Hướng dẫn học sinh phương pháp giải toán cách lập phương trình có hiệu PHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Tốn học đời gắn liền với người, với lịch sử phát triển sống xã hội lồi người nói chung, người nói riêng Nó có lí luận thực tiễn lớn lao quan trọng, đồng chí Phạm Văn Đồng nói: “ Tốn học mơn thể thao trí tuệ, giúp rèn luyện tính thơng minh sáng tạo” Đại số mơn đặc biệt tốn học Nếu sâu vào nghiên cứu môn đại số thấy khơng gian ba chiều lí thú mà khơng vơi cạn Giải tốn cách lập phương trình nội dung quan trọng chương trình đại số trường THCS Việc giải tốn cách lập phương trình ứng dụng phương trình có ý rèn luyện óc phân tích biểu thị tốn học mối liên quan đại lượng thực tiễn Trong phân mơn đại số- chương trình tốn lớp 8,9 THCS số tiết dạy học toán cách lập phương trình chiếm vị trí quan trọng Về phía giáo viên học sinh có khó khăn dạy học kiểu Đây vấn đề quan trọng thiết Lâu tìm kiếm phương pháp dạy học sinh giải toán cách lập phương trình cho đạt hiệu Các tài liệu, sách tham khảo, sách giáo viên chưa có sách đề cập đến phương pháp dạy loại tốn Có gợi ý chung sơ lược Đặc biệt hội thi giáo viên dạy giỏi cấp tiết thi giảng giải tốn cách lập phương trình khơng đạt kết cao Trước tình hình trên, thân tơi giáo viên tốn cấp THCS, trăn trở nhiều vấn đề trên.Và với viết tơi khơng có tham vọng lớn để bàn vấn đề: “Giải toán” trường phổ thông Tôi xin đề xuất vấn đề phương pháp dạy loại toán: “Giải toán cách lập phương trình” học sinh lớp 8, mà áp dụng thành công II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI TẠO RA SÁNG KIẾN 1.Về phía nhà trường Trường THCS T.T Xuân Trường đơn vị nhỏ huyện Xuân Trường, điều kiện phát triển kinh tế gặp nhiều hạn chế, đa số làm nông nghiệp, sở vật chất phục vụ cho công tác dạy – học cịn nhiều thiếu thốn điều kiện cho học tập em gặp nhiều khó khăn Về phía phụ huynh học sinh Đa số bËc phụ huynh nhận thức cần phải quan tâm đầu tư cho việc học tập em song bên cạnh việc quan tâm học hành số phụ huynh chưa thật đầy đủ, chủ yếu phó mặc cho nhà trường ảnh hưởng lớn đến kết học tập học sinh nhà trường 3.Về phía giáo viên Nhìn chung đội ngũ giáo viên nhà trường có nhiều thầy cô giáo công tác lâu năm trường nên giàu hiệt huyết kinh nghiệm dạy học song có phân thầy giáo cịn non trẻ, nên chưa có nhiều kinh nghiệm dạy học Qua trình giảng dạy, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu vận dụng kiến thức học sinh nhận thấy kiến thức phần giải toán cách lập phương trình cịn nhiều hạn chế thiếu sót Đặc biệt em lúng túng vận dụng kiến thức học đĨ lập phương trình tốn Đây phần kiến thức khó học sinh lớp 8,9 lẽ từ trước tới em quen giải dạng toán tìm x giải phương trình có sẵn Mặt khác, loại toán “ Giải toán cách lập phương trình” loại tốn ngơn ngữ, nội dung hầu hết gắn liền với hoạt động thực tiễn người, tự nhiên, xã hội đòi hỏi học sinh phải quan tâm đến ý nghĩa nó, phải có hiểu biết nhiều lĩnh vực Khó khăn học sinh giải loại tốn khả tư hạn chế, em gặp khó khăn việc phân tích đề tốn, suy luận, tìm mối liên hệ đại lượng, yếu tố tốn nên khơng lập phương trình Có học sinh nắm lí thuyết chắn áp dụng lúng túng Hơn loại tốn cịn địi hỏi kĩ trình bày lời giải phải chặt chẽ nên nhiều em học sinh biết cách làm không đạt điểm tối đa vì: + Thiếu điều kiện đặt điều kiện khơng xác + Khơng biết dựa vào mối liên hệ đại lượng đÓ thiết lập phương trình + Lời giải thiếu lí luận, đơn vị + Quên đối chiếu điều kiện Vì vậy, nhiệm vụ người giáo viên phải rèn cho học sinh kĩ giải loại toán cho gặp em khơng cảm thấy lo sợ lúng túng Do kinh nghiệm rút sau năm giảng dạy mạnh dạn viết đề tài “Một số phương pháp giải toán cách lập phương trình hay hệ phương trình” PHẦN II NỘI DUNG A Các quy tắc chung : Cung cấp cho học sinh kiến thức lĩnh vực tốn, lí, hóa u cầu giải toán Các bước giải toán Phân loại toán dựa vào trình tham gia đại lượng B Nội dung: 1) Các kiến thức cần chuẩn bị Trước dạy loại toán “ Giải toán cách lập phương trình” cần cho học sinh tự ơn trước nhà kiến thức liên quan cụ thể kiến thức như: 1.1 Viết công thức thể mối quan hệ số bị chia a, số chia b, thương q số dư r: a = q.b + r 1.2 Số a gấp m lần số b: a = mb 1.3 Số a lớn số b m đơn vị: a = b + m 1.4 Tỉ số a b m: a =m b 1.5 Biểu thị số hệ thập phân Số gồm a trăm, b chục, c đơn vị: abc = a.100 + b.10 + c 1.6 Công thức tính vận tốc v qua quãng đường s thời gian t: v= s t 1.7 Năng suất lao động n, thời gian lao động t, khối lượng cơng việc hồn thành A Biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc công thức: A= n.t 1.8 Vận tốc riêng canơ Vc Vận tốc dịng nước Vd Vận tốc xi dịng Vx Vận tốc ngược dịng Vn Hãy lập cơng thức thể mối quan hệ đại lượng trên; Vx = Vc + Vd Vn = Vc - Vd Vx - Vd = Vn + Vd 1.9 Công thức tính khối lượng riêng chất: D = m v 1.10 Có m (gam) chất n (gam) dung dịch Tính nồng độ N% dung dịch đó: N% = m 100% n 1.11 Cơng thức tính diện tích hình: tam giác, hình chữ nhật, hình vng, hình trịn 1.12 Tìm số biết giá trị phân số nó;Tìm giá trị phân số số cho trước; Tính phần trăm Ngồi loại tốn trước dạy dạng tốn loại tốn cần nhắc nhở học sinh soạn ơn lại kiến thức liên quan đến vấn đề nêu dạng tốn 2) u cầu giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình *Yêu cầu 1: Lời giải khơng phạm sai lầm khơng có sai sót nhỏ Muốn cho học sinh khơng mắc sai phạm giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề tốn q trình giải khơng có sai sót kiến thức, phương pháp suy luận, kĩ tính tốn, ký hiệu, điều kiện ẩn, phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện ẩn xem xét đối chiếu kết với điều kiện ẩn xem có hợp lý khơng *u cầu 2: Lời giải tốn lập luận phải có xác Đó q trình thực bước có logic chặt chẽ với nhau, có sở lí luận chặt chẽ Đặc biệt phải ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu giả thiết xác định ẩn khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện cho làm bật ý phải tìm Nhờ mối tương quan đại lượng toán thiết lập phương trình từ tìm giá trị ẩn Muốn giáo viên cần làm cho học sinh hiểu đâu ẩn, đâu kiện, đâu điều kiện? Có thể thỏa mãn điều kiện hay khơng? điều kiện có đủ để xác định ẩn khơng? Từ mà xác định hướng đi, xây dựng cách giải *Yêu cầu 3: Lời giải phải đầy đủ mang tính tồn diện Giáo viên hướng dẫn học sinh khơng bỏ sót khả chi tiết nào, không thừa không thiếu, rèn cho học sinh cách kiểm tra lời giải xem đầy đủ chưa, kết toán đại diện phù hợp chưa? Nếu thay đổi điều kiện toán rơi vào trường hợp đặc biệt kết ln ln *u cầu 4: Lời giải phải đơn giản Bài giải phải đảm bảo u cầu khơng sai sót, có lập luận, mang tính tồn diện phù hợp kiến thức, trình độ đa số học sinh *Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học Đó lưu ý đến mối liên hệ bước giải toán phải logic, chặt chẽ với Các bước sau suy từ bước trước, kiểm nghiệm, chứng minh điều kiện biết trước *Yêu cầu 6: Lời giải toán phải rõ ràng, đầy đủ Lưu ý đến việc giải bước lập luận, tiến hành không chồng chéo nhau, phủ định lẫn Kết phải xác, phù hợp Muốn cần rèn cho học sinh thói quen thử lại kết sau giải tìm hết nghiệm tốn, tránh bỏ sót nghiệm phương trình bậc hai 3) Quy trình giải tốn Giai đoạn 1: Phân tích đề Trước hết cần đọc kĩ đề bài, hình dung vấn đề thực tế nêu đề sau ghi tóm tắt số liệu liên quan đến đối tượng, trình, đại lượng dạng kí hiệu vẽ hình, vẽ sơ đồ minh họa Xác định cho toán thuộc dạng nào? Các đối tượng, q trình, đại lượng có liên hệ với theo công thức biết? Viết công thức dẫn xuất từ công thức bản, thống đơn vị đo, sau tiến hành ghi số liệu biết đại lượng vào bảng số liệu gồm dòng cột Giai đoạn 2: Các bước giải Bước 1: Lập phương trình (đây bước quan trọng, định cho việc giải toán): a Chọn Èn đặt điều kiện thích hợp cho Èn a.1 Sau phân tích hiểu rõ vấn đề nêu ta bắt đầu chọn Èn Việc chọn ẩn quan trọng, định đến việc lập phương trình phương trình lập đơn giản hay phức tạp Chọn ẩn chọn đại lượng chưa biết làm ẩn kí hiệu chữ Thơng thường ta chọn đại lượng mà tốn u cầu tìm làm ẩn( cịn gọi chọn trực tiếp) Tuy nhiên số trường hợp việc chọn ẩn lại dẫn đến phương trình phức tạp ta chọn đại lượng trung gian làm ẩn (còn gọi chọn ẩn gián tiếp) giúp cho việc lập phương trình dễ đơi có phương trình gọn hơn, dễ giải Ví dụ: Xét tốn: Hai cạnh khu đất hình chữ nhật 4m Tính chu vi khu đất biết diện tích 1200m2 Nếu gọi trực tiếp chu vi khu đất hình chữ nhật x tốn vào bế tắc Vì vậy, giáo viên cần định hướng cho em tư rộng Muốn tính chu vi hình chữ nhật cần biết yếu tố nào? Từ học sinh phát gọi ẩn cạnh hình chữ nhật giải toán a.2 Sau chọn ẩn cơng việc cần thiết tìm điều kiện cho ẩn Đây phần học sinh hay quên lúng túng làm giáo viên cần nêu cho học sinh điều kiện chung Ví dụ như: + Ẩn số biểu thị chữ số điều kiện nguyên lớn 0, nhỏ 10 Nếu chữ số đứng đầu lớn + Ẩn biểu thị cho số tuổi, số con, số người, số sản phẩm điều kiện nguyên dương + Ẩn biểu thị cho vận tốc, quãng đường, thời gian, khối lượng cơng việc, suất, điều kiện số dương Ngồi tốn cụ thể ẩn ràng buộc điều kiện hẹp b Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết Trước hết, cần xác định mối quan hệ đại lượng (thường đại lượng khác liên hệ với cơng thức tốn học, vật lí, hóa học ) hay mối quan hệ đại lượng cho đối tượng khác (thường nhau, lớn bao nhiêu, lớn gấp lần, tỉ số bao nhiêu, phần trăm Từ ta viết đại lượng chưa biết dạng toán đại số c Lập phương trình Trong tốn giả thiết cho ta nhiều mối liên hệ đại lượng Ta chọn mối liên hệ để lập phương trình cịn mối liên hệ khác dùng làm cho mục b Vì chọn đại lượng để biểu diễn qua ẩn đại lượng biết ta phải ý đến mối quan hệ đại lượng mà ta chọn để lập phương trình Chú ý đơn vị đại lượng phải thống Bước 2: Giải phương trình Để giải phương trình lập bước ta cần ý quan sát phương trình dạng ta học để tìm hướng giải phù hợp Bước 3: Kết luận Cần đối chiếu kết tìm ẩn sau giải phương trình với điều kiện ẩn đặt bước Chọn giá trị phù hợp cần thử lại cách thay giá trị số ẩn vào đề tốn xem có hợp lí khơng Sau trả lời chung u cầu đặt đề toán Giai đoạn 3: Phân tích biện luận cách giải Phần thường để mở rộng cho học sinh giỏi Khi giải xong gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức cho thành toán khác cách: + Giữ nguyên ẩn số thay đổi yếu tố khác + Giữ nguyên kiện thay đổi yếu tố khác + Thay kết luận thành giả thiết lấy đại lượng khác làm ẩn + Giải tốn cách khác, tìm cách giải hay Bằng cách xây dựng cho học sinh có thói quen tập hợp dạng toán tương tự cách giải tương tự đến gặp học sinh nhanh chóng tìm cách giải Ví dụ minh họa: Năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương Phương tính 13 năm sau tuổi mẹ cịn gấp lần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi (Bài 40/31- Tốn tập 2) Giai đoạn 1: Phân tích đề Học sinh đọc đề hiểu vấn đề thực tế nói mối tương quan số tuổi mẹ * Tóm tắt: Cho biết: + Năm nay: Tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương + 13 năm sau: Tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương Hỏi: Phương tuổi * Tiếp theo học sinh phải trả lời câu hỏi: + Bài toán có đối tượng tham gia? Trả lời: Hai đối tượng mẹ + Đại lượng liên quan đến hai đối tượng đó? Trả lời: Đại lượng tuổi + Các đại lượng đối tượng có mối quan hệ quan hệ với nào? Trả lời: Có mối quan hệ năm 13 năm sau Năm nay: Tuổi mẹ = tuổi Phương 13 năm sau: Tuổi mẹ = tuổi Phương + Những số liệu biết, số liệu chưa biết Giáo viên ý cho học sinh công thức: Tuổi 13 năm sau = tuổi năm + 13 Giai đoạn 2: Các bước giải Bước 1: Lập phương trình 10 a Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn a.1 Ở có đại lượng chưa biết Ta gọi ẩn trực tiếp tuổi Phương năm x (tuổi) a.2 Điều kiện ẩn: x > 0; x nguyên b Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn đại lượng biết Cần định hướng ta sử dụng mối quan hệ : 13 năm sau tuổi mẹ = lần tuổi Phương để lập phương trình Vậy cần viết biểu thức biểu diễn tuổi mẹ tuổi phương 13 năm sau + Tuổi Phương 13 năm sau là: x + 13 (tuổi) Để biểu diễn tuổi mẹ 13 năm sau cần phải biết tuổi mẹ năm Ta sử dụng mối quan hệ thứ + Tuổi mẹ năm : 3x (tuổi) + Tuổi mẹ 13 năm sau : 3x + 13 (tuổi) c Lập phương trình Vì 13 năm sau tuổi mẹ gấp lần tuổi Phương nên ta có phương trình: 3x+13 = 2(x+13) Bước 2: Giải phương trình Học sinh nhận xét dạng phương trình bậc ẩn đưa dạng ax + b = Dạng học từ trước Giải phương trình kết x = 13 Bước 3: x = 13 thỏa mãn điều kiện x nguyên, x >0 Học sinh tự thử lại nháp với tuổi Phương năm 13 có phù hợp với đề tốn khơng sau trả lời: Vậy năm Phương 13 tuổi Giai đoạn 3: + Từ cách giải trên, giáo viên cho học sinh suy nghĩ cịn cách giải khác khơng? Cách khác: Chọn tuổi mẹ năm x (tuổi), x nguyên dương Bằng cách lập luận tương tự ta có phương trình: 11 x + 13 = ( x + 13) Việc giải phương trình phức tạp nên ta chọn cách + Ngồi học sinh tự thay đổi số để tìm đề tương tự Phân dạng loại toán giải toán cách lập phương trình 4.1 Các dạng thường gặp + Dạng tốn chuyển động + Dạng toán liên quan đến số học + Dạng toán suất lao động + Dạng tốn cơng việc làm chung, làm riêng + Dạng tốn tỉ lệ chia phần + Dạng tốn có liên quan đến hình học + Dạng tốn có liên quan đến vật lí, hóa học 4.2 Hướng dẫn giải dạng toán a Dạng toán chuyển động - Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ nắm mối quan hệ đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian (s=v.t) - Cần lưu ý dạng tốn chuyển động chia thành nhiều dạng: + Nếu chuyển động quãng đường vận tốc thời gian tỉ lệ nghịch với + Nếu chuyển động ngược chiều, sau thời gian hai chuyển động gặp thì: S1 + S2 =S + Nếu chuyển động chiều, địa điểm, sau thời gian chuyển động gặp thì: S1 =S2 + Nếu chuyển động sơng cần ý đến mối quan hệ loại vận tốc 12 Ví dụ: Quãng đường AB dài 270 km, hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Ơ tơ thứ chạy nhanh ô tô thứ 12 km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe * Hướng dẫn phân tích đề - Học sinh cần xác định vận tốc xe, từ xác định thời gian hết quãng đường cuả xe - Căn vào mối quan hệ vận tốc xe để biểu diễn đại lượng - Căn vào mối quan hệ thời gian xe để lập phương trình * Lời giải: Đổi : 42 phút = 10 Gọi vận tốc xe thứ x (km/h) - điều kiện: x>12 vận tốc xe thứ hai x-12 (km/h) Thời giang hết quãng đường AB xe thứ Thời gian hết quãng đường AB xe thứ hai Xe thứ sớm xe thứ hai 270 (h) x 270 (h) x − 12 nên ta có phương trình: 10 270 270 = x − 12 x 10 ⇔ 2700 x − 2700( x − 12) = x( x − 12) ⇔ x − 84 x − 32400 = x1 =74,3 (thỏa mãn điều kiện ẩn) x2 = -62,3 (không thỏa mãn điều kiện ẩn) Vậy vận tốc xe thứ 74,3 km/h vận tốc xe thứ hai 74,3 -12 = 62,3 km/h b Dạng toán liên quan đến số học - Với dạng toán cần lưu ý cho học sinh cách chọn ẩn Có gọi trực tiếp có phải gọi gián tiếp + Nếu liên quan đến chữ số số cần cho học sinh hiểu mối quan hệ số hàng trăm, chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị 13 ab = 10a + b abc = 100a + 10b + c + Nếu tốn khơng có mối quan hệ chữ số mà mối quan hệ số với ta chọn số cần tìm ẩn Ví dụ: Một số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số vào hai chữ số số lớn số ban đầu 370 Tìm số ban đầu * Hướng dẫn phân tích đề: Học sinh phải trả lời câu hỏi sau: + Số cần tìm có chữ số? + Quan hệ chữ số nào? + Nêu cách viết số có hai chữ số, ba chữ số hệ thập phân? + Thêm chữ số vào số có chữ số? + Số số ban đầu có quan hệ nào? + Muốn biết số cho ta cần biết điều gì? * Lời giải: Gọi chữ số hàng đơn vị số ban đầu x điều kiện: x ∈ N ;0