm đường tròn (CMN) và đường tròn (CBD). ⇒ (CMN) cắt (CBD) tại C và K ( ) 2KC OI⇒⊥ . () () 1 2 KC BD⇒& ⇒Tứ giác CBDK là hình thang cân ( hình thang nội tiếp là hình thang cân) n n n () *KDB CBD ADB DK BC AD ⎧ == ⎪ ⇒ ⎨ == ⎪ ⎩ Từ (*) suy ra DB là phân giác góc ADK. ⇒ AK vuông góc DB mà n 0 90 .DB KC AK KC AKC⇒⊥⇒ =& Câu 5: Ta có: ( ) ( ) ( ) ab bc ca abbc ca A c a b abc −−− −−− =++= . Không mất tính tổng quát, giả sử .abc≥≥ ()()() ( ) ( ) ( ) ( ) ()()()()()( ) . . . . 1998 1. 1 . 1998 1998 . . 1998 1998 . 1997 . 1998 1997 1998 1998. .1997 11 111 1 2. . 1997 1998 1997.1998 1997 1998 1997.1998. 11 1997 1998 ab bc ac bc ac bc c bb A abc a bc bc bbc c bb bc b bb bb −−− −− − − ⎛⎞ ⎛ ⎞ ==−≤− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ −− − −− − =≤ ⎛⎞ =+− +≤+− = ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛ =− 2 ().dpcm ⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ = = Dấu ‘’=’’ xảy ra 1998 1998.1997 1997 a b c = ⎧ ⎪ ⇔= ⎨ ⎪ = ⎩ 171 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 55:Thi chuyên Nguyễn Trãi (1998–1999) Câu 1 : Giải hệ phương trình : 2 2 2 xy y yz z zx x −= ⎧ ⎪ −= ⎨ ⎪ −= ⎩ Câu 2: Cho dãy số được cho theo quy luật sau: 123 ,,, , n aaa a 121 1 11 1 1; ; ; . nn n aaa aa aa − 1 − ==+ =+ Chứng minh rằng: 145 17 21a < < . Câu 3 : Cho không cân, BD và CE là hai đường phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I sao cho : ID = IE. ABCΔ 1/ Tính n ?BAC = 2/ Chứng minh rằng: 31 . 1 A BBCCA ABBC BCAC =+ ++ + + Câu 4: Cho , M là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại P,Q,R. ABCΔ Tìm giá trị nhỏ nhất của: A MBMCM T M PMQM =++ R . Hướng dẫn giải: Câu 1 : Ta có () 2 1 2 2 2 1 2 2 1 y x xy y y zz z I y zx x x z ⎧ = ⎪ − −= ⎧ ⎪ ⎪⎪ −= ⇔ = ⎨⎨ − ⎪⎪ −= ⎩ ⎪ = ⎪ ⎩− + Nếu 1 x > : Suy ra N 22 11 1 11 z xz zy = =>⇒>⇒>⇒> −− 1. y Không giảm tính tổng quá, giả sử { } max , , x xyz= . Ta có: 172 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ N N 22 0011 11 y z y zy xy = = <≤⇒≤⇒<−≤ −− z− N N 22 22 11 11 x z zx zx yz yz yz = = ⇒≥⇒≥⇒=⇒=⇒= −− −− Vậy ta có . x yz== Hệ (I) trở thành: 2 2 1 1 x x x x ⎧ = ⎪ ⇔= − ⎨ ⎪ > ⎩ + Nếu 22 100 11 xy z x xyz <⇒ = < ⇒ = < ⇒ = < −− 2 0 1 − Vậy ta có: . ,, 0xyz< Không giảm tính tổng quát, giả sử { } max , , x xyz= . Ta có: N N 22 11 11 y z yz y z xy = = ≤ ⇒ ≤ ⇒ −≤ −< −− 0 . N N 22 22 11 11 x z zx zx yz yz yz = = ⇒≥⇒≥⇒=⇒=⇒= −− −− Vậy ta có . x yz== Hệ (I) trở thành: 2 1 1 1 x x x x ⎧ = ⎪ ⇔=− − ⎨ ⎪ < ⎩ Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm 1 2 xyz xyz = ==− ⎡ ⎢ = == ⎣ Câu 2: Dễ thấy 0, i aii>∀∈Ν≥1. Theo bài ra ta có: 173 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ () () () 2 1 22 21 2 1 22 145 144 2 144 11 1 22 1 2 145 a aa a aa a = =++ =++ Cộng (1), (2), (3)… , (145) theo vế ta được: 145 144 144 22 2 145 22 11 1 11 289 289 ii ii i ii aa a aa == = ⎛⎞ =++⇒=+ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ ∑ 2 145 145 289 17aa⇒>⇒> . Lại có: () () 2 2 1 12 12 i i ai i a >∀≥ ⇒ <∀≥ 144 144 2 2 145 145 22 12 143 / 1 11 289 290 290 1 1 1 441 21 21 ii ii cs aa aa == =+ =+ <++++<=⇒< ∑∑   . Vậy ta có (đpcm). 145 17 21a<< Câu 3: 1/ Hạ () ,, I LACIKBCLACKAB⊥⊥∈∈ . Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ABC IL IKΔ⇒= Vì không cân nên ABCΔ [ ] [ ] ( ) ;;;;L ADK BELALDKBKE∈∈≠≠≠≠ hoặc [ ] [ ] () ;;;;LCDK AELCLDKAKE∈∈≠≠≠≠ . +) Xét [ ] [ ] ;LADKBE∈∈ .Ta có: () n n l l l l l l l l ll l l 0 0 22 3 90 22 2 2 60 IEK IDL ch cgv CB IEK IDL A C CB AABC A A Δ=Δ − ⇒=⇒+=+ ++ ⇒=+⇒ = = ⇒= 174 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ +) Nếu [ ] [ ] ;LCDK AE∈∈ : Tương tự trên. Tóm lại ta có: n 0 60BAC = . 2/ Đặt ;;. A BcBCaCAb=== Theo định lý hàm số cos ta có: l ()()()() ()()()() ()() ()( ) ()( ()( ) ) 22 2 0 22 2 2. , 60 . 1 1 1 11111 311 () b c bcCosA a A b c bc a bab cca ca ab bc caab abc ac abc ab ac ab abc ac abc ab abc ac abc ab abc abc acabc ababc dpcm abc ac ab +− = = ⇒+−= ⇒+++=+ + ⇒= + ++ ++ − + ++ − + ⇒= + ++ ++ − + ++ − + ⇒= + ++ + ++ + ++ ⇒=−+− ++ + ++ + ++ ⇒=+ ++ + + Câu 4 : Đặt ( ) 222 ;; ,, AMB AMC AMC S a S b S c abc=== 0> . B C A P M Ta có: () 2 2 22 22 2 22 2 1 BMP MCP BMP MCP A Ma b ab ab MP S S S S c AM a b MP c ++ === = + + ⇒= Tương tự ta có: () () 22 22 22 2; 3 BM a c CM b c MQ b MR a ++ == Công (1), (2), (3) theo vế ta được: 175 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 22 22 22 22 22 22 222 2222 2 2 ab bc ac a b b c a c T cabccaab ab bc a c aba bcc ca ca b b cab cab +++ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =++=+++++ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ≥++++ + ≥+++++ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ b 22 22 22 33 33 33 22 22 3. 3. 3. 3. 2. . 3. 2 aba bcc a c a c cab cab c a c a ⎛⎞⎛⎞ ≥+=+≥ = ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Dấu ‘’=’’ xảy ra M là trọng tâm 222 abc a b c⇔==⇔ = = ⇔ ABC Δ . Chú ý: Ở bài này đã sử dụng liên tiếp BĐT : ()() 22 22 2 2 ,,,a b c d ac bd abcdR++ + ≥ + ++ ∀ ∈ Chứng minh: Trong hệ tọa độ Oxy lấy ( ) ( ) ;; ; M ab N c d − − . Ta có: OM hay : ON MN+≥ ()()()( ) ()() ()() 22 22 22 22 22 2 2 00 00ab cdacb ab cd ac bd −+−+ +++ ≥ +++ ⇔+++≥+++ d Dấu ‘’=’’ xảy ra bị suy biến, O nằm trên đoạn MN. OMN⇔Δ 176 [...]... Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ 9 ∑ a + 3a i =1 i 5 9 ⇒ 45 + 3a5 9 ⇒ 3a5 9 ⇒ a5 3 ( dpcm ) Cách xếp: 198 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 60: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2003 – 2004) Câu 1: Cho hai số dương a và b Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng : T = {ax + by; x + y = 1; x > 0; y > 0} 2ab và ab đều thuộc tâph hợp T a+b... ⎩b = d Thật vậy: Ta có: a + 2.b = c + 2.d ⇒ ( a − c ) = 2 ( d − b ) Nếu d ≠ b ⇒ a ≠ c ⇒ 2 = a−c ∈ Q (Vô lý) d −b Vậy d = b ⇒ a = c Câu 5: Xem câu 10 đề 12 181 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 57 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 2000-2001) Câu 1: Tính giá trị biểu thức: A = 1995.1996.1997.1999.2000.2001 + 36 Câu 2: 1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x − 5 y + 2 + y −... 1800 + β ) = 1800 − 2α + β ⇒ ΔPO1O = ΔQO2O ( c.g.c ) ⇒ OP = OQ ⇒ PM = QN B C P M I O1 O A N O2 D 186 Q Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 58 :Thi Chuyên Nguyễn Trãi( 2001- 2002) ⎛ Câu 1: Chứng minh rằng biểu thức: A = ⎜ ⎝ Không phụ thuộc vào x và y Câu 2: xy + x+ y ⎞ ⎛ − x ⎟+⎜ 2 ⎠ ⎝ 1) Giải phương trình: ( x 2 − 1) + 4 ( x − 1) = 12 ( x + 1) 2 2 2) Xác định các giá... ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Vậy ta có đpcm * Nhận xét: Đây là một bài toán hay, xuất phát từ bài toán quen thuộc ( bổ đề nói ở trên), chúng ta đã có một lời giải rất đẹp 191 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 59: Thi Chuyên Nguyễn Trãi (2002-2003) Câu 1: Cho đa thức f ( x ) có bậc 2000 thỏa mã điều kiện f ( n ) = Tính f ( 2002 ) 1 với n = 1, 2,3, , 2000,...Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 56 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 1999-2000) ⎧ x 2 + 3 xy + 2 y 2 − x + y − 6 = 0 (1) ⎪ Câu 1: Giải hệ phương trình ⎨ 2 2 ⎪ x + xy − 2 y + 8 x + 10 y + 12 = 0 ( 2 ) ⎩ Câu 2: Tìm các số nguyên k, m, n đôi một khác nhau và đồng thời khác 0 để đa thức: x ( x... chính phương với n ≥ 4 Thật vậy: giả sử ∃k ≥ 4 : uk là số chính phương Tức là: uk = 144 4 = A2 ( A ∈ *) kc / s 4 ⇒ 10 + 44 4 = A2 ⇒ A chẵn Đặt A=2t ( t ∈ *) k kc / s 4 ⇒ 10 + 44 4 = 4t 2 ⇒ 5k 2k − 2 + 11 1 = t 2 k kc / s 4 k −2 Ta có: 5 2 k ≡ 0 ( mod 4 ) ∀k ≥ 4 kc / s1 Và: 11 1 = 111 100 + 8 + 3 chia cho 4 dư 3 kc / s1 ⇒ t = 5 2 2 k k − 2 c / s1 k −2 + 111 1 chia cho 4 dư 3 ( vô lí) kc / s1 Tóm lại... 2 〉1 ⇒ a + b + c + d là hợp số ( đpcm) Trở lại bài toán: Ta có: n = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 2 2 2 2 190 〉1 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ a 2 − d 2 c2 − b2 a −d a + d c −b c +b = ⇒ = (2) 4 4 2 2 2 2 Từ (1) và (2) áp dụng bổ đề ta có: ⇒ a 2 − d 2 = c2 − b2 ⇒ 2 2 2 2 ⎛ a −d ⎞ ⎛ a + d ⎞ ⎛ c −b ⎞ ⎛ c +b ⎞ ⎟ là hợp số ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ Có:... y − 6 = 0 (1) ⎪ Câu 1: Theo bài ra ta có: ⎨ 2 2 ⎪ x + xy − 2 y + 8 x + 10 y + 12 = 0 ( 2 ) ⎩ Nhân (1) với 2 rồi cộng với (2) theo vế ta được: 3 x 2 + ( 7 y + 6 ) x + 2 y 2 + 12 y = 0 y+6 ⎡ ⎢x = − 3 ⇔ ( 3x + y + 6 ) ( x + 2 y ) = 0 ⇔ ⎢ ⎣ x = −2 y Bài toán đã trở nên đơn giản, bạn đọc tự giải tiếp 177 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Câu 2: Giả sử x ( x − k ) (... 1) Cho tam giác nhọn ABC có BAC = 600 và nội tiếp đường trong đường tròn tâm O H là trực tâm ΔABC CMR: OH = AB − AC 2) Cho ba số k , m, n ∈ * đồng thời thỏa mãn 2) Cho ΔABC đều và một đường tròn có bán kính bằng cạnh của tam giác đều đó đồng thời đi qua các đỉnh B và C sao cho đỉnh A nằm ngoài đường tròn; M là điểm nằm trên đường tròn ( M ≠ B, M ≠ C ) CMR: MA,MB,MC là độ dài ba cạnh của một tam giác... u1 = 14; u2 = 144; u3 = 1444; ; un = 144 4 ( có n chữ số 4) Tìm các số hạng của dãy số là số chính phương 2) Lấy các số nguyên từ 1 đến 9 xếp vào các ô vuông nhỏ của một hình vuông 3x3 ô ( mỗi số chỉ lấy một lần) sao cho tổng mỗi hàng, mỗi cột, mỗi đường chéo đều là bội của 9 CMR: Chữ số nằm ở ô trung tâm hình vuông là bội của 3 Hãy chỉ ra một cách sắp xếp có số ở ô trung tâm là 6 Hướng dẫn giải: Câu . lý). Vậy . db ac=⇒= Câu 5: Xem câu 10 đề 12. 181 Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 57 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 2000-2001) Câu 1: Tính giá. Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 56 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 1999-2000) Câu 1: Giải hệ phương trình ( ) () 22 22 32 601 2 8 10 12 0 2 xxyyxy xxyy x y ⎧ ++−+−= ⎪ ⎨ +−. Phạm Minh Hoàng- Cựu học sinh Trường THCS Phong Châu- Phù Ninh- Phú Thọ Đề 54 :Thi chuyên Nguyễn Trãi( 1997-1998) Câu 1: 1/ Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: