đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: Phần I: NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1. Cơ sở lí luận: Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là được sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng như vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này chưa kịp đăng quang đã phải nhường chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động như thế nào? Việc học tập hiện nay đang có xu hướng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hành”, do vậy phải có những phương pháp dạy và học có hiệu quả tối ưu nhất nhằm tìm ra những con đường ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững được kiến thức và đi đào sâu lượng kiến thức đã học. Để đạt được điều đó thì mỗi người giáo viên, mỗi học sinh phải trau dồi kiến thức, sưu tầm và hệ thống cho chính mình những phương pháp học tập và nghiên cứu riêng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, việc đi phân loại các phương pháp giải một dạng toán hay bất kì một lĩnh vực nào, nó giúp chúng ta có nhiều cách nhìn, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lưỡng hơn, dưới nhiều góc độ, để chúng ta tìm được cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. 2. Cơ sở thực tiễn: Hiện nay, trong các trường THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phương trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho học sinh những kiến thức, những phương pháp giải nhưng chưa có tính hệ thống cao, chưa đi sâu vào phân tích những ưu điểm, những tồn tại và khả năng ứng dụng của từng phương pháp chính, bởi lẽ đó mà những phương pháp giảng giải của giáo viên thường hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thường bị động và chưa có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phương pháp tối ưu nhất khi đứng trước một bài toán giải phương trình vô tỉ. Mặt khác, đa số các em học sinh không có khả năng hệ thống cho mình những phương pháp giải loại phương trình này, hay còn phần lớn các em không biết cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. Các em ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 1 đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: thường giải theo phương pháp lũy thừa và chọn ẩn nhưng đa số các em không phán đoán được phương trình sau có tương đương với phương trình đã cho hay không? Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vướng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học được tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Một là, giúp học sinh nắm được các phương pháp giải một bài giải phương trình vô tỉ. Trên cơ sở đó, tìm được những vướng mắc, khó khăn mà các em thường gặp phải trong quá trình giải loại bài tập này. Hai là, hệ thống được các phương pháp giải phương trình vô tỉ, trên cơ sở đó phân tích những ưu việt hay hạn chế của từng phương pháp. Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy được cách lựa chọn một hoặc nhiều phương pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu quả tối ưu nhất. III. ĐỐI TƯỢNG VÀ KHÁCH THỂ NGHIÊN CỨU: 1. Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu những phương pháp giải phương trình vô tỉ. Đánh giá tính ưu việt, hạn chế và khả năng ứng dụng của từng phương pháp giải. 2. Khách thể nghiên cứu : Tập trung nghiên cứu trong chương trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chương trình toán phổ thông. 3. Phạm vi nghiên cứu: Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và lớp 9 còn lại là trong chương trình toán cấp III. IV. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI: Phải hệ thống được cách giải một phương trình vô tỉ. Phải phân tích được những ưu việt và hạn chế của từng phương pháp, từ đó đưa ra khả năng ứng dụng của từng phương pháp đối với một bài giải phương trình vô tỉ. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 2 đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: Phải phân tích và tìm ra từng chỗ thiếu sót, chỗ sai mà học sinh thường hay mắc phải và đưa ra cho học sinh những cách khắc phục. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: 1 - Phương pháp đọc và phân tích tài liệu. 2 - Phương pháp tổng hợp những kinh nghiệm sáng kiến của những giáo viên dạy giỏi. 3 - Phương pháp khảo sát thực tế. Phần II: NỘI DUNG CHÍNH CỦA ĐỀ TÀI Chương I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN I. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH: 1. Tập xác định của phương trình: a. Định nghĩa: Tập xác định của một phương trình là tập hợp các giá trị của một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa. Tập xác định được viết tắt là TXĐ. Ví dụ : a. Phương trình x 2 – 7x + 1 = 6x 2 + 2 Có tập xác định là D = R b. Phương trình có tập xác định là: D = { x R/x + 4 ≠ 0} = R - {- 4}∀ ∊ c. có tập xác định là: D = { x R/x - 2 ≥ 0} = R – [- 4]∀ ∊ 2. Hai phương trình tương đương: 2.1. Định nghĩa : Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm trong cùng một tập số. 2.2. Ví dụ : a. Cho hai phương trình : x 2 - 7x + 6 = 0 và 2x 2 – 14x + 12 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng tập nghiệm S = {1; 6}. b. Hai phương trình: ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 3 1 6 2 = + − 4x x x 22 2 +=− xx đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phương trình không tương đương vì tập nghiệm của phương trình thứ nhất là S = {- 1} còn của phương trình thứ hai là S = {- 1; 5}. c. Hai phương trình: x 2 + 1 = 0 và x 2 + x + 6 = 0 là hai phương trình tương đương vì chúng có cùng chung một tập nghiệm là S = φ. 3. Nghiệm của phương trình: Cho phương trình f(x) = g(x). Nghiệm của phương trình xét trên tập A là số α A∊ sao cho f(α) = g(α). II. CÁCH GIẢI CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN: 1. Phương trình và bất phương trình bậc nhất: - ax + b = 0 (với a ≠ 0)⇔ - ax + b > 0 (với a > 0)⇔ (với a < 0) 2. Bất phương trình bậc hai: a. Phương trình bậc hai có: ∆ = b 2 – 4ac ∆ ’ = b ’2 – ac. ∆ < 0 – phương trình vô nghiệm. ∆ = 0 – phương trình có nghiệm kép. ∆> 0 – phương trình có hai nghiệm phân biệt. b. Quy tắc xét dấu tam thức bậc hai: Cho f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) * ∆ ≤ 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a. * ∆ ≥ 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . Nếu f(x) cùng dấu với hệ số a khi với x (x∀ ∉ 1 ; x 2 ); f(x) khác dấu với hệ số a với x (x∀ ∉ 1 ; x 2 ); 3. Phương trình và bất phương trình tích: f(x).g(x) = 0 f(x) = 0 hoặc g(x) = 0⇔ f(x). g(x) > 0 f(x) > 0 hoặc f(x) < 0⇔ g(x) > 0 g(x) < 0 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 4 a b x −= a b x −> a b −<x )( 2 b ' b = 2a b x = 2a b - x ∆± = đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: 4. Các phép biến đổi tương đương: a. f(x) = g(x) + h(x) f(x) – g(x) = h(x)⇔ b. f(x) = g(x) f(x) ± c = g(x) ± c (với c R)⇔ ∊ c. f(x) = g(x) k.f(x) = k.g(x) (với k R⇔ ⇔ ∊ * ) d. f(x) = g(x) (f(x))⇔ 2k + 1 = (g(x)) 2k + 1 (với k N).∊ e. f(x) = g(x) (với f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0) [f(x)]⇔ 2k = [g(x)] 2k (với k N)∊ III. PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ: 1. Định nghĩa: Phương trình vô tỷ là phương trình có chứa dấu căn thức 2. Cách giải chung: Bước 1: tìm tập xác định của phương trình. Bước 2: tìm cách khử căn thức và tìm nghiệm. Bước 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phương trình. 3.Ví dụ : Giải phương trình : (1) Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 (2)⇔ với điều kiện x ≥ 0 (3) phương trình (1) (2x + 3) = x⇔ 2 (4) x⇔ 2 – 2x – 3 = 0. Vì a – b + c = 0 nên (4) có nghiệm là: x 1 = - 1; x 2 = 3 x 1 = - 1 không thoả mãn điều kiện (3) x 2 = 3 thoả mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x = 3. 4. Một số kiến thức cần nhớ: 4.1. Điều kiện tồn tại một căn thức: tồn tại khi A ≥ 0 (k N)∀ ∊ tồn tại khi A R (k N)∀ ∊ ∊ = A = A khi A ≥ 0∣ ∣ - A khi A ≤ 0 4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng: ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 5 k g(x) k f(x) = x32x =+ 2 3 −≥ x k A 2 12 + k A 2 A đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: a. Bất đẳng thức Côsi: Nếu a 1 , a 2 a n là các số không âm ta có: đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Nếu a 1 , a 2 a n và b 1 , b 2 b n là các số tuỳ ý ta có: (a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ).(b 1 2 + b 2 2 + + b n 2 ) ≥ (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 . đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: c. Bất đẳng thức Trêbưsep. Nếu a 1 ≥ a 2 ≥ ≥ a n và b 1 ≥ b 2 ≥ ≥ b n , ta có: (a 1 + a 2 + + a n ).(b 1 + b 2 + + b n ) ≥ n.(a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ). đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n hoặc b 1 = b 2 = = b n . d. Lược đồ Hoocle. Cho đa thức f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a 1 x + a 0 (với x = α), ta có: a n a n-1 a 1 a 0 + + α x a n α a n + a n-1 α.∆ + a 1 f(α) CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA: 1. Các dạng phương trình vô tỉ cơ bản: a. = A ≥ 0 hay B ≥ 0⇔ A = B b. = B B ≥ 0⇔ A = B 2 c. = B A = B⇔ 3 d + = A ≥ 0 A + B + = C⇔ ⇔ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 6 n n21 n21 a.aa n aaa ≥ ++ n n 2 2 2 b a b a b a == 1 A B A 3 A A CB AB2 đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: B ≥ 0 Lưu ý: Với phương pháp lũy thừa hai vế. Muốn nâng hai vế phương trình lên lũy thừa bậc chẵn, ta phải biết chắc chắn hai vế cùng dấu, tốt nhất là cùng dương. Để nắm được phương pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể: 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 x ≥ 5 (2)⇔ Với điều kiện x – 7 ≥ 0 x ≥ 7 (3)⇔ phương trình (1) tương đương với: x – 5 = (x – 7) 2 x⇔ 2 – 15x + 54 = 0 (4) Giải phương trình (4) ta được: x 1 = 6 không thỏa mãn điều kiện (3) x 2 = 9 thỏa mãn các điều kiện (2) và (3) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 9. Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do sư phạm. Thực ra không cần điều kiện này. Thật vậy, khi bình phương hai vế của (1), biểu thức x – 5 bằng một bình phương, đương nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) cũng sẽ thỏa mãn điều kiện (2). Ví dụ 2: Giải phương trình Giải: Chuyển vế phương trình đã cho, ta có: (1) phương trình (1) có nghĩa khi và chỉ khi: 2x + 3 ≥ 0 (2)⇔ x + 2 ≥ 0 x ≥ - 2 với điều kiện (2) thì phương trình (1) tương đương với: 2x + 3 = (x + 2) 2 x⇔ 2 + 2x + 1 = 0 (3) Giải phương trình (3) ta được nghiệm duy nhất là: x = - 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1. Lưu ý: Nhiều em khi gặp bài này thường giải theo cách quen thuộc: x + 2 ≥ 0 x ≥ - 2.⇔ ⇔ 2x + 3 = (x + 2) 2 (x + 1)⇔ 2 = 0 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 7 75 −=− xx 0322 =+−+ xx 232 +=+ xx 2 3 −≥ x 232 +=+ xx đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: và cũng tìm được nghiệm x = - 1 thoả mãn (x ≥ - 2). Nhưng với điều kiện (- 2 ≤ ) thì lại không tồn tại vì 2x + 3 < 0. Ví dụ 3: Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 – x ≥ 0 x ≤ 1 1 – 2x ≥ 0 (2)⇔ ⇔ x + 4 ≥ 0 x ≥ - 4 Với điều kiện (2) phương trình (1) tương đương với: 1 – x + 1 – 2x + ⇔ ⇔ (3)⇔ với điều kiện 2x + 1 ≥ 0 (4) thì phương trình (3) tương đương với:⇔ 2x⇔ 2 – 3x + 1 = 4x 2 + 4x + 1 2x⇔ 2 + 7x = 0 (5) Giải phương trình (5) ta được x = 0 (thỏa mãn điều kiện (2) và (4)) không thỏa mãn điều kiện (4) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2. Lưu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần 2 1 ≤x thì phương trình (1) đã tương đương với phương trình (3) vì khi bình phương thì (x + 4) bằng một bình phương, đương nhiên là dương. Với , điều này chỉ đúng khi a ≥ 0 ; b≥ 0 và trong trường hợp a ≤ 0; b ≤ 0 thì . Ví dụ 4: Giải phương trình 3 33 5x1x1x =−++ (1) Giải: Lập phương hai vế phương trình ta được: 33 )()( 3 33 5x1x1x =−++ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 8 2 3 −≤ x 32 + x 4211 +=−+− xxx 2 1 ≤ x 2 1 4 ≤≤− x 4)21).(1(2 +=−− xxx 22 )4()211( +=−+− xxx 24)21).(1(2 +=−− xxx 12)21).(1( +=−− xxx 2 1 −≥ x ( ) 2 2 )12()21).(1( +=−− xxx 2 7 −= x baab −−= . baab . = đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: ⇔ 5x)1x1)x.(1) - 1).(x(x3.1x1x 333 =−++++−++ ⇔ x5x.1x 3 3 2 =− (2) 5x.(x⇔ 2 – 1) = x 3 x.[5.(x⇔ 2 – 1) – x 2 ] x = 0 x = 0⇔ ⇔ 4x 2 – 5 = 0 Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt x 1 = 0; 2 5 3,2 ±=x . Thay lại vào phương trình (1) ta thấy với x = 0 hoặc đúng là nghiệm của phương trình (1). Lưu ý: - Do từ (1) suy ra (2), ta thực hiện phép biến đổi không tương đương nên phương trình (2) tìm được nói chung có nhiều nghiệm hơn phương trình ban đầu, vì thế việc thay lại nghiệm của (2) vào (1) là cần thiết nếu không ta sẽ gặp nghiệm ngoại lai. - Với dạng bài này, chúng ta không thay thế thì chắc chắn lời giải sẽ phức tạp hơn rất nhiều. II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC QUEN THUỘC. Với phương pháp này chúng ta thường phân tích, thêm bớt để đưa về dạng: A = B A = B∣ ∣ ⇔ A = - B (với B ≥ 0) Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 2 ≥ 0 x ≥ 2⇔ ⇒ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 9 12x22x12x2 2 - x =+−−−−+−+ 1 12x21x1x2x2 =−−−−−+− NnvíiBAB)(A 2n 2n ∈±=± NnvíiBAB)(A 12n 12n ∈+=± + + ( ) ( ) 11 22 =−−−+− 2x12x 11 =−−−+− 2x12x )(11 ∗+−−=+− 2x12x 12x12x12x +−=+−⇒≥+− 1 2 5 −= x 2 5 = x 2 5 ±= x 3 33 5x1x1x =−++ đề tài nghiệp vụ sư phạm Người thục hiện: x – 2 ≥ 0 x ≥ 3⇔ ⇔ ⇔ x – 2 ≥ 1 Vậy khi x ≥ 3 khi 2 ≤ x < 3 Tóm lại phương trình sau tương đương với: khi x ≥ 3 khi 2 ≤ x < 3 - 1 = 0 (vô lí)⇔ khi 2 ≤ x < 3 thỏa mãn 2 ≤ x < 3.⇔ ⇔ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: Lưu ý: Đối với phương pháp này ta phải thật khéo léo khi xử lý quá trình: Nhiều bạn rất hay làm thiếu trường hợp (- A). Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (1) ⇔ (2)⇔ ⇔ Điều kiện để căn thức tồn tại x – 3 ≥ 0 x ≥ 3 (3)⇔ với điều kiện (3) phương trình (2) tương đương với: ⇔ ⇔ ⇔ thỏa mãn điều kiện (3) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x 1 = 3; x 2 = 7. Lưu ý: Ta có thể dùng A = B⇔ A = - B (với B ≥ 0) thì việc giải sẽ nhanh hơn. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TOÁN K7 10 01 ≥−− 2x 1 ≥− 2x =−− 12x 2 1 =− 2x 1 +−− 2x 111 −−+=+− 2x2x 111 +−−=+− 2x2x 4 1 2 =− x 4 9 = x 4 9 = x 13x22x =−−− 13x23x =+−−− 1 ( ) 13x =+− 2 1 13x =+− 1 13x =−− 1 13x −=−− 1 23x =− 03x =− 4 =− 3x 0 =− 3x 7 = x 3 = x == AA 2 BA =    <− ≥ == 0 0 AkhiA AkhiA AA 2 1 +− 2x [...]... Phương trình (1) trở thành: t2 −1 = 1 víi t ≠ −1 t2 −1 2+ t2 −1 2+ t +1 2 t −1 t2 −1 t2 −1 =1⇔ =1⇔ =1⇔ t −1=1⇔ t = 2 t2 −1 2 + t −1 t +1 2+ 2 + t −1 Víi t = 0 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x + 1 = 4 ⇒ x = 3 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 II ĐẶT ẨN PHỤ, QUY PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ngoài việc đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về phương trình hữu tỉ, chúng ta còn đặt ẩn phụ để đưa phương trình. .. bình phương hai vế ta được: ⇔ x −1 = 2 x.(x −1) + x.(x −1) +1 2 x.(x − 1) = − (x − 1) 2 − 1 - (x – 1)2 – 1 < 0 với ∀ x ≥ 1 suy ra phương trình (3) vô nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = 2 III PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIỀN XÁC ĐỊNH Khi sử dụng phương pháp này ta thường chia nhỏ TXĐ của phương trình và kết hợp với các điều kiện ràng buộc ta sẽ có nghiệm của phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình. .. trình hữu tỉ, chúng ta còn đặt ẩn phụ để đưa phương trình vô tỉ về hệ phương trình Đây là cách giải rất thích hợp cho các phương trình vô tỉ Ví dụ 1: Giải phương trình sau x 3 + 1 = 2.3 2x − 1 (1) Lời giải: Đặt y = 3 2x − 1 ⇒ y 3 + 1 = 2x Khi đó phương trình đã cho dẫn về hệ phương trình sau: x 3 + 1 = 2y  3 y + 1 = 2 Trừ hai vế hai phương trình của hệ ta được: x3 – y3 = - 2(y – x) ⇔ (y – x).(x2... vế ta được: 4 = x2 + 3x ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 Phương trình có a + b + c = 0 (1 + 3 – 4 = 0) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = - 4 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1; x2 = 4 Ví dụ 6: Giải phương trình x 2 + 7x + 4 = 4 x (1) x+2 Lời giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa: x ≥ 0 Đặt t = x ≥ 0 ⇔ t 2 = x t 4 + 7t 2 + 4 Phương trình đã cho trở thành: = 4t t2 + 2 ⇔ t 4... 2 2 2   Vậy phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt: 1 x = −3; x = ; x = 2 2 Ví dụ 3: Giải phương trình 4 x + 4 17 − x = 3 (1) Lời giải: Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 17  17 − x ≥ 0 u 4 = x 4 4 17 − x ⇒  4 ⇒ u 4 + v 4 = 17 Đặt u = x ≥ 0; v = v = 17 − x Khi đó phương trình đã cho trở thành hệ phương trình sau: u + v = 3 (I)  4 4 u + v = 17 Từ phương trình thứ nhất... phương hai vế ta được : x - 1 + x + 2 + 2 x 2 + x − 2) = 4x ⇔ x 2 + x − 2) = − 1 + 2x 9 ⇔ 8x = 9 ⇔ x = (tháa m·n) 8 9 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x = 8 Chú ý : Khi sử dụng phương pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phương trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm Ví dụ 2 : Giải phương trình x + 1 + 4x + 13) = 3x + 12 (1) Lời giải: Điều kiện để phương trình. .. 2 ( ∗ ∗) X≥0 X2 −9 Phương trình (1) trở thành : X − ⇔ X2 – 2X – 3 = 0 =3 2 Phương trình có 1 + 2 + 3 = 0, nên phương trình có nghiệm là: X1 = - 1 Không thỏa mãn với điều kiện (**) X2 = 3 Thỏa mãn điều kiện (**) Với X = 3 ⇔ ⇔ 3= 3+x + 6+x (3 + x).(6 − x) = 0 x + 3 = 0 ⇔ ⇔ x=-3 6–x=0 x=6 Thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình (1) có hai nghiệm: x1 = -3; x2 = 6 Ví dụ 5: Giải phương trình (x + 5).(2 −... ⇔ u = 1 Với u = 1 thế vào (4) ta được v = 3 – 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 2) Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3 Ví dụ 5 : Giải phương trình 3 (2 − x ) 2 + (7 + x) 2 − (7 + x )(2 − x) = 3 Lời giải: 3 3 Đặt u = 2 − x ⇔ u = 2 − x ⇒ u 3 + v 3 = 9 (2)   3 v=3 7+x v = 7 + x  Phương trình (1) tương đương với phương trình sau: u 2 + v 2 − vu = 3 u 2 + v 2 = 3 + vu ⇔ ... Giải phương trình 3 x − 2 + x +1 = 3 (1) Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1 2  Đặt : v = x + 1 ≥ 0 ⇔ v = x + 2 ⇒ u 3 − v 2 = −3  3 3 u = x − 2 u = x − 2 Phương trình đã cho trở thành phương trình sau u + v = 3 ( 2)  3 2 u − v = −3 ( 3) Từ (2) ta có v = 3 – u (4) Thế (4) vào (3) ta có u3 – (3 -u)2 = - 3 ⇔ u3 – u2 + 6u – 6 = 0 (5) Phương trình (5) có u = 1 là nghiệm. .. phạm Người thục hiện: Giải các phương trình sau: 1 3 2 3 12 − x + 3 14 − x = 2 x − 2 + 3 x + 3 = 3 2x + 1 3 3 x − 1 + 3 x − 2 = 3 2x − 3 ( S = {1,3 / 2,2} ) Bµi3 : Giải phương trình sau : ( ) 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6 CHƯƠNG III : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ - Để khử căn thức, người ta có thể đưa thêm một hoặc nhiều ẩn phụ Tuỳ theo dạng của phương trình mà các bạn lựa chọn cho . trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghệ đang trào dâng như vũ bão, thông tin bùng nổ từng phút từng giờ, cái mới này chưa kịp đăng quang đã phải nhường chỗ cho cái mới khác. nhiều góc độ, để chúng ta tìm được cách giải quyết cho nhanh nhất, hiệu quả nhất. 2. Cơ sở thực ti n: Hiện nay, trong các trường THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phương trình vô tỉ. đó mà những phương pháp giảng giải của giáo viên thường hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc ti p thu của học sinh thường bị động và chưa có tính quyết toán trong việc tìm cho mình một phương