BÀI TẬP CHƯƠNG 2 2.1 Có 4 xạ thủ bắn một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích như nhau và bằng 70%. Mỗi người chỉ bắn một phát. Một người bắn trước và các người tiếp theo chỉ bắn khi người trước đó bắn trật. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Lập bảng phân phối của X. 2.2 Có 3 hộp bi. Hộp I gồm 10 bi xanh, hộp II gồm 5 bi xanh 5 bi đỏ, hộp III gồm 10 bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp này lấy ngẫu nhiên 3 bi. Gọi X là số xanh có được. Lập bảng phân phối của ĐLNN X. 2.3 Hộp gồm 10 sản phẩm trong đó có X phế phẩm. Cho biết bảng phân phối của X: X 1 2 3 p 0,2 0,5 0,3 Gọi Y là số phế phẩm có trong 3 sản phẩm lấy ngẫu nhiên từ hộp. Lập bảng phân phối của Y. 2.5 Có 2 bóng đèn tốt và 3 bóng đèn hư. Lấy ra từng cái đem thử cho đến khi tìm ra 2 bóng đèn tốt. Gọi X là số lần phải thử. Giá trò tin chắc nhất của X là bao nhiêu? Trung bình cần thử bao nhiêu lần? 2.6 Một công ty bán bảo hiểm với giá 30.000đ mỗi xe và sẽ bồi thường 3.000.000đ nếu xe bò tại nạn. Tỷ lệ xe gắn máy bò tai nạn là 0,55%. Để có một hợp đồng bảo hiểm, công ty phải chi ra 3.000đ. Tính trung bình thì mỗi hợp đồng bảo hiểm công ty này lời bao nhiêu? 2.7 Thống kê về mức độ hư hỏng và chi phí sửa chữa của hai thiết bò A và B trong một năm, ta có bảng số liệu sau: Mức độ hư hỏng 1 2 3 A 5,5 7,2 12,5 Chi phí sửa chữa (triệu đồng) B 6 7,5 10,8 A 2 5 3 Tỷ lệ bò hỏng (%) B 1 4 5 a) Nếu hai loại thiết bò này có cùng giá thì nên chọn mua thiết bò nào? b) Một công ty đang sử dụng 6 thiết bò A và 4 thiết bò B. Tính chi phí sửa chữa trung bình hàng năm. 2.8 Trong một giờ, mỗi máy I, II, III có thể sản xuất được tối đa 5 sản phẩm. Điều tra 100 lần, ta có bảng thống kê sau đây. Hãy cho biết máy nào hoạt động tốt nhất? Số sản phẩm sx được Số lần sản xuất được 1 2 3 4 5 Máy I 10 20 50 20 0 Máy II 0 10 70 20 0 Máy III 0 35 30 25 10 2.9 Lượng rau (Kg) bán được tại một cửa hàng trong 100 ngày theo mức 10, 15, 20, 25, 30 như sau: Lượng rau 10 15 20 25 30 Số ngày bán được 10 15 45 20 10 Một Kg rau mua vào giá 10.000đ. Nếu bán được trong ngày sẽ lời 5.000đ, ngược lại sẽ bò lỗ 8.000đ. Cửa hàng nên mua rau mỗi ngày theo mức nào là tốt nhất? 2.10 Một doanh nghiệp có 3 cửa hàng. Doanh số một ngày (triệu đồng) của mỗi cửa hàng là X 1 , X 2 , X 3 . Phân phối xác suất của X 1 , X 2 , X 3 như sau: X 1 5 6 7 8 X 2 4 5 6 7 8 X 3 7 8 9 10 p 0,1 0,3 0,4 0,2 p 0,15 0,2 0,4 0,2 0,15 p 0,15 0,2 0,4 0,2 Tính doanh số trung bình trong 1 tháng (30 ngày)? 2.11 Lãi suất (%/năm) khi đầu tư vào hai lónh vực I và II độc lập nhau là hai ĐLNN X 1 và X 2 . Cho biết bảng phân phối xác suất: X 1 4 6 8 10 12 X 2 –4 2 8 10 12 16 p 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15 p 0,1 0,2 0,2 0,25 0,15 0,1 Muốn đầu tư vào cả hai lónh vực thì đầu tư theo tỷ lệ nào để: a) Lãi suất kỳ vọng cao nhất. b) Mức độ rũi ro về lãi suất thấp nhất. HƯỚNG DẪN 2.2→ Gọi A 1 (A 2 , A 3 ) là biến cố "chọn hộp I (II, III)" thì A 1 , A 2 , A 3 là họ đầy đủ và xung khắc từng đôi. Do hộp được chọn ngẫu nhiên nên P(A 1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) = 1/3. X nhận các giá trò 0, 1, 2, 3. Theo công thức đầy đủ: P(X=0) = P((X=0)/A 1 ).P(A 1 ) + P((X=0)/A 2 ).P(A 2 ) + P((X=0)/A 3 ).P(A 3 ) = [P((X=0)/A 1 )+P((X=0)/A 2 )+P((X=0)/A 3 )]/3 2.5→ →→ → ĐLNN X nhận các giá trò từ 2 đến 5. Biến cố (X = 2) xảy ra khi thử 2 bóng đèn đầu thì được ngay 2 bóng đèn tốt. Tức là trong 5 bóng đèn đã cho, lấy ngẫu nhiên 2 bóng và được 2 bóng đèn tốt. Biến cố (X = 3) xảy ra khi 2 bóng đèn lấy trước đó có một bóng đèn tốt và bóng đèn lấy lần thứ ba, trong 3 bóng còn lại, là bóng đèn tốt. ⇒ Mod(X) = 5 E(X) = 4 2.6→ →→ → Tính trung bình, khi bán một hợp đồng bảo hiểm công ty này lời 10.500đ 2.7→ →→ → Gọi X (Y) là chi phí sửa chữa hàng năm của thiết bò A (B). ĐLNN X, Y có bảng phân phối được suy ra từ bảng thống kê trên: X 0 5 7,6 14 Y 0 6 7,5 10,8 p 90% 2% 5% 3% q 90% 1% 4% 5% E(X) = 0,9 Var(X) = 9,268 E(Y) = 0,9 Var(Y) = 8,442 2.8→ →→ → Gọi X 1 (X 2 , X 3 ) là số sản phẩm nhà máy I (II, III) sản xuất được trong một đơn vò thời gian. P(X i = x) là tỷ lệ số lần mà máy i sản xuất được x sản phẩm. Ta có các bảng phân phối. ⇒ E(X 1 ) = 2,8 Var(X 1 ) = 0,76 ⇒ E(X 2 ) = 3,1 Var(X 2 ) = 0,29 ⇒ E(X 3 ) = 3,1 Var(X 3 ) = 0,99 2.9→ →→ → Gọi X 1 (X 2 , , X 5 ) là tiền lời (ngàn đồng) khi mua rau theo mức 10, 15, 20, 25, 30 (Kg). Xét ĐLNN X 1 . Mức mua là 10Kg rau. Theo bảng thì ngày nào cũng bán hết 10Kg nên chỉ có một mức tiền lời là 10×5 = 50 ngàn với xác suất (tỷ lệ) là 100%. Ta có E(X 1 ) = 50. Xét ĐLNN X 2 . Mức mua là 15Kg rau. Theo bảng điều tra thì chỉ có 90 ngày bán hết 15Kg. Xác suất bán hết 15Kg rau là 90%, tiền lời trong trường hợp này là 15×5 = 75 ngàn. 10 ngày còn lại bán được 10Kg. Xác suất bán được 10Kg rau là 10% và tiền lời là 10×5 – 8×5 = 10 ngàn. Vậy ĐLNN X 2 nhận 2 giá trò là 10 và 75 với xác suất là 10% và 90%. Bảng phân phối và kỳ vọng: ⇒ E(X 2 ) = 68,5 2.11→ →→ → Ta có: E(X 1 )=9 Var(X 1 )=4,2 E(X 2 )=7,5 Var(X 2 )=31,15 Gọi α là tỷ lệ đầu tư vào lónh vực I thì 1–α là tỷ lệ đầu tư vào lónh vực II (0≤α≤1). Lãi suất: Y = αX 1 + (1–α)X 2 a)→ Lãi suất kỳ vọng: E(Y) = αE(X 1 ) + (1–α)E(X 2 ) = 9α + 7,5(1–α) = 1,5α + 7,5 E(Y) đạt cực đại khi α = 1. Vậy lãi suất kỳ vọng cao nhất khi đầu tư hết vào lónh vực I. b)→ Mức độ rũi ro về lãi suất: f(α) = Var(Y) = α 2 Var(X 1 ) + (1–α) 2 Var(X 2 ) = 4,2α 2 + 31,15(1–α) 2 f ′ (α) = 8,4α – 62,3(1–α) f ′ (α) = 0 ⇒ α = 0,8812 ∈ [0,1] f ′′ (α) = 8,4 + 62,3 > 0 Var(Y) đạt cực tieu khi α = 88,12%. Rũi ro về lãi suất thấp nhất khi đầu tư 88,12% vào lónh vực I và 11,88% vào lónh vực II. X 2 10 75 p 10% 90% . là hai ĐLNN X 1 và X 2 . Cho biết bảng phân phối xác suất: X 1 4 6 8 10 12 X 2 –4 2 8 10 12 16 p 0,05 0,1 0,3 0,4 0,15 p 0,1 0 ,2 0 ,2 0 ,25 0,15 0,1 Muốn. ro về lãi suất: f(α) = Var(Y) = α 2 Var(X 1 ) + (1–α) 2 Var(X 2 ) = 4 ,2 2 + 31,15(1–α) 2 f ′ (α) = 8,4α – 62, 3(1–α) f ′ (α) = 0 ⇒ α = 0,88 12 ∈ [0,1] f ′′ (α) = 8,4 + 62, 3 >. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 2. 1 Có 4 xạ thủ bắn một mục tiêu. Xác suất bắn trúng đích như nhau và bằng 70%. Mỗi người chỉ bắn một phát.