SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC A. Đặt vấn đề. I. Lí do chọn đề tài. II. Đối tượng, phương pháp nghiên cứu. B.Giải quyết vấn đề. I. Một số dạng toán hình học sử dụng phương pháp Đại số 1. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học. 2. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh điểm cố định. 3. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh tam giác đều. 4. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí điểm. 5. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh đẳng thức hình học. 6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài toán dựng hình. 7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc Chứng minh bất đẳng thức hình học và tìm cực trị hình học. II. Một số bài tập áp dụng III. Một số điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp đại số vào giải các bài tập hình học IV.Kết quả. 1. Kết quả 2. Bài học kinh nghiệm và những điều kiện để áp dụng đề tài. C. Kết luận và kiến nghị. 4 SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lý do chọn đề tài 1. Cơ sở lí luận: Trong chương trình toán THCS hình học - đại số có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Phương pháp đại số có thể áp dụng vào để giải quyết những bài tập hình học khó, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học như kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩ năng đo đạc, ước lượng đồng thời giúp học sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như Toán học hóa tình huống thực tế, phát hiện và xây dựng thuật giải,vận dụng toán học vào thực tiễn. Sử dụng phương pháp Đại số trong hình học có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa. Rèn luyện những đức tính như : tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ cho HS. 2. Cơ sở thực tiễn Trong chương trình SGK Lớp 9 có rất nhiều bài toán hai chiều hình học - đại số nhằm hình thành và phát triển tư duy toán học cho HS, giúp các em hiểu rõ hơn vẻ đẹp của toán học.Rèn cho HS khả năng dự đoán,tính sáng tạo trong giải toán. Sử dụng phương pháp đại số trong hình học giúp cho HS hiểu được mối liên hệ hình học - đại số, giúp cho các em có cái nhìn nhiều góc độ về bộ môn hình học.Chính vì vậy tôi xin được hệ thống các dạng bài tập hình học sử dụng phương pháp đại số nhằm giúp HS đặc biệt là HS khá, giỏi làm quen và hiểu được phương pháp này một cách hiệu quả nhất. II. Mục tiêu,đối tượng 1. Mục tiêu - Giúp HS làm quen và giải quyết các bài tập hình học bằng phương pháp đại số theo các mức độ từ dễ đến khó. - Rèn cho HS khả năng dự đoán,tính sáng tạo,giúp HS hoạt động tự giác,tích cực. Rèn cho HS đồng đều hai mặt là tri thức toán học và hoạt động thể hiện ngôn ngữ toán học. 2. Đối tượng: Áp dụng cho bồi dưỡng HS khá ,giỏi lớp 9. III. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu SGK,tài liệu tham khảo sau đó vận dụng vào hướng dẫn cho HS từ đó rút ra những bài học kinh nghiệm. - Thường xuyên trao đổi, hội thảo với GV bộ môn nhằm tháo gỡ những khó khăn của đề tài. - Một số tài liệu tham khảo: + Toán học tuổi trẻ,Toán học tuổi thơ + Toán nâng cao và phát triển 9 + Một số tài liệu tham khảo khác. PHẦN A. NỘI DUNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ. 1. Sử dụng phương pháp đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học.  Phương pháp tiến hành: + Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn. + Biểu thị các yếu tố hình học theo ẩn. + Từ các mối quan hệ hình học lập phương trình hoặc hệ phương trình. + Giải phương trình hoặc hệ phương trình, chọn giá trị thích hợp. 5 C O B I SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm Bài 1: Cho đường tròn (O), A là một điểm nằm ngoài (O), AO cắt đường tròn tại I. Biết AI = 7 , IB = 5. Tính độ dài AB? Phân tích bài toán: +)Tính AB bằng cách đưa AB về cạnh một tam giác vuông +) Vẽ tam giác vuông ABK, kẻ AH BK⊥ có thể biểu thị AB, BK theo KH từ đó dẫn đến việc chọn ẩn là KH Giải: Đường vuông góc với AB tại A cắt BI tại K kẻ AH ⊥ BK do OA ⊥ BC => I là điểm chính giữa » BC => BI là phân giác của µ B . Có · · 0 KBA AKB 90+ = · · 0 CBI BIO 90+ = Mà · · · · KBA CBI AKB BIO= ⇒ = và · · BIO AIK= · · AKB AIK AKI⇒ = ⇒ ∆ cân => HK = IH Đặt HK = HI = x (x > 0) => BK = 2x + 5 Có AI = AK = 7 Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông : AK 2 =KH. KB ( ) ( ) 2 7 2 5 .x x ⇒ = + 2 2 5 7 0x x ⇔ + − = x 1 = 1 (thoả mãn) x 2 = 7 2 − ( loại) => BK = 7 do AB 2 = KB 2 - AK 2 = 7 2 - ( ) 2 7 = 40 => AB = 2 10 Nhận xét: Đây là bài tập mà tôi đã khai thác từ bài tập 48 SBT toán 9 - T134. Bài tập này nhằm giúp học sinh củng cố các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính chất tiếp tuyến Bài 2: Cho điểm B nằm giữa A và C sao cho AB = 14 cm, BC = 28 cm. vẽ về một phía của AC các nửa đường tròn tâm I, K, O có các đường kính theo thứ tự AB, BC, AC. Tính bán kính của đường tròn tâm M tiếp xúc ngoài với các nửa đường tròn tâm I, K và tiếp xúc trong với nửa đường tròn tâm O. Phân tích bài toán: 6 M A B C E F N H SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm +) Có thể tính OA, OI, OK, IK. +) Từ hệ thức MO 2 - MI 2 = OH 2 - IH 2 Và MK 2 - MI 2 = HK 2 - HI 2 dẫn đến việc chọn bán kính của (M) và chọn IH là ẩn. Giải: Gọi D là giao điểm của OM và đường tròn ( O ). Ta có: OA = OD = OC = AC 14 28 21 2 2 + = = (cm) OI = OA - IA = 21 - 7 = 14 ( cm ) OK = OC - KC = 21 - 14 = 7 ( cm ) IK = 14 + 7 = 21 ( cm ) Gọi bán kính của đường tròn ( M ) là x ( x > 0 ). ta có : IM = x + 7, MK = x +14 , MO = OD - MD = 21 - x. kẻ MH ⊥ AC. Gọi HI = y ( y > 0 ) ta có: MK 2 - MI 2 = HK 2 - HI 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 21 14 7y y x x ⇔ − − = + − + ⇔ x + 3y = 21 (1) Ta lại có : MK 2 - MI 2 = HK 2 - HI 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 14 21 7y y x x ⇔ − − = − − + ⇔ 2x - y = 7 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 3 21 2 7 x y x y + =   − =  Giải hệ ta được x = 6, y = 5. Bán kính đường tròn ( M ) bằng 6 cm 2. Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh điểm cố định  Phương pháp tiến hành: Trong dạng toán này cần dự đoán hình bằng cách: - Dựa yếu tố cố định hoặc không đổi. - Đặc biệt hoá bài toán để tìm hình cố định. - Tìm giao điểm của các hình cố định. Bài 3. Cho đường thẳng a và một điểm A cố định nằm ngoài a, H là hình chiếu vuông góc của A xuống a. Hai điểm B, C thay đổi trên a sao cho · 0 90BAC = . GọiE, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, AC. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, E, F, C cùng thuộc một đường tròn (O). b) Đường tròn (O) luôn đi qua hai điểm cố định. Phân tích bài toán: +) Do A và a cố định => đường thẳng AH cố định => dự đoán các điểm cố định thuộc AH. +) Các điểm cố định là giao của đường thẳng AH và (O). Giải: a) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AE. AB = AH 2 = AF. AC AEF ACB ⇒ ∆ ∆ : ( hai cạnh góc vuông tỉ lệ) · · AEF ACB ⇒ = ⇒ BEFC là tứ giác nội tiếp b) Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của (O) với AH (M thuộc đoạn AH). 7 SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm Ta đặt HM = x, HN = y ( x > 0; y > 0 ) AH = h (h > 0, h không đổi) Theo hệ thức đường tròn ta có: HM.HN = HB. HC Mà HB. HC = AH 2 => HM. HN = AH 2 hay x.y = h 2 (1) Có AH 2 = AE. AB theo hệ thức lượng đường tròn ta có: AE. AB = AM. AN => AH 2 = AM. AN = ( AH - HM ). (AH + HN ) => AH 2 = AH 2 - HM. HN + AH. ( HN - HM ) => AH. (HN - HM ) = HM .HN => AH. (HN - HM ) = AH 2 => HN - HM = AH hay y - x = h (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 2 x.y h y x h =   − =  Giải hệ phương trình ta được: 5 1 x h 2 − = và 5 1 y h 2 + = => M và N cố định vậy (O) luôn đi qua M, N cố định. 3. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí của điểm.  Phương pháp tiến hành: - Cho hình vẽ thỏa mãn điều kiện đầu bài - Sử dụng phương pháp đại số tìm khoảng cách của điểm với đường thẳng cố định hoặc một điểm cố định khác. Bài 4 Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R. Điểm C thuộc đường tròn (C không trùng với A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). GọiM là điểm chính giữa của cung nhỏ AC. Tia BC cắt Ax tại Q, AM cắt BC tại N, AC cắt BM tại P. a) Chứng minh rằng tam giác ABN cân. b) Xác định vị trí của C trên nửa đường tròn (O) để đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ tiếp xúc với (O). Phân tích bài toán: Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau tại M thì chúng có tiếp tuyến chung tại M.Có điểm B cố định vậy tìm vị trí điểm C bằng cách tìm độ dài đoạn BC a) ∆ ABN cân tại B (vì BM là đường cao đồng thời là phân giác) => AB = BN. b) Đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp ∆ MNQ tiếp xúc với nhau tại M ⇔ chúng có tiếp tuyến chung tại M. Gọi My là tia tiếp tuyến chung của hai đường tròn, My cắt BQ tại E. Có ME //AC (cùng vuông góc với MO). ⇔ ME QB. Do · · NME EMC= (vì cùng bằng góc MAC). ⇔ ∆ MNC cân ⇔ EN = EC (1) Vì · · MQB NME = 8 A B N M C O P Q E Xx Xy SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm · · MBC CME = · · MQB MBC ⇒ = . ⇔ ∆ MQB cân ⇔ EQ = EB (2) Từ (1) và (2) ⇔ NQ = CB Theo hệ thức lượng: AB 2 = BC.BQ = BC.(BN+QN) ⇔ AB 2 = BC.(AB+BC) vì BN = AB; QN=BC Đặt BC = x (x > 0) ta có: 4R 2 = x.(2R+x) ⇔ x 2 + 2Rx - 4R 2 = 0 (*) Giải phương trình (*) ta được ( ) 1 x 5 1 .R= − (thoả mãn) ( ) 2 x 5 1 .R= − − (loại) Vậy ( ) BC 5 1 .R= − thì đường tròn ngoại tiếp ∆ MNQ và đường tròn (O) tiếp xúc nhau. 4. Sử dụng phương pháp đại số trong việc chứng minh tam giác đều.  Phương pháp tiến hành: Sử dụng phép biến đổi đại số hoặc phương pháp bất đẳng thức để chứng minh ba cạnh hoặc các yếu tố khác như ba đường cao của tam giác bằng nhau. Bài 5. Một tam giác có số đo đường cao là số nguyên và bán kính đường tròn nội tiếp là 1. Chứng minh rằng tam giác đó đều. Giải: Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c và độ dài đường cao tương ứng là x, y, z. Do vai trò của x, y, z như nhau, giả sử x ≥ y ≥ z. áp dụng công thức r = S P và z = 2S c r = S P = 2S a b c+ + < 2S 2c = S c = z 2 => z > 2 (vì r = 1) (1) => x > 2, y > 2 Ta có 1 1 1 a b c a b c 1 1 x y z 2S 2S 2S 2S r + + + + = + + = = = Vì 1 1 1 3 x y z z + + ≤ => 3 1 z ≥ => z 3≤ (2) Từ (1) và (2) suy ra z = 3 Suy ra 1 1 2 x y 3 + = (3) mà 1 1 x 3 ≤ , 1 1 y 3 ≤ => 1 1 2 x y 3 + ≤ (4) Từ (3) và (4) suy ra x = y = 3 => a = b = c => Tam giác đó đều. 5. Sử dụng phương pháp Đại số để chứng minh đẳng thức hình học.  Phương pháp tiến hành: +) Biểu thị các đoạn thẳng theo các chữ. +) Từ mối liên hệ hình học biến đổi hai vế bằng phương pháp Đại số về hai biểu thức bằng nhau. 9 SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm Bài 6. cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn cắt các cạnh AB và ACtheo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng: a) MN 2 = AM 2 + AN 2 - AM.AN. b) AM AN 1 MB NC + = Giải: a) Kẻ NH ⊥ AB. Đặt AB = AC = BC = a, AM = x, AN = y, MN = z. Ta có y AH 2 = , NH y 3 2 = , HM y x 2 = − theo định lí Py-Ta-Go: 2 2 2 2 2 2 2 y 3 y MN NH HM x x y xy 2 2     = + = + − = + −  ÷  ÷     b) Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AM + AN + MN = 2AD => x + y + z = 2 AD = a. ta có AM AN 1 MB NC + = x y x y 1 1 a x a y y x x z ⇔ + = ⇔ + = − − + + ⇔ x(x +z) + y(y + z) = (x +z)(y + z) 2 2 2 x xz y yz xy xz yz z ⇔ + + + = + + + 2 2 2 x y xy z⇔ + − = (*) đẳng thức (*) đã được chứng minh ở phần a) 6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài dựng hình. a) Các bài toán dựng hình cơ bản: - Dựng tổng hay hiệu hai đoạn thẳng: Dựng x = a ± b (a > b ) - Dựng đoạn thẳng bằng m n lần đoạn thẳng cho trước: Dựng m x a n = (m, n là số nguyên dương cho trước) - Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước; dựng x ab= . - Dựng đoạn x 2 2 a b= ± đưa về cạnh của tam giác vuông . b) Giải bài toán dựng hình bằng phương pháp Đại số - Giả sử đã dựng được một hình thỏa mãn các điều kiện của đề bài, tìm xem trong hình ấy những đoạn thẳng nào chưa biết (x) , dùng phương trình thiết lập sự tương quan hình học để tìm x. 10 Phân tích bài toán: Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có: AM + AN + MN = 2AD => có thể biểu thị MB, NC theo AM, AN,MN và các cạnhcủa tam giác ABC vì vậy chọn biến là AM, AN, MN và cạnh của tam giác ABC. SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm - Đưa về bài toán dựng hình cơ bản dựng x sau đó dựng hình cần dựng. Bài 7. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính MN. Dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp nửa đường tròn ( A và D thuộc MN, Bvà C thuộc nửa đường tròn) sao cho hình chữ nhật đó có diện tích có diện tích lớn nhất. Phân tích: Giả sử hình chữ nhật ABCD dựng được như hình vẽ. Đặt AD = 2a, AB = b, OB =R . Xét ∆ OAB vuông: OA 2 + AB 2 = OB 2 => a 2 +b 2 = R 2 . Gọi S là diện tích hình chữ nhật ta có S 2 2 2 2ab a b R = ≤ + = max S = R 2 ⇔ R 2 a b 2 = = Vậy hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất bằng R 2 ⇔ AD = 2AB.và · 0 AOB 45 = Cách dựng: dựng B sao cho · 0 MOB 45= => dựng hình chữ nhật ABCD. 7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh bất đẳng thức hình học và tìm cực trị hình học. Một số bất đẳng thức cần nhớ: a) Bất đẳng thức Cô-Si: với hai số không âm a,b ta có: a b 2 ab 2 + ≥ b) ( ) 2 a b 4ab + ≥ c) Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( 2số ): ( ) ( ) 2 2 2 2 a b a b + ≥ + Dấu "=" của các bất đẳng thức này xảy ra ⇔ a = b. Bài 8: Cho đường tròn (O) dây cung BC . A là mộtđiểm trên cung lớn BC . AA', BB', CC' là ba đường cao của tam giác. H là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng A’A.A’H 4 2 BC ≤ 1) Chứng minh rằng 2 3''' ≥++ HC HC HB HB HA HA . 2) Chứng minh rằng 9 . . . . . . ≥++ HBHA CBCA HAHC BABC HCHB ACAB . 3) Gia sử BC cố định A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Xác định vị trí điểm A để chu vi Δ A’B’C’ lớn nhất. Giải: 11 B A D O C M N R b a A C B B ’ C ’ A ’ H  O M R S SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm Để giải quyết các phần khai thác này cần chứng minh các bất đẳng thức phụ sau: a) (a+b) 2 ≥ 4ab. b) (a+b+c)( cba 111 ++ ) 9 ≥ . (a, b, c dương). c) . 2 3 ≥ + + + + + ab c ca b cb a (a, b, c dương). Chứng minh: a) Xét (a+b) 2 – 4ab = (a-b) 2 ≥ 0 => (a+b) 2 ≥ 4ab. Dấu “=” xảy ra  a = b. b) (a+b+c)( cba 111 ++ ) = 1+ 11 +++++++ b c a c c b a b c a b a = 3 +       ++       ++       + b c c b a c c a a b b a . Do 2.2 =≥+ a b b a a b b a . Tương tự 2≥+ a c c a 2≥+ b c c b => (a+b+c)( cba 111 ++ ) 9 ≥ . Dấu “=” xảy ra  a = b = c. c) 3111 −       + + +       + + +       + + = + + + + + ab c ca b cb a ab c ca b cb a = (a+b+c)( baaccb + + + + + 111 ) – 3 = ( ) ( ) ( ) [ ] 3 111 . 2 1 −       + + + + + +++++ baaccb bacacb 2 3 39. 2 1 =−≥ (theo b) dấu “=” xảy ra  a = b = c. 1) Do ∆ AA'B ∆: CA'H có A’A.A’H = A’B.A’C (1) áp dụng BĐT: (a+b) 2 ≥ 4ab => ab 4 )( 2 ba + ≤ => A’B.A’C 44 )''( 22 BCCABA = + ≤ (2) Từ (1) và (2) => A’A.A’H 4 2 BC ≤ . Dấu “=” xảy ra  A’B = A’C  Δ ABC cân tại A. 2) Gọi diện tích các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB lần lượt là S, S 1 , S 2 , S 3 Có S = S 1 + S 2 + S 3 Có 32 1 1 11 ' '' ' '. 2 1 '. 2 1 ' ' SS S HA HA SS S HAAA HA S S BCAA BCHA AA HA + =⇒ − = − ⇒== Chứng minh tương tự: 21 3 31 2 ' ; ' SS S HC HC SS S HB HB + = + = 12 SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm Ta có 2 3''' 21 3 31 2 32 1 ≥ + + + + + =++ SS S SS S SS S HC HC HB HB HA HA . (theo BĐT phần c). Dấu “=” xảy ra  S 1 = S 2 = S 3 = 3 S => H là trọng tâm của Δ ABC. Mà H là trực tâm của Δ ABC => Δ ABC đều. 3) Do Δ CHB’ ~ Δ CAC’ (g-g). => S S CCAB CBHB ACAB HCHB CC CB CA CH 1 '. 2 1 '. 2 1 . . ' ' ==⇒= Chứng minh tương tự: ; . . ; . . 3 2 S S BCCA HBHA S S BCAB HCHA ==  ;1 . . . . . . 321 = ++ =++ S SSS BCCA HBHA BABC HAHC ACAB HCHB (1) áp dụng bất đẳng thức: (a+b+c)( cba 111 ++ ) 9 ≥ 9 . . . . . . . . . . . . . ≥       ++       ++ HBHA CBCA HAH C BABC HCHB ACAB BCCA HBHA BABC HAHC ACAB HCHB (2) Từ (1) và (2) => 9 . . . . . . ≥++ HBHA CBCA HAHC BABC HCHB ACAB Dấu “=” xảy ra  Δ ABC đều. Từ phần 2) và dựa vào kết quả của bài tập 4 (SGKtrang 54-Ôn tập chương II) có thể khai thác thêm: a) Chứng minh rằng: 9 ' ' ' ' ' ' ≥++ HC CC HB BB HA AA . b) AA’, BB’, CC’ lần lượt cắt đường tròn tại M, R, S. Chứng minh rằng: 3≥++ HC HS HB HR HA HM . 4) Vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn. Do Ax//B’C’ => OA ┴ B’C’.  S AB’OC’ = ''. 2 1 ''. 2 1 CBRCBOA = Tương tự S BC’OA’ = ''. 2 1 CAR S BC’OA’ = ''. 2 1 BAR S AB’OC’ + S BC’OA’ + S BC’OA’ = )''''''.( 2 1 BCCABAR ++  S ABC = ''' . 2 1 CBA PR .  P A’B’C’ lớn nhất  S ABC lớn nhất  A là điểm chính giữa của cung lớn BC. Có thể khai thác thêm cho học sinh khá, giỏi tham khảo thêm một số bài toán cực trị: Xác định vị trí điểm A để: a) Diện tích Δ HBC lớn nhất. b) Chu vi Δ HBC lớn nhất. c) Tổng HA + HB + HC lớn nhất. d) Tổng khoảng cách từ Ođến các cạnh Δ ABC lớn nhất.B. II. MỘT SỐ BÀI TOÁN ÁP DỤNG. 13 [...]... chế đề tài - Các bài toán hình học sử dụng phương pháp giải đại số thường rất đa dạng và đặc sắc nhưng cũng rất khó đối với học sinh tại tâm lý các em ngại đi sâu khai thác và tìm tòi - Việc chuyển từ lý thuyết sang thực hành, học sinh chưa thực sự đầu tư suy nghĩ vì vậy còn lúng túng khi giải quyết các bài tập này - - - Các bài toán loại này thường kết hợp nhiếu phương pháp đại số và sử dụng rất nhiều... một trong những phương pháp tự học rất tốt Nó giúp học sinh yêu thích bộ môn hình học, thấy được vẻ đẹp của toán học giúp các em tự tin hơn trước bộ môn này * Việc hệ thống các bài tập theo nhóm sẽ giúp cho học sinh nắm được cơ sở xuất phát của một số dạng bài tập Từ đó các em có thể phân loại được các dạng bài tập và tìm ra mối liên hệ giữa các bài tập này Việc hệ thống bài tập sẽ giúp các em có cái... một hình để phát hiện điểm cố định - Khi hướng dẫn HS giải các bài tập hình bằng phương pháp Đại số tôi đã cố gắng đưa ra hệ thống bài tập đa dạng, nhằm phát triển tư duy toán học cho HS Các kiến thức trong hệ thống bài tập có sự liên quan chặt chẽ với nhau Nhiều lời giải hay được chính các em phát hiện trong quá trình giải bài toán Tôi xin được trình bày sơ đồ chung giải loại toán này: Dự đoán hình, ... tổng quát hơn về các bài tập hình học IV KẾT QUẢ 1)Kết qủa: Sau khi áp dụng đề tài này thu được kết quả như sau: + Kết quả HS giỏi xếp thứ 2 trong toàn huyện + Có một HS tham gia dự thi HS giỏi tỉnh đạt giải nhì Các em không còn bở ngỡ mà thường tỏ ra yêu thích môn hình học, biết vận dụng phương pháp hợp lý nhất để giải các bài tập, nhất là đối với các dạng bài tập nâng cao, bồi dưỡng học sinh giỏi 2)Hạn... PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ VÀO GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC 1 Những khó khăn mà học sinh thường gặp phải khi giải các dạng toán này - Học sinh thường lúng túng trong việc chọn ẩn - Học sinh thường khó khăn trong việc phát hiện ra mối quan hệ hình học để lập phương trình hoặc biểu thức - Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc dự đoán hình để phát hiện ra điểm cố định hoặc tìm vị trí của điểm 2 Biện pháp khắc... chọn ẩn Biểu thị các yếu tố hình học có liên quan theo ẩn Lập phương trình hoặc biểu thứcc Chứng minh biểu thức Giải phương trình Sử dụng bất đẳng thức đại số 14 để chứng minh bất đẳng thức hình học SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm *Trong khi hướng dẫn HS giải bài toán, tôi cũng chú trọng đến việc khuyến khích học sinh tự khai thác nhằm giúp các em rèn luyện tư duy sáng tạo, tính chủ động trong học tập Tự khai thác... tích kĩ bài toán để phát hiện mối quan hệ của yếu tố hình học cần tìm và các yếu tố hình học đã biết để chọn ẩn trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua một yếu tố hình học khác - Cần chú ý các mối quan hệ hình học thường gặp: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức đường tròn, tam giác đồng dạng từ đó dự đoán để thiết lập được mối quan hệ hình học - Hướng dẫn học sinh dự đoán hình bằng cách đưa về các. .. nhiều kiến thức hình học đây là khó khăn rất lớn không chỉ của học sinh mà còn cả đối với giáo viên Do vậy đề tài này không thể đưa hết được những bài toán đặc sắc mà chỉ dừng lại ở việc hệ thống một số dạng toán cơ bản 3 )Bài học kinh nghiệm Để thực hiện tốt phương pháp dạy học có phân hoá tôi thường sử dụng ngay các bài tập có sẵn trong sách giáo khoa, để phù hợp với mọi đối tượng học sinh, sau đó... triển tư duy, khả năng sáng tạo của học sinh, đáp ứng nhu cầu nguyện vọng của học sinh là mục tiêu và là những kết quả đã đạt được của "Sử dụng phương pháp Đại số vào giải bài toán hình học" mặc dù có những điểm còn hạn chế song kết quả của đề tài là không thể phủ nhận Việc áp dụng đề tài này hoàn toàn có thể 15 SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm thực hiện được đối với dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân tôi đã và...SÁNg kiÕN kiNH NgHiỆm Bài 1: Tính sin360 mà không sử dụng máy tính hoặc bảng số (Đề thi học sinh giỏi tỉnh năm học 2005- 2006) Bài 2: Tính các góc của một tam gáic vuông biết tỉ số giữa các bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp bằng 3 + 1 µ µ µ Bài 3: Cho tam giác ABC có A = B + 2C và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài các cạnh của tam giác Bài 4: Cho tam giác . dụng phương pháp Đại số 1. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tính toán các yếu tố hình học. 2. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh điểm cố định. 3. Sử dụng phương pháp Đại số. đều. 4. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc tìm vị trí điểm. 5. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc chứng minh đẳng thức hình học. 6. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc giải quyết bài toán. dựng hình. 7. Sử dụng phương pháp Đại số trong việc Chứng minh bất đẳng thức hình học và tìm cực trị hình học. II. Một số bài tập áp dụng III. Một số điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp đại số