ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH TÂM QUỸ TÍCH COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH TÂM QUỸ TÍCH COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MƠĐUN Chun ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60. 46. 01. 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HỒNG THÁI NGUN - 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xác nhận của khoa chun mơn Xác nhận của cán bộ hướng dẫn i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Tập iđêan ngun tố liên kết và tập giá của mơđun . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Chiều và độ cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tơpơ Zariski và thớ hình thức của vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Mơđun đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Mơđun Cohen - Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Tập các iđêan ngun tố gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phương 13 2.1 Phân tích thứ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phức Cousin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Tập iđêan ngun tố gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phương . . . 17 3 Quỹ tích Cohen-Macaulay 24 3.1 Mơđun đẳng chiều và mơđun có linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương 24 3.2 Quỹ tích Cohen-Macaulay của mơđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Điều kiện cho tính mở của quỹ tích Cohen-Macaulay của mơđun . . . . 27 4 Vành có các thớ hình thức là Cohen-Macaulay 36 4.1 Một số tính chất của vành có các thớ hình thức là Cohen-Macaulay . . . 36 ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.2 Tính đóng của quỹ tích khơng Cohen-Macaulay trong trường hợp vành có các thớ hình thức là Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Giả sử M là mơđun hữu hạn sinh trên vành Noether A. Quỹ tích Cohen-Macaulay của M kí hiệu là CM(M), nó được xác định bởi cơng thức CM(M) = {p ∈ Spec(A) | M p là A p −mơđun Cohen-Macaulay}. Ta dễ thấy quỹ tích Cohen-Macaulay của một mơđun Cohen-Macaulay là Spec(A), và của một mơđun Cohen-Macaulay suy rộng M trên vành địa phương (A,m) chứa tập Spec(A) \ {m}. Vì thế trong những trường hợp này, CM(M) là tập con mở của Spec(A) đối với tơpơ Zariski. Tính chất tơpơ của quỹ tích Cohen-Macaulay của các mơđun là một cơng cụ quan trọng. T. Kawasaki [9, Định lý 8.3] đã chỉ ra rằng khi vành A là catenary (xem Định nghĩa 1.2.5), thì tính mở của CM(B) (của bất kì A−đại số hữu hạn B) là một giả thiết quan trọng để nghiên cứu tính hữu hạn của các phức Cousin C A (M) (xem Định nghĩa 2.2.2) của A−mơđun hữu hạn sinh đẳng chiều M (nghĩa là dimM = dimA/p với mọi phần tử p cực tiểu của Supp(M)). Quỹ tích Cohen-Macaulay của mơđun được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn A. Grothendick [7] đã khẳng định rằng CM(M) là một tập con mở của Spec(A) khi A là một vành hồn hảo (excellent ring). Trong [13], C. Rotthaus-L. Sega đã nghiên cứu các quỹ tích Cohen-Macaulay của các mơđun phân bậc trên một vành Noether phân bậc thuần nhất A =  i∈N A i khi xét như là các A 0 −mơđun. Trong [8], R. Hartshorne đã chỉ ra CM(A) là tập mở khi A có phức đối ngẫu. Tiếp đến, M.T. Dibaei [3, Hệ quả 2.3] đã chỉ ra rằng CM(A) là tập mở khi A là vành địa phương với tất cả các thớ hình thức của nó là Cohen-Macaulay và thỏa mãn điều kiện Serre (S 2 ). 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác, R. Sharp-P. Schenzel trong [18, Ví dụ 4.4] đã chỉ ra rằng M là mơđun Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu phức Cousin C A (M) là một dãy khớp. Vì vậy CM(M) = Spec(A) \ ∪ i≥−1 Supp A (H i (C A (M))), trong đó đó H i (C A (M)) là ký hiệu của mơđun đối đồng điều thứ i của phức Cousin C A (M). Từ đó suy ra rằng CM(M) là tập mở khi mà phức Cousin C A (M) có các mơđun đối đồng điều hữu hạn sinh trên A. Các tác giả trong [4] đã chỉ ra rằng nếu các mơđun H i (C A (M)) hữu hạn sinh trên A thì M có linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương (tức là, tồn tại phần tử x ∈ A \ ∪ p∈Min A (M) p sao cho xH i m (M) = 0 với mọi i < dim A (M) và mọi iđêan cực đại m của A). Gần đây, năm 2011, M.T. Dibaei-R. Jafari [5] tiếp tục nghiên cứu về tính mở của quỹ tích Cohen-Macaulay của các mơđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương Noether (A,m). Trong mối quan hệ này, họ cũng nghiên cứu về một số vành có các thớ hình thức (trên một số các iđêan ngun tố đặc biệt) là Cohen-Macaulay. Mục đích của luận văn này là trình bày chi tiết lại những nghiên cứu của M.T. Dibaei- R. Jafari năm 2011 như vừa nêu trên. Nói cách khác, uận văn trình bày chi tiết lại các chứng minh của bài báo [5] M.T. Dibaei and R. Jafari, Cohen-Macaulay Loci of Modules, Commutative Algebra, 39 (2011), 3681-3697. Bên cạnh đó để việc trình bày có hệ thống và rõ ràng hơn, luận văn cũng bổ sung một số kiến thức từ những bài báo khác, chẳng hạn của T. Kawasaki [9], C. Zhou [19], Luận văn được chia làm 4 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở để chứng minh các kết quả chính của luận văn. Chương 2 mơ tả về tập các iđêan ngun tố gắn kết Att A (H i m (M)) của mơđun đối đồng điều địa phương thứ i của M trên một vành địa phương (A,m) dưới điều kiện phức Cousin C (M) của M là hữu hạn (Định lý 2.3.3 và Hệ quả 2.3.6). Chương 3 trình bày về quỹ tích Cohen-Macaulay của M. Bổ đề 3.2.3 chỉ ra rằng để nghiên cứu tính mở của CM(M) trong trường hợp A/(0 : A M) là catenar y thì chỉ cần xét với giả thiết M là đẳng chiều. Hơn nữa, một đặc trưng mới của các vành Cohen-Macaulay suy rộng liên quan đến linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương cũng 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ được đưa ra (Hệ quả 3.3.9). Vì quỹ tích khơng Cohen-Macaulay của M đóng nếu và chỉ nếu tập các phần tử tối tiểu của nó là hữu hạn, nên dưới một số giả thiết trung gian chúng ta chứng minh được rằng Min(non-CM(M)) là tập con của tập  i≤dimM Att A (H i m (M))∪ non-CM(A) (Định lý 3.3.10). Như một hệ quả ta suy ra rằng quỹ tích Cohen-Macaulay của bất kỳ mơđun hữu hạn sinh nào trên vành Noether địa phương (A,m) là một tập con mở của Spec(A) nếu A là catenary và CM(A) là một tập hữu hạn (Hệ quả 3.3.11). Chương 4 chứng minh rằng M có linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương nếu và chỉ nếu  M đẳng chiều và các thớ hình thức trên các phần tử tối tiểu của Supp A (M) là Cohen- Macaulay. Kết quả là ta có Hệ quả 4.1.3 nói về các điều kiện tương đương với một vành là catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức là Cohen-Macaulay. Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HỒNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Ngun. Nhân dịp này tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tơi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, cơng sức hồn thành luận văn này. Tơi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cơ giáo của: Viện Tốn học và Đại học Thái Ngun những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tơi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Ngun, Khoa Sau đại học, Sở GD-ĐT Thái Ngun, Ban Giám hiệu và Tổ Tốn Tin - Trường THPT Lê Hồng Phong (Phổ n-Thái Ngun) đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tơi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi có thể hồn thành tốt khóa học của mình. Thái Ngun, ngày tháng năm 2014 TÁC GIẢ 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm đưa ra một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ thống và những kiến thức đó thực cần thiết phục vụ cho chứng minh các kết quả ở những chương sau. Chương này ta ln giả thiết A là vành giao hốn có đơn vị. 1.1 Tập iđêan ngun tố liên kết và tập giá của mơđun Kí hiệu 1.1.1. Cho M là một A−mơđun. Linh hóa tử của M, ký hiệu là ann A (M) hoặc (0 : A M), đó là tập hợp {a ∈ A | aM = 0} (nó cũng là một iđêan của A). Cho x ∈ M, khi đó ta gọi linh hóa tử của x, kí hiệu là ann A (x) hay (0 : A x), đó là iđêan ann A (Ax). Định nghĩa 1.1.2. (Iđêan ngun tố liên kết) Cho M là một A−mơđun và p ∈ Spec(A). Ta nói p là iđêan ngun tố liên kết của M nếu tồn tại 0 = x ∈ M sao cho p = ann A (x). Hơn nữa, tập tất cả các iđêan ngun tố liên kết của A−mơđun M được ký hiệu là Ass A (M) hoặc Ass(M). Nhận xét 1.1.3. Cho M là A−mơđun và p ∈Spec(A). Khi đó, p ∈Ass A (M) khi và chỉ khi tồn tại một mơđun con N của M sao cho A/p ∼ = N. Nếu giả thiết thêm A là vành Noether và M là A−mơđun khác 0. Khi đó mọi phần tử tối đại của tập Σ = {ann A (x) | 0 = x ∈ M} đều nằm trong tập Ass A (M). Đặc biệt, ta suy ra rằng M = 0 khi và chỉ khi Ass A (M) = /0. Định nghĩa 1.1.4. (Giá của mơđun) Cho M là R−mơđun. Ta gọi tập hợp Supp A (M) = {p ∈ Spec(A) | M p = 0} là tập giá của M. Ta cũng kí hiệu Min A (M) là tập tất cả các phần 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tử tối tiểu của tập Supp(M). Mệnh đề 1.1.5. Cho A là vành Noether và 0 → N → M → P → 0 là một dãy khớp ngắn các A−mơđun. Khi đó ta có các phát biểu i) Ass A (N) ⊆ Ass A (M) ⊆ Ass A (N) ∪ Ass A (P). ii) Supp A (M) = Supp A (N) ∪ Supp A (P). Mệnh đề 1.1.6. Cho A là một vành Noether và M là A−mơđun hữu hạn sinh khác 0. Khi đó tồn tại dãy các mơđun con của M dạng 0 = M 0 ⊂ M 1 ⊂ ··· ⊂ M n = M và có các p i ∈ Spec(A) sao cho M i /M i−1 ∼ = A/p i với mọi i = 1,··· ,n. Mệnh đề 1.1.7. Cho A là vành Noether và M là A−mơđun. Khi đó ta có i) Min A (M) ⊆ Ass A (M) ⊆ Supp A (M). ii) Nếu M là mơđun hữu hạn sinh trên A thì | Ass A (M) | < ∞. 1.2 Chiều và độ cao Định nghĩa 1.2.1. (Chiều của vành và mơđun) Cho A là một vành giao hốn, một dãy giảm thực sự các iđêan ngun tố p 0 ⊃ p 1 ⊃ ···p n của vành A được gọi là một xích ngun tố có độ dài n. Cận trên của độ dài tất cả các xích ngun tố trong A được gọi là chiều Krull của A, hay chiều của vành A, ký hiệu là dim A. Giả sử M là một A−mơđun. Khi đó, chiều của M, ký hiệu là dim M được xác định bởi dim M = dim(A/ann(M)). Định nghĩa 1.2.2. (Độ cao của iđêan) Cho A là một vành giao hốn và p là iđêan ngun tố của A. Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thức sự các iđêan ngun tố p = p 0 ⊃ p 1 ⊃ ··· ⊃ p r xuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, ký hiệu là ht(p). Cho I là một iđêan của A. Độ cao của I, ký hiệu là ht(I), được cho bởi ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ V(I)} trong đó V(I) là tập các iđêan ngun tố của A chứa I. 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... 3.2 Quỹ tích Cohen- Macaulay của mơđun Định nghĩa 3.2.1 Quỹ tích Cohen- Macaulay của M được ký hiệu là CM(M), đó là tập CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp là Ap -mơđun Cohen- Macaulay} Ta dễ thấy rằng quỹ tích Cohen- Macaulay của một mơđun Cohen- Macaulay là Spec(A) và của một mơđun Cohen- Macaulay suy rộng M (nói ngắn gọn là g.CM) trên một vành địa phương (A, m) chứa Spec(A) \ {m} (vì Mp là Ap −mơđun Cohen- Macaulay. .. chiều N của M thì CM(M) là tập mở Mục tiếp theo ta sẽ thấy rằng trên một vành địa phương (A, m) có các thớ hình thức là Cohen- Macaulay, thì quỹ tích Cohen- Macaulay của bất kỳ A−mơđun hữu hạn nào cũng là tập mở 3.3 Điều kiện cho tính mở của quỹ tích Cohen- Macaulay của mơđun Nhận xét 3.3.1 (xem [5, Trang 8]) Giả sử (A, m) là một vành địa phương Noether sao cho mọi thớ hình thức của nó đều là Cohen- Macaulay. .. Cohen- Macaulay Khi đó, quỹ tích Cohen- Macaulay của bất kỳ A−mơđun hữu hạn sinh M nào cũng là một tập con mở của Spec(A) đối với tơpơ Zariski Chứng minh Một cách tương đương, ta cần chứng minh Min(non-CM(M)) là một tập hữu hạn Chọn p ∈ Min(non-CM(M)) và đặt Q là một phần tử tối tiểu của tập khác rỗng {q ∈ SuppA (M) | q A = p} Vì thớ hình thức của A trên p là Cohen- Macaulay thì MQ khơng là Cohen- Macaulay theo... http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 Quỹ tích Cohen- Macaulay Trong suốt chương này, A là một vành Noether, khơng nhất thiết là vành địa phương và M là một A−mơđun hữu hạn Trong trường hợp A là vành địa phương, ta sử dụng M để kí hiệu là cái đầy đủ của M đối với iđêan tối đại m của A Mục đích của chương này là nghiên cứu quỹ tích Cohen- Macaulay CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp là Ap −mơđun Cohen- Macaulay} Kết quả chính của chương trình... gọi X là thớ của f tại p (ii) Cho (A, m) là vành địa phương, và f : A → A là đồng cấu chính tắc (trong đó A là đầy đủ m−adic của A) Khi đó các thớ của f tại các iđêan ngun tố của A được gọi là các thớ hình thức của A (iii) Nếu A là vành giao hốn tùy ý và p ∈ Spec(A), thì các thớ hình thức của Ap được 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ gọi là các thớ hình thức của A tại p... Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 1.5.7 (Mơđun Cohen- Macaulay, xem [2, Định nghĩa 2.1.1]) Cho (A, m) là một vành địa phương Noether và M là một A−mơđun hữu hạn sinh M được gọi là mơđun Cohen- Macaulay nếu M = 0 hoặc M = 0 và depth(M) = dim(M) Vành A được gọi là vành Cohen- Macaulay nếu nó là A−mơđun Cohen- Macaulay Định nghĩa 1.5.8 ([2, Trang 104]) i) Cho (A, m) là vành địa phương... going-up: cho trước hai iđêan ngun tố p ⊂ p của A và một iđêan ngun tố P của B sao cho P ∩ A = p, lúc đó tồn tại iđêan ngun tố P của B sao cho P ⊂ P và P ∩ A = p Một cách tương tự, định lý going-down là phát biểu sau đây: cho trước hai iđêan ngun tố p ⊂ p của A và một iđêan ngun tố P của B sao cho P ∩ A = p , lúc đó tồn tại iđêan ngun tố P của B sao cho P ⊂ P và P ∩ A = p Định lý 1.2.7 (Định lý going-up/going-down)... Tập các iđêan ngun tố gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phương Trong chương này, ta giả thiết (A, m) là vành địa phương và M là A−mơđun hữu hạn sinh có số chiều là d Mục đích chính của chương là tìm ra cơng cụ chính (Định lý 2.3.3 và Hệ quả 2.3. 6- về mối quan hệ giữa tập các iđêan ngun tố gắn kết của các mơđun i đối đồng điều địa phương Hm (M) và các mơđun đối đồng điều của phức Cousin CA (M) của. .. iđêan I của vành A sao cho V =V(I) Khi đó, ta dễ dàng thấy rằng: i) Giao vơ hạn các tập đóng là một tập đóng; ii) Hợp hữu hạn các tập đóng là một tập đóng Do vậy, X trở thành một khơng gian tơpơ Tơpơ của X xác định bởi họ các tập đóng {V (I) | I là iđêan của A} được gọi là tơpơ Zariski Với mỗi a ∈ A, tập D(a) = {p ∈Spec(A) | a ∈ p} là phần bù của V(aA), do vậy sẽ là một tập mở Như vậy / mọi tập mở của. .. CM(M) = Spec(A) \ i≥−1 Bổ đề sau chỉ ra rằng quỹ tích Cohen- Macaulay của một mơđun hữu hạn sinh là mở nếu nó đúng cho một mơđun con nào đó của M Bổ đề 3.2.3 (xem [5, Bổ đề 3.2]) Cho A là một vành Noether, M là một A−mơđun hữu hạn sinh và đặt S = {T ⊆ MinA (M) | ∃q ∈ SuppA (M) để ht(q/p)} là hằng với mọi p ∈ T } Với mỗi T ∈ S, ta đặt M T là một mơđun con của M thỏa mãn AssA (M T ) = T và AssA (M/M T . kiện cho tính mở của quỹ tích Cohen- Macaulay của mơđun . . . . 27 4 Vành có các thớ hình thức là Cohen- Macaulay 36 4.1 Một số tính chất của vành có các thớ hình thức là Cohen- Macaulay . . . 36 ii Số. A. Quỹ tích Cohen- Macaulay của M kí hiệu là CM(M), nó được xác định bởi cơng thức CM(M) = {p ∈ Spec(A) | M p là A p −mơđun Cohen- Macaulay} . Ta dễ thấy quỹ tích Cohen- Macaulay của một mơđun Cohen- Macaulay. gắn kết của mơđun đối đồng điều địa phương . . . 17 3 Quỹ tích Cohen- Macaulay 24 3.1 Mơđun đẳng chiều và mơđun có linh hóa tử đều đối đồng điều địa phương 24 3.2 Quỹ tích Cohen- Macaulay của mơđun