ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ, chỉ bảo tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa Học, Đại Học Thái Nguyên, các giáo sư của Viện Toán học. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết hơn đến các thầy cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Đào tạo khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sau sắc tới P GS.T S Hà Tiến Ngoạn, thầy đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt thời gian tác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã cảm thông, luôn theo sát động viên, ủng hộ và chia sẻ những khó khăn trong suốt thời gian tác giả học tập và làm luận văn, giúp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 tác giả có điều kiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 7 năm 2012 Tác giả Lương Thị Dung Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 6 Một số ký hiệu và chữ viết tắt 8 1 Phép tính biến phân 9 1.1 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian L p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Không gian H 1,2 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Phiếm hàm toàn phương trong H 1,2 0 (Ω) . . . . . . 19 1.3 Phiếm hàm trong H 1,2 0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirich- let cho phương trình elliptic cấp 2 33 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . 33 2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . 34 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng . . . . 34 2.2 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Phương pháp Galerkin tìm nghiệm gần đúng . . . 37 2.3.1 Trường hợp g ≡ 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 37 2.3.2 Trường hợp g = 0 trên ∂Ω . . . . . . . . . 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Mở đầu Nghiệm suy rộng của bài toán biên Drichlet của phương trình elliptic cấp 2 trong miền Ω được định nghĩa trong không gian H 1,2 (Ω) là hàm số gồm những hàm số mà các đạo hàm riêng đến cấp 1 là bình phương khả tích trong Ω. Người ta đã chứng minh rằng nghiệm suy rộng này có liên quan chặt chẽ đến cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng. Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biên thứ nhất cho phương trình elliptic tuyến tính cấp 2. Các vấn đề được đề cập trong luận văn được tập hợp từ [1]. Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn gồm có hai chương. Phần đầu chương 1 Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị như không gian H 1,2 (Ω) và H 1,2 0 (Ω) các phiếm hàm trong các không gian này. Phần tiếp theo, Luận văn trình bày sự tồn tại và duy nhất phần tử cực tiểu hóa của phiếm hàm. Phần cuối của chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một phần tử là cực tiểu hóa. Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2. Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 lý Dirichlet được phát biểu như sau: Hàm u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u(x) = g(x) trên ∂Ω là nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet khi và chỉ khi nó là cực tiểu hóa của phiếm hàm năng lượng tương ứng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Một số ký hiệu và chữ viết tắt R Tập các số thực. R n Không gian Euclidean n chiều. R d Không gian Euclidean d chiều. W d Thể tích của hình cầu đơn vị trong R d . W 1 2 (Ω) Không gian sinh ra bởi tích vô hướng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Chương 1 Phép tính biến phân 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian L p (Ω) Cho Ω ∈ R n là một miền trong R n . Không gian L p (Ω), 1 ≤ p < +∞ là tập hợp tất cả các hàm f(x) đo được trong Ω và |f(x)| p khả tích trong Ω, tức là  Ω |f(x)| p dx < +∞. Trong L p (Ω) ta đưa vào chuẩn ||f(x)|| L p (Ω) =    Ω |f(x)| p dx   1 p . (1.1) Khi đó L p (Ω) là không gian Banach. Không gian L 2 (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng sau (f, g) L 2 (Ω) =  Ω f(x)g(x)dx. (1.2) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Giả sử các số p và q thỏa mãn các điều kiện p ≥ 1, q ≥ 1, 1 p + 1 q = 1. Khi đó ta có bất đẳng thức Holder sau đây  Ω |f(x)g(x)|dx ≤ ||f|| L p (Ω) ||g|| L q (Ω) . (1.3) 1.1.2 Không gian H 1,2 (Ω) Không gian C 1 ( ¯ Ω) là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng và chuẩn sau < u, v > C 1 ( ¯ Ω) =  Ω   n  j=1 D j (u)D j (v) + u(x)v(x)   dx, (1.4) ||u|| 2 C 1 ( ¯ Ω) =  Ω   u 2 + n  j=1 (D j u) 2   dx. (1.5) Trong đó D j u = ∂u ∂x j . Ta kí hiệu H 1,2 (Ω) là bao đóng của C 1 ( ¯ Ω) theo chuẩn (1.5). 1.1.3 Không gian H 1,2 0 (Ω) Không gian H 1,2 0 (Ω) là không gian con của không gian H 1,2 (Ω) H 1,2 0 (Ω) = {u(x) ∈ H 1,2 (Ω), u| ∂Ω = 0}. Ta có thể định nghĩa H 1,2 0 (Ω) là bao đóng của C ∞ 0 (Ω) đối với chuẩn (1.5), trong đó C ∞ 0 (Ω) là không gian tất cả các hàm số khả vi vô hạn và có giá compact trong Ω. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chương 2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 2.1 2.1.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet Bài toán Dirichlet Tìm nghiệm u(x) thỏa mãn phương trình n P u := ∂ ∂xj i,j=1 aij (x) ∂u ∂xi + C(x)u = f (2.1) và thỏa mãn điều kiện biên Dirichlet u = 0 trên ∂Ω (2.2) với các giả thiết sau 1) Tính đối xứng aij... Tức là bài toán (2.1),(2.2) có nghiệm duy nhất 2.2 Nguyên lý Dirichlet Ta xét phiếm hàm J(v) = A(v, v) + L(v);   n 1  aij (x)Di vDj v + C(x)v 2 dx; A(v, v) = 2 i,j=1 Ω L(v) = f (x)v(x)dx Ω Xét bài toán 1,2 J(v) → min trên H0 (Ω) (2.4) Theo Định lý 1.2.2 thì bài toán trên có nghiệm duy nhất u ∈ 1,2 H0 (Ω) Định lý 2.2.1 (Nguyên lý Dirichlet) Hàm số u(x) ∈ H 1,2 (Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1),(2.2)... nó thỏa mãn đẳng thức tích phân sau    n  aij (x)Di uDj ϕ + Cuϕ dx =   Ω i,j=1 f ϕdx (2.3) Ω Hàm số u ∈ H 1,2 (Ω) được gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2) nếu nó là nghiệm suy rộng của phương trình (2.1) và 1,2 u − g ∈ H0 (Ω), u = 0 trên ∂(Ω) 2.1.3 Sự tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng Định lý 2.1.2 Giả sử phương trình (2.1) thỏa mãn các điều kiện: tính elliptic, tính đối xứng, sự bị... eliptic của A kéo theo Vì với u1 , u2 và u1 = u2 Chú ý 1.2.3 Định lý 1.2.1 còn đúng mà không cần giả thiết tính đối xứng của A Đây là nội dung của Định lý Lax-Milgram Hệ quả 1.2.4 Giả sử V là không gian con tuyến tính đóng (do đó lồi) của H Khi đó điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm u ∈ V của bài toán biến phân là 2A(u, ϕ) + L(ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ V Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.17)... Khi đó tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1), (2.2) Chứng minh Áp dụng Hệ quả 1.2.4 với   n 1  A(u, ϕ) = aij (x)Di (u)Dj ϕ + C(x)uϕ dx; 2 i,j=1 Ω Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Lu = f (x)u(x)dx Ω Từ các điều kiện (1)-(4) ta suy ra các số hạng A và L thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.2; A là liên tục, đối xứng, tính elliptic và L là ánh... thỏa mãn các điều kiện (1)-(4) ở trên Khi đó bài toán biến phân 1,2 J(v) → min, v ∈ H0 (Ω) 1,2 có nghiệm duy nhất u ∈ H0 (Ω) và nghiệm này thỏa mãn đẳng thức tích phân sau đây   Ω  d i,j=1   ij a (x)Di u(x)Dj ϕ(x) + C(x)u(x)ϕ(x) dx  1,2 f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ H0 (Ω) = Ω Chứng minh Được suy ra từ Định lý 1.2.2 và Hệ quả 1.2.4 1.4 Phiếm hàm lồi Ta xét tích phân dạng I(u) = f (x, Du (x))dx, (1.21) Ω trong... γ(x) + k|g(x)|2 ∈ L1 1 với k := k Do đó, ta sẽ luôn giả thiết g = 0 2 Ta sẽ có một số tích chất đầu tiên của tích phân biến phân Trong 2 bổ đề tiếp theo, hàm v được giả thiết là giá trị trong Rd Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 Bổ đề 1.4.3 Giả sử f như trong Định lý 1.4.1 nhưng với (ii) được làm yếu thành ii’) f (x, ·) là liên tục với ∀x ∈ Ω Và giả thiết... liên tục Ta xét bài toán biến phân sau: J(v) := A(v, v) + L(v) → min Giả sử (Vn )n∈N ⊂ H là dãy tăng (Vn ⊂ Vn+1 , ∀n) các không gian con tuyến tính đóng sao cho ∀v ∈ H và δ > 0, tồn tại n ∈ N và vn ∈ Vn ta có ||v − vn || < δ Giả sử un là nghiệm của bài toán J(v) → min trong Vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 mà đã thu được trong Định lý 1.2.5 Khi đó... Giả sử u ∈ H0 (Ω) là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2) Khi đó từ (2.3) ta suy ra (1.19) Từ Hệ quả 1.2.4 ta suy ra 1,2 u là cực tiểu hóa phiếm hàm J(v) với v ∈ H0 (Ω) 1,2 b) Giả sử u ∈ H0 (Ω) là cực tiểu hóa phiếm hàm J(v) với v ∈ 1,2 H0 (Ω) Khi đó ta có hằng đẳng thức (1.19) Từ đó suy ra u thỏa mãn đẳng thức (2.3), tức là u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.1), (2.2) Bây giờ, ta xét trường... thuộc u ∈ H 1,2 (Ω) Định lý 1.4.1 Giả sử Ω ⊂ Rd là mở và xét hàm f : Ω × Rd → R i) f (·, v) là đo được với ∀v ∈ Rd Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 ii) f (x, ·) là lồi ∀x ∈ Ω cố định iii) f (x, v) ≥ −γ(x) + k|v|2 , ∀x ∈ Ω, ∀v ∈ Rd , γ ∈ L1 (Ω), k > 0 Ta giả sử g ∈ H 1,2 (Ω) ta xét bài toán biến phân f (x)Du(x)dx → min I(u) := Ω 1,2 với u ∈ H 1,2 (Ω), u . ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ DUNG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN THỨ NHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã. hóa của phiếm hàm. Phần cuối của chương 1, Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một phần tử là cực tiểu hóa. Trong chương 2, Luận văn trình bày nguyên lý biến phân đối với bài toán biên. 26 2 Phương pháp biến phân đối với bài toán biên Dirich- let cho phương trình elliptic cấp 2 33 2.1 Nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . . . 33 2.1.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . .