ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TÓM TẮT KIẾT THỨC 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân a) Quy tắc cộng: Nếu A B∩ = ∅ thì ( ) ( ) ( ).n A B n A n B+ = + . b) Quy tắc nhân: ( ) ( ). ( ).n A B n A n B× = 2. Số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Giai thừa: ! 1.2.3 ( *),n n n= ∈¥ quy ước 0! 1. = Số hoán vị: !. n P n= Số chỉnh hợp: ! . . ( )! k k n n k n A C P n k = = − Số tổ hợp: ! . !( )! ! k k n n A n C k n k k = = − Lưu ý: . k n k n n C C − = Công thức Paxcan: 1 1 . k k k n n n C C C − + + = 3. Công thức nhị thức Niutơn ( ) 0 . n n k n k k n k a b C a b − = + = ∑ Hệ quả: 0 1 2 3 2 . k n n n n n n n n C C C C C C+ + + + + + + = 0 2 4 1 3 5 1 2 . n n n n n n n C C C C C C − + + + = + + + = Có thể xác định hệ số các số hạng trong khai triển nhị thức Niutơn nhờ tam giác Paxcan. 4. Chú ý Cho đa thức 1 0 ( ) . n n f x a x a x a= + + + Khi đó ( ) (0) ! k k f a k = (đạo hàm cấp 0 của ( )f x là chính nó). Đơn giản, ta có 0 1 (0), (1), a f a f= = Tổng các hệ số theo lũy thừa lẻ bằng (1) ( 1) , 2 f f− − tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn bằng (1) ( 1) . 2 f f+ − 5. Phương pháp sai phân a) Với 0, 0,a b a b≠ ≠ ≠ thì 1 1 1 1 . ab b a a b   = −  ÷ −   b) ( ) 1 0 1 . n k k n k u u u u − = − = − ∑ c) 1 1 0 . n k n k k u u u u = − = ∏ 6. Xác suất của biến cố Định nghĩa cổ điển của xác suất: ( ) ( ) . ( ) n A P A n = Ω Từ đó 0 ( ) 1P A≤ ≤ , ( ) 1 ( ).P A P A= − Công thức cộng xác suất: ( ) ( ) ( ) ( . ).P A B P A P B P A B+ = + − Công thức nhân xác suất: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi ( . ) ( ). ( ).P A B P A P B= II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1. Các bài toán vận dụng hai quy tắc đếm, vận dụng các công thức về số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp VD1: Có bao nhiêu cách cắm 5 bông hoa khác nhau vào 3 lọ hoa khác nhau, sao cho lọ nào cũng có hoa? VD2: Một hộp chứa 12 viên bi đôi một khác nhau, gồm 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng. Lấy ra từ hộp đó 6 viên bi và trao cho 6 người khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách trao như vậy, sao cho sau khi trao, trong hộp ban đầu còn lại các viên bi đủ cả 3 mầu? VD3: Cho số 11 12 2 .3 .a = Hỏi có bao nhiêu ước nguyên dương của 2 a nhưng không là ước của .a VD4: Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên a lấy 10 điểm phân biệt, trên b lấy 11 điểm phân biệt. Hỏi: a) Có bao nhiêu hình thang mà 4 đỉnh của nó là 4 trong số 21 điểm nói trên? b) Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của nó là 3 trong số 21 điểm nói trên? VD5: Phương trình 2014x y z+ + = có bao nhiêu bộ nghiệm nguyên dương ( ; ; )?x y z VD6: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số đôi một phân biệt, trong đó a) Chữ số 5 xuất hiện đúng 1 lần? b) Số nguyên dương lập được là số chẵn? c) Số nguyên dương lập được luôn có mặt chữ số 1 và chữ số 2 đứng cạnh nhau? VD7: Cho { } 1,2,3,4,5,6 .A = a) Từ A lập được bao nhiêu số nguyên dương có 6 chữ số đôi một phân biệt? Tính tổng tất cả các số lập được. b) Từ A lập được bao nhiêu số nguyên dương có 4 chữ số đôi một phân biệt? Tính tổng tất cả các số lập được. 2. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan tới , , k k n n n P C A Lưu ý các công thức biến đổi, công thức nhị thức Niutơn. Một số bài toán cần dùng đến đạo hàm hoặc tích phân. VD8: Chứng minh a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 . , , ,0 . n n n n k n k n C C C k n k n + − ≤ ∀ ∈ ≤ ≤¥ b) 2 2 2 2 3 1 1 1 1, , 2. n n n A A A + + + < ∀ ∈ ≥¥ VD9: Cho số tự nhiên n. Tính các tổng sau a) 0 1 2 2 3 ( 1) . n n n n n T C C C n C= + + + + + b) 2 3 2.1. 3.2. ( 1) . n n n n M C C n n C= + + + − c) 2 1 2 2 2 3 2 1 2 3 . n n n n n S C C C n C= + + + + VD10: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có a) 1 1 2 1 1 1 2 1 1 . 2 3 1 1 n n n n n C C C n n + − + + + + = + + b) 0 2 1 3 2 1 1 2 2 2 2 3 1 . 1 2 3 1 1 n n n n n n n C C C C n n + + − + + + + = + + c) 1 2 3 2.4.6 (2 2).2 (2 )!! 1 ( 1) . 3 5 7 2 1 1.3.5 (2 1).(2 1) (2 1)!! n n n n n n C C C C n n n n n n n − − + − + + − = = + − + + d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 2 . n n n n n n C C C C+ + + = 3. Giải phương trình, bất phương trình liên quan tới , , k k n n n P C A Lưu ý rằng điều kiện của k và n trong các biểu thức , , k k n n n P C A là , , 0.k n n k∈ ≥ ≥¢ VD11: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình a) ( ) 2 2 72 6 2 . x x x x P A A P+ = + b) 1 1 1 : : 6 :5: 2. y y y x x x C C C + − + = c) 2 2 3 2 1 6 10. 2 x x x A A C x − ≤ + d) 3 3 1 2 2 . x x A C P − ≤ + e) 2 3 2 1 1 1 6 . x x x C C A + + ≥ 4. Bài toán liên quan tới hệ số của đa thức VD12: a) Cho đa thức 2 2 2 1 0 ( ) (1 ) . n n n f x x x a x a x a= + + = + + + Tính tổng 2 4 6 8 2 2 . n S a a a a a − = + + + + + c) Tính tổng các hệ số bậc lẻ trong khai triển 2 ( ) (2 2 5) , *. n P x x x n= + − ∈ ¥ VD13: a) Tìm hệ số của số hạng 2 7 xy z trong khai triển ( ) 10 2 2 .x y z− + b) Biết rằng 1 2 79. n n n n n n C C C − − + + = Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 28 3 15 . n x x x −   +  ÷   , với 0.x > c) Tìm hệ số của x trong khai triển đa thức 2 2014 2 2015 ( ) (1 2 ) (1 ) .f x x x x x= − − + − + VD14: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển 12 (1 2 ) .x+ 5. Bài toán về xác suất VD15: Gieo một con súc sắc hai lần. Tính xác suất đê: a) Cả hai lần gieo cùng xuất hiện mặt 6 chấm. b) Có đúng một lần gieo xuất hiện mặt 2 chấm. VD16: Một hộp chứa 12 viên bi, gồm 5 bi đỏ, 4 bi trắng, 3 bi đen. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để 3 bi lấy ra có cùng mầu. VD17: Một tổ có 9 học sinh, gồm 5 bạn nam và 4 bạn nữ, đứng xếp thành một hàng dọc. a) Tính xác suất để không có 2 bạn nam nào đứng cạnh nhau. b) Trong số 4 bạn nữ có bạn Xuân và bạn Thu. Tính xác suất để Xuân và Thu luôn đứng cạnh nau. VD18: Một tổ gồm 10 học sinh, gồm 5 bạn nam và 5 bạn nữ, được xếp ngồi quanh 1 bàn tròn. Tính xác suất để các bạn nam và các bạn nữ ngồi xen kẽ. VD19: Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu. Máy bay I ném 1 quả với xác suất trúng 0,7. Máy bay II ném 1 quả với xác suất trúng 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. VD20: Gieo đồng thời 3 con súc sắc và 3 đồng xu. Tính xác suất để số đồng xu xuất hiện mặt sấp bằng số con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. 6. . ném 1 quả với xác suất trúng 0,7. Máy bay II ném 1 quả với xác suất trúng 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. VD20: Gieo đồng thời 3 con súc sắc và 3 đồng xu. Tính xác suất để số đồng. n k k u u u u = − = ∏ 6. Xác suất của biến cố Định nghĩa cổ điển của xác suất: ( ) ( ) . ( ) n A P A n = Ω Từ đó 0 ( ) 1P A≤ ≤ , ( ) 1 ( ).P A P A= − Công thức cộng xác suất: ( ) ( ) ( ) ( ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TÓM TẮT KIẾT THỨC 1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân a) Quy tắc cộng: Nếu A B∩