Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 Phần I: Mở đầu I- Lý chọn đề tài Bất đẳng thức phần quan trọng chương trình tốn học phổ thông, sử dụng nhiều kỳ thi cao đẳng, đại học trung học chuyên nghiệp, thi học sinh giỏi…Các toán chứng minh bất đẳng thức đa dạng phong phú giải nhiều phương pháp khác Tuy nhiên chương trình SGK Đại số 10 hành bất đẳng thức trình bày đầu chương IV đưa bất đẳng thức số tính chất khơng có ví dụ để minh hoạ cụ thể Mặt khác số tiết chương trình q nên q trình giảng dạy giáo viên đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để chứng minh bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn thục Trong trình giảng dạy mơn tốn trường THPT tơi nhận thấy trình độ học sinh khác Mức độ lực tư em chênh lệch đáng kể Với đối tượng học sinh lớp tiếp thu chậm việc chứng minh bất đẳng thức khó thể thực Vậy làm để thân em học sinh khá, giỏi không xem thường kiến thức sách giáo khoa, đồng thời em học sinh trung bình yếu khơng e ngại chậm hiểu thân ? Vì viết này, đưa số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 II- Mục đích nghiên cứu: Nhằm tạo khơng khí làm việc tập thể cách thoải mái, tạo điều kiện để em học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, gây hứng thú phát triển tư logíc Tạo cho em cảm thấy có nhu cầu làm việc Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 học, có thói quen nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác nhau, khơng lịng với biết Đặc biệt qua giúp học sinh có khả ứng phó thích ứng nhanh với thay đổi, đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy ngành giáo dục nói riêng đất nước nói chung Đứng trước tốn nói chung hay tốn bất đẳng thức nói riêng, khơng nhiều em giải tốn Các em thường lúng túng đâu, khai thác tốn Qua nhiều lần thử nghiệm nhận thấy rằng: Cần việc giải vấn đề nhiều đường khác nhau, cụ thể là: Giải toán bất đẳng thức cách giải khác đạt mong muốn nêu III- Phạm vi nghiên cứu : - Nội dung phần bất phương trình số toán bản, nâng cao nằm chương trình đại số 10 - Một số giải bất đẳng thức đề thi Đại học – cao đẳng –THCN IV- Phương pháp nghiên cứu: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điêù tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm V- Thời gian nghiên cứu: Trong thời gian trực tiếp giảng dạy khối 10 trường THPT Lê Viết Tạo năm học 2012-2013 Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 Phần II: Nội dung A- Cơ sở lý thuyết  Số thực dương, số thực âm mệnh đề phủ định  Định nghĩa bất đẳng thức  Các tính chất bất đẳng thức  Bất đẳng thức Côsi  Phương pháp chứng minh bất đẳng thức B- Nội dung đề tài I- Các toán Bài toán (Bài tập 4SGK ĐS10) ( Chứng minh : ∀a, b, c ∈ R ta có: ( a + b + c ) ≤ a + b + c ) (1) Hướng dẫn giải: Cách 1: (Sử dụng định nghĩa: a > b ⇔ a – b > 0) Xét hiệu: ( ) a + b + c − ( a + b + c ) = 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 0, ∀a, b, c 2 ⇒ ( đpcm ) Cách 2: ( Sử dụng phép biến đổi tương đương) (1) ⇔ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca ≤ 3( a + b + c ) ⇔ (a − b) + (b − c) + (c − a ) ≥ 0, (2) ⇒ (đpcm) Cách 3: Xuất phát từ BĐT đúng: ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy, (∀x, y ) Ta có: a + b ≥ 2ab (i) b + c ≥ 2bc (ii) c + a ≥ 2ca (iii) Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 ( ) Từ (i), (ii), (iii) ⇒ a + b + c ≥ 2ab + 2bc + 2ca ( ) ⇔ a + b + c ≥ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ca = ( a + b + c ) ⇒ (đpcm) Cách 4: Vì a, b, c có vai trị nhau, khơng tổng qt giả sử a ≤ b ≤ c Khi ta có: ( ) a + b + c − ( a + b + c ) = 2( a − b )( a − c ) + 2( b − c ) ≥ (2) 2 (vì ( a − b )( a − c ) ≥ ( b − c ) ≥ ) Cách 5: ⇒ (2) ⇒ (đpcm) (phương pháp tam thức bậc hai) (1) ⇔ a + b + c − ab − bc − ca ≥ ⇔ a − ( b + c ) a + b + c − bc ≥ Xem f (a ) = a − ( b + c ) a + b + c − bc tam thức bậc hai ẩn a, với b,c tham số Ta có: ∆ a = ( b + c ) − 4(b + c − bc) = −3( b − c ) ≤ 0, ∀b, c 2 f (a ) = a − ( b + c ) a + b + c − bc ≥ 0, ∀a, b, c ⇒ (đpcm) ⇒ Cách 6: (1) ⇔ a + b + c − ab − bc − ca ≥ ⇔ a − ( b + c ) a + b + c − bc ≥   ⇔ a − ( b + c )  + ( b − c ) ≥ 0, ∀a, b, c ∈ R   Suy điều phải chứng minh Nhận xét: 1)Với cách giải ta có tập 3a ( sgk ĐS10): Cho a, b, c ∈ R Cmr : a + b + c ≥ ab + bc + ca (*) 2)Thay đổi số lượng chữ (*) ta có tốn mới: Cho a, b, c, d ∈ R Cmr : a + b + c + d ≥ ab + bc + cd + da Cho xi ∈ R, i = 1; n Cmr : n ∑x i =1 i ≥ x1 x + x x3 + x3 x + + x n x1 … Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 Bài toán 2: ( VD1 SGK ĐS10) Chứng minh a + b ≥ 2ab, ∀a, b ∈ R (*) Bài toán giải đơn giản cách giải  Khai thác toán 2: Bài toán 3: ( Bài tập SGK ĐS 10) Cho a, b hai số dương Chứng minh : a) a b + ≥2 b a b) a + b ≥ a b + ab Hướng dẫn giải: Bài tốn có nhiều cách giải, xin trình bày cách sau a) Cách 1( SGK trình bày): áp dụng BĐT Cơsi cho hai số dương a b ta có: b a a b a b + ≥2 =2 b a b a ⇒ (đpcm) Dấu xảy a = b Cách 2: Từ a + b ≥ 2ab ⇔ a + b2 a b ≥ ⇔ + ≥ ( a, b >0) ab b a ⇒ (đpcm) b) Cách 1( SGK trình bày): a + b − a 2b − ab = a ( a − b ) + b ( b − a ) ( ) = ( a − b) a − b = ( a − b) ( a + b) ≥ ⇒ a + b ≥ a 2b + ab Cách 2: (sử dụng toán 2) ta có: a + b ≥ 2ab ⇔ a − ab + b ≥ ab ( ) ⇔ ( a + b ) a − ab + b ≥ ab( a + b ) ⇔ a + b ≥ a b + ab ; (a, b > 0) Bài toán 4: Cho a, b hai số dương Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 1 + ≥ a b a+b Chứng minh : Hướng dẫn giải : (Bài tốn giải nhiều cách) Cách 1: (sử dụng Bài tốn 2) ta có a + b ≥ 2ab ⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ a+b 1 ≥ ⇔ + ≥ (vì a, b> 0) ab a+b a b a+b Cách 2: áp dụng BĐT côsi cho hai số dương Vì 1 1 + ≥ , ta có : a b a b ab (1) 1 a+b (1) ⇔ + ≥ = ⇒ ab ≤ nên (đpcm) a b a+b a+b 2 Bài tốn 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c Chứng minh : 1  1 1 + + ≥ 2 + +  (1) p−a p−b p−c a b c Với p nửa chu vi tam giác Hướng dẫn giải: Cách 1: Với p = (1) ⇔ a+b+c ta có: 2 2  1 1 + + ≥ 2 + + (2) b+c−a c+a−b a+b−c a b c Mặt khác theo toán ta có: 1 + ≥ b+c −a c + a −b 1 + ≥ c + a−b a +b−c 1 + ≥ b+c−a a+b−c = (i ) 2c c = (ii ) 2a a = (iii ) 2b b Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 Từ (i), (ii), (iii) suy (2) ⇒ (đpcm) Cách 2: (1) ⇔ 1 1 1 + + ≥ + + (3) b+c −a c + a −b a +b−c a b c x = b + c − a y+z x+z x+ y  ;b = ;c = Đặt: y = c + a − b  ⇒ a = 2 z = a + b −c  Khi ( 3) ⇔ 1 2 + + ≥ + + (4) x y z x+ y y+z z+x Mặt khác: 1  + ≥ x y x + y  1  1 2 + ≥ + + ⇒ ⇒ + + ≥ y z y+z x y z x+ y y+z z+x 1  + ≥  z x z+x  (đpcm) Cách 3: áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương p − a p − b ta có: 1 1    p−a + p−b ≥  2  ( p − a )( p − b ) 1 1    p −b + p −c ≥  Tương tự ta có:   1 1    p−c + p−a ≥  2  Từ (1’),(2’),(3’) suy ra: ≥ 1 = ( p − a ) + ( p − b ) c (1’) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≥ ≥ = ( p − b ) + ( p − c ) a (2’) 2 = ( p − c ) + ( p − a ) b (3’) 1  1 1 + + ≥ 2 + +  ⇒ (đpcm) p−a p−b p−c a b c Bài toán 6: Cho a,b, c dương Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 Chứng minh : 1 1 1 + + ≥ + + 4a 4b 4c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b Hướng dẫn giải: Ta có: 1 + ≥ (*) 4a 4b a + b 1 + ≥ (**) 4b 4c b + c 1 + ≥ (* * *) 4c 4a c + a Từ (*),(**),(***) ⇒ 1 1 1 + + ≥ + + (1) 2a 2b 2c a + b b + c c + a Mặt khác: 1  + ≥ a + b c + a 2a + b + c   1 1 2  + ≥ + + ≥ + + (2) ⇒ c + a b + c 2c + a + b  a + b b + c c + a 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b 1  + ≥ b + c a + b 2b + c + a   Từ (1) (2) ta có: 1 2 + + ≥ + + 2a 2b 2c 2a + b + c 2b + c + a 2c + a + b ⇔ 4a + 4b + 4c ≥ 2a + b + c + 2b + c + a + 2c + a + b ⇒ (đpcm) Bài toán 7: Cho a,b, c dương Chứng minh 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 Giải: Ta có: 1 2 + ≥ = ⇔ ≥ − (1) a + 3b b + 2c + a 2a + 4b + 2c a + 2b + c a + 3b a + 2b + c b + 2c + a 1 2 + ≥ = ⇔ ≥ − (2) b + 3c c + 2a + b 2b + 4c + 2a b + 2c + a b + 3c b + 2c + a c + 2a + b 1 2 + ≥ = ⇔ ≥ − (3) c + 3a a + 2b + c 2c + 4a + 2b c + 2a + b c + 3a c + 2a + b a + 2b + c Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b ⇒ (đpcm) Bài toán 8: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh : a b c + + ≥2 b+c c+a a+b Giải: Sử dụng BĐT Côsi cho hai số dương a b + c ta có : a + b + c ≥ a( b + c ) ⇔ a 2a ≥ ⇔ ≥ (1) b+c a+b+c a( b + c ) a + b + c b 2b ≥ , (2) c+a a+b+c Tương tự ta có: Từ (1),(2),(3) suy ra: c 2c ≥ , (3) a+b a+b+c a b c 2a + 2b + 2c + + ≥ =2 b+c c+a a+b a+b+c ⇒ (đpcm) Bài toán 9: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh : Giải : Đặt 3 a b c +3 +3 >2 b+c c+a a+b a = x ⇔ a = x3 b= y ⇔ b2 = y3 c = z ⇔ c2 = z3 Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 CM: 3 a > b+c a > b+c x (*) Thật ta có: y+z  x  x  a  ⇔  >  y + z  ⇔ ( y + z ) > ( b + c ) ⇔ yz ( y + z ) > 2bc(i )  y+z b+c   Mặt khác: yz ( y + z ) ≥ yz yz = y z = 6bc > 2bc, ∀b, c > Suy (i) ln Tương tự ta có: b > c+a y (**), z+x c > a+b z (***) x+ y Từ (*),(**),(***) suy ra: a b c +3 +3 > b+c c+a a+b x + y+z y + z+x z > ⇒ đpcm (bài toán 8) x+ y Bài toán 10: (Khối A, 2003) Cho x, y, z ba số dương x + y + x ≤ Chứng minh rằng: x2 + 1 + y + + z + ≥ 82 x y z Giải : Ta sử dụng phương pháp đặt qua vectơ để đánh giá bất đẳng thức rr r r r r Nhận xét: với u , v ta có | u + v | ≤ | u | +| v | (*) r r r r r2 r2 rr r r u + v = u + v ≤ u + v + u v = ( u + v )2 r r r a = ( x; ), b = ( y; ), c = ( z; ) Từ bất đẳng thức (*) ta có: Đặt x y z Vì r r r r r r r r r a + b + c ≥ a+b + c ≥ a+b +c Giáo viên: Lê Thị Thu Huyền - Tổ Toán - Trường THPT Lê Viết Tạo 10 Một số phương pháp để chứng minh bất đẳng thức khai thác số toán dành cho học sinh lớp 10 1 + y2 + + z2 + ≥ x y z x2 + Vậy P = ( x + y + z) 1 1 +  + + ÷.2 x y z Cách Ta có P  1 1 ( x + y + z) +  + + ÷ ≥  x y z ≥ Với t = ( ( xyz ) 2   3 xyz +  3 ÷ = 9t + ,  xyz ÷ t   ) 2 x+ y+z ⇒0