CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ VÔ TỈ PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1.1. Định nghĩa và các định lý 1.1.1. Định nghĩa Ta gọi phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn hay nói khác đi đó là phương trình dạng f(x) = 0, trong đó f(x) là một hàm số có chứa căn thức của biến số. 1.1.2. Các định lý Các định lý sau làm cơ sở cho việc giải phương trình vô tỉ  Định lý 1: f (x) = g (x)  [f (x)] 2k +1 = [g(x)] 2k +1  Định lý 2: = g(x)  f (x) = [g(x)] 2k + 1  Định lý 3: =  f (x) = g (x)  Định lý 4: = g(x)   Định lý 5 :  (Với k là số tự nhiên khác 0) 1.2. Các phương pháp giải phương trình vô tỉ 1.2.1. Phương pháp nâng lên lũy thừa Dạng 1: = ⇔ = ≥      VD1: Giải phương trình sau:      + − − = − Giải:            + − − = − ⇔ + = − + − Với ĐKXĐ: -4≤ x ≤ 1/2 ta có:          + = + − − 1      ⇔ + = − − Khi x ≥ - ½ bình phương 2 vế không âm ta có: (2x + 1) 2 = (1 – x)(1 – 2x)     ⇔ =      =   ⇔ −  =  thử lại các điều kiện ta được x = 0. Vậy phương trình có nghiệm x = 0. VD2 : Giải phương trình : Giải ĐK:   ⇔ ≤ ≤ Ta có   2x – 8 +2   (2x – 8)(7 – x) = 4  - 2x 2 + 22x – 60 = 0  x 2 – 11x +30 = 0  (thỏa đk đề bài) Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 5 và x= 6 VD3  2x31x51x −=−−−    ⇔  2x31x51x −+−=− ⇔  2x13x15 2 +−  ⇔  2x13x15 2 +− ’ ⇔  !  "   ’’ 2 ⇔    ⇔  ⇒    11 2 #   $%&'()*+,    11 2 #  / Dạng 2: ≥  = ⇔  =         VD1: Giải các phương trình sau:    + − = Giải: ĐKXĐ: x ≥ 3/2    + − =    ⇔ − = − Khi x ≥ 3 bình phương 2 vế không âm ta có: 2x – 3 = x 2 – 6x +9 ⇔x 2 – 8x + 12 = 0 ⇔(x – 2)(x – 6) = 0 ⇔ x 1 = 2 (không thỏa mãn điều kiện) x 2 = 6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 6. VD2: Giải Phương trình = 3x – 1 (1) Giải 3 (1)  x = 1 Vậy, phương trình có một nghiệm là x = 1. VD3  3 4x x+ =  ()* 3 4x x+ =  ⇔ 2 0 3 4 x x x ≥   = +     01)# 23)4567≥+,)8  VD4 1x + − =   29:;   ⇔  1x −  29<;; ⇔ "!"  ⇔    ⇔  ⇔   =>?,@;;-?A   ?,@0= $%&)*+, Dạng 3:  ≥  + = ⇔ ≥   + + =            /  4 VD1: Giải phương trình sau      + + = Gải: + + = ⇔ + + + + + =                /      + + =   (&     ta có: + + + = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ + = =  ⇔  = −                             Thử lại chỉ có x = 0 thỏa mãn Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình đã cho. VD2: Giải phương trình : Giải : ĐK : − ≤ ≤  / Nếu bình phương hai vế của phương trình ta sẽ đưa đến phương trình bậc cao hơn , do đó chuyển hạng tử thứ hai sang vế phải ta được : Với điều kiện (*) thì vế phải của phương trình trên không âm nên bình phương hai vế của phương trình ta được phương trình tương đương như sau -x 2 + 4x + 5 = 4 -4 + 1 – x 2  = -x   x = - (thỏa đk (*)) 5 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x =- VD3: Giải phương trình: + − − =      Giải: Điều kiện  ≥ −  + ≥   ⇔ ⇔ ≥   − ≥   ≥      B            Ta có ⇔ + = −     C D64)8E=>F,GH64)8E01) 4 3x 5 6 x (3'')⇔ − = − 45345352 +−+−=+ xxx  $70I5=+"≥⇔≤" D64)8 EE =>F,JH64)8 EE 01) ""   ⇔  "" 3 5 ≥x ⇔G 23)4567)K)0I5=+6.≤"+,)8 / VD4 2 5 3 5 2x x+ − − = "29: 5 3  ⇔  2 5x +  3 5x −  ⇔  4 3 5x − ⇔ " 5x3 − $70=<"' ⇔ "  " 6 ⇔   "" ⇔   ⇔    -?A=>?,@0=   ?,@0= $%&'(")*+, VD5'( 10 3 5x x− + + =   29 10x3 03x 0x10 ≤≤−⇒    ≥+ ≥−   ⇔  )3x)(x10( +−  ⇔  )3x)(x10( +− " ⇔   " ⇔   " ⇔ " ⇔      ?,@0=   "?,@0= $%&)*+,   #   "/ VD6 1 4x x + +     29 2 4 0x x + ≥    ⇔  2 4x x +    ⇔  2 4x x +  ⇔ L 4x 2 + M ⇔     −≥+=+ = 2x:DK(*)2x4x 0x  7 '(; ⇔      ⇔  ⇔  NOP& 2 4x x + :?,@0= QJ5)*+, VD7: 3 3 45 16 1 (10)x x+ − − =  ⇔ ( ) 3 3 3 45 16 1x x+ − − = ⇔ " 3 3 3 ( 45)( 16)( 45 16) 1x x x x+ − + − − = ⇔  3 ( 45)( 16) 20x x+ − = ⇔ "  ⇔   !  ⇔  ! ⇔       ! $%&)*+,   #  ! VD 8 1x1x2 33 =++   ⇔  3 3 3 (2 1)( 2 1 ) 1x x x x+ + + = ⇔  3 (2 1) 0x x + = ⇔  3 (2 1)x x x+ = − ⇔   8 ⇔    ⇔    ⇔   #   KR  =>?,@ VD 9 1 1x x x + + = 0=:  ⇔  1xx 2 =+ ⇔  1xx 2 =+ ; $70I5=+: ⇔ < '; ⇔     ⇔  ⇔  3 1 ?,@0= $%&)*+, 3 1 VÝ dô 10 2 2 3 3 1 x x x x + − = + −  29 1x 01x 03x2x 2 >⇔    >− ≥−+ 90* ⇔  ( 1)( 3) 3 1 x x x x − − = + − ⇔  3x +  6: ⇔   "! ⇔   " ⇔  ⇔    -?A    -?A 9 $%&6>+, 1.2.2. Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 a) Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình có một ẩn phụ. Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ sau: • Nếu bài toán chứa có thể: Đặt t= , điều kiện tối thiểu t ,khi đó • Nếu bài toán chứa Đặt t= ,điều kiện tối thiểu t ,khi đó = • Nếu bài toán chứa có thể: Đặt t=khi đó = • Nếu bài toán chứa co thể: Đặt x= với hoặc x= với t • Nếu bài toán chứa có thể: Đặt x = với t\{0} hoặc x= với t • Nếu bài toán chứa có thể: Đặt với hoặc đặt với . • Nếu bài toán chứa hoặc có thể đặt . • Nếu bài toán chứa có thể đặt  Chú ý: :Với phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp dặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ ta có thể chọn một trong các phương pháp sau:  Sử dụng tam thức bậc2, thí dụ: .  Sử dụng bất đẳng thức, thí dụ Ta có : 10 [...]... phơng trình: Giải: x + 34 3 x 3 = 1 (35) a = 3 x + 3 b = 3 x 3 Đặt Ta có hệ phơng trìn a b = 1 a b = 1 2 3 3 2 a b = 37 a + ab + b = 37 a = b + 1 2 2 2 b + 2b + 1 + b + b + b 37 = 0 a = b + 1 2 b + b 12 = 0 a = 3 b = 4 a = 4 x = 61 b = 3 x = 30 hoặc Vậy phơng trình (35) có hai nghiệm x1 = - 61 ; x2 = 30 3 Ví dụ 16: Giải phơng trình: Giải: 3 3x + 1 Đặt u = ; v= Ta có hệ phơng trình: ... > VP do PT (42) vô nghiệm x 2 + 2 + x 2 + 2x + 3 = 1 Ví dụ 3: Giải phơng trình Giải : ĐK 2 x2 1 0 (43) x R Ta có: x 2 + 2 + x 2 + 2x + 3 = x 2 + 2 + VT = ( x + 1) 2 + 2 > 2 + 2 = 2 2 > VP PT (43) vô nghiệm x 2 + 1 + 4x 2 4x + 5 = 0 Ví dụ 4: Giải phơng trình: ( 2x 1) x2 +1 + Giải: Pt(44) x2 +1 + VT = ( 2x 1) 2 2 (44) +4 =0 +4 >0 VP = 0 PT (44) vô nghiệm Ví dụ 5: Giải phơng trình 3x 2 + 6 x... 2 = 5 ( x + 1) 5 2 Vế phải: Hai vế đều bằng 5 khi x = -1 Vậy phơng trình (45) có 1 nghiệm x = -1 3 Ví dụ 6: Giải phơng trình: 2x + 1 + 3 x = 1 (46) Giải: Ta thấy x = 0 là nghiệm đúng của phơng trình (46) 3 Với x > 0 thì 3 x + 1 > 1; 3 x > 0 VT > 1 x + 1 < 1; 3 x < 0 VT < 1 Với x < 0 thì Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất của phơng trình (46) 3 Ví dụ 7: Giải phơng trình x 2 + x +1 = 3 Giải: đk x 1 Ta... vế phải của (47) nhỏ hơn 3 30 (47) Vậy phơng trình (47) có 1 nghiệm duy nhất x=3 Ví dụ 8: Giải phơng trình x> Giải: đk x 4x 1 + =2 x 4x 1 (48) 1 4 p dụng bđt cô si cho 2 số dơng x 4x 1 4x 1 x và x 4x 1 + 2 x 4x 1 Ta có x 4x 1 x 4x 1 + =2 = x 2 = 4x 1 x x 4x 1 4x 1 x 4x + 1 = 0 x = 2 3 2 Vậy phơng trình (48) có 2 nghiệm Ví dụ 9: Giải phơng trình đều thoả mãn x> x=2+ 3 ; x2 + 4 x + 5 = 2 2x... ra 2x 5 2x 5 Kết hợp với đk x > -3 0 , VT < 0 vô lí VP < 0 , VT > 0 vô lí 4 = 0 x = 4 x = 2 x chỉ có x = 2 thoả mãn điều kiện PT (50) có 1 nghiệm x = 2 Ví dụ 11 Giải phơng trình: 3x 2 7 x + 3 x 2 2 = 3x 2 5 x 1 x 2 3x + 4 Giải: ĐK 3 x 2 7 x + 3 0(1) 2 x 2 0(2) 2 3 x 5 x 1 0(3) x 2 3x + 4 0(4) (51) 3x 2 7 x + 3 3x 2 5x 1 = x 2 2 x 2 3x + 4 Dấu đẳng thức ở (1) và (3); (2) và (4) không đồng thời... 5 < x < 8 (thoả mãn đk) Vậy nghiệm của phơng trình (16) là 5 < x < 8 Ví dụ 3: Giải phơng trình x 2 x 1 x 1 =1 (17) Giải: ĐK x > 1 (17) + xét 0< ( x 2 x 1) 2 x 1 = 1 x 1 1 x 1 =1 (*) x 1 PT (*) 0 (21) 3(x2 + 7 x + 7) + 2 x2 + 7 x + 7 -5=0 x2 + 7 x + 7 = t Đặt (t > 0) Ta có phơng trình: 3 t2 + 2t - 5 = 0 (t - 1) (3t + 5) = 0 t 1 = 1 t 2 = 5 3 Với t = 1 (loại) x 2 + 7x + 7 =1 13 (21) x2 + 7 x + 7 = 1 x2 + 7 x + 6 = 1 0 x 1 = 1 x 2 = 6 ( thoả mãn x2 + 7 x + 7 > 0) Vậy phơng trình (21) có 2 nghiệm là x1 = -1 và. .. xy = 4 x = 1 y = 4 hoặc hoặc x + y = 7 xy = 16 x = 4 y = 4 vô nghiệm x=1 hoặc x = 4 Vậy phơng trình (40) có 2 nghiệm x1 = 1, x2 = 4 1.2.6 Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 21 a) Phng phỏp A2 = A Cần nắm vững hằng đẳng thức để làm mất dấu căn Sau đó để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức A + B A+B xảy ra dấu = A >A xảy ra dấu = >-A xảy ra . CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ HỆ VÔ TỈ PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 1.1. Định nghĩa và các định lý 1.1.1. Định nghĩa Ta gọi phương trình vô tỉ, mọi phương trình có chứa. thu được hệ phương trình: b) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Với giá trị nào của a thì phương trình có nghiệm. Giải: Đặt . Khi đó phương trình được chuyển thành hệ phương trình 16 Nếu a=0 thì hệ vô nghiệm. Nếu. chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ.  Trong hệ mới thì k - 1 phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng . Chẳng hạn đối với phương trình