ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN N BÌNH TỔNG QT HĨA BỔ ĐỀ SCHWARZ CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN N BÌNH TỔNG QT HĨA BỔ ĐỀ SCHWARZ CHO CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN PHỨC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Huệ Minh Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tơi. Các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được cơng bố trong bất cứ cơng trình nào. Tác giả luận văn Nguyễn n Bình Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii Mục lục Mở đầu iii 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức . . . . . 4 1.1.4 Khơng gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm độ dài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài . . . . . . . . 7 1.3 Tơpơ compact mở và compact hóa một điểm . . . . . . 7 1.3.1 Tơpơ compact mở . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Compact hóa một điểm . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Điểm chính quy và điểm kỳ dị . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Định lý Ascoli đối với họ liên tục đồng đều . . . 10 1.5 Giả khoảng cách Kobayashi trên khơng gian phức . . . . 11 1.5.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Khơng gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.6.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.3 Khơng gian phức nhúng hyperbolic . . . . . . . . 14 1.7 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình trong khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.3 Họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trong khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8 Khơng gian taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.1 Khơng gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.8.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8.3 Khơng gian phức nhúng taut . . . . . . . . . . . 19 2 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức 20 2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Tổng qt hóa định lý Cartan-Carathéodory . . 21 2.1.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình f trên khơng gian phức taut . . . . . . . . 23 2.2 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.1 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức . . . . . . . . . . 32 2.3.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chuẩn tắc trên khơng gian phức . . . . . . . . . 34 Kết luận 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 Mở đầu Việc tổng qt hóa lớp các Bổ đề Schwarz đã được nghiên cứu đầu tiên bởi Cartan-Carathéodory qua kết quả sau: Định lý: Cho X là một mặt Riemann hyperbolic và f là một ánh xạ chỉnh hình từ X vào X, có điểm bất động p. Khi đó i f p 1. ii f p 1 khi và chỉ khi f id. iii f p 1 khi và chỉ khi f là một tự đẳng cấu. Sau đó Abate 3 chứng minh thêm được một kết quả về sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp f n của ánh xạ chỉnh hình f, đó là: iv f p 1 nếu và chỉ nếu dãy các ánh xạ lặp f n của f hội tụ về p với f n được định nghĩa bởi f 1 f và f n f f n 1 với n 1. Định lý trên đã được Abate [3] tổng qt hóa cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức taut và cũng được Kobayashi [10], Kaup [9] mở rộng (các khẳng định i), ii), iii) nhưng với điều kiện yếu hơn) cho các ánh xạ chỉnh hình trên khơng gian phức hyperbolic. Năm 2000, J. E. Joseph và M. H. Kwack [6] đã đưa ra hai tính chất cho họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình, từ đó đã mở rộng được các kết quả trên cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức. Mục đích của luận văn là nghiên cứu, học tập và hệ thống lại các kết quả nêu trên. Nội dung của luận văn được trình bày thành hai chương: Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị. Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của Giải tích phức hyperbolic. Đồng thời trình bày một số khái niệm và tính chất của họ chuẩn tắc, họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình. Những kiến thức này sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu ở chương sau. Chương II: Tổng qt hóa Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức Chương này gồm hai nội dung chính. Thứ nhất là trình bày kết quả mở rộng của Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của một khơng gian phức taut, khơng gian phức hyperbolic và kết quả mở rộng của Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của một khơng gian phức. Thứ hai là trình bày các kết quả về sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ chuẩn tắc) trên khơng gian phức taut (khơng gian phức). Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Ngun. Để hồn thành được bản luận văn này, trước hết tơi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Huệ Minh, người cơ đã tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi trong suốt q trình làm và hồn thành luận văn. Tơi cũng xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các thầy cơ trong Khoa Tốn, trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học Việt Nam và trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tơi hồn thành khóa học. Tơi xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã ln động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập, làm và hồn thành luận văn. Luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ và các bạn. Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Ngun, ngày 21 tháng 08 năm 2013 Học viên Nguyễn n Bình Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đa tạp phức 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X là một khơng gian tơpơ Hausdorff. Cặp U, ϕ được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập mở trong X và ϕ : U C n là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) ϕ U là tập mở trong C n . ii) ϕ : U ϕ U là một đồng phơi. Họ A U i , ϕ i i I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn i) U i i I là một phủ mở của X ii) Với mọi U i , U j mà U i U j , ánh xạ ϕ j ϕ 1 i : ϕ i U i U j ϕ j U i U j là ánh xạ chỉnh hình. Xét họ các atlas trên X. Hai atlas A 1 , A 2 được gọi là tương đương nếu hợp A 1 A 2 là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 trên X, và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều. 1.1.2 Ví dụ + Giả sử D là miền trong C n . Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương D, Id D . + Đa tạp xạ ảnh P n C . Xét U i z 0 : z 1 : : z n P n C z i 0 với i 0, 1, , n. Rõ ràng U i n i 1 là một phủ mở của P n C . Xét các đồng phơi ϕ i : U i C n z 0 : z 1 : : z n z 0 z i , , z i 1 z i , z i 1 z i , , z n z i . Ta có ϕ j ϕ 1 i : z 0 , , z i 1 , z i 1 , , z n z k z j k j ; k 0, , m; z i 1. Rõ ràng ϕ j ϕ 1 i là ánh xạ chỉnh hình. Vậy P n C là một đa tạp phức n chiều và gọi là đa tạp xạ ảnh n chiều. 1.1.3 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức Giả sử M, N là các đa tạp phức. Ánh xạ liên tục f : M N được gọi là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương U, ϕ của M và mọi bản đồ địa phương V, ψ của N sao cho f U V thì ánh xạ ψ f ϕ 1 : ϕ U ψ V là ánh xạ chỉnh hình. Hay nói cách khác, với mọi x M, y N, tồn tại hai bản đồ địa phương U, ϕ và V, ψ tại x và y tương ứng sao cho ψ f ϕ 1 : ϕ U ψ V là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử f : M N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f 1 là các ánh xạ chỉnh hình thì f được gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N . Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 1.1.4 Khơng gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc của đa tạp phức Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và ∆ là đĩa đơn vị trong C. Giả sử U, φ, ∆ m là bản đồ địa phương quanh x; tức là, U là một lân cận của x và φ : U ∆ m là ánh xạ song chỉnh hình. Đặt φ z 1 , , z m . Khi đó z 1 , , z m là một hệ tọa độ chỉnh hình địa phương quanh x. Đặt z α x α iy α , trong đó x α và y α là các giá trị thực. Khi đó x 1 , , x m , y 1 , , y m là hệ tọa độ địa phương thực quanh x, ở đó M được xem như là đa tạp khả vi thực 2m chiều. Giả sử T x M là khơng gian tiếp xúc của M tại x. Khi đó T x M là khơng gian vectơ thực 2m chiều, và x 1 x , , x m x , y 1 x , , y m x (1.1) là một cơ sở của T x M. Ký hiệu T x M R C là phức hóa của T x M. Khi đó (1.1) cũng là một cơ sở của khơng gian vectơ phức T x M R C. Đặt z j 1 2 x j i y j , 1 j m. Ta kí hiệu T x M m j 1 ξ j z j x ; ξ j C . Khi đó T x M là một khơng gian con tuyến tính phức m chiều của T x M R C, mà độc lập với cách chọn hệ tọa độ chỉnh hình địa phương z 1 , , z m . Ta gọi T x M là khơng gian tiếp xúc của đa tạp phức M tại x. Đặt T M x M T x M (hợp rời). Ta định nghĩa phép chiếu π : T M M bởi điều kiện π T x M x. Khi đó T M có cấu trúc của đa tạp phức 2m chiều sao cho π là ánh xạ chỉnh hình. Cụ thể hơn, giả sử z 1 , , z m là hệ tọa độ chỉnh hình địa Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ [...]... Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 20 Chương 2 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức Trong chương này, chúng tơi trình bày các mở rộng của bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức taut, khơng gian phức hyperbolic và tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức, đồng thời trình bày điều kiện cần và đủ cho. .. hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của một ánh xạ chuẩn tắc 2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức taut Trước hết ta trình bày một mở rộng của định lý Cartan-Carathéodory trên khơng gian phức taut Ta cần nhắc lại một số khái niệm và chứng minh bổ đề sau: Cho A là một tốn tử tuyến tính trên một khơng gian véctơ hữu hạn chiều, phổ của A, kí hiệu sp(A), là tập các giá trị riêng của A... giữa sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình f trên khơng gian phức taut với tập các giá trị riêng của df 2.1.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình f trên khơng gian phức taut Định nghĩa 2.3 Một co rút chỉnh hình của một khơng gian phức X Đ X thỏa mãn ρ2  ρ Ảnh ρpX q được gọi là một co chỉnh hình của X Rõ ràng ρpX q trùng với tập các điểm là một ánh xạ chỉnh hình... hình từ khơng gian phức X tới khơng gian phức Y được gọi là chuẩn tắc đều trong H pX, Y q nếu ¥ H pM, X q  tf ¥ g : f € F , g € H pM, X qu là compact tương đối trong C pM, Y ¦ q với mọi khơng gian phức M , và ánh xạ f € H pX, Y q được gọi là ánh xạ chuẩn tắc nếu tf u là chuẩn F tắc đều b) Tính chất: +) Giả sử M là một đa tạp phức và Y là một khơng gian phức Khi € H pM, Y q chuẩn tắc đều khi và chỉ... Đ X là ánh xạ chỉnh hình Nếu IdX là giới hạn của dãy các ánh xạ lặp tf k u của f , ở đó f k  f ¥ ¥ f , k lần thì f là ánh xạ song chỉnh hình Bổ đề 2.1 Cho X là một khơng gian phức taut, f : X Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 21 Chứng minh Giả sử ta có dãy tf kj u các ánh xạ lặp của f hội tụ tới ánh xạ IdX Ta có thể giả thiết rằng dãy tf kj ¡1 u hội tụ tới một ánh xạ g € H... tồn tại các dãy tpj u € Ω với tpj u Đ p0 € Ω, tfj u € F , tρj u € R với ρj ¡ 0 và tρj u Đ 0 sao cho gj pξ q  fj ppj   ρj ξ q, ξ € Cm , hội tụ đều trên các tập con compact của Cm tới một ánh xạ khơng hằng g Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 17 1.7.3 Họ chuẩn tắc đều các ánh xạ chỉnh hình trong khơng gian phức a) Định nghĩa: Cho X, Y là các khơng gian phức Một họ F các ánh xạ chỉnh... hạn của f Áp dụng Mệnh đề 2.7, ta có sppdfp q € ∆ nên p là một điểm bất động hút của f 2.2 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức hyperbolic Định lý 2.13 r10s Cho X là một khơng gian phức hyperbolic và p là một điểm bất động khơng kỳ dị của X Cho f : X chỉnh hình thỏa mãn f ppq Đ X là một ánh xạ  p, và dfp : TpX Đ TpX là vi phân của f tại p Khi đó iq Các giá trị riêng của dfp... một ánh xạ chỉnh Đ TpX là ánh xạ vi phân của f tại p Khi đó ta có iq Phổ của dfp chứa trong ∆ iiq |detdfp | ¤ 1 iiiq dfp  Id nếu và chỉ nếu f là ánh xạ đồng nhất ivq Tp X  LN – LU trong đó sppdfp |L q € ∆, sppdfp |L q € f ∆ và dfp |L là chéo hóa được vq Nếu |detdfp |  1 thì f là ánh xạ song chỉnh hình Chứng minh Vì X là khơng gian taut nên tồn tại một dãy con tf k u của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ. .. Tập các điểm kỳ dị của X được ký hiệu là Xsin Trong khơng gian phức X tập các điểm chính quy Xreg là một đa tạp phức mở và tập các điểm kỳ dị Xsin là một khơng gian phức với IntXsin  r 1.4.3 Định lý Ascoli đối với họ liên tục đồng đều a) Định nghĩa: Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ X tới Y nếu với mỗi lân cận U của. .. 24 Điều này cho thấy trong số các bản đồ địa phương được cho bởi ϕ, ρ được biểu diễn bởi một ánh xạ tuyến tính P Do vậy, ρpX q là khơng kỳ dị tại z0 Định lý 2.5 r3s Cho X là một khơng gian phức taut, f € H pX, X q Giả sử dãy các ánh xạ lặp tf k u là khơng phân kỳ compact Khi đó ta có: iq Tồn tại một co rút chỉnh hình duy nhất ρ của X sao cho mọi ánh xạ giới hạn h € H pX, X q của tf k u đều có dạng . Khơng gian phức nhúng taut . . . . . . . . . . . 19 2 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức 20 2.1 Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chỉnh hình của khơng gian phức. rộng của Bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của một khơng gian phức. Thứ hai là trình bày các kết quả về sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chỉnh hình (ánh xạ chuẩn tắc) trên khơng gian. . 32 2.3.1 Tổng qt hóa bổ đề Schwarz cho các ánh xạ chuẩn tắc của khơng gian phức . . . . . . . . . . 32 2.3.2 Sự hội tụ của dãy các ánh xạ lặp của ánh xạ chuẩn tắc trên khơng gian phức . . .