BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CÔNG TRƯỜNG ĐẠI SỐ LIE TUYẾN TÍNH VÀ HỆ CĂN NGHIỆM Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, Năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Lê Công Trường ii LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu đáo của Thầy giáo, PGS.TS. Trần Đạo Dõng. Tôi xin gửi đến Thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Huế, quý Thầy Cô giáo ở Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế cùng quý Thầy Cô giáo đã tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21, những người đã giúp tôi có được kiến thức khoa học cũng như những điều kiện để hoàn thành công việc học tập, nghiên cứu của mình. Xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, Trường THPT Phong Điền đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học này. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè, đặc biệt là các bạn học viên cao học Toán Khóa 21 - ĐHSP Huế đã quan tâm, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua. Lê Công Trường iii MỤC LỤC Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. Đại số Lie tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Đại số Lie . 3 1.2. Đại số Lie nửa đơn . 7 1.3. Đại số Lie tuyến tính 10 Chương 2. Hệ căn nghiệm và biểu diễn của đại số Lie. . . . . . . . . . 14 2.1. Biểu diễn của sl(2, C) . 14 2.2. Đại số con Cartan . 19 2.3. Hệ căn nghiệm . . 26 2.4. Biểu diễn của đại số Lie nửa đơn . 36 2.5. Biểu diễn của đại số Lie cổ điển 44 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết Lie ra đời từ thế kỉ XIX bởi nhà toán học Sophus Lie (1842–1899) và có nhiều ứng dụng quan trọng trong toán học và vật lý. Một trong các nội dung cơ bản của lý thuyết Lie là khảo sát cấu trúc và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn, đang được thể hiện cho mỗi lớp đại số Lie nửa đơn cụ thể. Trong số các đại số Lie nửa đơn, một lớp đại số Lie đặc biệt là đại số Lie tuyến tính, tức là các đại số Lie con của đại số Lie các tự đồng cấu tuyến tính của một không gian vector, đang được khảo sát và có nhiều tính chất thú vị. Trong khuôn khổ một luận văn thạc sĩ, chúng tôi mong muốn được tìm hiểu và làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie phức nửa đơn. Được sự gợi ý của PGS.TS. Trần Đạo Dõng, chúng tôi chọn đề tài "Đại số Lie tuyến tính và hệ căn nghiệm" làm đề tài nghiên cứu của luận văn. Về cấu trúc, luận văn được chia thành 2 chương: Trong chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie liên quan đến đề tài. Nội dung chính của chương là trình bày sơ lược kiến thức của đại số Lie, đại số Lie nửa đơn và đại số Lie tuyến tính, trong đó tiêu biểu là các đại số Lie cổ điển. Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này, trước hết chúng tôi khảo sát biểu diễn của đại số Lie sl(2, C), phát triểu để xây dựng các biểu diễn của đại số Lie phức nửa đơn dựa vào đại số con Cartan và hệ căn nghiệm tương ứng. Từ đó thể hiện cụ thể cho các đại số Lie cổ điển, một lớp của đại số Lie tuyến tính có nhiều ứng dụng quan trọng. Hầu hết các kết quả trong luận văn được trích dẫn từ [5], [6], [8] và đã được trình bày một cách chi tiết, rõ ràng hơn. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng việc trình bày luận văn khó tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các đồng nghiệp dành cho luận văn. 2 CHƯƠNG 1 Đại số Lie tuyến tính Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về đại số Lie, đại số Lie nửa đơn, đại số Lie tuyến tính. Các khái niệm và kết quả chủ yếu tham khảo từ những tài liệu [5], [6], [8]. 1.1. Đại số Lie 1.1.1. Đại số Lie Định nghĩa 1.1. Cho g là một không gian vectơ trên trường F. Khi đó g được gọi là đại số Lie trên F nếu tồn tại phép toán [, ] : g × g −→ g (x, y) −→ [x, y] sao cho (i) [, ] là phép toán song tuyến tính; (ii) [x, y] = −[y, x], ∀x, y ∈ g; (iii) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, ∀x, y, z ∈ g. Khi đó [, ] được gọi là tích Lie. Số chiều của không gian vectơ g được gọi là chiều của đại số Lie g, kí hiệu dim F g. Nếu F = R thì g được gọi là đại số Lie thực. Nếu F = C thì g được gọi là đại số Lie phức. Đại số Lie g được gọi là giao hoán nếu [x, y] = 0, ∀x, y ∈ g. Ví dụ 1.1. 1) Mỗi không gian vectơ V trên trường K là một đại số Lie giao hoán với tích Lie [x, y] = 0, ∀x, y ∈ V. 3 2) Không gian vector thực 3 chiều R 3 với phép toán tích trực tiếp vectơ: [, ] : g × g −→ g (x, y) −→ [x, y] = x × y là một đại số Lie thực 3 chiều. 3) Cho g là đại số (không nhất thiết là kết hợp) trên trường F, ta xác định tích Lie như sau: [, ] : g × g −→ g (x, y) −→ [x, y] = xy − yx. Khi đó g là một đại số Lie. 4) Trường hợp riêng, đại số các ma trận vuông g = {x = (x ij ) n×n |x ij ∈ F} với tích Lie [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ g là một đại số Lie, và được kí hiệu là gl(n, F). Định nghĩa 1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường F. 1) h ⊆ g được gọi là đại số Lie con nếu h là không gian vectơ con bảo toàn tích Lie, tức [x, y] ∈ h, ∀x, y ∈ h. 2) a ⊆ g được gọi là iđêan của g nếu a là không gian vectơ con và ∀x ∈ g, ∀a ∈ a ta có [x, a] ∈ a. 3) Cho a là một không gian vectơ con của đại số Lie g. Tâm hóa của a trong g, kí hiệu z g (a) = {x ∈ g|[x, y] = 0, ∀y ∈ a}. Đặt biệt tâm hóa của g trong g được gọi là tâm của g và kí hiệu là z(g). 4) Cho a là một không gian vectơ con của đại số Lie g. Chuẩn tắc hóa của a trong g, kí hiệu n g (a) = {x ∈ g|[x, y] ∈ a, ∀y ∈ a}. Nhận xét 1.1. 1) z g (a), z(g), n g (a) là các đại số Lie con của g. 4 2) Mỗi iđêan là một đại số Lie con. Điều ngược lại nói chung không đúng. 3) Kí hiệu [a, b] là không gian vectơ con bé nhất chứa a, b với a, b ⊂ g. Cho h, a là không gian vectơ con của g. Khi đó (i) h là một đại số Lie con ⇔ [h, h] ⊆ h. (ii) a là một iđêan ⇔ [a, g] ⊆ a. Định nghĩa 1.3. Cho g, h là các đại số Lie trên trường F. (i) Ánh xạ ϕ : g → h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu ϕ là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích Lie, tức là: ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)], ∀x, y ∈ g. (ii) Đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn (toàn, song) ánh. Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với đại số Lie h nếu tồn tại đẳng cấu đại số Lie ϕ : g → h, khi đó ta kí hiệu g ∼ = h. Ví dụ 1.2. Cho g là một đại số Lie trên trường F. ad : g −→ gl(g) = End F (g) x −→ adx : g −→ g y −→ ad x(y) = [x, y]. Khi đó ad là một đồng cấu đại số Lie, được gọi là biểu diễn liên hợp của g. Việc nghiên cứu đại số tuyến tính trên tập số phức thường đơn giản hơn trên tập số thực. Do đó người ta thường giải quyết các bài toán trên trường số phức, sau đó áp dụng các kết quả lên trường số thực. Để áp dụng điều này đối với đại số Lie, chúng ta cần đưa ra khái niệm phức hóa và dạng thực của một đại số Lie. Định nghĩa 1.4. Cho g là một đại số Lie thực với tích Lie [ , ]. Xét đại số Lie phức g C := g ⊗ C với tích Lie là phép toán tuyến tính phức được xác định như sau: [u + iv, x + iy] := [u, x] − [v, y] + i([u, y] + [v, x]), ∀u, v, x, y ∈ g. 5 Khi đó, g C được gọi là phức hóa (complexification) của g. Xét đại số Lie thực h có phức hóa h C đẳng cấu với đại số Lie phức g. Khi đó, h được gọi là một dạng thực (real form) của g, kí hiệu g R . Một cách tương đương, một đại số con thực h ⊂ g R là một dạng thực của g nếu g = {u + iv|u, v ∈ h}. Ví dụ 1.3. Ta có gl(n, R) C ∼ = gl(n, C). 1.1.2. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.5. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường F. Khi đó g được gọi là giải được nếu trong chuỗi các hoán tử g 0 = g, g 1 = [g 0 , g 0 ], . . . , g k+1 = [g k , g k ], . . . tồn tại k ∈ N sao cho g k = {0}. Định nghĩa 1.6. Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều trên trường k và V là không gian vectơ trên trường F, k ⊂ F ⊂ C. End F V được xét như là k−không gian vectơ và kí hiệu là (End F V ) k . Khi đó ánh xạ σ : g −→ (End F V ) k được gọi là một biểu diễn của g trong V nếu σ là một đồng cấu đại số Lie. Để đơn giản ta thường viết σ : g → End F V và kí hiệu biểu diễn là V thay cho cho σ. Không gian vectơ con U ⊆ V được gọi là không gian con ổn định nếu σ(g)U ⊆ U. Và lúc đó U được gọi là biểu diễn con của V . Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa biểu diễn σ của g trên V và tích Lie trong End F V , ta có σ([x, y]) = σ(x)σ(y) − σ(y)σ(x), ∀x, y ∈ g. Định lý 1.1.1 (Định lý Lie, [5], Theorem 1.25). Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều giải được trên trường k, V là F−không gian vectơ khác 0, k ⊂ F ⊂ C. Xét σ : g → End F V là một biểu diễn của g. Khi đó (a) Nếu F đóng đại số thì tồn tại v ∈ V, v = 0 sao cho v là một vectơ riêng của σ(x), ∀x ∈ g. 6 (b) Trường hợp tổng quát đối với F, tồn tại v ∈ V \{0} là vectơ riêng của σ(x), ∀x ∈ g khi và chỉ khi các giá trị riêng của σ(x) thuộc vào F. Hệ quả 1.1.2 ([5], Corollary 1.29). Cho g, V, k, F, σ như giả thiết của Định lý 1.1.1. Khi đó, tồn tại dãy các không gian vectơ con V = V 0 ⊇ V 1 ⊇ · · · ⊇ V m = {0} sao cho V i ổn định qua tác động của σ(g) và dim(V i /V i+1 ) = 1, i = 0, . . . , m − 1. Suy ra trong g tồn tại một cơ sở sao cho ma trận của σ(x), ∀x ∈ g có dạng tam giác trên. Định nghĩa 1.7. Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường F. Khi đó g được gọi là lũy linh nếu chuỗi tâm dưới g 0 = g, g 1 = [g 0 , g], . . . , g k+1 = [g k , g], . . . tồn tại k ∈ N sao cho g k = {0}. Nhận xét 1.3. Nếu g là đại số Lie lũy linh thì g là giải được, nhưng chiều ngược lại nói chung không đúng. 1.2. Đại số Lie nửa đơn Định nghĩa 1.8. Cho g là đại số Lie trên trường F. Khi đó 1) g được gọi là đơn (simple) nếu g không giao hoán và không có iđêan nào khác 0 và chính nó. 2) g được gọi là nửa đơn (semi-simple) nếu g không có iđêan giải được thực sự khác 0 nào. Định nghĩa 1.9. Cho g là một đại số Lie trên trường F. Khi đó K : g × g −→ F (x, y) −→ K(x, y) = Tr(ad x ◦ ad y) được gọi là dạng Killing của g. Dạng Killing K của đại số Lie hữu hạn chiều g được gọi là không suy biến nếu radK := {x ∈ g|K(x, y) = 0, ∀y ∈ g} = {0}. 7 [...]... biến Bây giờ dựa vào đại số con xuyến, ta định nghĩa đại số con Cartan của một đại số Lie Đây là một đại số con có tính chất và vai trò như phần tử h của đại số Lie sl(2, C) 23 Định nghĩa 2.5 Cho g là đại số Lie nửa đơn Đại số con Cartan h ⊂ g là một đại số con xuyến sao cho trùng với tâm hóa của nó, tức là C(h) = {x ∈ g|[x, h] = 0} = h Ví dụ 2.1 Xét g = sl(n + 1, C) và h là đại số Lie con của g gồm... cũng được gọi là đại số Lie tuyến tính Định nghĩa 1.14 Mỗi đại số Lie thực các ma trận vuông cấp n trên trường F với F là trường số thực R, trường số phức C hoặc trường quaternion H, được gọi là đại số Lie cổ điển Đây là các đại diện tiêu biểu của đại số Lie tuyến tính và bao gồm nhiều lớp đại số Lie nửa đơn cụ thể Trong khuôn khổ của luận văn, chúng tôi tập trung khảo sát các đại số Lie cổ điển thể hiện... đề sau cho thấy mối liên hệ tính nửa đơn của một đại số Lie phức và dạng thực tương ứng Mệnh đề 1.2.2 ([5], Proposition 1.61) Dạng thực gR của đại số Lie phức g là nửa đơn trên R khi và chỉ khi g là nửa đơn trên C Ta thấy các đại số Lie đơn là đại số Lie nửa đơn, nhưng chiều ngược lại nói chung là không đúng Tuy nhiên, các đại số Lie nửa đơn được xác định thông qua các đại số Lie đơn Định lý sau sẽ cho... đại số Lie con (2n2 − n) chiều o(V ) của gl(V ) và cũng được gọi là đại số Lie trực giao Khi cố định một cơ sở của không gian vectơ n−chiều V , mỗi tự đồng cấu tuyến tính V −→ V đều xác định duy nhất một ma trận vuông cấp n và ngược lại Do vậy đại số Lie gl(V ) đẳng cấu với đại số Lie gl(n, F) các ma trận vuông cấp n trên trường F Qua đẳng cấu này, mỗi đại số Lie con của gl(n, F) cũng được gọi là đại. .. nghiệm, trọng, đại số con Cartan của các đại số Lie Từ đó ứng dụng để phân loại các biểu diễn bất khả quy, biểu diễn trọng cao nhất của đại số Lie phức nửa đơn và thể hiện cho các đại số Lie cổ điển Các khái niệm, kết quả trong chương này chủ yếu tham khảo từ tài liệu [6], [8] 2.1 Biểu diễn của sl(2, C) Xét đại số Lie phức sl(2, C) các ma trận vuông cấp 2 trên trường số phức có vết bằng 0 Đại số Lie này được... vectơ trên trường F có số chiều là n2 Hơn nữa, End V là một đại số Lie trên trường F với phép toán tích Lie [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ End V Ta sử dụng kí hiệu gl(V ) thay cho End V để chỉ đây là một đại số Lie Định nghĩa 1.13 Mỗi đại số Lie con của đại số Lie gl(V ) được gọi là đại số Lie tuyến tính Ví dụ 1.4 1) Xét không gian vectơ V có số chiều n+1 Ta gọi sl(V ) là tập tất cả các tự đồng cấu của... sl(2, C) Cho đại số Lie phức nửa đơn g là h và đại số con Cartan của g 26 Định lý 2.3.1 ([6], Theorem 7.16) (1) Ta có phân tích sau của g và được gọi là phân tích căn nghiệm: g=h⊕ gα , (2.3.4) α∈R với gα = {x|[h, x] = α, h x, ∀h ∈ h} R = {α ∈ h∗ \ {0}|gα = 0} (2.3.5) Tập R được gọi là hệ căn nghiệm của g, α ∈ R được gọi là căn nghiệm và không gian con gα được gọi là không gian con căn nghiệm (2) [gα... ta xác định dạng song tuyến tính trên g như sau: KV (x, y) = Tr(ρ(x) ◦ ρ(y)) Khi đó KV là dạng song tuyến tính bất biến đối xứng trên g 8 Với dạng song tuyến tính này ta có một dấu hiệu nhận biết đại số Lie khả quy Định lý 1.2.5 ([6], Theorem 6.32) Cho g là đại số Lie với biểu diễn V sao cho KV là không suy biến Khi đó g là khả quy Nhận xét 1.5 Dựa vào Định lý 1.2.5, mỗi đại số Lie nửa đơn thì khả quy,... biết tính nửa đơn của các loại đại số này Mệnh đề 1.3.1 ([5], p.59) Các đại số Lie phức sau đây là nửa đơn (1) sl(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|Trx = 0}, n ≥ 2 (2) so(n, C) = {x ∈ gl(n, C)|xt + x = 0}, n ≥ 3 (3) sp(n, C) = {X ∈ gl(2n, C)|xt J + Jx = 0}, n ≥ 1, trong đó   0 In  J = Jn,n =  −In 0 13 CHƯƠNG 2 Hệ căn nghiệm và biểu diễn của đại số Lie Trọng tâm của chương này trình bày về các khái niệm căn nghiệm, ... sp(V ) là đại số Lie con của gl(V ), và được gọi là đại số Lie symplectic 3) Cho V là không gian vectơ 2n + 1 chiều Xác định tự đồng cấu f của V   1 0 0   có ma trận là  0 0 In  Gọi o(V ) là tập tất cả các tự đồng cấu x của V   0 In 0 thỏa tính chất f (x(v), w) = −f (v, x(w)), ∀v, w ∈ V Ta cũng chứng minh được o(V ) là đại số Lie con (2n2 + n) chiều của gl(V ), và được gọi là đại số Lie trực . 1. Đại số Lie tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Đại số Lie . 3 1.2. Đại số Lie nửa đơn . 7 1.3. Đại số Lie tuyến tính 10 Chương 2. Hệ căn nghiệm và. cấu trúc và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn, đang được thể hiện cho mỗi lớp đại số Lie nửa đơn cụ thể. Trong số các đại số Lie nửa đơn, một lớp đại số Lie đặc biệt là đại số Lie tuyến tính, tức. một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số Lie liên quan đến đề tài. Nội dung chính của chương là trình bày sơ lược kiến thức của đại số Lie, đại số Lie nửa đơn và đại số Lie tuyến tính,