Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG, nói chung ta tiến hành theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Các điều kiện ấy bao hàm các điều kiện để căn có nghĩa, phân số có nghĩa, biểu thức logatit có nghĩa. Ngoài ra trong các PTLG có chứa các biểu thức chứa tan x va cot x thì cần điều kiện để tan x và cot x có nghĩa. Bước 2: Bằng phương pháp thích hợp đưa các phương trình đã cho về một trong các phương trình cơ bản . Bước 3: Nghiệm tìm được phải đối chiếu với điều kiện đã đặt ra. Những nghiệm nào không thoả mãn điều kiện ấy thì bị loại. 1.1 Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a. Giải và biện luận phương trình sin x m  (1) Do   sin 1;1 x  nên để giải phương trình (1) ta đi biện luận theo các bước sau Bước 1: Nếu 1 m  phương trình vô nghiệm Bước 2: Nếu 1 m  ta xét 2 khả năng Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình sẽ có dạng đặc biệt. 2 sin sin , 2 x k x k x k                   Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt khi đó đặt sin m   . Ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k                   Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Đặc biệt ta cần phải nhớ được các giá trị của các cung đặc biệt như ; ; ; ; ;2 6 4 2 3             vì sau khi biến đổi các bài toán thương đưa về các cung đặc biệt. Ví dụ 1: Giải phương trình 1 sin 4 x  Giải: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 2 Ta nhận thấy 1 4 không là giá trị của cung đặc biệt nào nên ta đặt 1 sin 4   Khi đó ta có: 2 sin sin , 2 x k x k x k                   Vậy phương trình có 2 họ ngiệm Ví dụ 2: Giải phương trình 3 sin 3 4 2 x          Giải: Do 3 sin 3 2   nên 3 sin 3 sin 3 sin 4 2 4 3 2 3 2 3 2 4 3 4 3 24 3 5 2 3 2 3 2 4 3 3 4 24 3 x x x k x k x k k x k x k x k                                                                                 Vậy phương trình có hai họ nghiệm . b. Giải và biện luận phương trình lượng giác cos ( ) x m b  Ta cũng đi biện luận (b) theo m Bước 1: Nếu 1 m  phương trình vô nghiệm . Bước 2: Nếu 1 m  ta xét 2 khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cos của góc đặc biệt, giả sử góc  . Khi đó phương trình có dạng 2 cos cos , 2 x k x k x k                  Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cos của góc đặc biệt khi đó đặt cos m   . Ta có: 2 cos cos , 2 x k x k x k                  Như vậy ta có thể kết luận phương trình có 2 họ nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ. Ví dụ 1: Giải phương trình sau 1 cos 2 x   Giải: Do 2 1 cos cos 3 3 2              Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 Nên 1 2 cos cos cos 2 ( ) 2 3 3 x x x k k              Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình 3cos 2 1 6 x          Giải: 1 3cos 2 1 cos 2 6 6 3 x x                    Vì   1 1;1 3   và 1 3 không là giá trị của cung đặc biệt nên tồn tại góc   0;    sao cho 1 cos 3   Ta có: cos 2 cos 2 2 6 6 x x k                   2 2 ( ) 6 12 2 x k x k k                   Vậy phương trình có hai họ nghiệm . c. Giải và biện luận phương trình lượng giác tan ( ) x m c  Ta cũng biện luận phương trình (c) theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện cos 0 , 2 x x k k         Bước 2: Xét 2 khả năng Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình có dạng tan tan ,x x k k          Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt, khi đó đặt tan m   ta được tan tan ,x x k k          Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình luôn có nghiệm Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình tan 3 x  Giải: Do 3 tan 6   nên ta có: tan 3 tan tan , 6 6 x x x k k            Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 4 Ví dụ 2: Giải phương trình tan 2 5 x          Giải: Điều kiện: cos 0 5 5 2 x x k                 Do 2 không thể biểu diễn được qua tan của góc đặc biệt nên ta đặt tan 2   . Từ đó ta có tan 2 tan tan ( ) 5 5 5 5 x x x k x k k                                     Vậy phương trình có một họ nghiệm. d. Giải và biện luận phương trình lượng giác cot ( ) x m d  Ta cũng đi biện luận theo m Bước 1: Đặt điều kiện sin 0x x k k       Bước 2: Xét 2 khả năng Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua cot của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình có dạng cot cot ,x x k k          Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua cot của góc đặc biệt, khi đó đặt cot m   ta được cot cot ,x x k k          Nhận xét: Như vậy với mọi giá trị của tham số phương trình (d) luôn có nghiệm. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 1 cot 4 3 x          (1) Giải: Điều kiện cos 0 , 4 4 4 x x k x k k                      (*) Ta có: (1) cot cot , 4 3 4 3 12 x x k x k k                          Họ nghiệm trên thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình cot(4 35 ) 1 o x    Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 5 Giải: Ta nhận thấy cot( 45 ) 1 o    nên ta có cot(4 35 ) 1 cot(4 35 ) cot( 45 ) o o o x x       4 35 45 180 4 80 180 20 45 ( ) o o o o o o o x k x k x k k             Vậy phương trình có 1 họ nghiệm . Lưu ý: Không được ghi hai loại đơn vị (radian hoặc độ r) trong cùng một công thức. 1.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp. 1.2.1 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Dạng 1: 2 sin sin 0 ( 0; , , ) a x b x c a a b c      (1) Cách giải: Đặt sin t x  , điều kiện 1 t  Đưa phương trình (1) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm t chú ý kết hợp với điều kiện rồi giải tìm x Dạng 2: 2 cos cos 0 ( 0; , , ) a x b x c a a b c      (2) Cách giải: Đặt cos t x  điều kiện 1 t  ta cũng đưa phương trình (2) về phương trình bậc hai theo t, giải tìm trồi tìm x Dạng 3: 2 tan tan 0 ( 0; , , ) a x b x c a a b c      (3) Cách giải: Điều kiện: cos 0 , 2 x x k k         Đặt   tant x t   ta đưa phương trình (3) về phương trình bậc hai theo t, chú ý khi tìm được nghiệm x cần thay vào điều kiện xem thoả mãn hay không Dạng 4: 2 cot cot 0 ( 0; , , ) a x b x c a a b c      (4) Cách giải: Điều kiện sin 0 ,x x k k       Đặt cot ( ) t x t    . Ta cũng đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai theo ẩn t. Dạng 5: Một số dạng khác a. Phương trình chứa hàm lượng giác sinu, cosu với lũy thừa bậc chẵn: Dùng công thức hạ bậc và đặt t = cosu ( 1 t  ) đưa phương trình về dạng đa thức theo t. b. Phương trình chứa 1 ( ) ( ) f u f u  và 2 2 1 ( ) ( ) f u f u  trong đó ( ) f u là hàm lượng giác của u: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 6 Ta đặt: 1 ( ) ( ) t f u f u   (Nếu 1 ( ) ( ) t f u f u   : 2) t  đưa phương trình bậc 2 theo t. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình 2 2cos 3cos 1 0 x x    (1) Giải: Phương trình (1) 2 cos 1 , 1 2cos 3 2 x k x k x kx                     Vậy phương trình có 3 họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x    (2) Giải: Điều kiện sin2 0 , 2 k x x k       Ta có:   2 2 2 2 cos sin 2 cos sin 2 (2) 4sin 2 4sin 2 sin cos sin 2 sin .cos sin 2 2cos2 2 4sin 2 cos2 2sin 2 1 sin 2 sin 2 cos2 1 2cos 2 cos2 1 0 * 1 cos2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                           Ta thấy cos2 1 x  không thoả mãn điều kiện. Do đó (*) 1 2 cos2 2 2 , 2 3 3 x x k x k k                Vậy phương trình có 2 họ nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình 1 cos 1 sin2)1cos2(cos1    x xxx Giải: Điều kiện:  21cos mxx    Phương trình 0sin2)sin1(2cos1sin2coscos21 22  xxxxxx Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 7   2 2 sin 2sin 2 sin 2 0 2 sin 2 x x x x loai              2 2 4 sin sin , 5 2 4 2 4 x k x k x k                              Bài tập: Bài 1: Giải phương trình: 2 5sin 4sin 1 0 x x    Bài 2 Giải phương trình: cos2 3cos 4 0 x x    Bài 3: Giải phương trình: 5 3tan 2 3tan 0 2 x x    Bài 4: Giải phương trình: cos(4 2) 3sin(2 1) 2 x x     Bài 5: Giải phương trình: 4 tan 3 3tan3 1 0 x x    Bài 6: Giải phương trình: 4 2 25 cos 2 6cos 2 16 x x  Bài 7: Giải phương trình: 2 2 sin 2 tan6 2cos 2sin 4 x x x    Bài 8: Giải phương trình 2 1 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin .cos 1 x x x x x      Bài 9: Giải phương trình 4 4 1 cot 2 25 sin 2 x x   1.2.2 Phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x a. Định nghĩa: Phương trình sin cos (1) a x b x c   trong đó a, b, c   và 2 2 0 a b   được gọi là phương trình bậc nhất đối với sin ,cos x x b. Cách giải. Ta có thể lựa chọn 1 trong 2 cách sau: Cách 1: Thực hiện theo các bước Bước 1: Kiểm tra - Nếu 2 2 2 a c b  phương trình vô nghiệm - Nếu 2 2 2 a b c   khi đó để tìm nghiệm của phương trình ta thực hiện tiếp bước 2 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 8 Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (1) cho 2 2 a b  , ta được 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b      Vì 2 2 2 2 2 2 1 a b a b a b                 nên tồn tại góc  sao cho 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b       Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2 sin .cos sin .cos sin( ) c c x x x a b a b           Đây là phương trình cơ bản của sin mà ta đã biết cách giải Cách 2: Thực hiện theo các bước Bước 1: Với cos 0 2 ( ) 2 x x k k         thử vào phương trình (1) xem có là nghiệm hay không? Bước 2: Với cos 0 2 ( ) 2 x x k k Z        Đặt tan 2 x t  suy ra 2 2 2 2 1 sin , cos 1 1 t t x x t t      Khi đó phương trình (1) có dạng 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 0 (2) 1 1 t t a b c c b t at c b t t            Bước 3: Giải phương trình (2) theo t , sau đó giải tìm x. Dạng đặc biệt: . sin cos 0 ( ) 4 x x x k k           . sin cos 0 ( ) 4 x x x k k          . Chú ý: Từ cách 1 ta có kết quả sau 2 2 2 2 sin cos a b a x b x a b       từ kết quả đó ta có thể áp dụng tìm GTLN và GTNN của các hàm số có dạng sin cos y a x b x   , sin cos sin cos a x b x y c x d x    và phương pháp đánh giá cho một số phương trình lượng giác . Ví Dụ Minh Hoạ: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 9 Ví Dụ 1: Giải phương trình: sin 2 3cos2 3 x x   (1) Giải: Cách 1: Chia cả hai vế phương trình (1) cho 2 2 1 3 10   ta được 1 3 3 sin 2 cos2 10 10 10 x x  Đặt 3 1 sin , cos 10 10     . Lúc đó phương trình (1) viết được dưới dạng cos sin 2 sin cos2 sin sin(2 ) sin 2 2 , 2 2 2 x x x x x k x k k x k x k                                           Vậy phương trình có 2 nghiệm Cách 2: Ta nhận thấy cos 0 x  là nghiệm của phương trình -Với cos 0 , 2 x x k k         . Đặt tan t x  , lúc đó 2 2 2 2 1 sin 2 , cos2 1 1 t t x x t t      Phương trình (1) sẽ có dạng 2 2 2 2 2 2 1 3 3 2 3(1 ) 3(1 ) 3 1 1 t t t t t t t t             Hay tan 3 tan ,x x k k           Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình về dạng 2 sin 2 3(1 cos2 ) 2sin .cos 6cos cos 0 tan 3 tan (sin 3cos )cos 0 sin 3cos 0 cos 0 x x x x x x x x x x x x x                       , 2 x k k x k                Vậy phương trình có hai họ nghiệm Chú ý: Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 10 Khi làm bài toán dạng này chúng ta nên kiểm tra điều kiện trước khi bắt tay vào giải phương trình bởi có một số bài toán đã cố tình tạo ra những phương trình không thoả mãn điều kiện. Ta xét ví dụ sau: Ví Dụ 2: Giải phương trình   2 2(sin cos )cos 3 cos2 2 x x x x   Giải: Ta biến đổi phương trình (2) Ta có: 2 sin 2 2(1 cos 2 ) 3 cos 2 x x x      2 2 2 2 2 2 sin 2 ( 2 1)cos2 3 2 2 ; 2 1 ; 3 2 2 ( 2 1) 5 2 2 (3 2) 11 6 2 x x a b c a b c                     Suy ra 2 2 2 a c b   Vậy phương trình đã cho vô nghiệm . Ngoài ra chúng ta cần lưu ý rằng việc biến đổi lượng giác cho phù hợp với từng bài toán sẽ biểu diễn chẵn các họ nghiệm . Ta xét ví dụ sau Ví Dụ 3: Giải phương trình (1 3)sin (1 3)cos 2 (3) x x    Giải: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi (3) 1 3 1 3 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 x x                       Đặt 1 3 1 3 cos ; sin 2 2 2 2 x x     Phương trình (3) sẽ được viết thành 1 sin .cos sin .cos sin( ) sin 4 2 x x x          2 2 4 4 , 3 2 2 4 4 x k x k k x k x k                                           Vậy phương trình có hai họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng [...]... 4 Giải phương trình: 5 Giải phương trình: 1  cot 2 x  1  cos 2 x sin 2 2 x sin 3x  cos x.cos 2 x (tan 2 x  tan 2 x) 6 Giải phương trình: Chương II: Hệ thống một số phương pháp giải phương trình lượng giác Đứng trước một PTLG lạ, điều mà làm ta băn khoăn là làm thế nào để giải nó, vấn đề nảy sinh trong mỗi chúng ta là phải đưa phương trình về phương trình mà ta đã biết cách giải Và để giải mỗi phương. .. thức lượng giác đã học thực hiện các phép biến đổi đại số và lượng giác đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải Chú ý: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 26 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com Ta phải chú ý đến mối liên hệ giữa các cung của các hàm lượng giác Vì mối liên hệ này sẽ chỉ đường cho cách biến đổi phương trình Ví dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương. .. Vậy phương trình có 3 họ nghiệm 2.1.2 Đặt một biểu thức lượng giác làm ẩn phụ Chú ý một số phương pháp đặt ẩn phụ của phương pháp đại số sau đây + Phương trình trùng phương ax 4  bx 2  c  0 (a  0) Đặt t  x 2 , t  0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 30 Giáo viên: Nguyễn Thành Long + Phương trình bậc bốn ( x  a )4  ( x  b) 4  c Đặt t  x  Email: loinguyen1310@gmail.com ab 2 + Phương. .. phương trình đã cho về phương trình mới dễ giải hơn (2) Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về hệ phương trình đại số Phụ thuộc vào mỗi phương trình mà ta phải biết đặt ẩn phụ một cách khéo léo để có được một phương trình mới đơn giản hơn dễ giải hơn Thông thường trong phương pháp đặt ẩn phụ để giải PTLG ta thường gặp 2 loại đặt ẩn phụ sau: +) Đổi biến dưới hàm lượng giác +) Đặt cả biểu thức lượng giác. .. - Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm - Nếu phương trình chứa hàm lượnggiác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một cung Dưới đây là một số phương pháp biến đổi tuỳ thuộc vào từng bài toán khác nhau mà ta lựa chọn phương pháp cho phù hợp 2.1 Phương pháp biến đổi tương đương Phương pháp: ... nghiệm Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác tuỳ thuộc vào từng bài toán để giải sao cho cách giải nhanh nhất, khoa học nhất Ví Dụ 3: Giải phương trình: 1  tan x  1  sin 2 x 1  tan x (3) Giải: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 14 Giáo viên: Nguyễn Thành Long   x   k  cos x  0  2 Điều kiện   ,k... thoả mãn 3 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 28 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: loinguyen1310@gmail.com  Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x  3 Nhận xét: Phương pháp biến đổi tương đương đòi hỏi phải sử dụng nhiều công thức lượng giác vì vậy việc nắm chắc các công thức và vận dụng linh hoạt vào từng bài toán là hết sức cần thiết 2.1 Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp: Có 2... ta phải thử lại xem các nghiệm có thoả mãn điều kiện của phương trình hay không 2.3 Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức Hạ bậc đơn: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 35 Giáo viên: Nguyễn Thành Long 1 1 sin 2 x  1  cos... (*) và (** ) lên trên cùng một đường tròn lượng giác sin cos    x  6  k Từ đó ta có nghiệm của phương trình (1) là  ,k    x     k  6  1.3.3 Phương pháp đại số Phương pháp này ta kiểm tra nghiệm bằng cách chuyển về phương trình (thường là phương trình nghiệm nguyên) hoặc bất phương trình đại số Ví Dụ: Giải phương trình: cos8 x  0 (1) sin 4 x Giải: Điều kiện: sin 4 x  0  4 x  n (n...     3  k 2  x    k 2 4 Vậy phương trình có hai họ nghiệm PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 17 Giáo viên: Nguyễn Thành Long Chú ý: Email: loinguyen1310@gmail.com Ta có thể đưa một số dạng phương trình về dạng phương trình đối xứng đã xét ở trên Bài toán 1: Giải phương trình a 2 tan x  b 2 cot x  c (a sin x  b cos x ) (1) a b  0 Cách giải: Phương trình (1) có thể viết a 2 sin 2 . loại. 1.1 Phương trình lượng giác cơ bản 1.1.1- Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình chứa một hay nhiều hàm số lượng giác . 1.1.2- Các phương trình lượng giác cơ bản. a. Giải và. loinguyen1310@gmail.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Chương I: Phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình lượng giác thường gặp Để giải 1 PTLG, nói chung ta. kiện của phương trình . Vậy phương trình có duy nhất 1 họ nghiệm Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình thuần nhất đã nêu ở trên có những phương trình có thể giải bằng phương pháp khác