Chương 10. CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC 10.1. Hình học khối lượng 10.1.1 Khối tâm của cơ hệ - Khối lượng: Khối lượng của hệ bằng tổng đại số khối lượng của các chất điểm thuộc hệ ∑ = = n k k mM 1 - Khối tâm: M rm r n k kk C ∑ = = 1 , k C r r ur uur là các bán kính véc tơ của chất điểm thứ k và của khối tâm C; m k , M là khối lượng của chất điểm thứ k và khối lượng của cơ hệ Chiếu xuống các trục tọa độ ta được: z O y C(x c ,y c ,z c ) M k (x k ,y k ,z k ) m k r k r c x M zm z kk C ∑ = M xm x kk C ∑ = M ym y kk C ∑ = 10.1.2. Mô men quán tính của vật rắn: 10.1.2.1. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục z: là 1 đại lượng vô hướng bằng tổng các tích khối lượng của từng điểm thuộc vật với bình phương khoảng cách từ nó đến trục ấy ∑ = = n k kkz hmJ 1 2 ( ) ∑ = += n k kkkx zymJ 1 22 ( ) ∑ = += n k kkky zxmJ 1 22 ( ) ∑ = += n k kkkz yxmJ 1 22 h k là khoảng cách từ điểm m k tới trục z Với 3 trục toạ độ Đềcác z O y h k x m k y k x k z k 10.1.2.2. Bán kính quán tính: M J z z = ρ zz JM = 2 ρ Bán kính của vật rắn đối với trục Oz là đại lượng xác định theo công thức: hay 10.1.2.3. Mô men quán tính một số vật đồng chất: a. Thanh đồng chất: 2 3 z Ml J = Trục z đi qua đầu A của thanh và vuông góc trục thanh, AB = l, khối lượng của thanh là M z R C z R C b. Vành tròn đồng chất: bán kính R, khối lượng M và độ dày nhỏ, trục z đi qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của đường tròn 2 z J MR= c. Đĩa tròn đồng chất, khối trụ đồng chất: khối lượng M, bán kính R, trục z đi qua tâm C và vuông góc với mặt phẳng của tấm : 2 2 z MR J = A x B l z 10.1.2.4. Mô men quán tính của vật rắn đối với trục song song Định lý Huyghen: Mô men quán tính của vật rắn đối với 1 trục nào đó bằng mômen quán tính đối với trục đi qua khối tâm của vật song song với trục đó cộng với tích số giữa khối lượng của vật với bình phương khoảng cách giữa 2 trục. 2 ' MdJJ ZCz += M C z' z d 10.2. Định lý động lượng 10.2.1. Định nghĩa động lượng .q m v= r r - Động lượng của chất điểm là đại lượng véc tơ bằng tích của khối lượng với véc tơ vận tốc của điểm đó. Đơn vị kgm s - Động lượng của hệ là đại lượng véc tơ bằng tổng hình học động lượng của các chất điểm thuộc hệ ∑∑ =+++== kknnk vmvmvmvmqQ 2211 M v q . C Q M v⇒ = ur uur - Nếu biết khối lượng của cả hệ là M C v r vận tốc của khối tâm của hệ là 10.2.2. Xung lượng của lực d S Fdt= ur ur - Xung lượng yếu tố của lực tác dụng vào chất điểm trong thời gian vô cùng nhỏ dt bằng tích số của véc tơ lực với vi phân thời gian dt F ur F ur M ds F M 0 M 1 1 0 t t S Fdt= ∫ ur ur - Xung lượng của lực trong khoảng thời gian thời gian từ t 0 đến t 1 bằng tích phân xác định của xung lượng yếu tố với cận từ t0 đến t1 1 1 1 0 0 0 , , t t t x y z t t t S Xdt S Ydt S Zdt= = = ∫ ∫ ∫ 2 2 2 x y z S S S S= + + ( ) 1 0 .S F t t F t= − = ur ur ur Trị số: F ur không đổi: xuống các trục tọa độ là X, Y, Z Nếu biết hình chiếu của F ur 10.2.3. Định lý biến thiên động lượng - Định lý biến thiên động lượng dạng vi phân: Vi phân động lượng của hệ trong thời gian vô cùng bé bằng tổng hình học các xung lượng yếu tố của tất cả ngoại lực tác dụng lên hệ trong thời gian đó dtFQd e k ∑ = e k dQ d S= ∑ uur ur hay Chứng minh: Xét phương trình vi phân chuyển động của chất điểm thứ k của cơ hệ: W e i k k k k m F F= + uur uur uuur W e i k k k k m F F= + ∑ ∑ ∑ uur uur uuur 0 i k F = ∑ uur Cộng hai vế của các phương trình: W ( ) k k k k k k dv d dQ m m m v dt dt dt = = = ∑ ∑ ∑ uur ur uuur uur e k dQ F dt⇒ = ∑ uur ur e k dQ d S= ∑ uur ur hay trong đó - Định lý biến thiên động lượng dạng hữu hạn: Biến thiên động lượng của hệ chất điểm trong khoảng thời gian nào đó bằng tổng hình học xung lượng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian ấy 1 1 ( ) o t e e O k k t Q Q S F dt− = = ∑ ∑ ∫ uur uur uur uur Chiếu xuống hệ tọa độ Oxyz 1 1 ( ); o t e x ox k t Q Q X dt− = ∑ ∫ 1 1 ( ); o t e y oy k t Q Q Y dt− = ∑ ∫ 1 1 ( ) o t e z oz k t Q Q Z dt− = ∑ ∫ 10.2.4. Các trường hợp bảo toàn động lượng của hệ: Q const= ur 0 e k F = ∑ uur Nếu Q x = const 0 e k X = ∑ Nếu Ví dụ 1 : Vật có trọng lượng P= 5 kN được kéo lên theo mặt phẳng nghiêng từ trạng thái nghỉ bởi lực Q= 3kN. Tính trị số vận tốc của vật sau 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Biết hệ số ma sát động f’=0,5; α = 30 o .cos ;N P α = ' ' . . .cosF f N f P α = = 1 0 x x i x mv mv S− = ∑ Chọn trục Ox như hình vẽ. Áp dụng định lý biến thiên động lượng dạng hình chiếu trên trục Ox: Vật chuyển động từ trạng thái nghỉ nên vo = 0. Ta có ( ) sin sin i x S Qt Pt Ft Q P F t α α = − − = − − ∑ ( ) ( ) ( ) ' ' sin sin cos sin cos mv Q P F t Q P f P t Q P f P gt v m P α α α α α = − − − − − − → = = α Q P N F x y Thay số được: 5,60 m v s = 10.3. Định lý chuyển động khối tâm: 10.3.1. Định lý chuyển động khối tâm Khối tâm của cơ hệ chuyển động như 1 chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cả hệ khi chịu tác dụng của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ Chứng minh: C k K M r m r= ∑ uur uur k k M r m r •• •• = ∑ r ur Từ công thức định nghĩa khối tâm của hệ: lấy đạo hàm hai lần theo thời gian ta được C k K K MW m W F= = ∑ ∑ uuur uuur uur C K MW F= ∑ uuur uur Hay ( theo phương trình cơ bản động lực học) C K MW F= ∑ uuur uur [...]... biến thiên động năng của cơ hệ - Định lý biến thiên động năng dạng vi phân: Vi phân động năng của cơ hệ trong di chuyển vô cùng bé của hệ bằng tổng công phân tố của các lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển đó dT = ∑ dAk - Định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn: Biến thiên động năng của hệ trong di chuyển hữu hạn bằng tổng công của tất cả các lực tác dụng lên cơ hệ trong di chuyển đó T1 − T0 = ∑... của chất điểm với bình phương vận tốc của nó mv 2 T= 2 kgm 2 -Đơn vị chính để đo động năng là Jun (J) hay s2 kgm 2 1 2 = 1Jun s -Động năng của cơ hệ n chất điểm là đại lượng vô hướng bằng tổng động năng của tất cả các chất điểm thuộc hệ mi vi2 T =∑ 2 - Động năng của 1 số vật rắn chuyển động: •Vật rắn chuyển động tịnh tiến: mi vc2 = 1 ( m )v 2 Ttt = ∑ ( ) ∑ i C 2 2 2 MvC T= 2 hay z M là khối lượng của. .. Fmax phương trình chuyển động của khối tâm C g t2 x C = ( G – f P ) P 2 10.4 Định lý biến thiên mô men động lượng 10.4.1 Định nghĩa mô men động lượng a Với chất điểm: z - Mô men động lượng của chất điểm với 1 tâm O nào đó là 1 véc tơ M(x,y,z) v r l O = mO ( m v ) = r ∧ m v - Mô men động lượng của chất điểm với 1 trục z là 1 đại lượng đại số O y x z mv l z = mz (q ) = ± mV ' h mv' là hình chiếu của mv... cách từ giao điểm mặt phẳng (P) và trục z đến đường v ' m b Với cơ hệ: - Mô men động lượng của hệ với tâm O là 1 véc tơ bằng tổng hình học các véc tơ mô men động lượng của các chất điểm thuộc cơ hệ đối với tâm đó n n n k =1 k =1 k =1 LO = ∑ lOk = ∑ mO (mk vk ) = ∑ rk ∧ mk vk - Mô men động lượng của hệ với trục z là 1 lượng đại số và bằng tổng đại số mô men động lượng của tất cả các chất điểm thuộc hệ... đặt trên mặt phẳng nhẵn, gắn bản lề tại O với thanh thẳng đồng chất OB có khối lượng m2 và chiều dài l Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng thái tĩnh, khi đó thanh OB nằm ngang Bỏ qua ma sát tại bản lề O Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vị trí thẳng đứng Xét cơ hệ gồm vật A chuyển động tịnh tiến và thanh OB chuyển động song phẳng Áp dụng định lý biến thiên động năng dạng hữu hạn: yA T1... men của tất cả các ngoại lực tác dụng lên hệ đối với 1 trục nào đó bằng 0 thì mô men động lượng của hệ đối với trục đó không đổi Ví dụ 1: Đĩa tròn A đồng chất có trọng lượng P và bán kính r có thể quay quanh trục thẳng đứng vuông góc và đi qua tâm của đĩa Tại thời điểm ban đầu, tâm của đĩa có vi n bi M trọng lượng Q và đĩa A có vận tốc ωo sau đó vi n bi bắt đầu chuyển động dọc theo đường bán kính của. ..10.3.2 Phương trình vi phân chuyển động của khối tâm uu u r ur u MWC = ∑ FK (1) Dạng tọa độ Đềcác Chiếu (1) lên 3 trục của hệ Oxyz Dạng tọa độ tự nhiên: Chiếu (1) lên 3 trục của hệ Mτnb •• •• M sC = ∑ Fkτ •• 2 vC M = ∑ Fkn ρ M xC = ∑ X k M y C = ∑ Yk •• M z C = ∑ Zk 0 = ∑ Fkb (nếu biết được quỹ đạo chuyển động tuyệt đối của khối tâm) 10.3.3 Các trường hợp bảo toàn chuyển động của khối tâm -... trên đường thẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực ngang G = const tại tâm bánh xe Hệ số ma sát trượt giữa bánh xe và mặt đường là f Tại thời điểm ban đầu bánh xe đứng im Tìm chuyển động của khối tâm C của bánh xe Bài giải: Xét chuyển động của bánh xe lăn không trượt y Các lực tác dụng: u u u u r r u r r P, G, N , F max , M ms Fmax = f.N O C Áp dụng định lý chuyển động khối tâm M WC = P + G + N + F max... •Công của các lực ma sát tác dụng lên vật lăn: ϕ u r A( F ms ) = 0 ϕ N A( M ms ) = − ∫ k N dϕ 0 Trường hợp N= const: Fms A( M ms ) = − kNϕ P Mms dϕ Ví dụ 1: Con lăn A bán kính vành trong và vành ngoài lần lượt là r và R, lăn không trượt trên đường thẳng cố định dưới tác dụng của lực kéo F tác dụng vào đầu dây quấn vào vành trong của con lăn Đoạn dây kéo tạo góc α với mặt đường Tìm công phân tố của lực... tương ứng vr = u = const Tìm vận tốc góc của đĩa tại thời điểm bất kỳ sau khi vi n bi rời khỏi tâm của nó và tại thời điểm khi vi n bi chạy đến mép của đĩa Bỏ qua ma sát tại ổ quay z r A M ωο Xét cơ hệ gồm đĩa A và vi n bi M u u u r r r Các ngoại lực tác dụng: P, Q, R z ur u ∑ m z ( Fk ) = 0 ⇒ Lz = const n ω k =1 mr 2 Pr 2 t = 0, Lzo= Jz.ωo = ωo = ωo 2 2g O Thời điểm t, đĩa A có vận tốc góc ω P u u r