Mục lục Lý thuyết trường 1.1 Các kiến thức liên quan 1.1.1 Nhóm phép thế, nhóm giải 1.1.2 Trường thương, trường nguyên tố 1.1.3 Đặc số trường 1.1.4 Các đa thức trường 1.2 Mở rộng trường Mở rộng đơn 1.2.1 Mở rộng trường 1.2.2 Mở rộng đơn 1.3 Mở rộng đại số 1.4 Trường phân rã đa thức Mở rộng chuẩn tắc 1.4.1 Trường phân rã đa thức 1.4.2 Mở rộng chuẩn tắc 1.5 Mở rộng tách 1.5.1 Nghiệm bội đa thức bất khả quy 1.5.2 Đa thức tách được, mở rộng tách 1.5.3 Trường hoàn chỉnh Lý thuyết Galois 2.1 Nhóm Galois Mở rộng Galois 2.1.1 Nhóm Galois 2.1.2 Mở rộng Galois 2.2 Định lý lý thuyết Galois 2.2.1 Nhận xét 2.2.2 Định lý lý thuyết Galois 2.2.3 Một số định lý khác 2.3 Áp dụng định lý Galois vào trường chia đường tròn 2.3.1 Căn đơn vị 2.3.2 Trường chia đường tròn 2.3.3 Áp dụng 2.4 Mở rộng xyclic 3 9 10 12 13 13 14 15 15 16 17 20 20 20 23 24 24 24 26 26 26 26 27 28 Ứng dụng 3.1 Giải phương trình thức 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Tiêu chuẩn giải thức 3.2 Phương trình tổng quát bậc n 3.2.1 Định nghĩa 3.2.2 Nhóm Galois phương trình tổng quát bậc n 3.3 Dựng hình thước kẻ compa 3.3.1 Tiêu chuẩn dựng thước kẻ compa 3.3.2 Dựng đa giác thước kẻ compa Tài liệu tham khảo MỤC LỤC 32 32 32 33 33 33 34 34 34 35 37 Chương Lý thuyết trường Số tiết: 13 (Lý thuyết: 10 tiết; tập, thảo luận: 03 tiết) A) MỤC TIÊU - Sinh viên nắm khái niệm nhóm phép thế, nhóm giải được, trường thương, trường nguyên tố, đặc số trường đa thức trường - Sinh viên nắm định nghĩa tính chất số mở rộng trường như: Mở rộng trường, mở rộng đơn, mở rộng hữu hạn, mở rộng đại số, trường phân rã, mở rộng chuẩn tắc mở rộng tách - Sinh viên hiểu mối quan hệ mở rộng trường - Sinh viên tích cực, chủ động nghiên cứu giáo trình B) NỘI DUNG 1.1 1.1.1 Các kiến thức liên quan Nhóm phép thế, nhóm giải Định nghĩa 1.1 Giả sử H nhóm nhóm G Khi tập aH = {ah|h ∈ H} gọi lớp ghép trái H G Tương tự, tập Ha = {ha|h ∈ H} gọi lớp ghép phải H G Bổ đề 1.1 Giả sử H nhóm nhóm G Khi hai lớp ghép trái H G giao rỗng Định lý 1.1 Giả sử H nhóm chuẩn tắc G Khi (i) G = a∈G aH , (ii) Với a ∈ G, ánh xạ f : H → aH cho x → ax song ánh (iii) Nếu H hữu hạn lớp ghép H G có số phần tử Định nghĩa 1.2 Giả sử H nhóm nhóm G Số lớp ghép trái khác H G gọi số H G kí hiệu [G : H] CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG Trong học phần này, ta dùng kí hiệu |S| để lực lượng tập hợp S Định lý 1.2 (Định lý Lagrange) Giả sử H nhóm nhóm hữu hạn G Khi cấp H ước cấp G Hơn |G| = |H|[G : H] Định nghĩa 1.3 Cho n số nguyên dương, tập T = {1, 2, , n} Gọi Sn tập tất song ánh T Với σ ∈ Sn gọi phép bậc n viết σ= σ(1) σ(2) n σ(n) Tập Sn lập thành nhóm với phép nhân ánh xạ gọi nhóm phép bậc n Cấp nhóm Sn n! Định nghĩa 1.4 Giả sử i1 , i2 , i3 , , ik (k > 1) phần tử khác tập T = {1, 2, , n} Kí hiệu (i1 i2 i3 ik ) phép bậc n cho i1 → i2 , i2 → i3 , , ik−1 → ik , ik → i1 phần tử cịn lại T biến thành Khi ta nói (i1 i2 i3 ik ) vịng xích cấp k (hoặc k− vịng xích) Một vịng xích cấp gọi chuyển vị Hai vịng xích σ = (i1 i2 i3 ik ) τ = (j1 j2 j3 jk ), gọi độc lập tuyến tính {i1 , i2 , i3 , ik } ∩ {j1 , j2 , j3 , jk } = ∅ Phép đồng gọi vòng xích cấp kí hiệu (1) Mệnh đề 1.1 Nếu σ = (i1 i2 i3 ik ) τ = (j1 j2 j3 jk ) hai vịng xích độc lập στ = τ σ Định lý 1.3 Mọi phép σ ∈ Sn phân tích thành tích vịng xích độc lập Hệ 1.1 Mọi phép σ ∈ Sn phân tích thành tích chuyển vị Bổ đề 1.2 Phép đồng Sn khơng thể phân tích thành tích số lẻ chuyển vị Hệ 1.2 Khơng có phép Sn phân tích thành tích số chẵn chuyển vị đồng thời phân tích thành tích số lẻ chuyển vị Nói cách khác, phép Sn phân tích thành số chẵn số lẻ chuyển vị Định nghĩa 1.5 Một phép σ ∈ Sn gọi chẵn (tương ứng lẻ) phân tích thành tích số chẵn (tương ứng số lẻ) chuyển vị Theo Hệ 1.2, phép Sn chẵn lẻ Đặt An tập tất phép chẵn Sn Khi An nhóm Sn Nhóm An gọi nhóm thay phiên bậc n Định lý 1.4 Cho n > An nhóm chuẩn tắc Sn có cấp n!/2 [Sn : An ] = Một nhóm quan trọng khác nhóm Sn nhóm Dn sinh hai phần tử σ = (1 n) n − n τ = n n − n − n − Nhóm Dn gọi nhóm nhị diện bậc n Định lý 1.5 Với n ≥ 3, nhóm Dn có cấp 2n sinh hai phần tử σ τ thỏa mãn: (i) σ có cấp n τ có cấp (ii) τ σ = σ −1 τ Ngược lại, G nhóm sinh σ τ thỏa mãn (i), (ii) với n ≥ G đẳng cấu với Dn Định nghĩa 1.6 Cho G nhóm dãy lồng nhóm G: G = G0 ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ Gn = {e} (1) Dãy (1) gọi tháp chuẩn tắc G Gi nhóm chuẩn tắc Gi−1 với i = 1, 2, , n Dãy (1) gọi tháp Abel (tương ứng xyclic) tháp chuẩn tắc nhóm thương Gi−1 /Gi nhóm Abel (tương ứng xyclic) với i Tháp (1) gọi tháp xyclic cấp nguyên tố tháp xyclic, đồng thời nhóm thương Gi−1 /Gi có cấp nguyên tố với i Nhóm G gọi nhóm giải tồn tháp Abel (1) G Ví dụ 1.1 (i) Mọi nhóm Abel nhóm giải (ii) Nhóm S3 nhóm giải tồn tháp Abel S3 ⊃ (123) ⊃ {(1)} Định lý 1.6 Cho G nhóm Abel hữu hạn Khi mệnh đề sau tương đương: (i) G nhóm giải (ii) Tồn tháp xyclic G (iii) Tồn tháp xyclic cấp nguyên tố G CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG Định lý 1.7 (i) Mọi nhóm nhóm giải nhóm giải (ii) Ảnh đồng cấu nhóm giải nhóm giải (iii) Nhóm thương nhóm giải nhóm giải Định lý 1.8 Mọi nhóm cấp pn (p số nguyên tố) nhóm giải 1.1.2 Trường thương, trường nguyên tố Giả sử vành A vành giao hốn có đơn vị = Định nghĩa 1.7 Tập S vành A gọi tập đóng nhân ∈ S, ∈ S S đóng với phép nhân, nghĩa là, xy ∈ S , với x, y ∈ S / Ví dụ 1.2 A miền nguyên, tập A∗ phần tử khác A tập đóng nhân A Định lý 1.9 Cho S tập đóng nhân vành A Khi tập tích Đề A × S , quan hệ ∼ xác định bởi: (x, s) ∼ (y, t) ↔ ∃u ∈ S, u(xt − ys) = với (x, s) (y, t) thuộc A × S , quan hệ tương đương A × S Để cho gọn ta ký hiệu lớp tương đương (x, s) chứa cặp (x, s) A × S x ký hiệu AS tập thương gồm lớp tương đương s Định lý 1.10 Tập thương AS với phép toán x y tx + sy x y xy + = , = s t st s t st vành giao hốn có đơn vị Ta gọi AS vành thương vành A theo S Mệnh đề 1.2 Tương ứng ϕ : A → AS ; a → a đồng cấu vành Hơn phần tử ϕ(S) có nghịch đảo AS m Ví dụ 1.3 Khi A = Z, S = Z\pZ, với p số nguyên tố AS = { ∈ n Q, (n, p) = 1} Bây ta đề cập đến trường hợp đặc biệt A miền ngun, cịn tập đóng nhân S tập A∗ tất phần tử khác A Hệ 1.3 Nếu A miền nguyên S = A∗ tập tất phần tử khác A AA∗ trường a b a Trong trường hợp ta có AS = { /a ∈ A, s ∈ S ∗ }, với = ↔ ta = sb s s t a a s Nếu = a = có nghịch đảo Bởi AA∗ trường s s a Định nghĩa 1.8 Trường AA∗ miền nguyên A gọi trường thương miền nguyên A Ví dụ 1.4 Trường thương vành số nguyên Z trường số hữu tỷ Q Mệnh đề 1.3 Nếu A miền nguyên A nhúng vào trường a thương AA∗ đơn cấu ϕ(a) = Hơn nữa, phần tử AA∗ −1 viết dạng ϕ(a)ϕ(b) , với a ∈ A, b ∈ A∗ Tính chất phổ dụng vành thương phát biểu mệnh đề sau Mệnh đề 1.4 Cho S tập đóng nhân vành A Khi đồng cấu vành f : A → K , có tính chất f (s) khả nghịch K với s ∈ S , a tồn đồng cấu h : AS → K cho f = h◦ϕ, với ϕ(a) = Định nghĩa 1.9 Một trường gọi trường ngun tố khơng chứa trường thực Ví dụ 1.5 Trường số hữu tỷ Q trường Zp trường nguyên tố 1.1.3 Đặc số trường Định nghĩa 1.10 Giả sử A vành có đơn vị Khi A gọi vành có đặc số m1 = với số nguyên dương m; A gọi vành có đặc số n n số nguyên dương bé thỏa mãn n1 = Đặc số vành A ký hiệu char(A) Ví dụ 1.6 Vành số hữu tỷ Q có đặc số Vành Z3 có đặc số Mệnh đề 1.5 Nếu A miền nguyên char(A) = char(A) = p số nguyên tố Mệnh đề 1.6 Giả sử A vành có đơn vị char(A) = n > Khi m1 = n ước m Định lý 1.11 Giả sử A vành có đơn vị Khi (i) Tập P = {m1/m ∈ Z} vành A (ii) Nếu A có đặc số P ∼ Z = (iii) Nếu A có đặc số n P ∼ Zn = CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG Do trường vành có đơn vị nên định nghĩa tính chất đặc số vành A với trường A tương ứng Hơn ta có kết thú vị sau: Hệ 1.4 (i) Mọi trường có đặc số trường vơ hạn chứa trường đẳng cấu với trường số hữu tỷ Q (ii) Mọi miền nguyên có đặc số nguyên tố p, chứa trường đẳng cấu với Zp Nhận xét Từ hệ ta rút rằng, trường nguyên tố, đẳng cấu với trường số hữu tỷ Q, đẳng cấu với Zp 1.1.4 Các đa thức trường Giả sử K trường K[x] vành đa thức ẩn x trường K Đa thức f (x) gọi ước đa thức g(x) có đa thức q(x) cho g(x) = f (x).q(x) Một đa thức ước đơn vị phần tử khác trường K Vì vành K[x] miền nguyên nên khái niệm tính chất phần tử bất khả quy chuyển sang cho đa thức bất khả quy Định nghĩa 1.11 Hai đa thức f (x) g(x) gọi liên kết với f (x) = ag(x) với a ước đơn vị Đa thức q(x) gọi ước thực f (x) q(x) ước f (x), khác ước đơn vị không liên kết với f (x) Định nghĩa 1.12 Đa thức p(x) ∈ K[x] gọi đa thức bất khả quy khác 0, khác ước đơn vị không liên kết với f (x) Định nghĩa 1.13 Hai đa thức p(x) q(x) thuộc K[x] gọi nguyên tố ước chung lớn chúng Định lý 1.12 Hai đa thức p(x) q(x) thuộc K[x] nguyên tố tồn hai đa thức h(x) k(x) cho p(x)h(x) + q(x)k(x) = Mệnh đề 1.7 Giả sử p(x) đa thức bất khả quy thuộc vành K[x] Nếu f (x) ∈ K[x] f (x) chia hết cho p(x) nguyên tố với p(x) Định lý 1.13 Với đa thức bất khả quy p(x) ∈ K[x], bậc p(x) = n > 0, tồn trường F cho: (i) K ⊂ F ; (ii) p(x) có nghiệm u ∈ F ; (iii) Mỗi phần tử c ∈ F biểu diễn cách dạng: c = b0 + b1 u + + bn−1 un−1 , bi ∈ K Hệ 1.5 Giả sử f (x) ∈ K[x], bậc f (x) = n > Thế tồn trường F chứa K chứa n nghiệm f (x) Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn Eisenstein) Giả sử f (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a0 đa thức với hệ số nguyên Nếu có số nguyên tố p cho: (i) an không chia hết cho p; (ii) Các hệ số lại chia hết cho p; (iii) a0 không chia hết cho p2 ; f (x) đa thức bất khả quy Q[x] 1.2 1.2.1 Mở rộng trường Mở rộng đơn Mở rộng trường Định nghĩa 1.14 Cho K F hai trường Trường F gọi mở rộng K K vành F Nếu trường F mở rộng trường K F khơng gian vectơ K Số chiều không gian vectơ gọi bậc mở rộng F K ký hiệu [F : K] Trường F gọi mở rộng bậc hữu hạn (vô hạn) K bậc mở rộng hữu hạn (vơ hạn) Một tháp trường dãy trường K1 , K2 , , Kn cho K1 ⊂ K2 ⊂ ⊂ Kn , Ki+1 mở rộng Ki với i = 1, 2, , n − Ví dụ 1.7 (i)√ Trường số phức C mở rộng bậc trường số thực R √ (ii) Trường Q[ 2] = {a + b : a, b ∈ Q} mở rộng bậc trường số hữu tỷ Q Tương tự, trường Q[i] = {a + bi : a, b ∈ Q} mở rộng bậc Q Định lý 1.15 Cho tháp trường K ⊂ E ⊂ F Khi F mở rộng bậc hữu hạn K F mở rộng bậc hữu hạn E E mở rộng bậc hữu hạn K Hơn nữa, [F : K] = [F : E][E : K] Hệ 1.6 Cho tháp trường K = K1 ⊂ K2 ⊂ ⊂ Kn = F Khi F mở rộng bậc hữu hạn K [F : K] = [F : Kn−1 ] [K2 : K1 ] Cho F trường X ⊂ F Khi giao tất trường F chứa X gọi trường F sinh tập X Nếu F mở rộng K X ⊂ F trường sinh X ∪ K gọi trường sinh X tên K ký hiệu K(X) Trong trường hợp X tập hữu hạn gồm n phần tử u1 , u2 , , un ta viết K(X) = K(u1 , u2 , , un ) Trường K(u1 , u2 , , un ) gọi mở rộng hữu hạn sinh K 10 CHƯƠNG LÝ THUYẾT TRƯỜNG Định lý 1.16 Giả sử F mở rộng K X ⊂ F Khi trường K(X) gồm tất phần tử có dạng: f (u1 , u2 , , un ) , g(v1 , v2 , , vm ) ui , vj ∈ X, g(v1 , v2 , , vm ) = 0, f (x1 , x2 , , xn ), g(x1 , x2 , , xm ) đa thức thức K Định nghĩa 1.15 Giả sử K E hai trường trường F Trường hợp thành K E F trường sinh tập K ∪ E ký hiệu KE Trường hợp thành trường K1 , K2 , , Kn F trường sinh tập: K1 ∪ K2 ∪ ∪ Kn , ký hiệu K1 K2 Kn Chú ý Với ký hiệu Định nghĩa 1.15 Khi (i) KE = K(E) = E(K) (ii) K1 , K2 , , Kn = K1 (K2 ( (Kn−1 (Kn )))) 1.2.2 Mở rộng đơn Định nghĩa 1.16 Giả sử F mở rộng K Khi ta nói F mở rộng đơn K tồn phần tử u ∈ F cho F = K(u), u gọi phần tử nguyên thủy F √ √ √ √ √ Ví dụ 1.8 (i) Q( 2, 3) mở rộng đơn Q Q( 2, 3) = Q( + √ 3) (ii) Q(i, −i) mở rộng√đơn Q Q(i, −i) = Q(i) √ √ (iii) Q(w, 2) với w = −1+i mở rộng đơn Q Q(w, 2) = √ Q(w + 2) Định nghĩa 1.17 Giả sử F mở rộng trường K u ∈ F Phần tử u gọi đại số K tồn đa thức bậc dương f (x) ∈ K[x] cho f (u) = Trong trường hợp u không nghiệm đa thức bậc dương K , u gọi phần tử siêu việt K Ví dụ 1.9 (i) Phần tử i ∈ C đại số trường số thực R √ (ii) Phần tử ∈ R đại số trường số hữu tỷ Q (iii) Với a ∈ K đại số trường K (iv) Các số thực π, e siêu việt trường số hữu tỷ Q Định lý 1.17 Cho F mở rộng trường K u ∈ F đại số K Khi tồn đa thức p(x) ∈ K[x] bất khả quy nhận u làm nghiệm Hơn nữa, u nghiệm đa thức f (x) ∈ K[x] f (x) chia hết cho p(x) Đa thức p(x) gọi đa thức tối tiểu u K Các đa thức tối tiểu u liên kết với Mệnh đề 2.1 Cho F mở rộng trường K H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) Khi EH = {a ∈ F/σ(a) = a với σ ∈ H} trường trung gian mở rộng F K Trường EH Mệnh đề 2.1 gọi trường bất động nhóm H Ví dụ 2.3 (i) Xét nhóm H = {id, α} √ √ Gal(Q( 2, 3), Q) = {id, τ, α, β} √ √ √ ví dụ sau Định lý 2.2 Vì α( 2) = nên Q( 2) ⊂ EH với EH trường bất động nhóm H Xét tháp trường √ √ √ Q( 2) ⊂ EH ⊂ Q( 2, 3), Ta có √ √ √ √ √ √ [Q( 2, 3) : Q( 2)] = [Q( 2, 3) : EH ][EH : Q( 2)] √ √ √ √ √ Chú ý rằng, 3√ EH [Q( 2, 3) : Q( 2)] = nên [EH : Q( 2)] = ∈ / EH = Q( 2) (ii) Ta biết Gal(C, R) = {id, σ} σ ánh xạ biến số phức thành liên hợp Rõ ràng C trường bất động nhóm < id > Trường bất động Gal(C, R) R √ √ √ (iii) Giả sử σ ∈ Gal(Q( 2), Q) Vì nghiệm x3 − nên σ( 2) nghiệm x3 − Tuy nhiên, đa thức x3 − có √ √ √ √ nghiệm thực hai nghiệm phức Do đó, σ( 2) = = id( 2) Theo √ √ Định lý 2.2, σ = id Vậy, Gal(Q( 2), Q) =< id > Q( 2) Định lý 2.3 Cho F mở rộng bậc hữu hạn trường K Khi H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) E trường bất động nhóm H F mở rộng đơn, chuẩn tắc tách E 2.1.2 Mở rộng Galois Trong nhiều mở rộng E trường K với nhóm Galois Gal(E, K), ta gặp phải hai tượng: lấy trường điểm bất động nhóm Gal(E, K), lại khơng phải K Trong phần này, ta nghiên cứu loại mở rộng E cho trường điểm bất động nhóm Gal(E, K) K Định nghĩa 2.2 Cho F mở rộng trường K Trường F mở rộng Galois trường K (hoặc Galois K ) mở rộng bậc hữu hạn, chuẩn tắc tách K 23 24 CHƯƠNG LÝ THUYẾT GALOIS Ví dụ 2.4 (i) Trường số phức C mở rộng Galois trường số thực R, nhiên trường số phức C không mở rộng Galois trường số hữu tỷ Q √ √ (ii) Trường Q( √ 2, 3) mở rộng Galois trường số hữu tỷ Q (iii) Trường Q( 2) không mở rộng Galois trường số hữu tỷ Q (iv) Trường thương Z2 (t) Z2 (t) không mở rộng Galois Z2 (t2 ) (v) Nếu trường K có đặc số F mở rộng Galois K F trường phân rã đa thức f (x) K Định lý 2.4 Giả sử F mở rộng bậc hữu hạn trường K Khi H nhóm nhóm Galois Gal(F, K) E trường bất động nhóm H F mở rộng Galois E Hơn nữa, H = Gal(F, E) [H] = [F : E] Định lý 2.5 Giả sử F mở rộng Galois K E trường trung gian mở rộng Khi E trường bất động nhóm Gal(F, E) Hệ 2.2 Giả sử F mở rộng bậc hữu hạn trường K Khi F mở rộng Galois K K trường bất động nhóm Gal(F, K) Trong trường hợp ta có [F : K] = |Gal(F, K)| Hệ rằng: Dấu hiệu đặc trưng cho mở rộng F mở rộng Galois K trường bất động nhóm Galois Gal(F, K) lại K Bổ đề 2.1 Cho tháp trường K ⊂ E ⊂ F Khi mở rộng bậc hữu hạn, chuẩn tắc K E mở rộng chuẩn tắc K , Gal(F, E) nhóm chuẩn tắc Gal(F, K) Hơn nữa, Gal(F, K)/Gal(F, E) ∼ = Gal(E, K) 2.2 2.2.1 Định lý lý thuyết Galois Nhận xét Từ chứng minh Bổ đề 2.1 ta suy rằng: Nếu E mở rộng chuẩn tắc K F mở rộng E σ(E) = E , với σ ∈ Gal(F, K) Hơn nữa, Gal(F, K)/Gal(F, E) đẳng cấu nhóm Gal(E, K) 2.2.2 Định lý lý thuyết Galois Định lý 2.6 (Định lý Lý thuyết Galois) Giả sử F mở rộng Galois trường K Khi (i) Có song ánh từ tập tất trường trung gian mở rộng F K lên tập tất nhóm Gal(F,K) cách cho tương ứng trường trung gian E mở rộng với nhóm Gal(F, E) Gal(F, K) Hơn nữa, [F : E] = |Gal(F, E)| [E : K] = [Gal(F, K) : Gal(F, E)], (ii) Trường trung gian E mở rộng chuẩn tắc K Gal(F, E) nhóm chuẩn tắc Gal(F, K) Trong trường hợp ta có đẳng cấu Gal(F, K)/Gal(F, E) ∼ Gal(E, K) = Định nghĩa 2.3 Song ánh Định lý lý thuyết Galois, (i) gọi tương ứng Galois mở rộng F K Nhận xét Qua tương ứng Galois mở rộng F K trường F K tương ứng với nhóm Gal(F, E) =< id > Gal(F, K) √ √ Ví dụ 2.5 Ta biểu diễn tương ứng Galois mở rộng Q( 2, 3) √ √ Q sau: Ta biết Q( 2, 3) mở rộng Galois Q trường phân rã đa thức (x2 − 2)(x2 − 3) √ √ Theo Định lý Q √ √ lý thuyết Galois, [Q( 2,√ 3) : Q] = [Gal(Q( 2, 3), Q)] = Theo ví dụ sau √ Định lý 2.2, Gal(Q( 2, 3), Q) = {id, τ, α, τ α} cho bởi: √ √ √ √ → √2 → − √ id = √ ;τ = √ ; → 3 → √ √ √ √ → √ 2 → − √2 α= √ ; τα = √ → − 3 → − √ √ G = Gal(Q( 2, 3), Q) nhóm Abel đẳng cấu với nhóm Z2 × Z2 Các nhóm G là: < id >, < τ >, < α >, < τ α >, G Qua tương ứng Galois, nhóm cho tương ứng với trường √ √ trung gian mở rộng Q( 2, 3) Q là: √ √ √ √ √ Q( 2, 3), Q( 3), Q( 2), Q( 6), Q √ √ Chú ý tất trường trung gian mở rộng Q( 2, 3) Q mở rộng chuẩn tắc Q, nhóm G qua tương ứng Galois nhóm chuẩn tắc G 25 26 2.2.3 CHƯƠNG LÝ THUYẾT GALOIS Một số định lý khác Định lý 2.7 Giả sử F mở rộng Galois K với nhóm Galois Gal(F, K) u ∈ F Khi u1 , u2 , , um tất phần tử đôi khác tập {σ(u)/σ ∈ Gal(F, K)}, đa thức p(x) = (x − u1 )(x − u2 ) (x − um ) đa thức bất khả quy tách K nhận u làm nghiệm Định lý 2.8 Trường F mở rộng Galois trường K F trường phân rã đa thức tách K Định lý 2.9 Giả sử E mở rộng bậc hữu hạn tách trường K Khi tồn mở rộng F E cho F mở rộng Galois K 2.3 Áp dụng định lý Galois vào trường chia đường tròn 2.3.1 Căn đơn vị Định nghĩa 2.4 Cho K trường n số nguyên dương Khi đó, nghiệm nhị thức xn − ∈ K[x] gọi bậc n đơn vị Phần tử w gọi nguyên thủy bậc n đơn vị w bậc n đơn vị đồng thời nhóm nhóm xyclic sinh w trùng với nhóm nhân bậc n đơn vị Nhận xét (i) Tập bậc n đơn vị lập thành nhóm xyclic Nếu char(K) khơng ước n xn − nxn−1 nguyên tố Do nhị thức xn − đa thức tách K có n nghiệm phân biệt F Khi tập bậc n đơn vị lập thành nhóm xyclic cấp n Phần tử sinh nhóm gọi nguyên thủy bậc n đơn vị (ii) Nếu char(K) = p p ước n, ta viết n = pk m với m k nguyên tố với p Khi xn − = (xm − 1)p tập bậc n đơn vị trùng với tập nguyên thủy bậc m đơn vị 2.3.2 Trường chia đường tròn Định nghĩa 2.5 Trường phân rã đa thức xn − trường K gọi trường chia đường tròn bậc n K Để mô tả trường chia đường tròn ta cần đến hàm Euler ϕ(n) số nguyên dương i ≤ n cho (i, n) = Ta cần đến nhóm phần tử khả nghịch Un vành Zn Rõ ràng (i, n) = i khả nghịch Zn Vậy |Un | = ϕ(n) Giả sử n không chia hết cho đặc số trường w nguyên thủy bậc n đơn vị Khi G =< w > nhóm xyclic cấp n Nếu ζ nguyên thủy bậc n đơn vị ζ ∈ G ζ = wi (1 ≤ i ≤ n) Nhóm G =< w >=< wi > (i, n) = Vậy số nguyên thủy bậc n ϕ(n) 2.3.3 Áp dụng Định lý 2.10 Cho n số nguyên dương không chia hết cho đặc số trường K F trường chia đường tròn bậc n K Khi (i) F = K(w) với w nguyên thủy bậc n đơn vị (ii) F mở rộng Galois K nhóm Gal(F, K) đẳng cấu với nhóm Un Hơn Gal(F, K) nhóm Abel có cấp ước ϕ(n) (iii) Nếu n số ngun tố Gal(F, K) nhóm xyclic Định nghĩa 2.6 Giả sử n số nguyên dương không chia hết cho đặc số trường K F trường chia đường tròn bậc n K Đa thức chia đường tròn bậc n K định nghĩa bởi: φn (x) = (x − w1 )(x − w2 ) (x − wϕ(n) ), w1 , w2 , , wϕ(n) ∈ F nguyên thủy bậc n đơn vị Ví dụ 2.6 φ1 (x) = √ − 1; φ2 (x) = x − (−1) = x + Nếu K = Q x √ φ3 (x) = (x − (−1 + 3i)/2)(x − (−1 − 3i)/2) = x2 + x + φ4 (x) = (x − i)(x + i) = x2 + Mệnh đề 2.2 Giả sử n số nguyên dương không chia hết cho đặc số trường K φn (x) đa thức chia đường trịn bậc n K Khi (i) xn − = φd (x) d\n (ii) Các hệ tử φn (x) thuộc vành Z∗ = {m.1/m ∈ Z} với đơn vị K Chú ý Mệnh đề 2.2 cho ta cách tính φn (x) sau: φn (x) = xn − φd (x) d\n,d= {1}, < >=< >= {1, 2, 4}, < >= 1, 6, < >=< >= U7 Do nhóm G = Gal(Q(w), Q) tương ứng là: < σ1 >= {id}, < σ2 >=< σ4 >= {id, σ2 , σ4 }, < σ6 >= {id, σ6 }, < σ3 >=< σ5 >= G Các trường trung gian mở rộng Q(w) Q qua tương ứng Galois là: Q(w), Q(w + w2 + w4 ), Q(cos( 2.4 2π ), Q Mở rộng xyclic Định nghĩa 2.7 Cho F mở rộng trường K Trường F gọi mở rộng xyclic (tương ứng mở rộng Abel) F mở rộng Galois K Gal(F, K) nhóm xyclic (tương ứng Abel) Trong trường hợp nhóm xyclic (tương ứng Abel) Gal(F, K) có cấp hữu hạn n F gọi mở rộng xyclic (tương ứng Abel) cấp n K Ví dụ 2.8 (i) Trường số phức C mở rộng xyclic cấp trường số thực R √ (ii) Trường Q( √ mở rộng xyclic cấp trường số hữu tỷ Q 2) √ (iii) Trường Q( 2, 3) mở rộng Abel cấp trường số hữu tỷ Q Trước nghiên cứu mở rộng xyclic, ta cần định nghĩa bổ đề sau Định nghĩa 2.8 Giả sử S tập hợp khác rỗng tự đẳng cấu trường F Tập S gọi độc lập tuyến tính a1 , a2 , , an ∈ F với σ1 , σ2 , , σn ∈ Sn (n ≤ 1) cho a1 σ1 (u) + a2 σ2 (u) + + an σn (u) = với u ∈ F, suy = với i Bổ đề 2.2 Nếu S tập khác rỗng tự đẳng cấu đơi khác trường F S độc lập tuyến tính Định lý 2.11 Cho n số nguyên dương không chia hết cho đặc số trường K giả sử K chứa nguyên thủy bậc n đơn vị Khi trường F mở rộng xyclic cấp n K tồn phần tử khác không a ∈ K cho đa thức X n − a ∈ K[x] bất khả quy F trường phân rã đa thức Nếu u nghiệm đa thức xn − a ∈ K[x] ta nói u √ bậc n a ký hiệu n a Hệ 2.3 Cho n số nguyên dương không chia hết cho đặc số trường K giả sử K chứa nguyên thủy bậc n đơn vị Khi F mở rộng xyclic cấp d K với d ước n tồn √ phần tử khác không a ∈ K cho F = K( n a) C) TÀI LIỆU HỌC TẬP [1] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường lý thuyết Galois Nhà xuất giáo dục [2] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Sư phạm D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Bài 2.1 Xác định nhóm Galois mở rộng sau Q: √ √ √ √ √ √ a) Q( 3, 5); b) Q( 5); c) Q( 2, 3, 5); √ d) Q( 3, i) Bài 2.2 Cho F mở rộng trường K σ ∈ Gal(F, K) Chứng minh u ∈ F nghiệm f (x) σ(u) nghiệm f (x) 29 30 CHƯƠNG LÝ THUYẾT GALOIS Bài 2.3 Giả sử F mở rộng bậc hữu hạn K σ ∈ Gal(F, K) Chứng minh rằng: Nếu σ(u) = u ∈ F σ ∈ Gal(F, K(u)); Gal(F, K) hữu hạn Bài 2.4 Cho f (x) đa thức bậc n tách K F trường phân rã f (x) K Chứng minh rằng: [Gal(F, K)] ước n! √ √ Bài 2.5 a) Chứng minh √ Gal(Q( 3), Q) có cấp Gal(Q( 3), Q) ∼ Z2 = √ b) Giả sử d ∈ Q d ∈ Q Chứng minh Gal(Q( d), Q) ∼ Z2 / = Bài 2.6 a) Chứng minh nhóm Galois (x2 − 2)(x2 ) ∈ Q[x] đẳng cấu với Z2 × Z2 b) Chứng minh nhóm Galois x3 − ∈ Q[x] đẳng cấu với S3 Bài 2.7 Cho tháp trường K ⊂ E ⊂ F Giả sử E mở rộng chuẩn tắc K σ ∈ Gal(F, K) Chứng minh σ(E) = E Bài 2.8 Cho tháp trường K ⊂ E ⊂ F a) Chứng minh F mở rộng Galois K F mở rộng Galois E b) Giả sử F mở rộng Galois E E mở rộng Galois K F có phải mở rộng Galois K không? c) Giả sử F mở rộng Galois K E mở rộng chuẩn tăc K Chứng minh E mở rộng Galois K ? d) Giả sử E mở rộng chuẩn tắc K Chứng minh σ ∈ Gal(F, K) σE ∈ Gal(F, K) Bài 2.9 F mở rộng Galois K E trường trung gian mở rộng Chứng minh E mở rộng Galois K σ(E) = E với σ ∈ Gal(F, K) Bài 2.10 √ √ Hãy biểu diễn tương√ ứng Galois √ √ rộng sau Q : mở √ a) Q( 3, 5); b) Q( 2, i); c) Q( 2, 3, 4) Bài 2.11 Cho đa thức f (x) = x4 − ∈ Q[x] a) Xác định trường phân rã F f (x) Q b) Xác định nhóm Galois Gal(F, Q) f (x), c) Chứng minh Gal(F, Q) ∼ D4 , = d) Hãy bỉểu diễn tương ứng Galois F Q Bài 2.12 Cho G nhóm hữu hạn tự đẳng cấu trường F K trường bất động G Chứng minh F mở rộng Galois K Bài 2.13 Chứng minh trường có đặc số ba khái niệm: trường phân rã đa thức, mở rộng bậc hữu hạn chuẩn tắc; mở rộng Galois, ba khái niệm tương đương Bài 2.14 Tính đa thức chia đường trịn bậc n Q với n ≤ 24 Bài 2.15 Giả sử F5 trường chia đường tròn bậc Q a) Xác định nhóm Gal(F5 , Q), b) Xác định tất nhóm Gal(F5 , Q), c) Xác định trường trung gian mở rộng F5 Q, 2π d) Xác định đa thức tối tiểu Q(cos( √ )) Q chứng minh √ 2π cos( √ ) = −1+ Bài 2.16 Giả sử Fn trường chia đường tròn bậc n Q Xác định cấu trúc nhóm Gal(Fn , Q) với n Bài 2.17 Giả sử n > w nguyên thuỷ bậc n đơn vị Q Chứng minh rằng: 2π a) w + w−1 = 2cos( ), n ϕ(n) b) [Q(w + w−1 ) : Q] = Bài 2.18 Chứng minh trường phân rã đa thức x5 − mở rộng xyclic cấp Q(w), w nguyên thuỷ bậc đơn vị Bài 2.19 Giả sử trường K chứa nguyên thuỷ bậc n đơn vị √ F = K( n a) với a = a ∈ K Chứng minh F mở rộng xyclic cấp n K n không chia hết cho char(K) đa thức xn − a bất khả quy K Bài 2.20 Cho K trường, n = mps với char(K) = p m không chia hết cho p Giả sử K chứa nguyên thuỷ bậc n đơn vị F trường phân rã đa thức xn − a bất khả quy K Chứng minh F mở rộng xyclic cấp m K 31 Chương Ứng dụng Số tiết: (Lý thuyết: 04 tiết; tập, thảo luận: 01 tiết) A) MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu ứng dụng lý thuyết Galois: ứng dụng tốn giải phương trình thức ứng dụng tốn dựng hình thước kẻ compa - Vận dụng tập cụ thể: Tìm nghiệm phương trình đa thức bậc 3, bậc 4; chứng minh phương trình đa thức giải hay không giải thức; dựng đa giác thước kẻ compa - Sinh viên chủ động, tích cực nghiên cứu tài liệu B) NỘI DUNG 3.1 3.1.1 Giải phương trình thức Định nghĩa Định nghĩa 3.1 F gọi mở rộng trường K tồn tháp trường K = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ Kr−1 ⊂ Kr = F (C) √ cho Ki+1 = Ki ( ni ), ∈ Ki , i ∈ {0, 1, , r − 1} √ √ Ví dụ 3.1 Q( 2, −1) mở rộng Q có tháp trường √ √ √ 4 Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2)( −1) Hệ 3.1 Nếu K trường có đặc số trường F mở rộng K F mở rộng đơn K Định nghĩa 3.2 Giả sử K trường f (x) ∈ K[x], bậc n > Phương trình f (x) = gọi giải thức K có trường F mở rộng K F chứa tất nghiệm phương trình Ví dụ 3.2 Phương trình x4 − = giải thức, trường phân rã nằm mở rộng căn: √ √ √ 4 Q ⊂ Q( 2) ⊂ Q( 2)( −1) 3.1.2 Tiêu chuẩn giải thức Định lý 3.1 Giả sử K trường f (x) ∈ K[x] Khi phương trình f (x) = giải thức nhóm Galois đa thức f (x) nhóm giải Trong trường hợp trường có đặc số 0, ta có đặc trưng cho phương trình đại số giải thức Định lý 3.2 Cho K trường có đặc số f (x) đa thức bậc dương bất khả quy K Gọi E trường phân rã đa thức K Khi phương trình f (x) = giải thức nhóm Galois Gal(E, K) nhóm giải Với trường có đặc số bất kỳ, ta nhận kết sâu sắc, đòi hỏi trường sở phải chứa tất đơn vị Định lý 3.3 Cho K trường chứa tất đơn vị, f (x) đa thức bậc dương bất khả quy trường K E trường phân rã đa thức Khi phương trình f (x) = giải thức nhóm Gal(E, K) nhóm giải có cấp khơng chia hết cho đặc số trường K 3.2 3.2.1 Phương trình tổng quát bậc n Định nghĩa Định nghĩa 3.3 Một phương trình đại số ẩn bậc n phương trình có dạng a0 xn + a1 xn−1 + + an−1 x + an = 0, hệ số a0 , a1 , , an số tuỳ ý thuộc trường K , a0 = Định nghĩa 3.4 K trường cho trước u1 , u2 , , un biến độc lập, T = K(u1 , u2 , , un ) trường phân thức u1 , u2 , , un K Khi P (x) = xn + u1 xn−1 + + un ∈ T [x] gọi đa thức tổng quát bậc n K , cịn phương trình xn + u1 xn−1 + + un = gọi phương trình tổng quát bậc n K 33 34 CHƯƠNG ỨNG DỤNG Xét Q(x) = (x − x1 )(x − x2 ) (x − xn ), x1 , x2 , , xn biến độc lập Bằng cách nhân thừa số vế phải với Q(x), ta nhận được: Q(x) = xn − σ1 xn−1 + (−1)n−1 σn−1 x + (−1)n σn , với σ1 = x1 + x2 + + xn ; σ2 = x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn ; σk = x1 x2 xk + x2 x3 xk+1 + + xn−k+1 xn−k+2 xn ; σ n = x x xn σ1 , σ2 , , σn đa thức đối xứng biến x1 , x2 , , xn Định lý Viéte Đặt E = K(σ1 , σ2 , , σn ), Q(x) ∈ E[x] Đương nhiên F = E(x1 , x2 , , xn ) = K(x1 , x2 , , xn ) trường phân rã Q(x) E , Q(x) đa thức tách 3.2.2 Nhóm Galois phương trình tổng qt bậc n Bổ đề 3.1 Nhóm Galois phương trình tổng quát bậc n đẳng cấu với nhóm Sn phép tập gồm n phần tử, tức là, Sn ∼ Gal(F, K) = Định lý 3.4 Phương trình tổng quát bậc hai giải thức Định lý 3.5 Phương trình tổng quát bậc ba giải thức Định lý 3.6 Phương trình tổng quát bậc bốn giải thức Định lý 3.7 Nhóm phép Sn khơng giải n ≥ Từ Định lý 3.7 Định lý 3.1 ta nhận kết quan trọng sau: Định lý 3.8 (Định lý Abel) Không thể giải thức phương trình tổng quát bậc lớn 3.3 3.3.1 Dựng hình thước kẻ compa Tiêu chuẩn dựng thước kẻ compa Định nghĩa 3.5 Một số phức α gọi dựng thơng qua bước dựng hình α nghiệm đa thức bậc dương không vượt với hệ số phức coi dựng thước kẻ compa Bổ đề 3.2 Giả sử K trường có đặc số F trường mở rộng trường K Khi [F : K] ≤ F trường phân rã đa thức bất khả quy có bậc khơng lớn K Trong trường hợp F mở rộng Galois K [F : K] = |Gal(F, K)| ≤ Nhận xét (i) Nếu số phức ξ1 , ξ2 , , ξd dựng thước kẻ compa số trường Q(ξ1 , ξ2 , , ξd ) với Q trường số hữu tỷ dựng thước kẻ compa (ii) Nếu trường K mà phần tử coi dựng được, số phức dựng bước dựng thuộc mở rộng E K cho [F : K] ≤ Khi phần tử E dựng qua bước dựng hình Định lý sau cho ta biết điều kiện cần đủ để đại lượng hình học dựng thước kẻ compa Định lý 3.9 Từ đại lượng phức cho trước ξ1 , ξ2 , , ξd coi dựng tạo nên trường K = Q(ξ1 , ξ2 , , ξd ) với Q trường số hữu tỷ Khi số phức α gọi dựng thước kẻ compa α ∈ F , với F trường phân rã đa thức K có [F : K] = 2r Hệ 3.2 Giả sử số phức α dựng thước kẻ compa Khi α nghiệm đa thức bất khả quy có bậc 2m trường số hữu tỷ Q Sau ta xét ba tốn dựng hình có vai trị quan trọng phát triển mơn hình học thời Hy Lạp cổ đại Gấp đơi hình lập phương: Dựng hình lập phương tích gấp đơi thể tích hình lập phương cho trước Chia ba góc: Dựng góc có số đo số đo góc cho trước 3 Cầu phương hình trịn: Dựng hình vng có diện tích diện tích hình trịn cho trước Định lý 3.10 Khơng thể gấp đơi hình lập phương Định lý 3.11 Khơng thể chia ba góc Định lý 3.12 Khơng thể cầu phương hình trịn 3.3.2 Dựng đa giác thước kẻ compa Trong phần ta tìm điều kiện cho số tự nhiên n để đa giác n cạnh dựng thước kẻ compa Định lý 3.13 Một đa giác n cạnh dựng ϕ(n) lũy thừa 2, ϕ(n) hàm Euler Ví dụ 3.3 Đa giác cạnh khơng dựng ϕ(9) = khơng lũy thừa Đa giác 17 cạnh dựng ϕ(17) = 16 = 24 35 36 CHƯƠNG ỨNG DỤNG m Nếu n phân tích thành thừa số ngun tố có dạng n = pm1 pm2 pr r , m ϕ(n) = r pi i −1 (pi − 1) Do ϕ(n) lũy thừa i=1 n có dạng 2s q1 q2 qr , r, s ≥ qi số nguyên tố có dạng 3k + Tiếp tục để ý 2k + số nguyên tố, k phải có dạng 2t Tóm lại, qi số nguyên tố Fermat Ta nhận kết sau: Hệ 3.3 Một đa giác n cạnh dựng n có dạng n = 2s q1 q2 qr r, s ≥ qi số nguyên tố Fermat C) TÀI LIỆU HỌC TẬP [1] Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số Nhà xuất Đại học Sư phạm [2] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Sư phạm D) CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN Bài 3.1 Chứng minh phương trình sau giải thức Q a) x6 − 4x3 + = 0; b) x4 − 5x2 + = 0; c) x5 + 6x3 + 9x = 0; d) x4 + 3x3 − 2x − = Bài 3.2 Hãy xây dựng công thức nghiệm phương trình tổng quát bậc 2, 3, Bài 3.3 Chứng minh dùng thước kẻ compa để dựng góc 100 , 200 , 200 Bài 3.4 Chứng minh dùng thước kẻ compa để dựng tam giác cân biết hai đường phân giác Bài 3.5 Chứng minh dùng thước kẻ compa để dựng tam giác biết ba đường phân giác Bài 3.6 Trình bày cách dựng đa giác cạnh 17 cạnh Bài 3.7 Giả sử ta có đồ thị đường cong parabol y = x2 mặt phẳng tọa độ √ Chứng minh ta dùng thước kẻ compa dựng độ dài r với độ dài r cho trước Tài liệu tham khảo [1] Hồng Xn Sính (2008), Đại số đại cương Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường lý thuyết Galois Nhà xuất giáo dục [5] Dương Quốc Việt (2005), Lý thuyết Galois lý thuyết mở rộng trường Nhà xuất Đại học Sư phạm [6] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Sư phạm 37 ... rộng trường lý thuyết Galois Nhà xuất giáo dục [2] Dương Quốc Việt (2005), Lý thuyết Galois lý thuyết mở rộng trường Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois... rộng trường lý thuyết Galois Nhà xuất giáo dục [5] Dương Quốc Việt (2005), Lý thuyết Galois lý thuyết mở rộng trường Nhà xuất Đại học Sư phạm [6] Dương Quốc Việt (2007), Cơ sở lý thuyết Galois... số đại cương Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Duy Thuận (2007), Giáo trình lý thuyết phương trình đại số Nhà xuất Đại học Sư phạm [3] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois Nhà xuất Đại học Quốc