www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 1 a. Lí do chọn đề tài Mt trong nhng vn c bn ca i mi chng trỡnh giỏo dc ph thụng l i mi phng phỏp dy hc, trong ú cú i mi phng phỏp dy hc Toỏn. Việc đổi mới phơng pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh. Trong quá trình giảng dạy ở trờng PT bản thân chúng tôi cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dỡng học sinh khá giỏi, song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn rất nhiều hạn chế. Nhiều bài toán trong các kì thi nh Học sinh giỏi, thi vào cỏc trờng đại học, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa không đến nổi khó. Th nhng nhi u học sinh không làm đợc mặc dầu học sinh đã đợc làm quen các dạng toán, bài giảng của thầy, qua sách vở. Đứng trớc những vấn đề nh vậy, làm thế nào để đáp ứng đợc nhu cầu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị động trớc các bài toán khú. Chúng tôi thấy việc phát huy trí lực cho học sinh, áp dụng vào công tác bồi đỡng học sinh khá giỏi bớc đầu có một số kết quả nhất định mà chúng tôi muốn trao đổi với đồng nghiệp. Trong bài viết này chúng tôi xin đề cập đến việc phát huy trí lực cho học sinh trong việc khai thác một số bài toán bất đẳng thức đơn giản trong chơng trình Toán- THPT lớp 10 qua đó khai thác các ứng dụng của nó nh tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán giải phơng trình, bất phơng trình, ng thc vect nhằm phát huy t duy toán học bồi dỡng năng lực giải toán và làm toán cho học sinh qua đó phát huy đợc trí lực giúp học sinh khai thác đợc các yếu tố cần thiết trong toán học nhằm bồi dỡng cho các em t duy sáng tạo, linh hot trong mi vn . ng trc m vn nh vy, lm sao ỏp ng c nhu cu i mi hin nay, lm cho hc sinh hng thỳ,tớch cc ch ng trong vic tip thu kin thc. Chỳng tụi xin cú mt s trao i vi cỏc ng nghip là trình bày minh hoạ bằng một số bài toán bất đẳng thức qua đó khai thác ứng dụng để vận dụng giải các bài toán có liên quan nhằm Phát huy trí lực cho học sinh khá giỏi qua khai thác một số bài toán đơn giản trong chơng trình toán 10-THPT. Chúng tôi thành thật mong đợc sự góp ý chân thành của các độc giả để bản thân chúng tôi ngày đợc một hoàn thiện. B. nội dung 1. Từ một bài toán đơn giản đến việc khai thác ứng dụng nó. Chứng minh các bất đẳng thức, ng thc luôn là những đề tài hấp dẫn. Với bài viết này tôi muốn giới thiệu một số bất đẳng thức, ng thc hỡnh hc đợc www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 2 khai thác ứng dụng của nó nhờ một bất đẳng thức đơn giản trong sách giáo khoa Toỏn 10 -THPT qua ú nhm phỏt huy trớ lc cho hc sinh. Ta bt u i t mt s bi toỏn c bn trong sỏch giỏo khoa. a/ Ví dụ 1: ở SGK Đại số 10(chơng trình chuẩn), sau khi học xong bài bất đẳng thức có một bài tập sau(bài 4, tr.79) Chứng minh rằng nếu 0,0 ba thì )( 33 baabba ++ .(*) Đẳng thức xảy ra khi nào ? Chứng minh. Cách 1: 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( ) ( ) 0 a a b b a b a b a b a b a b + (*) 0 2323 + abbbaa 0)()( 0))(( 0)()( 2 22 22 + baba baba babbaa Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Cách 2: Ta có: )()2)(())(( 2233 baabababbaabbababa +=+++=+ ( vì abba 2 22 + ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b. Nhận xét 1: vì a, b là hai số dơng nên, từ (*) ta có thể suy ra một bất đẳng thức mới ba ab ba baabba + + ++ 33 33 )( bi toỏn ny nhiu giỏo viờn cho l d nờn cú th khụng cn phi hng dn hoc hng dn qua loa. Nh vy l vn c bn cha c gii quyt ó b sút mt trong nhng yu t quan trng trong phỏt trin trớ lc cho hc sinh.Theo chỳng tụi, cn cho hc sinh suy ngh v hng dn khai thỏc cỏc bi toỏn qua ú vn dng t bi toỏn c bn trờn hng dn gi cỏc bi toỏn cú liờn quan. www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 3 Bài 1: Cho 0, ba , chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 2( ) a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + (1) HD: BĐT (1) giải đợc nhờ việc áp dụng nhận xét 1, ba lần Bài 2. Cho a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh rằng abcacbbcacba 222333 ++++ . Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a 3 + b 3 ab(a + b) b 3 + c 3 bc(b + c) a 3 + c 3 ac(a + c) Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có 2(a 3 + b 3 + c 3 ) a 2 (b + c) + b 2 (a + c) + c 2 (a + b) (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta đợc a 2 (b + c) + b 2 (a + c) + c 2 (a + b) abcacbbca 222 222 ++ (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét 2: Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên di cỏch nhỡn khỏc m thụi. Tuy nhiên nếu nh hc sinh khụng bit vận dụng vớ d trờn thì liệu bài toán trên hc sinh gii c khụng phi n gin chỳt no. Và ở bài toán sau đây, chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1. Ta lại có bài toán mi sau. Bài 3. Cho a > 0, b > 0 và ab = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 33 + + + a b b a . Chứng minh. Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với 1 2 4433 ++ +++ b a baba . áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có 1 2 2 2 2)( 2 224433 = + + ++ = + + ++ + + +++ b a ba b a babaab b a baba (đpcm). www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Bài 4. Chứng minh rằng + + + + + ++++ c ba b ac a cb cba cba 2 3111 )( 333 333 Trong đó a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a 3 + b 3 ab(a + b) b 3 + c 3 bc(b + c) a 3 + c 3 ac(a + c) Suy ra 2(a 3 + b 3 + c 3 ) bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng ta đợc abc c b a 3111 333 ++ (2) Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài toán trên về những bài toán mũ, thì việc quy lạ về quen tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tơng tự nhm phỏt huy trớ lc cho hc sinh. Bài 5. Cho ba số a, b, c N thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng 27 a + 27 b + 27 c 3 a + 3 b + 3 c . Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 27 a + 1 3 a (3 a + 1) 27 b + 1 3 b (3 b + 1) 27 c + 1 3 c (3 c + 1) Suy ra 27 a + 27 b + 27 c +3 3 a + 3 b + 3 c + (3 a ) 2 + (3 b ) 2 + (3 c ) 2 (1) Mặt khác (3 a ) 2 + (3 b ) 2 + (3 c ) 2 3 3)333( 3 2 = cba (2) Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0. Bài 6: Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh rằng cba a ac ca c cb bc b ab ab ++ + + + + + 2 33 2 33 2 33 3 5 3 5 3 5 . www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 5 Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta có a 3 + b 3 6b 3 ab(a + b) 6b 3 = b(a 2 + ab 6b 2 ) = (ab + 3b 2 )(a 2b) ab b ab ab abbabab + + 2 3 5 )2)(3(5 2 33 333 Tơng tự bc c cb bc + 2 3 5 2 33 , ca a ac ca + 2 3 5 2 33 Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta đợc điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài 7. Chứng minh rằng với ba số dơng a, b, c bất kì ta có 3 22 3 22 3 22 3 cba a ac c c c bc b b b ab a a ++ + + + + + + + + Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a 3 + b 3 ab(a + b) 3 2 ))(()(3 3 22 3 22223 333223 3223 ba b ab a a bababababaaa baaabbaa babbaa ++ +++++ +++ + Tơng tự 3 2 22 3 cb c bc b b + + , 3 2 22 3 ac a ac c c + + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Bài 8. Cho x, y, z là ba số thực dơng và xyz =1. Chứng minh rằng 3 222 6336 99 6336 99 6336 99 ++ + + ++ + + ++ + xxzz xz zzyy zy yyxx yx www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 6 Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc (x 3 ) 3 + (y 3 ) 3 x 6 y 3 + x 3 y 6 3 6336 99 6336399 9633699 2 )(2 2 x yyxx yx yyxxxyx xyxyxyx ++ + +++ +++ Tơng tự 3 6336 99 2 y zzyy zy ++ + , 3 6336 99 2 z x x z z xz + + + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc 333 6336 99 6336 99 6336 99 222 zyx xxzz xz zzyy zy yyxx yx ++ ++ + + ++ + + ++ + (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x 3 + y 3 + z 3 3xyz = 3. (2) Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y =z =1 Bài 9. Cho a, b, c là ba số thực dơng. Chứng minh rằng abc c abc a c abc b b abc a 1111 323333 + + + + + + + + . Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc a 3 + b 3 ab(a + b) a 3 + b 3 + abc ab(a + b + c) )( 1 33 cbaabc c babca ++ ++ Tơng tự )( 1 33 cbaabc a cabcb ++ ++ , )( 1 32 cbaabc b cabca ++ ++ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét 4: Nếu ở bài toán trên chỳng ta cộng điều kiện nữa abc=1. ta có bài toán mới sau đây. www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 7 Bài 10. Cho a, b, c là ba số thực dơng và abc=1. Chứng minh rằng 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 a b b c a c + + + + + + + + . Nhận xét 5: Nếu ta lại đặt a 3 =x; b 3 =y; c 3 =z. Ta lại có bài toán mới sau. Bài 11. Cho x, y, z là ba số thực dơng và xyz=1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 ++ + ++ + ++ xzzyyx . Nhận xét 6: Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1. Ta lại có bài toán mới khó hơn Bài 12. Cho x, y, z là ba số thực dơng. Chứng minh rằng 3333 1111 xyzxyzxzxyzzyxzyyx ++ + ++ + ++ . Bài 13. Cho a, b, c >0 thoả mãn 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a b c a b ab b c bc a c ca + + = + + + + + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c Nhận xét 7: Việc chứng minh các bài 10,11,12,13 không khó, nếu biết sử dụng linh hoạt các bài toán đơng tự bài 9. Nếu HS không biết vận dụng bài 9(tức sẽ vận dụng vớ d 1). Thì e là khó làm đối với các em HS(kể cả đội tuyển HSG). Bài 14. Chứng minh rằng a c c b b a a c c b b a ++ + + 333 . Trong đó a, b, c là các số thực dơng. Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (*) ta đợc b a b a b a b a b a += ++ 11 3 Tơng tự c b c b c b ++ 1 3 , a c a c a c ++ 1 3 . Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 8 a c c b b a a c c b b a a c c b b a ++++++ + + 3 333 (1) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 3++ a c c b b a (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Nhận xét 8: Nếu chúng ta lại đặt Z a c Y c b X b a === ;; . Ta lại có bài toán mới sau Bài 15. Chứng minh rằng Z Y X Z Y X + + + + 333 . Trong đó X, Y, Z là các số thực dơng và XYZ=1. Nhận xét 9: Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt x=3 a ; y=3 b ,z=3 c . Thì ta có thể giải bài toán 5 đơn giản hơn. Bài 16: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng 27 a + 27 b + 27 c 3 a + 3 b + 3 c . HD: Bài toán này trở về việc chứng minh BĐT x 3 +y 3 +z 3 x+y+z. áp dụng bài toán 15, ta có ngay kết quả. Nhận xét 10: Ta lại có bài toán mới tổng quát bài toán 15 sau đây. Bài 17: Cho m là một số không âm; x, y, z là 3 số thoả mãn: x+y+z=0. Chứng minh rằng m 3x +m 3y +m 3z m x +m y +m z . Nhận xét 11: Từ bài toán tổng quát trên,qua quỏ trỡnh phõn tớch, nhn nh phỏt huy t duy sỏng to cho hc sinh ta xõy dng bài toán tổng quát vớ d 1 Bài 18 (bài toán tổng quát vớ d 1) Cho a 1 , a 2 , ,a n là các số thực không âm, n * N . Chứng minh rằng a 1 n+1 + a 2 n+1 + + a n n+1 a 1 a 2 a n (a 1 + a 2 + + a n ). Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có a 1 n+1 + a 1 n+1 + a 2 n+1 + + a n n+1 (n + 1)a 1 2 a 2 a n www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 9 a 1 n+1 + a 2 n+1 + a 2 n+1 + . + a n n+1 (n + 1)a 1 a 2 2 a 3 a n . a 1 n+1 + a 2 n+1 + . + a n n+1 + a n n+1 (n + 1)a 1 a 2 .a n 2 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . = a n . áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau. Bài 19. Cho a 1 , a 2 , .,a n là các số thực dơng; n * N . Chứng minh rằng Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có Mặt khác áp dụng bất đẳng Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta đợc Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 21 = = = = n aaa Nhận xét 12: Từ những ví dụ minh hoạ thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên bằng nhiều cách nhiều hớng khác nhau.Hng cho hng cho hc sinh hiu rừ c nhng vn c bn ca nú, hc sinh sinh s gii quyt c cỏc bi toỏn trờn õy d dng hn, qua ú nõng cao c hng thỳ tỡm ti, rốn luyn c c tớnh nhn ni kiờn trỡ phỏt huy trớ lc cho hc sinh. b/ Ví dụ 2. (Sách bài tập Đại số 10- chong trình chuẩn) Chứng minh rằng nếu 0,0 ba thì )( 2244 baabba ++ .(**) Đẳng thức xảy ra khi nào ? Chứng minh. )1( 1 11 11 11 2121 1 1 2 1 1 +++ ++ + + ++ nn n n nn aaaaaaaaa )2( 1 11 1 2121 12 21 12 21 2 2 12 1 1 +++ +++ ++ +++ + +++ +++ nn n n nn n n n n nn n n n nn n aaaaana aaa a aaa a aaa a ++ + +++ ++ +++ + +++ + ++ +++ 1 1 2 1 1 12 21 12 21 2 2 12 1 1 1 111 n n nn n n nn n n n n nn n n n nn n aaan aaa a aaa a aaa a www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 10 (**) 0 3344 + abbaba 0)()( 0))()(( 0)()( 222 22 33 ++ ++ bababa babababa babbaa Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Bài 1(bài toán tổng quát). Cho a 1 , a 2 ,.,a n là các số thực không âm, n * N . Chứng minh rằng a 1 n+2 + a 2 n+2 + . + a n n+2 a 1 a 2 .a n (a 1 2 + a 2 2 + . + a n 2 ). Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có a 1 n+2 + a 1 n+2 + a 1 n+2 + a 2 n+2 + . + a n n+2 (n + 2)a 1 3 a 2 .a n a 1 n+2 + a 2 n+2 + a 2 n+2 + a 2 n+2 + . + a n n+2 (n + 2)a 1 a 2 3 a 3 .a n a 1 n+2 + a 2 n+2 + .+ a n n+2 + a n n+2 + a n n+2 (n + 2)a 1 a 2 .a n 3 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . = a n . áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau. Bài 2: Cho hai số dơng a, b. Chứng minh rằng ba a bb b aa ++ . Chứng minh. Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với )( 22 bababa ++ . Đây chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dơng a và b nên ta đợc điều phải chứng minh. Bài 3. Chứng minh rằng abcacbbcacba 333444 ++++ . Trong đó a, b, c là ba số thực không âm. Chứng minh. áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a 4 + b 4 a 3 b + ab 3 b 4 + c 4 b 3 c + bc 3 [...]... tập trong sách giáo khoa, 19% học sinh giải quyết trọn vẹn các bài tập sách giáo khoa Chính vì thế trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi đạt 13/14 em trong đó có 2 giải nhì và 5 giải ba; trong các kì thi đại học 4 năm trở lại đây năm nào cũng có Học sinh đậu Đại học có điểm cao nhất huy n Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân chúng tôi đã đúc rút ra trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng học sinh. .. A ' 2 Một số kinh nghiệm đúc kết qua việc giảng dạy học sinh phát huy trí lực Theo chúng tôi, việc phát huy trí lực cho học sinh là một việc làm rất quan trọng của ngời Thầy giáo Nó đòi hỏi ngời thầy giáo cần phải biết nhìn nhận để định hớng các em học sinh biết cách khai thác, vận dụng linh hoạt cách giải, các phơng pháp chứng minh, nhận định bài toán trên nhiều phơng diện Bản thân chúng tôi trong. .. chuyển đổi các dạng bài toán về các bài toán mới hay hơn và hiệu quả hơn C kết luận Khai thác tiềm năng sách giáo khoa, ứng dụng các bài toán đơn giản sách giáo khoa vào giải các bài toán khác nhằm phỏt trin trớ lc cho học sinh là việc làm cần thiết đối với mỗi giáo viên, qua đó phát triển cho học sinh t duy toán học, có khả năng vận dụng và sự linh hoạt trong giải quyết vấn đề Đi từ những vấn đề đơn. .. 2.2 Trong qua trình giảng dạy ngời giáo viên cần phải biết cách h ng d n nhằm cung cấp cho các em học sinh các phơng pháp tiếp cận loại bài toán đó và thờng xuyên đặt câu hỏi bài toán này có thể khai thác từ bài toán nào? ứng dụng của nó ra sao? 2.3 Giáo viên cần phải chuẩn bị các kiến thức hng dn để Học sinh tự khám phá, tự đặt bài toán tổng quát và độc lập giải quyết nó 2.4 Đứng trớc một bài toán. .. đơn giản giải quyết các vấn đề phức tạp phù hợp với quá trình nhận thức của học sinh, từ đó làm cho học sinh yêu thích và hăng say học tập môn toán hơn Bằng cách này trong thời gian qua đợc nhà trờng phân công giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi khối 10, 11, 12 bớc đầu đã thu đợc kêt quả đáng khích lệ Quá trình vận dụng chuyên đề trên vào giảng dạy có khoảng 80 % học sinh giải quyết đợc 85% các bài. .. = b = c Nhận xét 13: Từ bài toán 6, chúng ta có thể khai thác bậc 5, đối với 2 số bằng một bất đẳng thức a 5 + b 5 (a + b)a 2 b 2 (***) rõ ràng việc chứng minh bất đẳng thức này quả thật không khó Tuy nhiên, nêu ngời thầy biếthg dn nhỡn nhn khai thác bài toán cơ bản trên thì việc nhận ra và chứng minh bài toán này là một việc làm đơn giản qua ú ta li có một bài toán mới Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn:... dới dạng khác Nhằm rèn luyện t duy sáng tạo trong toán học cho học sinh từ đó quy lạ về quen Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 16 www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Bài 7: (Tuyển tập 200 bài thi vô địch Toán) Cho ABC nhọn, BC = a, CA = b, AB = c Tìm vị trí M sao cho P = aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất Nhận xét 20: Qua dạng bài toán trên,... quá trình dạy học đã thờng xuyên áp dụng và thấy rằng tơng đối có hiệu quả Để đạt đợc những hiệu quả đó, chúng tôi đã thực hiện một số biện pháp sau 2.1 Luôn tăng cờng tham khảo tài liệu, đặc biệt là nghiên cứu kĩ SGK(đây là một tài liệu quan trọng hơn bao giờ hết), qua đó cố gắng ghi lại những bài toán có thể khai thác các ứng dụng của nó, gii bi toỏn c trong nhiu cỏch nhằm phát huy trí lực cho học sinh. .. phân tích cho các em Học sinh phải xem xét nó cách nhìn nhận vấn đề khác nhau, qua đó tìm ra đợc các định hớng đợc cách giải bài toán cho Học sinh và cách khai thác ứng dụng của nó Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 18 www.MATHVN.com 2.5 Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Từ việc khai thác các ứng dụng của nó Giáo viên có thể hớng các em Học sinh biết lật ngợc... Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 19 www.MATHVN.com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Sở giáo dục và đào tạo nghệ an Trờng thpt quỳnh lu 4 Sáng kiến kinh nghiệm khai thác ứng dụng một số bất đẳng thức đơn giản nhằm rèn luyện t duy lôgic cho học sinh Đồng tác giả Ngô Quang Vân-Trơng Xuân Sơn Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www.mathvn.com 20 . Ngô Quang Vân-Trơng Xuân Sơn www. MATHVN. com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www. mathvn. com 20 Sở. bất đẳng thức, ng thc hỡnh hc đợc www. MATHVN. com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www. mathvn. com 2 khai thác ứng dụng của nó. 1 2 2 2 2)( 2 224433 = + + ++ = + + ++ + + +++ b a ba b a babaab b a baba (đpcm). www. MATHVN. com Sỏng kin kinh nghim mụn Toỏn lp 10 Ngô Quang Vân- Trơng Xuân Sơn: Trờng THPT Quỳnh Lu 4, Nghệ An www. mathvn. com 4 Đẳng thức xảy ra khi và