Đồ án tốt nghiệp Lời nói đầu Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của tin học,để giải các phơng trình vi phân chuyển động bằng máy tính, ngời ta thờng dùng các phơng pháp số chẳng hạn nh phơng pháp Euler, phơng pháp Runge-Kutta Lý do sử dụng phơng pháp số bởi vì các phơng trình chuyển động ít khi có dạng tuyến tính, mà thờng có dạng phi tuyến phức tạp và khó đa ra các nghiệm tổng quát ở dạng giải tích. Trong cơ học, sử dụng một số nguyên lý cơ bản ta thấy phơng trình chuyển động của 1 cơ hệ bất kì thờng là các phơng trình vi phân cấp hai.Do vậy,việc giải các ph- ơng trình chuyển động của cơ hệ thực chất đợc đa về giải các phơng trình vi phân(PTVP). Thông qua việc giải các PTVP ngời ta sẽ giải quyết đợc các bài toán vị trí,bài toán vận tốc,bài toán gia tốc từ đó xác định đợc vị trí,vận tốc và gia tốc của cơ hệ ở thời điểm bất kỳ. Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của tin học,khi ta đã có sẵn thuật giải của phơng pháp số ,việc triển khai các phơng pháp số trên máy tính ngày càng thuận tiện và nhanh chóng,do đó có nhiều phần mềm thông dụng giải phơng trình chuyển động của cơ hệ.Trong phạm vi đố án tốt nghiệp này,em xin trình bày vấn đề giải phơng trình chuyển động của cơ hệ sử dụng các công cụ phần mềm ,qua các phần mềm Matlab và DAESOL sau đó là một chơng trình do em tự viết giải hệ PTVP thờng sử dụng thuật toán Runge-Kutta cấp 4. Do khả năng và thời gian còn nhiều hạn chế chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót,em mong sẽ nhận đợc sự đóng góp chân thành và nhiều ý kiến thực tiễn từ các thầy giáo và các bạn sinh viên. Qua đây,em xin gửi tới thầy Đinh Văn Phong ,thầy Phan Mạnh Dần lời cám ơn chân thành vì sự giúp đỡ chỉ bảo tận tình trong suốt quá trình thực hiện đồ án tốt nghiệp để em có thể hoàn thành đồ án đúng thời hạn đợc giao. HN-8/5/2003. Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 1 Đồ án tốt nghiệp I. Cơ sở lý thuyết giải các phơng trình vi phân chuyển động. 1.Đặt vấn đề. Phơng trình chuyển động của cơ hệ thờng là các phơng trình vi phân(PTVP), do vậy việc giải các phơng trình chuyển động của cơ hệ đợc chuyển về giải các phơng trình vi phân. Đối với các cơ hệ holonom có thể dùng các toạ độ Lagrange để mô tả chuyển động của cơ hệ.Nếu ta chọn các toạ độ suy rộng này là đủ(số các toạ độ suy rộng là n, vừa đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ ) thì từ phơng trình Lagange loại 2: dt d . q i T - q i T =Q i i=1,2, ,n (1) với : q i là các toạ độ suy rộng đủ. Q i là các lực suy rộng ứng với các toạ độ suy rộng q i . T là động năng tổng cộng của cơ hệ. ta sẽ thu đợc n PTVP cấp 2. Sau khi thực hiện các đạo hàm cần thiết và dồn các gia tốc suy rộng qi về vế trái ta có thể viết đợc PTVP chuyển động dới dạng sau: q i =f i (q 1 ,q 2 , q n , . q 1 , . q 2 , , . q n ,t) (2) Với các điều kiện đầu q i (0) và . q i (0) ta có thể áp dụng các phơng pháp số sẽ trình bày dới đây để tìm ra q i (giải PTVP thờng(ODE) cấp 2 có điều kiện đầu). Nếu số toạ độ suy rộng là d, p là số toạ độ, n là số bậc tự do với p>n thì giữa các toạ độ suy rộng q i ,i=1,2 ,p sẽ có các liên kết ràng buộc: f j (q 1 ,q 2 , ,q p )=0 (3) j=1,2, ,s Với s là số phơng trình liên kết và s+n=p Với các toạ độ suy rộng d ta có thể sử dụng phơng trình Lagrange dạng nhân tử để thiết lập PTVP chuyển động: Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 2 Đồ án tốt nghiệp dt d . q i T - q i T =Q i - = s j 1 j q f i j (4) i=1,2, ,p (5) Với j là các nhân tử Largange .Nh thế với tập hợp 2 hệ phơng trình (3) và (4) ta có (p+s) phơng trình cho (p+s) ẩn số là q i ,i=1,2, ,p và j ,j=1,2, ,s. ở dạng tổng quát đây là hệ PTVP hỗn hợp gồm các PTVP cấp hai (4) và các phơng trình đại số (3). Việc giải PTVP thờng (ODE) và PTVP đại số (DAE) đợc trình bày cụ thể ở phần dới đây. 2.Giải phơng trình vi phân thờng. Ta xét phơng trình vi phân thờng: y=f(x,y) (6) Điều kiện đầu đợc cho dới dạng: y(x 0 )=y 0 (7) Với y là hàm số của x y=y(x). Bài toán trên còn gọi là bài toán Cauchy. Bài toán (6) có thể mở rộng cho n hệ phơng trình vi phân cấp 1: y 1 =f 1 (x,y 1 ,y 2 , ,y n ) y 2 =f 2 (x,y 1 ,y 2 , ,y n ) (8) y n =f n (x,y 1 ,y 2 , ,y n ) Với y 1 ,y 2 , ,y n đều là các hàm số của x : y i =y i (x) i=1,2, ,n. Ta viết lại (3) nh sau: y i =f i (x,y 1 ,y 2 , ,y n ) (9) Với các điều kiện đầu: y i (x 0 )=y i0 ; i=1,2 n. (10) Ta viết dới dạng ma trận: y=f(x,y) (11) Với các điều kiện đầu: Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 3 Đồ án tốt nghiệp y(x 0 )=y 0 (12) Trong đó: y=[y 1 ,y 2 , ,y n ] T y=[y 1 ,y 2 , ,y n ] T f=[f 1 ,f 2 , ,f n ] T y 0 =[y 00 ,y 01 , ,y 0n-1 ] T ; Trong thực tế ta thờng gặp các bài toán ở dạng phơng trình vi phân cấp cao.Xét ph- ơng trình vi phân cấp n: y (n) =f(x,y,y,y, ,y (n-1) ) (13) Với các điều kiện đầu: y (i) (x 0 )=y i0 i=0,1,2, ,(n-1). Trong đó ta ký hiệu y (i) là đạo hàm cấp i của hàm số y=y(x). Ta chuyển hệ (13) sang hệ (8) bằng cách đa ra: y 1 =y, y 2 =y, y 3 =y, ,y n =y (n-1) . Do đó ta có hệ phơng trình gồm n phơng trình vi phân cấp một: y 1 =y 2 y 2 =y 3 y n-1 =y n y n =f(x,y 2 ,y 2 , ,y n ) Với các điều kiện đầu: y 1 (x 0 )=y 00 , y 2 (x 0 )=y 10 , , y n (x 0 )=y n-1,0 Do đó, bài toán giải các phơng trình vi phân đợc đa về giải PTVP thờng (6). Ngời ta thờng áp dụng 2 nhóm phơng pháp sau để giải phơng trình vi phân thờng. a.Phơng pháp chính xác: Là phơng pháp dựa vào các tích phân trực tiếp thông qua các tích phân cơ bản tìm ra các nghiệm ở dạng khép kín. Các điều kiện đầu sẽ xác định các nghiệm riêng từ nghiệm tổng quát. b. Phơng pháp gần đúng: Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 4 Đồ án tốt nghiệp Theo phơng pháp này chỉ tìm các xấp xỉ của nghiệm chính xác đợc xác định từ các điều kiện đầu.Các phơng pháp này có u điểm là tổng quát và đợc sử dụng rộng rãi hơn.Có thể đa ra các nghiệm dới dạng các biểu thức giải tích,bảng số hay đồ thị.Ta chủ yếu tập trung vào nhóm phơng pháp này. ở nhóm phơng pháp thứ hai,ngời ta có nhiều sơ đồ thuật giải nh phơng pháp Euler,phơng pháp Runge-Kutta,các phơng pháp của Adams,phơng pháp sai phân,phơng pháp PREDICTOR-CORRECTOR Ta xét 2 phơng pháp Euler và Runge-Kutta: Phơng pháp Euler. Để tính giá trị của hàm số vi phân trong phơng trình,thay các giá trị đúng của hàm số đó tại từng thời điểm bằng một chuỗi các xấp xỉ đợc tính nhờ các biểu thức hồi qui. Biểu thức hồi qui của phơng pháp Euler có dạng : z 0 =y 0 z i+1 =z i +h.f(x i ,z i ) h=(b-a)/N Trong đó: y 0 là điều kiện đầu z i là các giá trị xấp xỉ của hàm số tại bớc tích phân thứ i. h là bớc tích phân. [a,b] là khoảng nghiệm cần tìm. N là số điểm cần tính. Phần tử đầu tiên của chuỗi {z i } sẽ đợc xác định nhờ điều kiện đầu.Các giá trị tiếp theo đợc tính nhờ giá trị trớc đó và trong mỗi bớc ta chỉ phải tính giá trị của hàm số f một lần. Công thức Euler ở trên còn có sai số nghiệm khá lớn nên trong thực tế có hai dạng cải tiến của phơng pháp trên: +Dạng cải tiến thứ nhất z 0 =y 0 z i+1 =z i +h.k 2 k 1 =f(x i ,z i ) k 2 =f(x i +0.5h,z i +0.5k 1 h) Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 5 Đồ án tốt nghiệp +Dạng cải tiến thứ hai z 0 =y 0 z i+1 =z i +0.5h(k1+k2) k 1 =f(x i ,z i ) k 2 =f(x i +h,z i +k 1 h) Các phơng pháp vừa đợc mô tả có thể xếp vào các nhóm phơng pháp 1 nút để giải PTVP :khi tìm z i+1 ta chỉ cần h và giá trị z i , tức là một nút lùi lại.Có thể viết nh sau: z i+1 = z i +hD(x i , z i ,h)=z i +hD i (14) Có thể coi D i là phơng mà theo đó ta tiến từ điểm (x i , z i ) đến (x i+1 , z i+1 ). Do đó hàm này đợc gọi là hàm chỉ phơng. Với phơng pháp Euler thì đó chính là f i , còn ở 2 dạng cải tiến của Euler thì đó là k 2 và 2 1 (k 1 +k 2 ). Trở lại (14) ta có thể tìm hàm D một cách đơn giản bằng cách khai triển hàm số y tại x i+1 nh là tại các điểm lân cận của x i theo khai triển Taylor và chỉ lấy một số phần tử đầu tiên : y(x i+1 )=y i+1 =y i + !2 )(' x i y + !2 )('' x i y h 2 + (15) Trong (15) nếu ta chỉ lấy 2 phần tử đầu tiên của chuỗi sẽ thu đợc: D= !1 )(' xy =f(x,y)=f. Đây chính là sơ đồ của phơng pháp Euler. Nếu lấy tiếp phần tử nữa có thể viết: D= !1 )(' xy + !2 )('' xy h = f + 2 1 h(f x +f y f) Với y=f x +f y f Vì y=f(x,y) và trong đó ta ký hiệu f x và f y là các đạo hàm riêng của f theo x và y. Ta có thể làm tơng tự với các cấp cao hơn, nhng việc phải tính đạo hàm là nhợc điểm của phơng pháp này.Phơng pháp Runge-Kutta đã khắc phục đợc nhợc điểm này. Phơng pháp Runge-Kutta. Phơng pháp Euler có thể tính chính xác hơn bằng cách khai triển Taylor cho nhiều phần tử.Nhng nhợc điểm của phơng pháp này là phải tính đạo hàm (đã trình bày ở trên).Để khắc phục điểm này Runge-Kutta đã đa ra phơng pháp để tìm z i+1 mà chỉ Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 6 Đồ án tốt nghiệp cần z i và giá trị của hàm số ở một vài điểm xác định khác.Hoàn toàn không phải dùng đến đạo hàm riêng của hàm số f. Các phơng pháp này gọi là phơng pháp một nút nhiều điểm . Tuỳ theo số điểm k mà tại đó cần tính giá trị hàm số f ta có ph- ơng pháp k điểm. Cần phân biệt rõ các khái niệm :k nút,k điểm và cấp k. +k nút tức là để tính giá trị tại z i+1 ta cần giá trị của k nút trớc đó. +k điểm là số điểm tại đó cần tính giá trị hàm số f. +Khái niệm cấp k của phơng pháp liên quan đến các kiến thức sâu hơn về toán số.Nó đợc định nghĩa thông qua các sai số cục bộ của các xấp xỉ.Ta có thể hình dung cấp là độ chính xác của phơng pháp. Biểu thức hồi qui của phơng pháp Runge-Kutta cho r điểm có dạng: z i+1 =z i +h(p r1 k 1 + p r2 k 2 + + p rr k r ) k 1 =f(x i ,z i ) k 2 =f(x i + 2 h, z i +h 21 k 1 ) k r =f(x i + r h, z i +h( r1 k 1 + r2 k 2 + + r,r-1 k r-1 )) trong đó p rm (m=1,2 ,r), m , mj (m=2,3 ,r ;j=1,2, r-1) là các hằng số đợc xác định tuỳ theo từng phơng pháp. Ngời ta chứng minh đợc rằng với một phơng pháp r điểm thì cấp tối đa phơng pháp đó đạt đợc không thể lớn hơn r. Ta chọn các hệ số p rm , m , mj sao cho số điểm r đã định, phơng pháp sẽ đạt cấp cao nhất. +r=1 Chỉ đợc chọn p 11 ,ta chọn p 11 =1. Ta có sơ đồ: z i+1 =z i +hf i Ta thấy đây chính là thuật giải Euler, chính là phơng pháp cấp 1. +r=2 Ta có 3 phơng trình để chọn 4 tham số p 21 , p 22 , 2 , 21 : p 21 +p 22 -1=0 2p 22 22 -1=0 2p 22 21 -1=0 Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 7 Đồ án tốt nghiệp -Nếu p 22 =1 thì p 21 =0, 2 = 21 = 2 1 .Đây chính là sơ đồ Eurler cải tiến dạng thứ nhất. - Nếu p 22 = 2 1 thì p 21 = 2 1 , 2 = 21 =1.Đây chính là sơ đồ Eurler cải tiến dạng thứ hai, cấp chính xác chỉ là cấp 2. +r=3 Với 3 điểm tơng tự trên, phơng pháp chỉ đạt tối đa là cấp 3. +r=4 Phơng pháp đạt đợc tối đa là cấp 4. Trong phạm vi đồ án tốt nghiệp này, sử dụng ngôn ngữ C , áp dụng thuật toán của phơng pháp Runge-Kutta cấp 4 em viết đợc chơng trình giải PTVP thờng,em tạm gọi chơng trình của mình là ODE_RK4. Em chọn phơng pháp Runge-Kutta cấp 4 để giải vì phơng pháp này dễ điều khiển sai số và đạt độ chính xác cao, đây là một phơng pháp rất hay đợc dùng.Phơng pháp này có thể dễ dàng chuyển qua hệ phơng trình. +Các bớc giải của phơng pháp Runge-Kutta cấp 4 cho hệ PTVP nh sau: 1) Tính c 1 =h*f(x i ,z i ); 2) Tính c 2 =h*f(x i + 2 1 h,z i + 2 1 c 1 ); 3) Tính c 3 =h*f(x i + 2 1 h,z i + 2 1 c 2 ); 4) Tính c 4 =h*f(x i +h,z i + c 3 ); 5) Tính z i+1 =z i + 6 1 (c1+2c 2 +2c 3 +c 4 );(Với i=0,1, ,n-1).(Lặp từ z i sang z i+1 ). Xét hệ phơng trình vi phân viết dới dạng ma trận : y=f(x,y) (7) Trong đó: y=[y 1 ,y 2 , ,y n ] T y=[y 1 ,y 2 , ,y n ] T f=[f 1 ,f 2 , ,f n ] T Với y i =f i (x,y 1 ,y 2 , ,y n ) Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 8 Đồ án tốt nghiệp Chú ý là trong các hệ cơ học biến độc lập x chính là biến thời gian t,còn các hàm số y 1 ,y 2 , chính là các toạ độ suy rộng của cơ hệ. Trong cơ học,khi sử dụng phơng trình Lagrange loại 2 để thiết lập phơng trình vi phân chuyển động: dt d . q i T - q i T =Q i i=1,2, ,n (1) Ta sẽ thu đợc hệ các phơng trình vi phân cấp 2 dạng: q i =f i (q 1 ,q 2 , q n , . q 1 , . q 2 , , . q n ,t) i=1,2, ,n (2) Các điều kiện đầu q i (0) và . q i (0). áp dụng cơ sở lý thuyết đã trình bày ở trên ta hoàn toàn có thể hạ bậc (2) và sử dụng các phơng pháp số đã trình bày để giải phơng trình vi phân chuyển động đã thiết lập đợc. Ta hạ bậc (2) nh sau: Đặt : y 1 =q 1 ; y 2 = . q 1 ; y 3 =q 2 ; y 4 = . q 2 ; y 2n-1 =q n ; y 2n = . q n ; Do đó, ta sẽ thu đợc hệ gồm 2n phơng trình vi phân cấp 1: . y 1 =y 2 ; . y 2 =f 1 (y 1 ,y 2 , ,y 2n ,t); . y 3 =y 4 ; . y 4 =f 2 (y 1 ,y 2 , ,y 2n ,t); Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 9 Đồ án tốt nghiệp . y 2n-1 =y 2n ; . y 2n =f n (y 1 ,y 2 , ,y 2n ,t); Với các điều kiện đầu: y 1 (0), ,y 2n (0). Sử dụng ngôn ngữ C ta viết đợc chơng trình ODE_RK4 giải PTVP chuyển động của cơ hệ(Hệ PTVP thờng),trong đó bao gồm hàm Rungk_4 thể hiện thuật toán của phơng pháp Runge-Kutta cấp 4, khi sử dụng môdun này phải gọi tới hàm Hecohoc() trong đó đa vào các PTVP của cơ hệ cần giải, kết quả nghiệm của hệ PTVP đợc đa ra màn hình,đa ra dới dạng file và dạngđồ thị biểu diễn các tập nghiệm của hệ PTVP .Khi cần giải hệ PTVP nào ta đa hệ đó vào hàm định nghĩa hệ PTVP. Để kiểm tra tính chính xác của chơng trình, ta sử dụng phần mềm Matlab và phần mềm DAESOL để đối chiếu, việc sử dụng Matlab và DAESOL giải hệ PTVP đợc trình bày cụ thể ở phần dới. 3.Giải hệ phơng trình vi phân đại số . Trong cơ học, khi thiết lập PTVP chuyển động của cơ hệ nếu sử dụng phơng trình Lagrange dạng nhân tử ta thờng gặp dạng sau : dt d . q i T - q i T =Q i - = s j 1 j q f i j (4) i=1,2, ,p f j (q 1 ,q 2 , ,q p )=0 (3) n+s=p Với j là các nhân tử Largange. s :Các phơng trình liên kết. p :Số toạ độ suy rộng d. n:Số bậc tự do. Một hệ gồm phơng trình liên kết (3) và PTVP (4) có thể coi là một hệ cứng . Có thể giải bài toán này theo 3 hớng: Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 10 [...]... các hệ cứng Vì thực tế các hệ phơng trình vi phân - đại số với sự xuất hiện của các phơng trình đại số, có thể coi là các hệ cứng Các thuật giải này đã đợc kiểm nghiệm tốt cho các hệ cơ học Việc giải hệ PTVP đại số đợc thực hiện bởi phần mềm Matlab và phần mềm DAESOL (đợc trình bày cụ thể ở dới) II .Giải phơng trình vi phân chuyển động bằng các công cụ phần mềm 1 .Sử dụng các hàm th viện của Matlab giải. .. giải PTVP chuyển động Matlab là chơng trình phần mềm trợ giúp cho việc tính toán và hiển thị .Các lệnh của Matlab rất mạnh và hiệu quả, nó cho phép giải các loại hình bài toán khác nhau và đặc biệt hữu dụng cho các hệ phơng trình tuyến tính hay các bài toán ma trận Ngoài ra, Matlab có thể tích hợp với một vài ngôn ngữ quen thuộc của ngời sử dụng nh C,C++,Visual C++,Fortran Việc giải PTVP hay các hệ PTVP... đồ khối chơng trình DAESOL Với chơng trình ny cho phép ngời sử dụng có đợc một công cụ để tạo ra các chơng trình giải các hệ phơng trình vi phân bằng ngôn ngữ Fortran 77 Ngời dùng có thể dịch luôn ra chơng trình (.exe) để chạy v có file kết quả hoặc dịch ra file th viện liên kết động (.dll) để liên kết vo các chơng trình khác 2.2 Cách sử dụng và các chức năng chính hiện có của chơng trình 2.2.1 Tệp... tất cả các thành phần của nghiệm đợc truyền cho hàm đầu ra, song bạn có thể chỉ truyền một số thành phần nhất định bằng cách cung cấp một véctơ các chỉ số cho thuộc tính OutputSel Chẳng hạn, nếu bạn gọi công cụ giải không có đối số đầu ra và đặt giá trị của OutputSel là [1 3], công cụ sẽ vẽ các thành phần 1 và 3 của nghiệm đã tính Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 13 Đồ án tốt nghiệp Với các công cụ cứng... ode23t, hoặc ode23tb b Đối số F Tên của tệp tin ODE, đó là một hàm của t và y, trả về một véctơ cột Tất cả các công cụ giải phơng trình vi phân thờng (solver gọi tắt là công cụ giải) đều có thể giải đợc hệ phơng trình có dạng y = f(t, y), hoặc khi có ma trận khối lợng M(t, y).y = f(t, y) ode23s chỉ giải đợc những hệ phơng trình có M = const ode15s và ode23t có thể giải đợc các bài toán với M suy biến, phơng... mỗi bi toán của DAESOL gồm hai tệp tin: tệp EQT (hay EQN) mô tả các phơng trình cùng với các biến, tham số của hệ v tệp IN mô tả các điều kiện đầu vào của các biến v giá trị của các tham số xuất hiện trong phơng trình 2.2.2 Soạn thảo tệp tin phơng trình dùng Edit Equation hoặc Notepad Soạn thảo tệp tin phơng trình với chơng trình soạn thảo bên ngoi (nh NotePad, xem hình 3) hoặc sử dụng chơng trình soạn... NDFs và BDFs, các công thức Nguyễn Thành Long - Cơ Tin A-k43 27 Đồ án tốt nghiệp cấp 1 và 2 đều ổn định A (miền ổn định bao gồm toàn bộ nửa trái mặt phẳng phức) Các công thức cấp cao hơn đều không ổn định Có một lớp các bài toán cứng (dao động cứng) đợc giải có hiệu quả hơn nếu giảm MaxOrder (ví dụ thành 2) để chỉ có các công thức ổn định nhất đợc sử dụng 2 Giải phơng trình vi phân chuyển động bằng phần. .. có các giá trị 1, , s khác nhau để thay vào phơng trình (4) Phơng án thứ 2 : sử dụng các phơng pháp trực tiếp giải hệ phơng trình vi phân - đại số .Các phơng pháp này đang đợc các nhà toán học nghiên cứu kỹ trong mấy năm gần đây Đối với các hệ cơ học qua tính toán thử nghiệm có thể thấy sơ đồ Runge-Kutta dạng ẩn (implicit) cho các kết quả tốt Phơng án thứ 3 : áp dụng các thuật toán của Gear cho các. .. hoàn thiện khả năng của các công cụ cứng ode15s, ode23s, ode23t, và ode23tb 6 Trong trờng hợp jpattern, tệp ODE trả về mẫu tha của ma trận Jacobian cho công cụ giải Ta chỉ cần viết cho trờng hợp này khi ta muốn tạo các ma trận Jacobian tha cho các công cụ giải 7 Trong trờng hợp mass, tệp ODE trả về ma trận khối lợng cho công cụ giải Ta chỉ cần viết cho trờng hợp này khi ta muốn giải hệ có dạng M(t, y)... trả về cho công cụ giải các giá trị cần cho việc đánh dấu sự kiện Khi thuộc tính Events đợc đặt là on, Công cụ giải kiểm tra mọi phần tử của véctơ sự kiện để chuyển tới, từ, hoặc qua giá trị không Nếu phần tử tơng ứng của véctơ isterminal đợc đặt là 1, quá trình tích phân sẽ dừng khi gặp một điểm không Các phần tử của véctơ direction là -1, 1, hoặc 0 9 Nếu ta truyền vào flag không có trong các trờng . phơng trình chuyển động của cơ hệ. Trong phạm vi đố án tốt nghiệp này,em xin trình bày vấn đề giải phơng trình chuyển động của cơ hệ sử dụng các công cụ phần mềm ,qua các phần mềm Matlab và DAESOL. nghĩa hệ PTVP. Để kiểm tra tính chính xác của chơng trình, ta sử dụng phần mềm Matlab và phần mềm DAESOL để đối chiếu, việc sử dụng Matlab và DAESOL giải hệ PTVP đợc trình bày cụ thể ở phần. phơng trình vi phân chuyển động bằng các công cụ phần mềm. 1 .Sử dụng các hàm th viện của Matlab giải PTVP chuyển động. Matlab là chơng trình phần mềm trợ giúp cho việc tính toán và hiển thị.Các