ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG TRUNG HIẾU LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG TRUNG HIẾU LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 i Mục lục Các kí hiệu và viết tắt ii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức bổ trợ về hàm số 3 1.1 Lớp hàm đồng biến, nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Lớp hàm tựa đồng biến, tựa nghịch biến . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Cực trị của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Phép đơn điệu hoá hàm số và bài toán cực trị 23 2.1 Phương pháp xây dựng các hàm đơn điệu từ các hàm đã biết . . . 23 2.2 Một số dạng toán cực trị với bộ điểm biến thiên . . . . . . . . . . 30 2.2.1 Các hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Một số lớp hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và lượng giác 42 3.1 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . . . . . . 48 3.3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 ii Các kí hiệu và viết tắt Trong luận văn này có sử dụng các kí hiệu sau R : Tập hợp các số thực. R + = [0, +∞) : Tập hợp các số thực không âm. Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, }: Tập hợp các số nguyên. N = {1, 2, 3, }: Tập hợp các số tự nhiên. D hoặc D f : Tập xác định của hàm số f. I(a, b): Tập con của R nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]. max f(x): Giá trị lớn nhất của hàm số f(x). min f(x): Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x). ∀ : Với mọi. C k n : Tổ hợp chập k của n phần tử với k, n ∈ Z, 0  k  n. AM-GM: Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. HSG: Học sinh giỏi. 1 Mở đầu Trong chương trình toán học bậc trung học phổ thông, học sinh đã được học khái niệm hàm số và xét đến các tính chất cơ bản của hàm số như tính đơn điệu, tính đồng biến nghịch biến, tính liên tục và gián đoạn, tính lồi lõm, tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, Phần lớn học sinh bậc phổ thông đã được làm quen với các định nghĩa, các tính chất đơn giản của hàm số như xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải và biện luận phương trình, hệ phương trình mà chưa nghiên cứu sâu về các vấn đề trên. Trong luận văn này, tác giả được thầy hướng dẫn giao nhiệm vụ khảo sát lớp hàm đơn điệu từng khúc và các bài toán cực trị liên quan. Với mong muốn của tác giả sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc giảng dạy toán ở bậc trung học phổ thông, đặc biệt là việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi toán. Luận văn chia làm ba chương. Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ về hàm số. Trong chương 1, luận văn trình bày các khái niệm về hàm đơn điệu, hàm tựa đơn điệu, cực trị của hàm số và ví dụ minh họa cho khái niệm hàm đơn điệu. Chương 2. Phép đơn điệu hóa hàm số và bài toán cực trị. Chương 2 trình bày phương pháp xây dựng hàm đơn điệu và bài toán cực trị với bộ điểm biến thiên của một số nhóm hàm số cụ thể như: Các hàm số sơ cấp, hàm tuần hoàn, tổ hợp. Chương 3. Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và lượng giác. Trong chương này, tác giả nêu ra một số ứng dụng quan trọng của hàm đơn điệu thường dùng trong chương trình toán phổ thông như: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, giải phương trình và hệ phương trình. 2 Trong thời gian thực hiện đề tài này, tác giả đã nhận được sự chỉ dẫn tận tình chu đáo của thầy - GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Thông qua luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn và trân trọng những công lao mà thầy Nguyễn Văn Mậu đã giúp đỡ hoàn thành đề tài này. Tác giả chân thành biêt ơn các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn; Ban giám hiệu và các thầy cô trong tổ Toán Trường THPT Việt Bắc đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và làm đề tài. Thái Nguyên, ngày 8 tháng 4 năm 2014. Tác giả 3 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ về hàm số 1.1 Lớp hàm đồng biến, nghịch biến Trong luận văn này, ta sử dụng kí hiệu I(a, b) ⊂ R là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp (a, b), (a, b], [a, b), [a, b] với a < b. Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1 ( [3] ). Ta nói hàm số f(x) xác định và đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) nếu ứng với mọi x 1 , x 2 ∈ I(a, b), ta đều có f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ⇔ x 1 < x 2 , và ngược lại, nếu f (x 1 ) > f (x 2 ) ⇔ x 1 < x 2 ; ∀x 1 , x 2 ∈ I(a, b), thì f(x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b). Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm đồng biến trên I(a, b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn để nhận biết khi nào một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a, b) là một hàm đơn điệu trên khoảng đó. Định lí 1.1 ([1], [3]). Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) (i) Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó. (ii) Nếu f ′ (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng đó. Chứng minh. Lấy tùy ý x 1 , x 2 ∈ (a, b) với x 1 < x 2 , theo định lý Lagrange thì f(x 2 ) −f(x 1 ) = f ′ (c).(x 2 − x 1 ) 4 (i) Nếu f ′ (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f ′ (c) > 0. Do x 2 −x 1 > 0 nên f(x 2 ) > f(x 1 ) hay f(x) là hàm đồng biến trên (a, b). (ii) Tương tự, nếu f ′ (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f(x) nghịch biến trên (a, b). Các định lý sau đây cho ta một số đặc trưng đơn giản khác của hàm đơn điệu. Định lí 1.2 ([1], [3]). Hàm f (x) xác định trên R + là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , , a n và x 1 , x 2 , , x n , ta đều có n  k=1 a k f(x k )   n  k=1 a k  f  n  k=1 x k  . (1.1) Chứng minh. Khi f(x) đơn điệu tăng trên R + thì hiển nhiên ta có f(x j )  f  n  k=1 x k  , j = 1, 2, , n. Suy ra a j f(x j )  a j f  n  k=1 x k  , j = 1, 2, , n. (1.2) Lấy tổng theo j(j = 1, 2, , n), từ (1.2) ta thu được (1.1). Ngược lại, với n = 2, từ (1.1), ta có f(x) + εf(h)  (1 + ε)f(x + h), ∀ε, h > 0. Khi ε → 0, ta thu được f(x + h)  f(x), hay f(x) là một hàm đồng biến. Định lí 1.3 ([1], [3]). Để bất đẳng thức n  k=1 f(x k )  f  n  k=1 x k  , (1.3) được thỏa mãn với mọi bộ số dương x 1 , x 2 , , x n , điều kiện đủ là hàm g(x) := f(x ) x đơn điệu tăng trên R + . Chứng minh. Nhận xét rằng, ta có hàm số f(x) = xg(x) và (1.3) sẽ có dạng (1.1) với a j = x j , (j = 1, 2, , n): n  k=1 x k g(x k )   n  k=1 x k  g  n  k=1 x k  (1.4) hiển nhiên được thỏa mãn ứng với g(x) là một hàm số đơn điệu tăng trên R + . 5 Hệ quả 1.1 ([1, tr. 58). Giả sử g(x) := f(x) x là hàm đơn điệu tăng trong [0, +∞). Khi đó, với mọi dãy số dương và giảm x 1 , x 2 , , x n , ta đều có f(x 1 − x n )  n−1  k=1 f(x k − x k+1 ). Chứng minh. Ta có x 1 − x 2 > 0, x 2 − x 3 > 0, , x n−1 − x n > 0. Theo định lý (1.3), ta có f(x 1 −x 2 ) + f(x 2 −x 3 ) + + f(x n−1 −x n )  f(x 1 −x 2 + x 2 −x 3 + + x n−1 −x n ), hay f(x 1 − x 2 ) + f(x 2 − x 3 ) + + f(x n−1 − x n )  f(x 1 − x n ), điều phải chứng minh. Nhận xét rằng, (1.4) không là điều kiện cần để g(x) là một hàm đồng biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm g(x) có tính chất 0 < g(x) ∈ C(R + ) với mọi x ∈ R + và max g (x)  2 min g(x), ta dễ dàng kiểm chứng rằng (1.4) được thỏa mãn. Chẳng hạn, ta lấy hàm số g(x) = 3 + sin x, x ∈ R + , thỏa mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thỏa mãn điều kiện (1.4). Tuy nhiên, hàm g(x) không là hàm đơn điệu tăng trên R + . Nếu bổ sung thêm điều kiện: g(x) := f(x) x là hàm đồng biến trên R + và x 1 , x 2 , , x n là bộ gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu đượ c bất đẳng thức thực sự: n  k=1 f(x k ) < f  n  k=1 x k  . Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm. Định lí 1.4 ([1, tr. 58]). Hàm f(x) xác định trên R + là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , , a n và x 1 , x 2 , , x n , ta đều có n  k=1 a k f(x k )   n  k=1 a k  f  n  k=1 x k  . (1.5) Định lí 1.5 ([1, tr. 58]). Để bất đẳng thức n  k=1 f(x k )  f  n  k=1 x k  , (1.6) 6 được thỏa mãn với mọi bộ số dương x 1 , x 2 , , x n , điều kiện đủ là hàm g(x) := f(x ) x đơn điệu giảm trên R + . Nhận xét rằng, trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính f(x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết về tính đồng biến (khi a > 0) và nghịch biến (khi a < 0) trong mỗi khoảng tùy ý cho trước. Đặc trưng sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) của hàm tuyến tính. Định lí 1.6 ([1, tr. 59]). Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , , a n ; x 1 , x 2 , , x n , ta đều có n  k=1 a k f(x k )  f  n  k=1 a k x k  , (1.7) thì f(x) = ax, trong đó a là một hằng số. Chứng minh. Lấy n = 2 và chọn x 1 = x, x 2 = y, a 1 = y 2x , a 2 = 1 2 , từ (1.7) ta thu được f(x) x  f(y) y , ∀x, y ∈ R + . Suy ra g(x) := f(x) x là một hàm hằng trên R + . Tiếp theo, ta nêu một số tính chất của các hàm đơn điệu để ước lượng một số tổng và tích phân. Định lí 1.7 (Maclaurin, Cauchy). Giả thiết rằng f(x) là một hàm đơn điệu giảm trên (0, +∞). Khi đó, ta luôn có n  k=1 f (k)  n  0 f (x) dx  n−1  k=0 f (k). (1.8) Khi f(x) là hàm nghịch biến thì ta có dấu bất đẳng thức thực sự. Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết, f(x) là hàm đơn điệu giảm, nên ta luôn có f (k + 1)  k+1  k f (x) dx  f (k), ∀k = 0, 1, 2, Lấy tổng theo k, ta thu được (1.8), chính là điều phải chứng minh. [...]... ab 23 Chương 2 Phép đơn điệu hoá hàm số và bài toán cực trị 2.1 Phương pháp xây dựng các hàm đơn điệu từ các hàm đã biết Hàm đồng biến và nghịch biến đóng vai trò quan trọng Nó cho ta xem xét thứ tự sắp chặt của bộ ảnh thông qua dãy thứ tự sắp được của dãy số Vấn đề đặt ra là khi xét các hàm số không có tính chất đơn điệu thì phải đơn điệu hoá như thế nào để xây dựng được hàm đơn điệu thực sự? Nói chung,... chung, khi giải quyết các bài toán thực tế, ta thường phải làm việc với lớp các hàm đơn điệu từng khúc Tức là, ta chủ yếu xét các hàm f (x) xác định trên I(a, b) mà trên đó hàm f (x) chỉ có hữu hạn điểm dừng (điểm cực trị) Trong phần này ta sẽ xem xét việc đơn điệu hóa các nhóm hàm số cụ thể Trước hết ta xét một số ví dụ đơn giản với hàm số có hai khoảng đơn điệu Ví dụ 2.1 Xét hàm số f (x) = |x − p|... biểu như sau Bài toán 2.1 ([2]) (Bài toán tổng quát) Cho hàm số f (x) liên tục và có hữu hạn khoảng đơn điệu trên [a, b] và 1 < n ∈ N Xét tất cả các dãy số tăng {xi } trong [a, b]: x0 = a x1 x2 xn xn+1 = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= n ∑ f (xi ) − f (xi+1 ) i=0 Để giải quyết bài toán này, ta xét từng trường hợp cụ thể sau: Bài toán 2.2 ([2]) Cho f (x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên [a,... chung là các giá trị cực trị (hay giá trị cực biên) của hàm số f (x) trên miền I Ta thường gọi min; max là các giá trị cực trị đạt được, còn inf; sup là các giá trị cực trị không đạt được của hàm số f (x) trong miền I Tương tự, ta có định nghĩa cực trị của hàm nhiều biến như sau Cho hàm số n biến F = f (x; y; ; z): D ⊆ Rn → R Cho miền I ⊆ D Khi đó 15 Định nghĩa 1.7 ([5]) Số thực M được gọi là giá trị. .. hợp của dãy số thì ta bổ sung các điểm dừng (điểm tại đó thay đổi tính đơn điệu của hàm số) vào dãy đã cho và ta đánh lại thứ tự để được dãy số mới trên từng đoạn có chứa giá trị của hàm số tại điểm dừng và áp dụng kết luận trên Sau đây , ta xét một số ví dụ đối với các nhóm hàm số cụ thể 31 2.2.1 Các hàm số sơ cấp Bài 2.1 Cho hàm f (x) = x3 − 2x2 + x + 1 Xét tất cả các dãy {x1 , x2 , x3 , x4 , x5... của tính đơn điệu của hàm số vào bài toán cực trị cụ thể Ví dụ 2.3 Cho số p ∈ (0, 1) và cho hàm số f (x) = |x − p| Xét các bộ số x1 , x2 , x3 , x4 (x1 x2 x3 x4 ) trong [0, 1] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |f (x1 ) − f (x2 )| + |f (x2 ) − f (x3 )| + |f (x3 ) − f (x4 )| 26 Giải Nhận xét rằng, đồ thị hàm số đã cho, trên R, có trục đối xứng x = p Hàm đã cho nghịch biến trong [0, p] và đồng biến... giá trị cực trị bằng phép đặt biến số phụ) Nếu khi đặt biến phụ t = φ(x), ta có x ∈ I khi và chỉ khi t ∈ T thì max f (x) = max f (t) ; min f (x) = min f (t) x∈I 1.4 t∈T x∈I t∈T Ví dụ Có thể nói rằng, các tính chất cơ bản của hàm số luôn có vai trò rất quan trọng và là một công cụ rất hữu hiệu để định hướng cho việc giải toán, sáng tác các dạng bài tập mới Những kiến thức liên quan đến tính đơn điệu. .. j=0 Chọn giá trị lớn nhất trong các tổng S ở trên, ta thu được max n ∑ f ( xi ) − f ( xi+1 ) i=0 2.2 Một số dạng toán cực trị với bộ điểm biến thiên Như vậy, từ bài toán tổng quát 2.1, ta xác định giá trị lớn nhất của biểu thức khi dãy số đã cho là dãy số tăng và biến thiên trong khoảng cho trước như sau: - Hàm đã cho đơn điệu thì max M = f (a) − f (b) - Khi số khoảng đơn điệu của hàm số đã cho... mức thấp nhất thỏa mãn (2.1) sẽ là hàm hằng g1 (x) ≡ p Mọi hàm số đơn điệu tăng khác được xác định theo (2.3) Tương tự, ta xét việc mô tả lớp hàm đơn điệu cho trường hợp hàm số đã cho ở đường mức cao nhất Ví dụ 2.2 Xét hàm số f (x) = x2 − 2px + 1, 0 < p < 1 Xác định các hàm đơn điệu g(x) trong [0, 1] sao cho g(x) f (x), ∀x ∈ [0, 1] (2.4) Giải Nhận xét rằng, đồ thị hàm số y = f (x) (xét trên R) có trục... +∞ và hàm f (x) liên tục trên [a, b] và có n0 khoảng đơn điệu, n0 n ∈ N Xét tất cả các dãy số tăng {xi } trong [a, b]: a = x0 x1 xn xn+1 = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= n ∑ f (xi ) − f (xi+1 ) i=0 Giải Giả sử có {xi } là dãy số tăng tùy ý trong [a, b]: a = x0 < x1 < < xn < xn+1 = b Theo giả thiết, số điểm cực trị của f (x) trên (a, b) là n0 , với n n0 Gọi các điểm cực trị (điểm tại đó hàm . văn trình bày các khái niệm về hàm đơn điệu, hàm tựa đơn điệu, cực trị của hàm số và ví dụ minh họa cho khái niệm hàm đơn điệu. Chương 2. Phép đơn điệu hóa hàm số và bài toán cực trị. Chương 2. HIẾU LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU TỪNG KHÚC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG TRUNG HIẾU LỚP CÁC HÀM ĐƠN ĐIỆU. dựng hàm đơn điệu và bài toán cực trị với bộ điểm biến thiên của một số nhóm hàm số cụ thể như: Các hàm số sơ cấp, hàm tuần hoàn, tổ hợp. Chương 3. Một số áp dụng của hàm đơn điệu trong đại số và